La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel x, on associe le réel y strictement positif tel que :

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1 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS De la continuité de la fonction ln et par application du théorème de la valeur intermédiaire, on en déduit que pour tout réel b l équation ln()=b admet une solution unique a dans l intervalle];+ [ b j a a i b Soit pour tout réel, il eiste un unique réel > tel que =ln() Cette propriété, permet de définir une nouvelle fonction «réciproque» de la fonction logarithme népérien. DÉFINITION La fonction eponentielle, notée ep, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel, on associe le réel strictement positif tel que : =ep() =ln() NOTATION Pour tout entier relatif n, ln(e n )=n. Ainsi, pour tout entier relatif n, ep(n)=e n. On convient d étendre cette écriture à tout réel. C est à dire que pour tout réel, on écrit ep()=e. e se lit donc «eponentielle de». PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Les propriétés suivantes se déduisent de la définition : Pour tout réel, e >. Pour tout réel et pour tout réel >, =e =ln(). Pour tout réel, ln(e )=. Pour tout réel >, e ln() =. EXEMPLES ln()= e = ; e = 3 =ln3 ; L équation e = n a pas de solution. II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE D UNE SOMME Pour tout réel a et pour tout réel b Démonstration e a+b = e a e b Pour tout réel a et pour tout réel b, e a+b, e a et e b sont des réels strictement positifs. Nous avons, d une part, ln ( e a+b) = a+b. D autre part, ln ( e a e b) = ln(e a )+ln ( e b) = a+b Donc ln ( e a+b) = ln ( e a e b) e a+b = e a e b A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

2 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES AUTRES PROPRIÉTÉS. Pour tout réel a, e a = e a. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, e na =(e a ) n Démonstrations. Pour tout réel a, e a e a = e = donc e a = e a. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = e a e b = e a e b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, ln(e na )=na et ln(e a ) n = nln(e a )=na Donc ln(e na )=ln(e a ) n e na =(e a ) n EXEMPLES e +ln3 = e e ln3 = 3e ; e = e ( ) = e ; e + e = e + = e + ; e e = ( e +) III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION DÉRIVÉE La fonction eponentielle est dérivable surret ep ()=ep() Preuve : On admet que la fonction eponentielle est dérivable surr. e étant strictement positif, la fonction composée définie surrpar f()=ln(ep()) est dérivable et pour tout réel, f ()= ep () ep(). Or f()=ln(e )=, donc f ()=. Ainsi, pour tout réel, ep () ep() = donc ep ()=ep()=e. VARIATION La fonction eponentielle est strictement croissante surr Démonstration La fonction eponentielle est dérivable surret est égale à sa dérivée. Or pour tout réel, e >. On en déduit que la fonction eponentielle est strictement croissante surr. CONSÉQUENCES Pour tout réel et pour tout réel, e = e = et e < e < A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

3 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES LIMITES Démonstrations + e =+ et e =. Soit f la fonction définie surrpar f()=e. La fonction f est dérivable surr, et pour tout réel, f ()=e. Or la fonction eponentielle est strictement croissante surret e =. Donc si, alors e. On en déduit le signe de f ainsi que le tableau des variations de la fonction f + f () + f() Le minimum de la fonction f est égal à. Donc pour tout réel, f() >. C est à dire pour tout réel, e > e >. Or =+ donc d après les théorèmes de comparaison, + + e =+. La ite de la fonction eponentielle en se déduit de sa ite en+ Si tend vers +, alors tend vers. Par conséquent Or + e =+ donc + e = + e = =. Soit e e = + e 3 COURBE REPRÉSENTATIVE e = donc l ae des abscisses est asmptote à la courbe représentative de la fonction eponentielle en. e = et la tangente à la courbe représentative de la fonction eponentielle au point d abscisse a pour équation =+. La tangente à la courbe représentative de la fonction eponentielle au point d abscisse a pour équation =e. La fonction eponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont smétriques par rapport à la droite D d équation =. =e e =ln j i e A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 3

