POLYGONES ET POLYEDRES

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1 CHAPITRE V POLYGONES ET POLYEDRES L Géométrie ne nous intéresse que pr ses interférences vec l Algèbre. Pourtnt, nous essyons ici de concilier les «deux» géométries, plne et dns l espce, trop souvent enseignées séprément, vec toutes les difficultés, qu une telle méthode comporte. Mieux, c est pr «l espce», que nous commençons, cr les «deux dimensions» n en sont qu un spect très prticulier! 40. Géométrie plne et géométrie dns l espce. Dns l pprécition de notre Univers ont peut se contenter de 3 dimensions, cr l qutrième, le temps, n est qu une invention ou plutôt une découverte ssez récente : s connissnce n est, en tous cs, ps indispensble ici pour nous. Dns notre vie quotidienne, nous rencontrons sns cesse des prismes et des prllélépipèdes sns même nous en douter, bien souvent. Ainsi, les cubes, les diverses boîtes d embllge, à chussures et utres, sont tous des prllélépipèdes, qui dérivent Source de lumière Cube Ombre projetée des polyèdres, et pprtiennent donc bien à l «géométrie dns l espce». Notre géométrie plne à deux dimensions, ne représente lors qu un ASPECT, qu un extrit de cette géométrie dns l espce, mis ces deux géométries répondent bien ux mêmes lois, pour peu que l on veuille bien se souvenir de ceci : toute figure de l géométrie plne n est que l projection d une figure correspondnte de l géométrie dns Feuille de ppier Fig. V-1. L projection d une figure de l espce donne une figure à deux dimensions. l espce. Et ce terme de projection peut presque être pris dns un sens, disons photogrphique ; d un cube écliré de l extérieur, nous ne percevons, sur une ngles droits feuille de ppier, donc en deux dimensions, que Fig. V-. Les xes de projection Sont perpendiculires u pln l ombre (fig. V-1). qui contient cette projection. Dns les projections photogrphiques, l position de l source d éclirge est indifférentes : pour les projections géométriques, pr contre, nous jouterons encore l obligtion

2 d bisser des perpendiculires, qui formeront donc des ngles droits de 90 vec le pln à deux dimensions (fig. V-) ; ces projections seront ORTHOGONALES. Dns cette trnsposition, un POINT ne ser plus que l trce, sur notre feuille de ppier, d une droite élevée perpendiculirement (à cette feuille) ; de même, une ligne ne ser que l trce, sur notre feuille de ppier, d un pln (toujours perpendiculire à cette feuille). (G) Ces correspondnces entre les «deux géométries», nous les vons résumées dns le tbleu V-A. Occupons-nous mintennt, surtout, des polygones inscrits vers le bs de ce tbleu. point polygone droite perpendiculire plns perpendiculires droite bissectrice de dièdre dièdre ngle cylindre droit cercle bissectrice d ngle Fig. V-3. Les différentes trces lissées pr les figures de l espce dns un pln à deux dimensions. TABLEAU V-A (fig. V-3) Géométrie dns l espce Géométrie plne Droite perpendiculire Point Dièdre Angle Pln bissecteur de dièdre (prtge le dièdre en deux prties égles) Bissectrice d ngle (prtge l ngle en deux prties égles) Arête de dièdre Sommet de l ngle Prisme Polygone Prllélépipède Prllélogrmme Cube Crré Cylindre droit Cercle et d utres encore Correspondnce entre des figures de géométrie plne et de géométrie dns l espce. 41. Polygones réguliers. Pour qu un polygone soit régulier, il doit remplir essentiellement conditions : tous ses côtés seront égux et deux côtés consécutifs (fig. V-4), quels qu ils soient, formeront entre eux, des ngles égux. Ces polygones prennent des noms différents, suivnt le nombre, théoriquement illimité, de leurs côtés : 8 côtés donnent un octogone. 6 côtés donnent un hexgone. 5 côtés donnent un pentgone,

