EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

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1 SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la rédacto S u caddat est ameé à repérer ce qu peut lu sembler être ue erreur d éocé, l le sgalera sur sa cope et devra poursuvre sa composto e explquat les rasos des tatves qu l a été ameé à predre UILISAION DES POLYNOMES DE CHEBYCHEV EN ANALYSE Notatos : O ote E l espace vectorel des applcatos cotues de [-1,1] das! O désge par E l espace vectorel des foctos polyomales de [-1,1] das! de degré féreur ou égal à où est u eter aturel O pourra cofodre les expressos : polyôme et focto polyomale S f est u élémet de E, o pose f = sup f( x [ 1,1 ] Les partes II, III sot dépedates et utlset les résultats de la parte I I Polyômes de chebychev Das toute cette parte, désge u eter aturel 1 Exstece et ucté a) Détermer u polyôme à coeffcets réels de degré vérfat la proprété (*): (*) : θ!, ( cos θ ) = cos( θ ) (o pourra remarquer que cos( θ ) est la parte réelle de (cosθ + s θ) ) b) Motrer qu u polyôme vérfat (*) est uque O l appelle le polyôme de chebychev d dce, o le ote O déft alors ue focto polyomale sur [-1,1] par : x [ 1, 1], ( = cos( arcos ourez la page SVP

2 a) Motrer que x [ 1, 1], + ( = x+ 1( ( (o pourra calculer + ( + ( ) b) Calculer 0, 1,, 3 c) Doer le coeffcet du terme de plus haut degré de 3 Races et extrema a) Motrer que x [-1,1], 1 1 ( + 1) π ( = ( x cosθ) où θ = = 0 π b) O pose pour das {0, 1,,}, c = cos( ) Calculer pus motrer que : { 0,1,, }, ( c) = et que : { 0,1,, 1 }, ( ) ( ) c + 1 = c Les + 1 réels c 0, c1,, c sot appelés pots de chebychev c) Desser le graphe de 3, précser sur le graphe les réels c0, c1, c, c3 II Polyômes de chebychev et orthogoalté Orthogoalté des ht 4 Motrer que pour toute focto h de E, l applcato t " () 1 t est tégrable sur ]-1,1[ Pour f et g élémets de E, o pose = 1 f ( g( f, g dt 1 1 t 5 1 h( a) Sot h ue focto postve de E, motrer que s 1 t ulle b) Motrer que, déft u produt scalare sur E 1 dt = 0 alors h est la focto Cec ous permet de défr ue orme eucldee sur E : pour tout élémet h de E, o pose h = h, h 6 Calculer, selo les valeurs des eters aturels m et E dédure pour tout eter m aturel que la famlle (,, ) 0, 1 est ue base orthogoale (pour, ) de E Polyôme de melleure approxmato quadratque Das toute la sute de la parte II, f désgera u élémet de E et u eter aturel O pose d ( f, E) f { f Q, Q E} =

3 3 Le but de la sute de la parte II est d exprmer f e focto des 7 a) Eocer u théorème justfat l exstece et l ucté d u vecteur t( f ) das E tel que f t f ) = d ( f, E ) ( b) Exprmer t( f ) à l ade des polyômes de chebychev O dt que t ( f ) est le polyôme de melleure approxmato quadratque de f sur E 8 Motrer que f, (, ) = 0 d f E = f 9 a) E dédure que la sére est covergete 0 1 f ( ( b) Que pesez-vous de la lmte de dt lorsque ted vers +? 1 1 t Covergece e orme quadratque 10 a) Sot h u élémet de E, motrer que h π h b) Motrer e utlsat u théorème de Weerstrass que : lm f t ( f ) = a) E dédure que + = = 0 f b) Applcato : u théorème des momets Que peut-o dre d ue focto h de E telle que pour tout eter aturel, 1 h( ( dt = 0? 1 1 t III Polyôme de melleure approxmato au ses de chebychev Das toute cette parte, désge u eter aturel et f u élémet de E O ote d f E = { f Q Q E} (, ) f, O dt qu u élémet P de E, est u polyôme de melleure approxmato (o otera e abrégé PMA) au ses de chebychev de f d ordre, s l vérfe ue des deux codtos équvaletes : () f P = d f E (, ) () Q E, f P f Q ourez la page SVP

4 4 Exstece d u PMA d ordre pour f O pose K = { Q E, f Q f } 1 a) Motrer que K est ue parte o vde fermée et borée de E b) E dédure que K est ue parte compacte o vde de E 13 a) Motrer que d ( f, E ) = d ( f, K) b) E dédure qu l exste u élémet P de E tel que f P = d f E (, ) P est doc u PMA d ordre de f Codto suffsate pour être u PMA Sot h u élémet de E O dt que h équosclle sur + 1 pots s l exste + 1 réels x 0 < x 1 < < x de l tervalle [-1,1], tels que 0,1,,, h ( x ) = h et {,1,, 1 }, h ( x ) = h ( x ) + { } (o dt que les extrema sot alterés) 14 Exemples 0 1 a) Desser le graphe d ue focto φ de E telle que φ = 1 et φ équosclle sur 4 pots (o e cherchera pas à explcter ue telle focto) b) Motrer que le polyôme +1 de chebychev d dce + 1 équosclle sur + pots Le but de la questo 15 est de motrer le résultat suvat : S P est u élémet de E tel que f P équosclle sur + pots, alors P est u PMA d ordre de f 15 Sot P u élémet de E tel que f P équosclle sur + pots que l o ote x 0 < x 1 < < x + 1 Sot Q u élémet de E tel que f Q < f P a) Sot { },,,, motrer que s f( x ) P( x ) > 0 alors Qx ( ) Px ( ) > 0 O a de même, que s f( x ) P( x ) < 0 alors Qx ( ) Px ( ) < 0 b) E dédure que P = Q et coclure Détermato de PMA 16 Das cette questo, pour x [-1,1], o pred f ( = x +1 et o pose : q ( = x ( Motrer que q est u PMA d ordre de f

5 5 17 E dédure que pour tout polyôme P utare de degré + 1, o a P 18 a) Das cette questo, f est u polyôme de degré + 1 Détermer u PMA d ordre de f 3 b) Applcato : détermer u PMA d ordre de f ( = 5x + x Remarque : O peut motrer l ucté du PMA Il exste pas de formule géérale qu doe l expresso du PMA d ue focto quelcoque O peut cepedat utlser u algorthme (de Remes) qu fourt ue sute de polyômes qu coverge vers le PMA F de l éocé ourez la page SVP