4 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 4 CROISSANCES COMPARÉES Pour tout entier naturel n non nul, Démonstrations e =+ et + e = +. Pour tout réel strictement positif, e = e ( ln() Or = donc + ln() + Ainsi, + + e =+. ( ln() ) =+ et e =+ et n n e =. ( e ln() = e ln() = e ) =+ ln() X + ex =+, donc par composition, e. Comme =+, on en déduit par passage à l inverse que + donc e =. 3. Soit n un entier naturel non nul quelconque. Pour tout réel, e = ( ) e n n ( Donc pour tout réel non nul, e ) n e n = n + En outre =+ et n e X X + X ( n n ) + ) n = ( ) n e n n n ( ) n = n n n =+, donc par composition, X n =+ donc par composition, X + e + e n n e n + n n + e ( ln() ) =+. Soit =. C est à dire e + e = e n n =+ n = + d où, + n n e n n n =+. C est à dire + n =+. Ce résultat est vrai pour un entier naturel n non nul quelconque, ce qui signifie qu il est vrai pour tout entier naturel n non nul. REMARQUE : On peut résumer cette propriété à l aide de la règle opératoire : En+, l eponentielle de l emporte sur toutes les puissances de =e = 3 5 = A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 3

5 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES IV EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : ep(u) On considère une fonction u définie sur un intervalle I. f = ep u est la composée de la fonction u suivie de la fonction eponentielle notée également f = e u. VARIATION Les fonctions u et e u ont les mêmes variations sur l intervalle I. Démonstration La fonction eponentielle est strictement croissante surr, par composée : si la fonction u est croissante sur I, alors la fonction e u est croissante sur I ; si la fonction u est décroissante sur I, alors la fonction e u est décroissante sur I. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervallerpar f()=e. f est la composée de la fonction affine u définie surrpar u()= suivie de la fonction ep. Or la fonction u est décroissante surrdonc la fonction f est décroissante surr. LIMITES Pour étudier une ite d une fonction e u, on utilise le théorème sur la ite d une fonction composée. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle];+ [ par f()=e.. = + d où + + e =. =+ et + = et comme X + ex =+ donc par composition des ites X ex = donc par composition des ites + e =+ 3 DÉRIVÉE Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = e u u. Démonstration La fonction u est dérivable sur I et la fonction ep est dérivable surr, on peut appliquer le théorème de dérivation d une fonction composée. Pour tout réel de l intervalle I (ep u) ()=ep [u()]u ()=ep[u()]u ()=e u() u () EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervallerpar f()=e. La fonction u définie surrpar u()= est dérivable surret u ()=. f est dérivable surret pour tout réel, f ()=e PRIMITIVES Soit u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par f()=u ()e u() admet des primitives sur I. L ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions F définies par F()=e u() + k. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 3

6 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES V EXPONENTIELLE DE BASE a a est un réel strictement positif et b un réel quelconque alors, e blna eiste et e blna = ( e lna) b = a b DÉFINITION Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction eponentielle de base a la fonction f définie surrpar : f()=a = e lna PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES Les règles de calcul sur les puissances s appliquent à la fonction eponentielle de base a. Pour tous réels a et b strictements positifs et pour tous réels et, on a : a + = a a ; a = a ; a = a a ; (a ) = a ; a b =(ab) Toutes ces propriétés se démontrent en revenant à la définition a = e lna. Par eemple : a + = e (+)lna = e lna+lna = e lna e lna = a a 3 DÉRIVÉE Soit a un réel strictement positif. La fonction eponentielle de base a est dérivable surret a pour dérivée la fonction : lnaa Démonstration Soit a un réel strictement positif. f est la fonction définie pour tout réel par f()=a = e lna. D où f = e u avec pour tout réel, u()=lna et u ()=lna. La fonction f est dérivable et f ()=lnae lna = lnaa 4 SENS DE VARIATION Soit a un réel strictement positif. Si <a<, alors la fonction f : a est strictement décroissante surr. Si a=, alors la fonction f : a est constante et égale à surr. Si a>, alors la fonction f : a est strictement croissante surr. Démonstration Soit a un réel strictement positif. La fonction f définie pour tout réel par f()=a est dérivable et f ()=lnaa. Pour tout réel, a >, donc f () est du même signe que lna : Si <a<, alors lna< d où f ()< et f est strictement décroissante surr. Si a=, alors lna= d où f ()= et f est constanter. Si a>, alors lna> d où f ()> et f est strictement croissante surr. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 3

