INF124. Exercice 1 : Arbre de preuve et traduction en français. Nom... Prénom... Groupe... ou Numéro d étudiant...si l examen est anonyme

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1 Nom Prénom Groupe ou Numéro d étudiant si l examen est anonyme INF124 Durée : 2h00, sans documents Tous les appareils électroniques sont interdits à l exception des montres Le barème est donné à titre indicatif Le sujet comporte 5 exercices indépendants Le sujet est sur 48 points Répondez sur le sujet lorsque les questions comportent des pointillés N oubliez pas de glisser le sujet dans votre copie Commencez par lire tout le sujet pour repérer les questions faciles 10 pt Exercice 1 : rbre de preuve et traduction en français Q1 Démontrez sous forme d arbre de preuve en déduction naturelle le théorème suivant ( C B C ) = ( ( B) C ) Q2 Donnez la traduction en français de cette preuve

2 3 pt Q3 Démontrez sous forme d arbre de preuve en déduction naturelle le théorème suivant ( x, y, F (x) ( G(y) F (x) )) = ( z, G(z) F (z)) 3 pt Q4 Donnez la traduction en français de cette preuve

3 Exercice 2 : Composition de relations 1 On considère trois ensembles = {0, 2, 4, 6}, B = {a, b, c, d}, C = {1, 3, 5} et deux relations R B et S B C définies par R = {(0, c), (4, a), (4, c), (6, a), (6, b), (6, c)} et S = S a V F F b F F V c F F V d F V F Q5 Dessinez le graphe vers B de R et le graphe B vers C de S Q6 vrai ou faux? 1 S est une fonction? 2 S est injective? 3 S est surjective? 4 S est bijective? Q7 Dessinez le graphe de la composition S R Q8 Complétez la définition de S R = { }

4 Q9 Écrire en C l algorithme de composition de deux relations R B et S B C 4 pt représentées par des tableaux de booléens void composition(bool SoR[][C], bool S[B][C], bool R[][B]) 10 pt Exercice 3 : nalyse d une relation Soit R N N définie par R = {(a, b) N N a b b + 1} 1 pt 1 pt Q10 Parmi les couples suivantes, lesquelles appartiennent à la relation R? (0, 0), (0, 10), (10, 0), (1, 7), (7, 1), (5, 2), (2, 5)? Q11 Proposez un entier n N tel que a N, (n, a) R (a, n) R 3 pt Q12 Pour chacune des propriétés (a, b, c, d), indiquez si la relation R satisfait la propriété et justifiez votre réponse (a) R reflexive

5 (b) R symétrique (c) R transitive (d) R anti-symétrique Q13 Donnez et simplifiez la relation R R sous la forme d un ensemble de couples 1 pt Q14 En déduire que R (R R) = R R Q15 On définit R 2 = R R, et par récurrence R k+1 = R R k En utilisant la question précedente, montrez par induction que k N, R k = R R

6 Exercice 4 : Schéma de récurrence associé à un type ocaml 6 pt Q16 Donnez le schéma de récurrence associé au type abint défini par : type abint = vide b of abint * int * abint Q17 Complétez le schéma de récurrence associé au type pos défini par : type pos = U O of pos E of pos p pos, Q(p) rec pos Q18 Complétez le schéma de récurrence associé au type machin défini par : type machin = B of bool C of int m machin, P (m) rec machin 10 pt Exercice 5 : Preuve par récurrence en déduction naturelle On considère le type ocaml des asn (arbres sans nœud) définis de la manière suivante : type asn = f of int c of asn * asn Ce type comporte deux cas : soit un asn est une feuille qui porte un entier, soit c est la concaténation de deux asn Puisque ces arbres n ont pas de nœuds, on ne s intéresse qu à leurs feuilles Les feuilles de l arbre, parcourues de gauche à droite, forment une liste d entiers Exemple : Les feuilles de l arbre c(c(f 1, f 2), c(f 3, f 4)) correspondent à la liste d entiers [4]) c est-à-dire [1; 2; 3; 4]

7 15 pt Q19 À l aide de l opérateur ), écrire en ocaml la fonction avl de type asn int list qui transforme un arbre sans nœud en la liste des entiers portés par les feuilles de l arbre pt Q20 Écrire en ocaml une fonction rev de type asn asn, définie par les axiomes suivants : x 1 : rev f (n) = f (n) x 2 : rev c(x, y) = c(rev y, rev x) pt Q21 Expliquez en une phrase ce que fait la fonction rev 6 pt Preuve par récurrence sur le type asn Le principe de récurrence associé au type asn est le suivant : i, P (f (i)) a 1, a 2, P (a 1 ) P (a 2 ) P (c(a 1, a 2 )) rec asn a asn, P (a) Q22 Utilisez les axiomes qui définissent la fonction rev et le principe de récurrence associé au type asn pour démontrer le théorème suivant : a asn, rev (rev (a)) = a

8 a asn, rev (rev (a)) = a

9 Vade-mecum INF124 Conjonction B B I B E1 B E2 B Implication et équivalence [1] B B Disjonction B I [1] I1 B B B B I2 E B B ) déf == [n] C C ( B) (B [m] B C E [n,m] bsurde, négation E déf == Logique classique (tiers exclu, double négation) 1 3 ex E Quantificateurs h 1 h n H 1 (-) H n (-) P (x 0 ) x P (x) I x P (x) Condition d application de I : x 0 ne doit être libre dans aucune des hypothèses disponibles h 1 h n Dans E : t représente une constante ou une variable ; P (t) représente la formule P (x) dans laquelle on a substitué t à toutes les occurrences libres de x P (t) x P (x) I x P (x) P (t) [h] P (y) C Conditions d application de E : dans la preuve de C à partir de P (y), y ne doit être libre dans aucune hypothèse disponible exceptée h ; C ne doit pas dépendre de y (c-à-d ne doit pas comporter d occurrence libre de y) Égalité C E ( x t ) E [h] = x = x I x = y P (x) =E P (y) x = y x = x app f 1 x 1 = x 2 x n = y tranz f(x) = f(y) x = y

10 Ensembles xiome d extensionalité : = B ( x, ) Inclusion : B == déf ( x ) Intersection : B déf == Union : B déf == Définition par extension : x {a} déf == x = a (singleton) x {a 1, a n } déf == x = a 1 x = a n Ensemble vide : x déf == Complément : \ B == déf () déf == () Ensemble des parties : P(B) déf == B Règles condensées sur les ensembles Pour appliquer les règles qui lèvent des hypothèses portant sur x, il ne faut pas qu il y ait d autres hypothèses où x apparaît librement (cf la condition sur x 0 dans I ) [n] B I [n] B E [n] = B [m] ext[n,m] I B B E1 B E2 B I1 B I2 B [n] P P [m] P E [n,m]

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