3 et insi de suite. ngles égux ngles égux côtés égux hexgone régulier côtés égux pentgone régulier Fig. V-4. Des polygones réguliers ont des côtés égux et des ngles égux entre ses côtés. points de contct Seule, cette zone distingue le côté de l circonférence Fig. V-5. Lorsque le nombre de côtés d un polygone ugmente ces côtés ne se distinguent plus guère de l circonférence circonscrite. Pour connître l somme des ngles d un polygone (surtout convexe), il fut compter le nombre de ses côtés, en retrncher deux et multiplier ce résultt pr 180. Pour un octogone, on trouver 6 fois 180 = 1080, pour un rectngle fois 180 = 360, pour un tringle 1 fois 180. (G) Lorsqu un polygone régulier compte un nombre, toujours plus grnd de côtés, on pourr confondre ceux-ci vec le cercle, qui lui est circonscrit, utrement dit, vec le cercle, qui touche tous ses sommets, mis ucun de ses côtés. (voir fig. V-5) 4. Qudriltères et leurs surfces. Les polygones à 4 côtés forment le groupe des qudriltères qui englobent les figures géométriques, les plus connues : prllélogrmmes, rectngles, crrés, losnges, trpèzes. Pour lléger notre texte, nous vons préféré résumer leurs principles crctéristiques dns le tbleu V-B ci-dessous Nous jouterons, tout juste, que le point de rencontre des digonles du rectngle et du crré sert églement de centre u cercle, que l on peut leurs circonscrire (fig. V-7 ci-contre), comme à tout polygone régulier. On remrquer que le crré pourrit être considéré comme provennt ussi bien d un rectngle, qui urit ses 4 côtés égux, que d un losnge, qui urit l un de ses ngles droits. L surfce de ces qudriltères, suf le trpèze, s obtient tout

4 simplement, en multiplint un côté pr l huteur, qui y boutit. L huteur, elle, côtés du prllélogrmme intersection des digonles côtés du losnge longueurs égles des digonles prlèlogrmme losnge côtés prlèles (les bses) ngles droits côtés égux trpèze quelconque trpèze rectngle trpèze isocèle Fig. V-6. Quelques qudriltères et leurs principles propriétés. rectngle intersection des digonles crré Fig. V-7. Les digonles du crré se coupent à ngle droit. ser l distnce l plus courte, qui sépre deux côtés opposés, donc deux côtés prllèles et pr «distnce l plus courte», on entend une droite, perpendiculire, à l fois, perpendiculire côté b côté h côté huteur h même prllèlogrmme Fig. V-8 bis. L surfce d u prllèlogrmme peut se clculer de deux mnières. Fig. V-8. L perpendiculire à l droite est l plus courte distnce entre deux droites prllèles. à ces deux côtés (fig. V-8). Il existe insi, u moins, deux possibilités pour le clcul de telles surfces (fig. V-8 bis ci-dessous). S =.h = b.h Dns les rectngles et dns les crrés, on pourr se borner à multiplier l un pr l utre, deux côtés djcents, puisque, ussi bien, ces côtés sont perpendiculires l un à l utre (tbleu V-B).

5 Côtés Digonles (droites, qui joignent deux sommets opposés) Formes prticulières TABLEAU V-B (fig. V-6) Prllélogrmme Losnge Trpèze Prllèle à Egux à bse est droit. Dns un trpèze, deux côtés seulement sont prllèles ; il n existe lors qu un seul moyen de clculer s surfce ; mis lquelle des deux bses fudr-t-il lors prendre comme «côté réel»? En fit, ucune, mis plutôt leur vleur moyenne (fig. V-9), utrement dit, l moitié de leur somme, soit + b et l surfce devient, dns ce cs, S = h + b Egux Tous les 4 Se coupent en leur milieu Rectngle Et à ngle droit Crré côtés opposés (les bses) seulement sont prllèles Se coupent en leur milieu, dns les trpèzes isocèles seulement ISOCÈLE : lorsque deux côtés non prllèles sont égux RECTANGLE : lorsque l un des ngles de chque 43. Tringles et droites crctéristiques. On n ps l hbitude de clsser des tringles prmi les polygones, bien que l étymologie du terme polygone nous y utorise bien. huteur bse Dns tout tringle, on peut trcer, u moins, 3 droites crctéristique (fig. V-10 ci-contre) : Les trois MÉDIANES, qui joignent chque sommet u milieu du côté opposé ; ces trois médines se coupent en un seul point, qui bse b ser le centre de grvité du tringle ; (G). vleur moyenne Fig. V-9. L surfce du trpèze se clcule à l ide de l vleur moyenne des deux bses. Les trois MÉDIATRICES, perpendiculires élevées u milieu de chque côté, et dont le point d intersection, églement unique, ser le centre du cercle circonscrit ( 41). Ce point de rencontre peut, d illeurs, se trouver en dehors de l surfce, délimité pr les côtés du tringle ; Les trois HAUTEURS ou perpendiculires, bissées en prtnt de chque sommet sur le côté opposé ( 4). Elles ussi, se rencontrent en un seul point, qui peut se trouver en dehors du tringle, surtout si l un de ses ngles est obtus (ngle compris entre 90 et 180 ; les ngles igus, eux, sont inférieurs à 90 ).