7 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 5 LIMITES Soit a un réel strictement positif. Si <a<, alors a =+ et Si a>, alors a = et Démonstration + a =. + a =+. Soit a un réel strictement positif. Pour tout réel, a = e lna. Si <a<, alors lna< d où : lna=+ et X + ex =+ donc par composition, elna =+. lna= et + X ex = donc par composition, + elna =. Si a>, alors lna> d où : lna= et X ex = donc par composition, elna =. lna=+ et + X + ex =+ donc par composition, + elna =+. On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives des fonctions a dans un repère orthonormé pour a=,5 =,7 =,5 = =,3 = 6 RACINES n-ième D UN RÉEL STRICTEMENT POSITIF Soit n un entier naturel non nul. Pour tout réel strictement positif, n = n. La moenne géométrique de n nombres strictement positifs,,, n est le nombre( n ) n. EXEMPLES. À la fin du quatrième trimestre, la dette publique de la France s établit à 77,3 MdC. À la fin du quatrième trimestre 7, la dette publique était de,6 MdC. Calculons le tau annuel moen d évolution du montant de la dette : Soit = + t le coefficient multiplicateur associé au tau annuel moen d évolution du montant de la dette. est solution de l équation : ( ) 77,3,6 4 4 = 77,3 =,6 Soit,9. Entre 7 et le montant de la dette a augmenté en moenne de 9,% par an.. Les pourcentages d évolution annuels du montant de la dette sont données dans le tableau ci-dessous. Année tau en % 3, 6,9, 7,4 6,3,4 5, Calculons le tau annuel moen d évolution du montant de la dette : (,3,69,,74,63,4,5) 7,56 Entre et 7 le montant de la dette a augmenté en moenne de 5,6% par an. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 3

8 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE Simplifier les écritures suivantes : A=(e ) e ; B=ln( e + e ) ; C=(e + e ) (e e ) ; D=e ( e ) ; E = e+ e ; F = EXERCICE ( e + ) Résoudre dansrles équations et inéquations suivantes : e ; G= e+ln e ; H = e+ln8 e ln.. e + e =. e 3 = e 3. ln(e )+e ln = 4. ln ( e +) ( = e e ln( +) ln e ) = 6. e + e 3 4 = 7. e + 3e = 8. e + 3=e 9. e e <. e e. e e. e e EXERCICE 3 On cherche à déterminer. Déterminer f (). + e. Pour cela, on considère la fonction f définie surrpar f()=e.. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum. 3. Justifier que pour tout réel on a : e >. En déduire la ite de la fonction eponentielle en +. EXERCICE 4 (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre ) Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d un certain produit, avec appartenant à l intervalle ]; 6]. Le coût moen de fabrication, eprimé en milliers d euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par C(), où C est la fonction définie par :. À l aide de la calculatrice : C()=,e +. a) conjecturer en terme de variations l évolution du coût moen de fabrication sur l intervalle];6] ; b) estimer le minimum du coût moen de fabrication et la production mensuelle correspondante ; c) dire s il est possible d atteindre un coût moen de fabrication de 4 euros. On précisera la méthode utilisée.. On désigne par C la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l intervalle]; 6] : C ()=,e,e. 3. On considère la fonction f définie sur l intervalle];6] par : f()=,e,e. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. a) Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l intervalle];6] f ()=,e. b) Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l intervalle];6]. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 3

