Exercices : Fonction logarithme népérien

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1 Eercices : Fonction logarithme népérien Eercice 19 page 116 : 1. b.. c. 3. b. Eercice 1 page 116 : a) e = ln(e ) = ln() = ln() car ln(e ) =. Donc S = {ln()} e + = 3 e = 1 ln(e ) = ln(1) = 0 car ln(1) = 0. Donc S = {0} Eercice page 116 : a) e 0,03 = 0,5 ln(e 0,03 ) = ln(0,5) 0,03 = ln(0,5) = ln(0,5) { 0,03 Donc S = ln(0,5) }. 0,03 (e 1)(3e 4) = 0 e 1 = 0 ou 3e 4 = 0 Donc S = { ( )} 4 0;ln 3 e = 1 ou e = 4 3 ln(e ) = ln(1) ou ln(e ) = ln ( ) 4 = 0 ou = ln 3 ( ) 4 3 Eercice 9 page 116 : 1. a) ln(5e) = ln(5)+ln(e) = ln(5 )+1 = ln(5)+1 ln(e )+4ln(1) = +4 0 = c) ln(e 1 )+ln(e 3 ) = 1+3 =. a) ln() ln(5)+3ln() = 4ln() ln(5) = ln( 4 ) ln(5 ) = ln ( ) 16 5 ln(e 3 ) ln(1)+4ln(5e) = 3 0+4(ln(5)+ln(e)) = 3+ln(5 4 )+4 = 7+ln(65) c) ln(+3) 3ln(5)+4ln(3) = ln(5) 3ln(5)+4ln(3) = ln(5)+4ln(3) = ln(5 )+ln(3 4 ) = ln ( ) 81 5 TES-TL Page 1 Eercices : Logarithme népérien

2 Eercice 31 page 116 : ( ) 10 A = ln(10) 3ln(5)+ln() = ln(10 ) ln(5 3 )+ln() = ln = ln B = 7ln(4) 3ln() 4ln(8) = 7ln(4) 3ln() 4ln(4) 4ln() ( ) 1 = 3ln(4) 7ln() = 6ln() 7ln() = ln() = ln ( ) 1 C = ln 4ln()+ln(16) = ln() 4ln()+4ln() = ln() = ln D = 1+3ln() = ln(e)+ln(8) = ln(8e) Eercice 3 page 116 : 5 3 ( ) 1 ( ) = ln( ) = ln() ln( )+ln( ) = ln() ln( ) = ln() ln( ) = 1 ln(). E = 3ln( ) ln( 8) = 3 ln() 1 ln(8) = 3 ln() 3 ln() = 0 F = ln( e) 3ln(e 4 ) = 1 ln(e) 1ln(e) = 3 Eercice 48 page 119 : a) f est dérivable sur ]0;+ [ et pour tout > 0, f () = = g est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v +3. Donc on aura pour tout > 0, g () = u ()v()+u()v () avec : u() = u () = 1 v() = ln() v () = 1 Donc g () = ln()+ 1 = ln()+1 Eercice 49 page 119 : a) f est dérivable sur ]0;+ [ et pour tout > 0, f () = 6 4 = 6 4 g est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v. Donc on aura pour tout > 0, g () = u ()v()+u()v () avec : u() = ln()+1 u () = 1 v() = ln() v () = 1 Donc g () = 1 (ln() )+(ln()+1) 1 = ln() 1 TES-TL Page Eercices : Logarithme népérien