6 De même que l somme des ngles d un tringle représente l moitié des ngles du qudriltère, de même l surfce d un tringle ser l moitié de l surfce d un qudriltère, soit S = 1. h Dns un tringle, on dispose de 3 moyens de clculer cette surfce, en prennt successivement chcun des côtés de l huteur, qui y boutit. L surfce d un prllélogrmme même pourrit être considérée (fig. V-13) comme les différences entre un rectngle extérieur (S=.h) et les deux tringles, hchurés, ynt chcun pour surfce S '= 1 b. h S= (. h) b. h =h bh centre de grvité prties égles 3 huteurs 3 médines ngle droit ngle droit intersection de méditrices à l fois huteur, médine et médit rice point milieu de l bse côtés égux =h( b) L expression ( b) correspond bien à ce que nous bse tringle isocèle ngles égux tringle équiltérl côtés égux ngles égux (60 ) Fig. V-11. Le tringle équiltérl est un cs prticulier du tringle isocèle. méditrices cercle circonscrit Fig. V-10. Les trois droites crctéristiques d un tringle. vons ppelé ( 4), fig. V-9, le «côté du prllélogrmme» et les résultts seront donc identiques. 44. Tringles isocèles et rectngles. (G) Dns les tringles isocèles, les deux ngles, situés ux extrémités de l bse (c est le nom de ce côté), seront égux et les côtés opposés à ces ngles seront égux, eux ussi (fig. V-11). Lorsque, dns un tringle isocèle, un ngle à l bse vut 60, le deuxième, qui lui est égl, vut pr définition églement 60 et il ne reste plus que 60 u troisième : on ur formé un tringle «équingle» (terme inhbituel, qui montre cependnt bien, que ces tringlesci découlent des tringles isocèles). Or, ux côtés égux nous venons tout juste

7 de le voir sont opposés deux ngles égux et de tels tringles seront églement dits «équiltérux» (fig. V-11) Dns les tringles isocèles, les 3 droites crctéristiques ( 43), qui boutissent à l bse, se confondent en une seule et insi, l huteur, pr exemple, boutit u milieu même de cette bse, tout comme le fit normlement le fit normlement l méditrice. Dns les tringles équiltérux, il en ser insi, même pour les droites crctéristiques, qui boutissent ux côtés, utres que l bse. Dns les tringles rectngles, l un des ngles vut, à lui seul, 90 (voir ussi le chpitre X), et le côté opposé à cet ngle est l hypoténuse. Rien ne s oppose, d illeurs, à l existence de tringles, qui serient, à l fois, rectngles et isocèles. Ces tringles rectngles donnent lieu, surtout, à une des reltions fondmentles de toute l géométrie, le fmeux théorème de Pythgore, que nous ne cherchons ps à démontrer ici, dont nous rppelons l énoncé : l SOMME des crrés des côtés de l ngle droit égle le crré de l hypoténuse, ce qui peut s écrire h = + b h et encore = + b Il s git bien de l somme des crrés et non ps du crré de l somme qui serit ( + b), le produit remrquble du 15. Ainsi, si, dns un tringle rectngle, les deux côtés de l ngle droit vlent respectivement 4 et 3 (unités quelconques) l hypoténuse mesurer h= + = = b ( 4 ) + ( 3) 16+9 = 5 = 5 (unités quelconques) 45. Clculs dns les tringles. Dns un tringle équiltérl, une huteur quelconque boutit toujours u milieu du côté opposé et forme (fig. V-1) deux tringles rectngles, dns lesquels nous pourrions encore écrire : (AH) = (AB) (BH) h C huteur A H B ngle droit Fig. V-1. Dns un tringle équiltérl, l huteur boutit u milieu du côté opposé. b prllèlogrmme rectngle Fig. V13. On peut considérer le prllèlogrmme comme l différence entre un rectngle et deux tringles égux. b

8 Si l on ppelle le côté AB, BH vudr utomtiquement et nous urons : et on tire ( AH ) = ( ) = 4 = 3 4 ( )( 3) 3 AH = = 4 On peut insi trouver directement l huteur, en connissnt uniquement le côté du tringle. Inversement, en prtnt de l huteur h d un tel tringle équiltérl, on pourrit clculer son côté x ; d près le clcul précédent, nous urions : x 3 h= h= x 3 x= h 3 h 3 x= 3

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