9 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES c) Justifier que l équation f()= admet une seule solution α appartenant à l intervalle[4;5]. Donner la valeur arrondie au diième du nombre réel α. d) Déduire des résultats précédents le signe de f() sur l intervalle];6]. 4. À l aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit. EXERCICE 5 PARTIE A. Étudier le signe du polnôme P(X)= 8X + X+ où X est un réel.. Soit g la fonction définie surrpar : g()= 8e + e + a) Montrer que pour tout réel, g()= 8e + e + e b) Résoudre dansrl équation : 8e + e + =, en déduire les solutions de l équation g()=. c) Étudier le signe de la fonction g surr. PARTIE B Soit f la fonction définie surrpar : f ()= 8 e e +. Sa courbe représentative C f est donnée ci-dessous. B A C f. Calculer les coordonnées des points A et B intersection de la courbe C f avec les aes du repère.. Étudier les ites de la fonction f en et en+. Préciser les asmptotes éventuelles à la courbe C f. 3. Calculer f (), où f est la dérivée de f. 4. Étudier les variations de f surr. (Aide : f ()= g() (e + ) ) 5. Donner les équations des tangentes à la courbe C f au points d abscisses 3ln et. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 9 sur 3

10 Lcée Camille SEE avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 6 (D après sujet bac Polnésie Septembre ) ( ) Le plan est muni d un repère orthonormal O; i, j d unité graphique cm. On s intéresse dans cet eercice à la fonction f définie ( sur ) l ensemble des réelsrpar f()= +e. On note C sa courbe représentative dans le repère O; i, j.. a) Déterminer la ite de la fonction f en +. b) Déterminer la ite de la fonction f en. Interpréter graphiquement cette ite. (On rappelle le résultat : e = ). On admet que la fonction f est dérivable surret on note f sa fonction dérivée. a) Montrer que, pour tout nombre réel on a f ()=(+)e. Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l etremum sera arrondie à ). 3. Justifier que l équation f()= admet une unique solution α dans l intervalle[ ; ]. Donner un encadrement de α d amplitude. 4. Démontrer qu une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse est =. ( ) 5. Dans le repère O; i, j tracer la droite T et la courbe C. Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T? 6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Justifier la conjecture émise à la question 5. EXERCICE 7 (D après sujet bac Antilles Septembre 9) On considère une fonction f définie sur l intervalle [ ; 3] par f()=ae + b+c où a, b et c sont des réels fiés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous : 3 B D A C - -3 On dispose des renseignements suivants : C passe par A( ; ). B est le point de coordonnées ( ; 3) ; la droite(ab) est tangente à C au point A. C admet une tangente horizontale au point D d abscisse ln3.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant f ou f. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

11 Lcée Camille SEE avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES. En résolvant un sstème, déterminer a, b et c. 3. On admet à partir de maintenant que f()= e a) Étudier les variations de f sur l intervalle[ ; 3]. b) Montrer que f s annule eactement une fois sur[ ; ln3] en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α. c) Pour la suite, on admet que f s annule eactement une fois sur[ln3 ; 3] en un réel β. Déterminer le signe de f sur l intervalle[ ; 3]. 4. a) Déterminer une primitive de f sur l intervalle[ ; 3]. b) On considère la surface S déitée par l ae des ordonnées, l ae des abscisses, la courbe C et la droite d équation = ln 3. Hachurer S sur la figure en annee. c) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur eacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 8 PARTIE A La courbe(c) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d une fonction f définie surr. On désigne par f la fonction dérivée de f surr A Au point A(;), la courbe(c) admet une tangente parallèle à l ae des abscisses. En déduire f() et f ().. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. Courbe Courbe Courbe 3 Courbe 4 PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie surrpar : f()=+e. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