3 Eercice 50 page 119 : a) On remarque que f(t) = ln(t) ln(t) 3ln(t)+1. Donc f est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v w + 1. Donc on aura pour tout t > 0, f (t) = u (t)v(t)+u(t)v (t) w (t) avec : u(t) = ln(t) u (t) = 1 t v(t) = ln(t) w(t) = 3ln(t) v (t) = 1 t w (t) = 3 t Donc f (t) = 1 t ln(t)+ln(t)1 t 3 t = ln(t) 3. t g est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v. Donc on aura pour tout > 0, g () = u ()v()+u()v () avec : u() = v() = ln() u () = v () = 1 Donc g () = ln()+ 1 = (ln()+1) Eercice 51 page 119 : a) f est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u. Donc on aura pour tout q > 0, v f (q) = u (q)v(q) u(q)v (q) avec : v (q) u(q) = ln(q)+1 u (q) = 1 q Donc f (q) = 1 q (ln(q)+1) 1 q = ln(q). q q v(q) = q v (q) = 1 g est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u. Donc on aura pour tout > 0, v g () = u ()v() u()v () avec : v() u() = 5(ln()+) u () = 5 Donc g () = 5 5(ln()+) 1 v() = v () = 1 = 5ln() 5 = 5(ln()+1) TES-TL Page 3 Eercices : Logarithme népérien

4 Eercice 5 page 119 : a) f est dérivable sur ]0;+ [ et pour tout > 0, f () = 1 4 = 4 g est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v. Donc on aura pour tout > 0, g () = u ()v()+u()v () avec : u() = 1 u () = v() = ln()+1 v () = 1 Donc g () = (ln()+1)+( 1) 1 = ln()+4 1 Eercice 53 page 119 : a) f () = ln() g () = 1 4ln() Eercice 3 page 116 : a) ln()+1 = 0 ln() = 1 e ln() = e 1 = e 1 Donc S = {e 1 } ln() = e ln() = e = e Donc S = {e } Eercice 4 page 116 : a) ln() 1 = 0 ln() = 1 ln() = 1 eln() = e 1/ = e 1/ Donc S = {e 1/ } Donc S = {,1} (+)ln() = 0 + = 0 ou ln() = 0 = ou e ln() = e 0 = ou = 1 Eercice 5 page 116 : a) ln() = ln(3) e ln() = e ln(3) = e ln(3) = 9 Donc S = {9} ln( ++1) = 0 e ln( ++1) = e = 1 + = 0 (+1) = 0 = 0 ou = 1 Donc S = {0; 1} TES-TL Page 4 Eercices : Logarithme népérien

5 Eercice 70 page 1 : a) 10 = ln( 10 ) = ln() 10ln() = ln() ln() = ln() 10 eln() = e ln()/10 = e ln()/10 Donc S = {e ln()/10 }. (1+) 4 = 1,5 ln((1+) 4 ) = ln(1,5) 4ln(1+) = ln(1,5) ln(1+) = ln(1,5) 4 e ln(1+) = e ln(1,5)/4 1+ = e ln(1,5)/4 = e ln(1,5)/4 1 c) d) Donc S = {e ln(1,5)/4 1}. Donc S = {e ln(0,5)/3 } 3 = 0,5 ln( 3 ) = ln(0,5) 3ln() = ln(0,5) ln() = ln(0,5) 3 e ln() = e ln(0,5)/3 = e ln(0,5)/3 (1 ) 7 = 0,4 ln((1 ) 7 ) = ln(0,4) 7ln(1 ) = ln(0,4) Donc S = {1 e ln(0,4)/7 }. ln(1 ) = ln(0,4) 7 e ln(1 ) = e ln(0,4)/7 1 = e ln(0,4)/7 = 1 e ln(0,4)/7 Eercice 45 page 119 : a) ln()+ 0 ln() e ln() e e Donc S = [e ;+ [. ln() 1 < 0 ln() < 1 e ln() < e 1 < e car la fonction eponentielle est croissante car la fonction eponentielle est croissante Or on travail sur l intervalle ]0;+ [ car la fonction ln n est pas définie sur ] ;0]. Donc S =]0;e[. Eercice 46 page 119 : a) ln()+1 0 ln() 1 e ln() e 1/ e 1/ car la fonction eponentielle est croissante Donc S =]0;e 1/ ]. TES-TL Page 5 Eercices : Logarithme népérien

