Méthode analytique Concrètement M2

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1 Méthode analytique Concrètement M1 1/ Déterminer analytiquement Sachant que : X X si X=Y + (ou-) Z => X = Y + Z (>0) si X=Y * (ou ) Z => X/X = Y/Y + Z/Z (>0) 2/ Application numérique 3/ Expression physique du résultat Belle méthode! 1 Méthode analytique Concrètement M2 1/ Déterminer X max et X min 2/ X= (X max -X min )/2 3/ Expression physique du résultat Moins Belle méthode 2

2 C est à vous Un mobile parcourt 10 ± 0,5 m en 1 ± 0,1 s. Calculer sa vitesse en m.s -1 puis en km.h -1. (Par les deux méthodes M1 & M2) V L= 0. m T = 0. s L= 10 ± 0.5 m T = 1 ± 0.1 s 3 Un rectangle n Un rectangle mesure 27 m de longueur et 14,5 m de largeur. Les mesures étant faites à 0,5 m près n Calculer la plus grande valeur (valeur par excès) et la plus petite (valeur par défaut) de l'aire de ce rectangle. Quelle sont les incertitudes absolue et relative? n Expression physique du résultat Nombre de chiffres significatifs! 4

3 Mesurage d un courant n Un mesurage de tension est effectué aux bornes d'une résistance dont la valeur est :R = 300 ± 3 Ω. n Le résultat de la mesure est : U = 98.0 ± 0.3 V n a. Quelle sont les incertitudes absolues et relatives sur R et sur U? n b. Calculez l'intensité I qui traverse la résistance. n c. Etablissez l'expression de la différentielle de I. n d. Calculez les incertitudes absolue et relative sur la valeur de I. n e. Etablissez l'expression de la dérivée logarithmique de I (). d (ln( I)) = di I 5 Un cylindre creux n Pour mesurer l'épaisseur d'un cylindre creux on mesure les diamètres intérieurs (D1) et extérieur (D2) et on trouve : n D1 = 19,5 ± 0,1 mm et D2 = 26,7 ± 0,1 mm n Donner le résultat de la mesure et son incertitude. 6

4 Un parallélépipède n On mesure le volume d'un morceau de fer parallélépipédique de trois façons. n a) On le mesure avec une règle graduée au mm. On peut apprécier la demi division. On trouve L = 2,6 cm, l = 1,25 cm et h = 5,45 cm. n Trouver son volume, ainsi que les incertitudes absolue et relative. n b) On se sert d'un pied à coulisse de précision 1/10 de mm. On trouve L = 2,62 cm, l = 1,24 cm et h = 5,46 cm. n Mêmes questions. n c) On se sert maintenant d'une éprouvette. Une division correspond à 1 cm3. On apprécie la demi-division. On trouve, par déplacement d'eau, un volume de 17,5 cm3. n Mêmes questions. + Conclure 7 Une sphère creuse n Une sphère creuse a pour rayon extérieur 15 cm ; la cavité est une sphère de 5 cm de rayon. n a) Quel est le volume de la partie pleine? n b) La précision des mesures étant de 1 mm, trouver l'incertitude du résultat. -M1 méthode analytique (belle) -M2 méthode mini maxi (pas belle) 8

5 Une 2ème sphère creuse n Une sphère creuse a pour rayon extérieur 150 cm ; la cavité est une sphère de 0.5 cm de rayon. n a) Quel est le volume de la partie pleine? n b) La précision des mesures étant de 10 cm, trouver l'incertitude du résultat. -M1 méthode analytique (belle) -M2 méthode mini maxi (pas belle) 9 Le pendule n La relation qui donne la période T d'un pendule de torsion dont la constante de torsion est C est n J étant son moment d'inertie et C la constante de torsion du fil. n a) Trouver T si J = 0,10 kg.m2, C = 0, m.n.rd-1. n b) Sachant que l'erreur commise sur J est de 0,01 kg.m2, trouver celle sur T. 10

6 La corde qui fait le tour de la terre n Une corde infiniment rigide fait le tour de la terre. De combien celle-ci va-t-elle s enfoncer dans le sol si je réduis sa longueur de 1m? R = 16 cm 11 Analyse dimensionnelle n Homogénéité d'une expression n Tester l'homogénéité d'une expression est un critère permettant d'éliminer des n résultats dont on sait qu'ils sont nécessairement faux. n Une équation est homogène lorsque ses deux membres ont la même dimension. n Le critère de pertinence s'énonce ainsi : Une expression non homogène est nécessairement FAUSSE. n On peut énoncer les conséquences suivantes : n 1. On ne peut additionner que des termes ayant la même dimension. n 2. L'argument d'une fonction transcendante (sin, cos, tan, exp, ln, ch, sh, th)doit être sans dimension. 12

7 Ces grandeurs sont-elles liées? n Une longueur L, un temps T et une vitesse v. n Une énergie E, une masse m et une vitesse v n Une énergie E, une masse m et une longueur L. 13 Ecrire l'équation aux dimensions des grandeurs suivantes. n 1. Le champ de pesanteur g. n 2. Une pulsation ω. n 3. Une masse volumique ρ. n 4. Une charge électrique Q. 14