12 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES. a) Vérifier que pour tout réel, f()= e + et déterminer la ite de la fonction f en. e b) Montrer que la courbe(c) admet pour asmptote la droite d équation = en +.. a) Calculer f (). b) Étudier le signe de f () surrpuis dresser le tableau de variation complet de f. 3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F()=. On note(γ) sa courbe représentative. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d abscisse. b) Calculer F(). 4. On considère la surface S déitée par l ae des abscisses, la courbe(c) et les droites d équation = et =3. a) Hachurer S sur la figure en annee. b) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur eacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 9 (D après sujet bac Liban ) On considère les fonctions f,g et h définies surrpar f()=e, g()= + et h()= f() g(). On note C f la courbe représentative de la fonction f et la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan. PARTIE A : Position relative de C f et de l une de ses tangentes.. Vérifier, par le calcul, que la tangente à C f au point d abscisse est la droite.. a) Montrer que pour tout R, h ()= e. b) Étudier le signe de h () suivant les valeurs de. c) En déduire le sens de variation de la fonction h surr. 3. En utilisant les questions. et., étudier la position relative de la courbe C f et de sa tangente au point d abscisse. PARTIE B : Calcul d aire. Montrer que h()d= e.. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l évaluation. Soit a un nombre réel vérifiant a>. On appelle D le domaine colorié sur le graphique en annee. On note A l aire, eprimée en unité d aire, du domaine D. a) Déterminer en fonction de a la valeur de A. b) Déterminer la ite de A lorsque a tend vers+. C f,4,,,8,6,4, ANNEXE -,5,5,,5,,5 a 3, 3,5 -, A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

13 Lcée Camille SEE avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE (D après sujet bac Pondichér ) La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable surr. On note f la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe C f au point A(;3) passe par le point B(;5). La droite D d équation = est asmptote horizontale à la courbe C f au voisinage de+. 5 B 4 3 A C f D En utilisant les données et le graphique, préciser : a) La valeur du réel f() et la valeur du réel f (). b) La ite de la fonction f en+. -. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point A. 3. Préciser un encadrement par deu entiers consécutifs de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. 4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel, par une epression de la forme f()=+ a+b, où a et b sont des nombres réels. e a) Déterminer l epression de f () en fonction de a, de b et de. b) À l aide des résultats de la question. a., démontrer que l on a, pour tout réel : f()=+ 4+ e. 5. Soit F la fonction définie et dérivable surrpar F()= On admet que F est une primitive de f surr. Déterminer la valeur eacte puis une valeur approchée à près de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. Ce résultat est-il cohérent avec l encadrement obtenu à la question 3.? e EXERCICE (D après sujet bac Centres étrangers 9) A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 3

14 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES On considère la fonction f définie surrpar f()= 5e e + On désigne par f la fonction dérivée de f et par F la primitive de f surrqui vérifie F()=. Dans le repère orthonormal ( d unité cm de l annee, la courbe C f tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point A ; 5 ). PREMIÈRE PARTIE. La courbe C f admet pour asmptotes en la droite d équation = et en+ la droite d équation =5. En déduire f() et f(). +. Démontrer que, pour tout nombre réel, f ()= 5e (e + ). 3. Etudier le signe de f () suivant les valeurs de et en déduire le sens de variation de f surr. 4. En utilisant le résultat de la question., déterminer une équation de la droite D. DEUXIÈME PARTIE. Pour tout réel, eprimer F() en fonction de. ( ) e+. Vérifier que F()=5ln. 3. Sur l annee, le domaine grisé est déité par la courbe C f, les aes de coordonnées et la droite d équation =. Calculer l aire, en unités d aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au diième. ANNEXE C f D - A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 3