6 ln()+1 0 ln() 1 e ln() e 1/ e 1/ car la fonction eponentielle est croissante Donc S = [e 1/ ;+ [. Eercice 47 a. page 119 : ln()+4 0 ln() 4 e ln() e 4 e 4 car la fonction eponentielle est croissante Donc S = [e 4 ;+ [. Eercice 76 page 13 : a) Donc S = Donc S = 3 1, , [ [ ln(4 000) ln(1,5) ;+. ln((1,5) ) ln(4 000) ln(1,5) ln(4 000) ln(4 000) ln(1, 5) 1 0,5 0,999 0,5 0,001 [ [ ln(0,001) ln(0,5) ;+. 0,5 0,001 ln((0,5) ) ln(0,001) ln(0,5) ln(0,001) ln(0,001) ln(0, 5) car ln(1,5) > 0 car ln(0,5) < 0 car la fonction ln est croissante car la fonction ln est croissante Eercice 77 page 13 : a) 0,8 n 0,0001 ln((0,8) n ) ln(0,0001) car la fonction ln est croissante nln(0,8) ln(0,0001) n ln(0,0001) ln(0, 8) car ln(0,8) < 0 Or ln(0,0001) ln(0, 8) 41,3 donc le plus petit entier n vérifiant l inéquation donnée est n = 4. TES-TL Page 6 Eercices : Logarithme népérien

7 c) d) Or ln(500) ln(1,1) Or ln(0,001) ln(0, 4) Or ln(0 000) ln() 10 1,1 n ,1 n 500 ln((1,1) n ) ln(500) nln(1,1) ln(500) n ln(500) ln(1, 1) car ln(1,1) > 0 car la fonction ln est croissante 65, donc le plus petit entier n vérifiant l inéquation donnée est n = ,4 n 0,999 0,4 n 0,001 0,4 n 0,001 ln((0,4) n ) ln(0,001) nln(0,4) ln(0,001) n ln(0,001) ln(0, 4) car ln(0,4) < 0 car la fonction ln est croissante 7,5 donc le plus petit entier n vérifiant l inéquation donnée est n = n 10 6 n ln( n ) ln(0 000) nln() ln(0 000) n ln(0 000) ln() car la fonction ln est croissante car ln() > 0 14,3 donc le plus petit entier n vérifiant l inéquation donnée est n = 15. Eercice 6 page 116 : a) On commence par résoudre : 3e 4 = 0 e = 4 3 ln(e ) = ln ( ) 4 = ln 3 ( ) 4 0,8 3 3e 4 1 ln(4/3) 3 On commence par résoudre deu équations séparées : 1 = 0 = 1 e 4 = 0 e = 4 ln(e ) = ln(4) = ln(4) 1,4 1 e 4 f() 0 1 ln(4) TES-TL Page 7 Eercices : Logarithme népérien

8 Eercice 7 page 116 : a) On commence par résoudre deu équations séparées : 1 e = 0 e = 1 e = 1 ln(e ) = ln(1/) = ln() 0,7 e = 0 e = ln(e ) = ln() = ln() 0,7 1 e e f() ln() ln() Suivant le conseil du livre on a : f() = e e 5e = e (e 5) On sait que e > 0 pour tout donc pas de résolution d équation à faire pour cette partie là. On résout : e 5 = 0 e = 5 ln(e ) = ln(5) = ln(5) 1,6 e e 5 f() 0 ln(5) + + Eercice 47 b. page 119 : Utilisons le tableau de signe de la fonction f() = ln()( ln()) pour résoudre cette inéquation. On commence par résoudre deu équations séparées : ln() = 0 = 1 ln() = 0 ln() = = e 7,3 ln() ln() f() 0 1 e Ainsi les solutions de l inéquation sont S = [1;e ]. TES-TL Page 8 Eercices : Logarithme népérien