8 Vérifier l'homogénéité des résultats suivants. 15 Vérifier l'homogénéité des résultats suivants. 16

9 SI mksa 17 Vérifier l'homogénéité des résultats suivants. 18

10 Van Der Paw n RESISTIVITE D'UN FILM MINCE PAR LA METHODE DE VAN DER PAUW. n Soit un film conducteur déposé en couche mince d'épaisseur l = 100,0 ± 1,2 nm, sur un substrat isolant (figure 1). La méthode de Van Der Pauw consiste à choisir 4 emplacements (A,B,C,D) sur le film, puis à réaliser deux mesurages différents de la résistance de la couche : R1 = RAC et R2 = RBD. La résistivité r du film se calcule ensuite par la résolution numérique de l'équation non linéaire suivante : e -πλ πλr1/ ρ + e -πλ πλr2/ ρ =1 Le problème consiste à évaluer l'incertitude ρ sur la valeur de ρ obtenue MESURAGE DE R1 n R1 = 0,535 kω est mesurée avec un multimètre numérique de classe 0,5 sous le calibre 2 KΩ. Sous ce calibre, l'incertitude liée à l'affichage numérique est égale à 1 chiffre (ou 1 point). n Calculez l'incertitude absolue R1. n Calculez l'incertitude relative R1/R1. n Présentez R1 ± R1. 20

11 Classe n Classe de précision des appareils de mesure n L'utilisateur d'un appareil de mesure (ampèremètre, voltmètre...) a besoin de savoir quelle confiance il doit accorder à son appareil. Le fabricant va lui indiquer, en guise de garantie, la classe de précision. n Exemple: Un ampèremètre de classe 1 est utilisé sur la calibre 500mA. Il donne une mesure de 240mA. n Classe 1 veut dire que l'incertitude relative sur une mesure égale au calibre (500mA) est de 1 % Soit une incertitude absolue de 500mA x (1/100) = 5 ma Cette incertitude absolue va s'appliquer sur toutes les mesures effectuées sur ce calibre. n La valeur exacte de la mesure est donc: 235mA < intensité < 245 ma n On remarque que les mesures les plus précises sont celles qui sont les plus grandes (les plus proches du calibre) n Les appareils électroniques et en particulier les appareils numériques plus précis que les appareils analogiques. (Classe de précision plus faible). Mais leur affichage peut faire illusion. n Exemple : Pour une mesure de 125,3 ma effectuée sur un appareil numérique de classe 0,5 utilisé sur le calibre 200mA l'incertitude absolue est 0,5 x 200mA = 1 ma L'affichage des 1/10 est illusoire puisque la valeur exacte est comprise entre 154,3mA et 156,3 ma n Il ne faut pas confondre la résolution de l'appareil (0,1 ma) et l'incertitude absolue (1 ma) MESURAGE DE R1 (réponse) n R1 = 0,5 % * 2 KΩ = 10 Ω. n R1 / R1 = 10 / 535 = 1.9 % n R1 = 535 Ω ± 1.9 % n R1 = 535 ± 10 Ω 22

12 MESURAGE DE R2 R2 est obtenue par un mesurage dont les résultats sont rassemblés ci-dessous : 1,817 1,820 1,825 1,810 1,818 Calculez l'incertitude - type sur R2. Calculez R2, R2 et R2/R2. Présentez R2 ± R MESURAGE DE R2 (réponse) n <R2> = 1818 Ω n R2 = 5.5 Ω. n R2 = 1818 Ω ± 0.3 % n R2 = 1818 ± 5.5 Ω 24

13 CALCUL DE ρ n Le calcul numérique de ρ donne n Posons f(r,λ, ρ) = e-(πλr/ρ), f1 =f(r1,λ, ρ), et f2 =f(r2,λ, ρ). n Déterminez la dimension de ρ et proposez une unité habituelle possible. n Calculez les valeurs de f1 et f2. n Etablissez la différentielle logarithmique de f(r,λ,ρ). n En écrivant la différentielle de l'équation de Van Der Pauw 1 = f1 + f2, déduisez-en la différentielle logarithmique de ρ, en fonction de dλ / λ, dr1 et dr2. n déduisez-en l'expression de l'incertitude relative sur ρ. n Calculez les valeurs de chacun des termes de ρ / ρ. Quel terme est le plus important? n Calculez ρ / ρ et ρ. n 18. Présentez ρ ± ρ. 25 CALCUL DE ρ (réponse) n Le calcul numérique de ρ donne n R = ρ L / S Ł ρ s exprime en [Ω.m] on rencontre également [Ω.cm] n f 1 = n f 2 = n (f 1 + f 2 = 1 ouf!!!) n d(ln(f))= d(-πλr/ρ) = - (πλ dr)/ρ - (πr dλ)/ρ + (πλr dρ)/ρ 2 n 1 = f 1 + f 2 Ł 0 = df 1 + df 2 Ł n d(ln f ) = df / f Poser K = πλr/ρ * exp(-πλr/ρ) Ł n Ł dρ/ρ = dλ/λ + K 1 /(K 1 +K 2 ) R 1 /R 1 + K 1 /(K 1 +K 2 ) R 1 /R 1 26