15 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE (D après sujet bac Antilles Guanne ) PARTIE A : étude d une fonction 8 Soit f la fonction dérivable définie sur l intervalle [ ; + [ par f()= +4e,3 Dans un repère orthogonal, on note C f la courbe représentative de la fonction f et D la droite d équation =7. On admet que la courbe C f et la droite D se coupent en un seul point d abscisse et on donne 9,. 8 D C f Calculer f() et la valeur arrondie au centième de f().. Démontrer que la fonction f est croissante sur l intervalle[ ; + [. 3. a) Calculer la ite de f en +. En déduire que la courbe C f admet une asmptote horizontale au voisinage de+ et en donner une équation. b) Montrer que pour tout appartenant à [ ; + [, on a f() < 8. En déduire la position relative de la courbe C f par rapport à la droite d équation =8 sur l intervalle[ ; + [. 4. À l aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de, le signe de 7 f() pour appartenant à l intervalle[ ; + [. PARTIE B : interprétation économique Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On utilisera les résultats de la partie A. Une entreprise peut produire chaque jour au maimum thermomètres de bain pour bébé. On note le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, appartenant à l intervalle [ ; ]. On suppose que le coût total de production par jour, eprimé en centaines d euros, est égal à f(), où f est la fonction définie dans la partie A.. Déterminer le montant des «coûts fies», c est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.. Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 8 Cpar jour? Justifier. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 3

16 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 3. Le pri de vente d un thermomètre est fié à 7 C. La recette journalière, eprimée en centaines d euros, est donc donnée par R()=7. Pour quelles productions journalières de thermomètres l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? Justifier. EXERCICE 3 (D après sujet bac Asie 8) On considère la fonction u définie sur l intervalle] ; + [ par u()=. Calculer les ites de u en et en+.. Étudier les variations de u. On considère la fonction f définie sur l intervalle] ;+ [ par f()=e u(). 3. Calculer les ites de f en et en+. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire? 4. Établir, en justifiant, le tableau de variations de f. 5. Résoudre algébriquement l équation f() =. 6. L équation f() = admet-elle une solution? Pourquoi? EXERCICE 4 On considère la fonction f définie surrpar f() = e +. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d origine O. (Unités : cm sur l ae des abscisses et,5 cm sur l ae des ordonnées). La partie hachurée ci-dessous est itée par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et les droites d équation = et = C f Montrer que la droite d équation = est asmptote à la courbe C f en+.. a) Calculer f (). b) Résoudre dansrl inéquation e >. c) Établir le tableau des variations de la fonction f. En déduire le signe de f. 3. Calculer, en cm, l aire A de la partie hachurée. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 3

17 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 5 La courbe C ci-dessous, appelée courbe de concentration de Lorenz, rend compte de la concentration du revenu des ménages. Cette courbe représente la fonction f définie sur l intervalle[;] par f()=e. Ainsi, f() est le pourcentage du revenu perçue par le pourcentage des ménages aant les plus bas revenus. La droite(oa) a pour équation =. Part cumulée du revenu, A,8,6,4 A, O,,4,6,8, Part cumulée des ménages B. Calculer f(,5) et f(,95). Interpréter les résultats.. On appelle γ l indice de Gini égal au quotient de l aire A du domaine compris entre la courbe C et la droite (OA) par l aire du triangle OAB. a) Montrer que γ = f()d. b) Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle [;] par F() = ( )e est une primitive de la fonction f. c) Calculer l arrondi au millième près de l indice de Gini γ. EXERCICE 6 On désigne par f la fonction définie surrpar f() = e,5. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal.. Étudier le signe de f.. a) Calculer la ite de la fonction f en. b) Vérifier que, pour tout nombre réel, f()=( X)e X avec X =,5. En déduire la ite de la fonction f en+. Interpréter graphiquement ce résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 3

