La fonction logarithme népérien

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1 La fonction logarithme népérien I) Fonction logarithme népérien : a) le logarithme népérien : k est un nombre réel strictement positif donné. Nous avons établi dans un chapitre précédent que la fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur. k = e De plus, + e = + et e = Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone (ici strictement croissante), il eiste un unique nombre réel tel que e = k. Ce nombre réel s'appelle le logarithme népérien de k. On le note ln(k) ln(k) définition : le logarithme népérien d'un réel strictement positif k est l'unique solution de l'équation e = k. b) fonction logarithme népérien : définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout nombre réel strictement positif, associe le nombre réel ln() si aucune confusion n'est possible, ln() s' écrit simplement ln s'écrit aussi : ln() = = e c) conséquences : Pour tout nombre réel >, pour tout nombre réel, ln() = équivaut à = e Pour tout nombre réel >, e ln() = Pour tout nombre réel, ln(e ) = les fonctions ln et ep sont réciproques l'une de l'autre! ln() = (e = ) ln(e) = (e = e) ln e = e = e II) Propriétés algébriques : relation fonctionnelle fondamentale Pour tous nombres réels a> et b>, ln(ab) = ln(a) + ln(b) un des principau intérêts de la fonction ln est de transformer les produits en sommes! Soient deu nombres réels a et b tels que a> et b> e ln(a b) = a b = e ln(a) e ln(b) = e ln(a) + ln(b), donc e ln(a b) = e ln(a) + ln(b), donc ln(ab) = ln(a)+ln(b) Pour tous réels a et b, a = b si et seulement si e a = e b (vu dans le chapitre "fonction eponentielle")

2 propriétés : Pour tous nombres réels a> et b>, pour tout entier relatif m ln b = ln(b) 2 ln a b = ln(a) ln(b) 3 ln( a m ) = mln(a) 4 ln a = 2 ln(a) s Soient deu nombres réels a et b tels que a> et b> ln(b) + ln b = ln b b = ln() =, donc ln(b) + ln b =, par suite ln b = ln(b) 2 ln a b = ln a b = ln(a) + ln b = ln(a) ln(b) 3 - cas où m est un entier naturel Soit ( Pm ) la proposition ln( a m ) = mln(a). Démontrons par récurrence que ( Pm ) est vraie pour tout entier naturel m initialisation : pour m= on a ln( a ) = ln() = = ln(a) donc ( P ) est vraie hérédité : Supposons que ( Pm ) est vraie pour un entier naturel m quelconque. Démontrons que ( P m+ ) est vraie. ln( a m+ ) = ln( a m a ) = ln( a m ) + ln(a), or ln( a m ) = mln(a) étant donné que ( Pm ) est vraie, donc ln( a m+ ) = mln(a) + ln(a) = (m + )ln(a) Par suite, ( P m+ ) est vraie. conclusion : La propriété ( Pm ) est vraie pour tout entier naturel m et tout réel a strictement positif. - cas où m est un entier relatif strictement négatif ln( a m ) = ln a m = ln( a m ), or ln( a m ) = ( m)ln(a) (voir paragraphe précédent, m est ici un entier naturel), donc ln( a m ) = mln(a) 4 ln(a) = ln( a a ) = ln( a ) + ln( a ) = 2ln( a ) donc ln( a ) = 2 ln(a) E : ln( 9 4 ) + 5ln(3) = 4ln( 3 2 ) + 5ln(3) = 8ln(3) + 5ln(3) = 3ln(3) 2 ln ln( 2 ) = 2 ln(7) 2 ln(2) + 2 ln(2) = 2 ln(7) 2

