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1 COMPETENCE (Pilier du socle commun) : DOMAINE : Nombres et Calculs ATTITUDES Connaissances Capacités Préalables nécessaires 2.1 Nombres entiers et décimaux Désignation - Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l écriture d un entier ou d un décimal. Propositions d activités Travail sur les nombres entiers Reprise des capacités du cycle 2 - lire et écrire des nombres - interpréter la valeur des chiffres - produire des suites écrites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100. C A Cycle CC C O Parallèle avec la numération égyptienne (autant pour redonner le plaisir d appendre et restaurer la confiance en ces capacités) Exercices systématiques sur la recomposition et la décomposition des nombres : - 4x x = = 4x x Objectifs au CA : - de la maîtrise des nombres jusqu à 9999 pour les élèves le plus en difficulté à 1 milliard. 1

2 - Associer diverses désignations d un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales Travail sur les décimaux Au CA, travail uniquement sur les prix : - écriture et compréhension du nombre - résolution de problèmes sur les prix. Au CC, introduction des décimaux en lien avec les mesures de longueur : mesurer les segments à partir d une bande unité, puis explication de la nécessité d une unité identique. Ordre - Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. - Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. - Placer un nombre sur une demi-droite graduée - Ecriture de lettres en chiffres, de chiffres en lettres - Travail sur les décompositions de type : Par exemple, est mise en relation avec : /100+2/ le fait que 23,042 est le nombre qui multiplié par 1000 donne des lectures signifiantes «23 et 4 centièmes et 2 millièmes», 23 et 42 millièmes. - Le positionnement sur une demi-droite graduée : peut être situé après 23 en avançant de 4 centièmes, puis de 2 millièmes. - L expression de mesures, une unité étant choisie : 23,042m, c est 23m plus etc ( maximum de difficulté : 3 chiffres après la virgule) Au CA, travail sur les entiers Au CC, travail sur les décimaux Ranger une liste de nombre Placement sur une droite graduée Travail avec le logiciel : «Math en poche» 2

3 - Lire l abscisse d un point ou en donner un encadrement. Opérations : soustraction multiplication addition, et - Connaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. - Multiplier un nombre par 10, 100, Reprise systématique de l apprentissage des tables d addition et de multiplication au CA. Dictée systématique au début de chaque cours de mathématiques (CA) Introduction d exercices systématiques de calcul mental durant le CC Les opérations et leurs sens - Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée - travail sur des problèmes simples où la taille des nombres n empêche pas une réelle réflexion sur l opération à utiliser. - Travail sur des problèmes ne faisant appel qu à une seule opération sauf pour les problèmes sur les prix (combinaison addition et multiplication pour établir une facture). Au CC : - Travail préalable sur le vocabulaire visant à identifier qu on ajoute ou soustrait que des nombres représentant la même chose, qu il y a des termes en lien avec l addition et la soustraction. Techniques élémentaires de calcul mental Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul :mental, posé, instrumenté Connaître la signification - travail sur les tables d addition et de soustraction - travail sur le calcul posé : addition, soustraction, multiplication, division. - Pour l addition et la soustraction, opérations à trou : 13 + = 19, introduction du carré magique 3x3 Au CC : 3

4 du vocabulaire associé : somme, différence, produit - exercices de calcul mental régulier - introduction de l utilisation du travail instrumenté - utilisation de la calculette, y compris pour effectuer les opérations posées Ordre de grandeur 2.2 Division, quotient La division euclidienne et son sens Etablir un ordre de grandeur d une somme, d un produit. - Reconnaître les situations simples qui peuvent être traitées à l aide d une division euclidienne portant sur des nombres de taille raisonnable et interpréter les résultats. Au CC : - travail préalable sur les arrondis : savoir arrondir un décimal à l entier le plus proche (ex : 24,35 proche de 24 et 24,75 proche de 25 ) Au CC et au CO : dans le cadre de la résolution de problèmes faisant appel aux décimaux, recherche systématique de la valeur approchée du résulta avant d effectuer l opération. - dans le cadre des situations problèmes étudiées - Calculer le quotient et le reste d une division d un entier par un entier dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté) - travail sur le calcul posé de la division. L une des conditions de la réussite des élèves est d être, au préalable, capable de poser la table de multiplication du diviseur. Au CC : 4