18 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 3. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Démontrer que pour tout nombre réel, f ()=(,5)e,5 b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction f. 4. On admet qu il eiste deu réels a et b tels que, pour tout réel, la fonction F définie surrpar F()=(a+b)e,5 est une primitive de la fonction f surr. a) Déterminer les valeurs eactes des réels a et b. b) Déterminer la valeur, en unités d aire, de l aire de la partie du plan déitée par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. EXERCICE 7 Les fonctions d offre et de demande d un produit sont définies sur[;] par : fonction d offre f()=e 4 ; fonction demande g()=e 6. Où est la quantité en milliers d articles et f() et g() sont des pri unitaires en euros.. Étudier les variations des fonctions f et g.. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données ci-dessous. Au point E d équilibre du marché, le pri p en euro demandé par les consommateurs est égal au pri d offre des producteurs et la quantité échangée sur le marché en milliers d articles est égale à q. pri 7 offre p E S p q demande quantité Calculer la quantité d équilibre q en nombre d articles et le pri d équilibre p arrondi au centime d euro près. 4. On considère les nombres I = q 5. On admet que la quantité d équilibre q est de 6 milliers d articles. g()d et J = p q. Donner une interprétation graphique de I J. a) Eprimé en milliers d euros, le surplus des consommateurs, est donné par S d = le surplus des consommateurs arrondi à l euro près. 6 g()d 6e. Déterminer b) L aire S p du domaine hachuré représente en milliers d euros, le surplus des producteurs. Déterminer le surplus des producteurs arrondi à l euro près. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 3

19 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 8 Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires (CA), en millions d euros, sur la période -8 d une entreprise. Année Rang i du l année CA i Le nuage de points M i ( i ; i ) associé à cette série statistique est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal a) Déterminer une équation de la droite D d ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés. Tracer la droite D dans le repère précédent b) À l aide de cet ajustement, déterminer le chiffre d affaire que cette entreprise peut prévoir en.. a) Calculer le pourcentage d évolution annuel moen du chiffre d affaires entre les années et 8. b) Avec une augmentation annuelle de % du chiffre d affaires, quel chiffre d affaire cette entreprise peut-elle prévoir en? 3. Pour effectuer un ajustement eponentiel du nuage, on pose z i = ln( i ). a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième. i z i 4,984 b) Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en obtenue par la méthode des moindres carrés. (coefficients arrondis au centième). c) En déduire une relation entre et de la forme =Ae B, A et B étant arrondis au centième. 4. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes : a) Donner une estimation du chiffre d affaire de l entreprise en. b) À partir de quelle année, le chiffre d affaire de cette entreprise dépassera-il 5 millions d euros? EXERCICE 9 (D après sujet bac Polnésie Septembre ) Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en «.fr» gérés par l AFNIC, organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années à 8 : Année Rang i de l année i Nombre i des domaines en «.fr», en milliers, i 8 5,45 8,97 43,74 4,45 344, ,79 8,674 5,6 (Source : AFNIC, 9) Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 9 sur 3

20 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES nombre de domaines en.fr en milliers rang de l année Calculer, en pourcentage, l augmentation du nombre de domaines en «.fr» entre juin et juin, arrondi à %.. a) Epliquer pourquoi un ajustement affine de en ne semble pas justifié. b) On cherche alors un ajustement eponentiel. Pour tout i 8, on pose z i = ln i. Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de z i arrondies au centième : Rang de l année i i z i = ln i i 8 c) À l aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d ajustement de z en par la méthode des moindres carrés sous la forme z=a+b (les coefficients seront arrondis au centième). d) En déduire que =6,34e,35 où les coefficients sont arrondis au centième, est un ajustement eponentiel possible. 3. a) En utilisant le modèle trouvé à la question. d., quel est le nombre estimé de domaines en «.fr» en juin 9? (le résultat sera arrondi au millier). b) Si l erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à %, on considère que le modèle est pertinent. En réalité, le relevé de juin 9 de l AFNIC indiquait 4 65 domaines en «.fr». Le modèle proposé est-il pertinent? 4. a) Résoudre dans l intervalle[ ; + [ l inéquation 6,34e,35 (le résultat sera arrondi au diième). b) En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de «domaines en.fr» dépassera millions. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