3 III) Étude de la fonction ln : a) continuité et dérivabilité : propriété (admise) : La fonction ln est continue sur l'intervalle ] ; +[. La fonction ln est dérivable sur l'intervalle ] ; +[ et pour tout réel >, on a : ln'() = Soient deu nombres réels et a tels que > et a>. ln() ln(a) On veut montrer que = a a a Posons X = ln() et A = ln(a). On a ln = ln(a) donc a X A X = A (ln est continue). ln() ln(a) = a a X A X A e X e A = X A e X e A X A or la fonction ep est dérivable sur, ln() ln(a) donc = a a ep'(a) = e A = e ln(a) = a,, donc la fonction ln est dérivable sur ] ; +[ et ln'() = b) ites au bornes : propriétés : ln() = + 2 ln() = + s On veut montrer que pour tout réel A, il eiste un nombre réel m tel que si > m alors ln() > A. La fonction eponentielle est strictement croissante sur, donc pour tout nombre réel A, ln() > A revient à dire que e ln() >e A soit > e A Il suffit donc de poser m=e A et on a, pour tout >m, ln() > A Par suite, ln() = Soit >, posons X =, on a alors ln() = ln X = ln(x), or X = + et > donc, ln(x) = + (voir ) donc X + ln(x) = X + d'après la propriété sur la ite de la composée de deu fonctions, ln() = 3

4 c) sens de variation de la fonction ln : La fonction ln est strictement croissante sur ] ; +[ Si ] ; +[ alors > donc ln'()>. Par suite, la fonction ln est strictement croissante sur ] ; +[ conséquence : La fonction ln étant continue et strictement croissante, on a : Soient a et b deu réels strictement positifs, ln(a) = ln(b) équivaut à a = b ln(a) < ln(b) équivaut à a < b utile pour certaines équations ou inéquations! d) tableau de variation et représentation graphique : ln' () e = - = e ln() Pour tracer la courbe, on peut s'aider de tangentes particulières : e =ln() au point d'abscisse : ln() = et ln'() = = équation de la tangente : = ln'()( ) + ln() = au point d'abscisse e : ln(e) = et ln'(e) = e équation de la tangente : = ln'(e)( e) + ln(e) = e -e + e = e Les courbes correspondant à deu fonctions réciproques l'une de l'autre sont smétriques par rapport à la droite d'équation =!! remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et ep sont smétriques par rapport à la droite d'équation = e = e = e =ln() 4

5 III) Compléments : a) ites importantes à connaître : ln() + = Posons X = ln(), on a alors e X = et ln() Or, donc = X e X X = + (voir sens de variation de la fonction ln), + + X e X = + e X = (voir chapitre sur la fonction eponentielle) X ln() + donc, d'après la propriété de la ite d'une fonction composée, = «l'emporte sur ln() au voisinage de et au voisinage de +!» ln() = Posons X = ln(), on a alors e X = et ln() = Xe X Or, X = (voir sens de variation de la fonction ln), donc Xe X = (voir chapitre sur la fonction eponentielle) donc, d'après la propriété de la ite d'une fonction composée, ln() = ln( + ) = La fonction ln est dérivable en et on a ln'() = = Par définition ln'() = ln( + ) ln() ln( + ) ln() ln( + ) ln( + ) donc ln'() = = = = la dérivée de ln en est la ite du tau d'accroissement de ln entre et + quand tend vers! 5

6 ln[u()] b) dérivées des fonctions du tpe : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est dérivable sur I et ln'[u()] = u'() u() Dans le chapitre sur la dérivabilité, nous avons admis la propriété suivante: Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur l' intervalle u(i), alors la fonction w telle que w() = v(u()) est dérivable sur I. On a alors w'() = u'() v'(u()) Posons v() = ln(), w() = ln[u()]. Il découle de la propriété précédente ci-dessus que : Pour tout réel de I, on a ln'[u()] = u'() u() = u'() u() E : Soit la fonction définie sur par () = ln( ) = ln(u) avec u() = Or, u est définie, dérivable et strictement positive sur. Donc, pour tout nombre réel, on a '() = ln'( ) = IV) La fonction logarithme décimal : définition : La fonction logarithme décimal notée log est définie sur ] ; +[ par : log() = ln() ln() propriétés (admises) : La fonction logarithme décimal admet les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln E : log()= log()= log(,)= log() = 2 log(,) = 2 Pour tout entier relatif n, on a log( n ) = nlog() = n La fonction définie sur par et la fonction définie sur ] ; +[ par log() sont réciproques l'une de l'autre. = = = log() 6