9 Eercice 54 page 119 : f est dérivable sur [1;9] et f () = 1 = 1. Pour avoir le signe de f () on résout : 1 = 0 = 1 1 f () f() ln(9) Eercice 55 page 119 : f est dérivable sur [1;5] et f () = 1 =. Pour avoir le signe de f () on résout : = 0 = f () f() ln()+1 ln(5)+ 5 Eercice 57 page 119 : f est dérivable sur w () avec : [ ] ;10 et est de la forme u v w. Donc on aura f () = u ()v()+u()v () u() = u () = 1 v() = ln() v () = 1 Donc f () = ln()+ 1 1 = ln(). w() = w () = 1 TES-TL Page 9 Eercices : Logarithme népérien

10 Le signe de f () est donc celui de ln(). Ainsi on a le tableau suivant : f () f() 0, , ln(10) 10 Eercice 58 page 119 : f est dérivable sur [ ] ;10 et est de la forme u v. Donc on aura f () = u ()v()+u()v () avec : u() = u () = v() = ln() v () = 1 Donc f () = ln()+ 1 = ln()+. Pour avoir le signe de f () on résout : ln()+ = 0 ln() = 1 = e 1 0,36 f () f() 1/e e 1 e 0,63 e 1 4e Eercice 6 page 10 : 1. Graphiquement on peut dire que la fonction est convee car la courbe semble toujours être au dessus de ses tangentes.. a) f est dérivable sur [1;9] et on a : f () = 4 = 4 Pour trouver le signe de f () on a besoin de résoudre : 4 = 0 =. On peut alors donner le tableau suivant : 4 f () TES-TL Page 10 Eercices : Logarithme népérien

11 Grâce à la question précédente on peut donc donner le tableau de variation de f : f () f() ln() 18 4ln(9) 3. a) On a vu que f () = 4. f est donc dérivable sur [1;9] et on a : f () = 4 On remarque donc que pour tout [1;9], f () > 0 et donc f est convee sur [1;9]. 4. a) On sait que l équation de T est donnée par ( y = f (e)( e)+f(e) = 4 ) ( ( e)+e 4 = 4 ) e e On a démontré que la fonction f est convee sur [1;9] donc cela signifie que la courbe est au dessus de toutes ses tangentes et en particulier C est au dessus de T. Eercice 64 page 11 : 1. f est dérivable sur I et est de la forme u v. Donc on aura f () = u ()v()+u()v () avec u() = u () = v() = ln() v () = 1 Donc f () = ln()+ 1 = ln()+ = (ln()+1).. a) ln() ln() 1 ln() 1 e 1/, car la fonction eponentielle est croissante sur R. ln()+1 f () 3. a) f(1/e) = f(e 1 ) = (e 1 ) ln(e 1 ) = e f(1/ e) = f(e 1/ ) = (e 1/ ) ln(e 1/ ) = e 1 f(e) = e ln(e) = e f () e 1 e 1/ e + + e 1 e 1/ e f() e e 1 e TES-TL Page 11 Eercices : Logarithme népérien

12 Eercice 95 page 19 : 1. a) g est dérivable sur ]0;+ [ et on a : g () = 1 + e = +e On remarque que pour tout > 0, + e > 0 et > 0 donc g () > 0. Ainsi la fonction g est strictement croissante sur ]0; + [. g(e) = ln(e) e = 1 1 = 0. e Comme g est strictement croissante sur ]0;+ et que g s annule en e on peut dire que pour < e, g() < 0 et pour > e, g() > 0. On a donc le tableau suivant : f() 0 e +. a) f est dérivable sur ]0;+ [ et est de la forme u v. Donc on aura, f () = u ()v()+u()v () avec : u() = e u () = 1 v() = ln() 1 v () = 1 Donc pour tout appartenant à ]0;+ [, On a bien f () = g(). f () = ln() 1+( e) 1 = ln() 1+1 e = ln() e = g() Dans la question 1 nous avons donné le signe de g donc nous pouvons donner le signe de f et ainsi les variations de f : f () f() 0 e f() = 0 e = 0 ou ln() 1 = 0 = e ou = e. L unique solution de f() = 0 est = e. Interprétation????? TES-TL Page 1 Eercices : Logarithme népérien

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