21 Lcée Camille SEE avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE (D après sujet bac Amérique du Sud ) Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l injection, la substance est éinée par les reins. La quantité q i de substance présente dans le sang (q i en milligrammes) à l instant t i (t i en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deu heures. t i (en heures) q i (en mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3 PARTIE A- Modélisation par une fonction affine Le nuage de points associé à la série(t i ; q i ), est représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal. q (en mg) t (en heures). Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.. Tracer la droite(d) sur la feuille annee. 3. En supposant que ce modèle reste valable pendant heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de heures. PARTIE B - Autre modélisation On pose i = ln(q i) ln().. Compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

22 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES t i (en heures) i (au centième près). a) Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la forme = at+ b de la droite d ajustement affine de en t par la méthode des moindres carrés. On arrondira a à 3 et b à l unité. b) Montrer que l epression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : q(t)=be At (on donnera l arrondi au centième de A et la valeur de B arrondie à l unité). 3. Soit f la fonction définie sur l intervalle[ ; ] par f(t)=e,5t. a) Étudier le sens de variation de la fonction f. b) On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang à l instant t (t eprimé en heures) est donnée par q(t)= f(t) pour t variant de à heures. Calculer à près la quantité de substance présente dans le sang au bout de heures. c) En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deu modèles vous paraît le mieu adapté à la situation. PARTIE C - Valeur moenne. Soit F la fonction définie sur l intervalle [ ; ] par F(t)= 3 e,5t. Montrer que F est une primitive de f sur[ ; ].. Soit I = f(t)dt. Calculer la valeur eacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près. 3. En déduire, à un diième de milligramme près, la quantité moenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les heures qui suivent l injection. EXERCICE (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 7) PARTIE A : On considère la fonction h définie et dérivable surrpar h()=e 7e + 6. On note h sa fonction dérivée.. a) Calculer la ite de la fonction h en. b) Calculer la ite de la fonction h en + ; (on pourra utiliser l égalité vraie pour tout réel : h()=e (e 7+6e )). [ ( )] 7. Calculer h ln, h() puis h(ln6). 3. Déterminer par le calcul l image h () d un réel par la fonction h et étudier les variations de la fonction h. Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau. 4. En déduire le tableau des signes de la fonction h. PARTIE B : On considère les fonctions f et g définies surrpar f()=6 6e et g()=e. On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d unités graphiques : cm en abscisses et cm en ordonnées. Les courbes C f et C g sont données en annee.. Démontrer que le point de coordonnées (ln6 ; 5) est un point d intersection des courbes C f et C g.. a) Démontrer que, pour tout réel, f() g()= h() e. b) Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes C f et C g. 3. On note D le domaine du plan ité par les courbes C f, C g et les droites d équations respectives = et =ln6. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 3

23 avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES a) Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annee. b) Calculer la valeur eacte de l aire du domaine D en cm puis en donner une valeur approchée arrondie au centième. 5 C g C f EXERCICE (D après sujet bac Antilles Septembre 7) On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f définie sur [ ; + [ par f()=e ( ) + dans un repère orthonormé du plan O; i, j d unité cm. 3 e C 3 4. Démontrer que l équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d abscisse est = +. Tracer T sur le graphique de la feuille annee.. On définit la fonction g sur l intervalle[ ; + [ par g()= f()+. a) Démontrer que la fonction g est décroissante sur l intervalle[;] et croissante sur l intervalle[ ; + [. b) Calculer g(). En déduire le signe de g sur l intervalle[ ; + [. Interpréter graphiquement le résultat. 3. a) Hachurer sur le graphique, le domaine D déité par la courbe C, la droite T, la droite d équation = et l ae des ordonnées. b) Calculer l aire du domaine D en cm. On donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie à. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 3