5 - introduction de la division dans le cadre du calcul mental - reprise du calcul posé en début de 5 ème puis entretien régulier dans le cadre du travail personnel donné et des contrats d évaluation. Ecriture fractionnaire - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et rappel du vocabulaire : pair/impair - travail sur les critères de divisibilité en lien avec la construction de la table de multiplication Division décimale - Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d un décimal par un entier dans des cas simples. Au CA, puis au CC : - toutes les divisions entraînant un quotient décimal ne sont données que si le reste est 0. - Diviser par 10, 100, Au CC, dans le cadre du calcul mental. 2.1 Nombres entiers et décimaux positifs : calcul, divisibilité sur les entiers - Sur des exemples numériques, utiliser les égalités k(a+b)=ka+kb et k(a-b)=ka-kb dans les deux sens. Au CC, dans le cadre du calcul mental : - introduction du calcul astucieux : Pour 8 x 99, passer par 8x100 8x1 Pour 7x 102, passer par 7 x x2 Travail en lien avec le calcul du périmètre du rectangle. 5

6 Distributivité de la multiplication par rapport à l addition 2.1 Nombres entiers et décimaux positifs : calcul, divisibilité sur les entiers (suite) Division par un décimal - Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier et savoir l effectuer. - Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d un autre entier positif. Multiples et diviseurs, divisibilité. 2.2 Nombres positifs en écriture fractionnaire : sens et calcul Sens de l écriture fractionnaire - Utiliser l écriture fractionnaire comme expression d une Au CA, - Réintroduction de la notion d écriture fractionnaire, à partir de dessin (coloriage de n carreaux sur m carreaux) et symbolisation (n/m) - Eléments de vocabulaire sur les fractions simples : demi, tiers, quart. 6

7 Comparaison proportion. - Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type ac/bc=a/b - Par le biais du dessin, faire remarquer des égalités du type ½ = 2/ Nombres positifs en écriture fractionnaire : sens et calcul Addition soustraction et - Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes 2.3 Nombres relatifs entiers et décimaux : sens et calcul Notion de nombre relatif 2.4 Initiation à la notion d équation - Utiliser la notion d opposé Au CA, - Introduction du nombre relatif dans le cadre d exercice de repérage dans le plan. Exemple : Construire un graphique avec en ordonnée les températures relevées. - comptage de 2 en 2, de 4 en 4 (Exemple de 18 à + 12) 7

8 2.1 Calcul numérique Opérations (+,-,x, :) sur les nombres relatif en écriture décimale. Produit de nombres positifs en écriture fractionnaire 2.1 Calcul numérique (suite) Puissances d exposant relatif entier - Calculer le produit de nombres relatifs simples. - Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs) * Connaître et utiliser l égalité : a/b=ax1/b - Comprendre les notations a n et a -n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telles que : a 2 x a 3 = a 5 (ab) 2 = a 2 b 2 a 2 /a 5 = a -3, où a et b sont des nombres relatifs non nuls. - travail sur des situations problèmes très simples sur les températures. Au CC et au CO, Travail sur des situations problèmes conduisant utiliser et faire des opérations sur les nombres relatifs : - élévation ou baisse de la température - ascenseur - situation d un compte en banque (crédit, débit) - travail sur les fuseaux horaires - notion d altitude et de profondeur. Au CC, étude de situation-problèmes faisant intervenir le produit d un entier par une fraction. Exemple : calculer la capacité d un réservoir en fonction de l indication d une jauge. Au CO, La notation 10ⁿ est introduite comme convention d écriture permettant de simplifier un nombre dont l écriture est difficile : ( à partir de Tintin et des expressions de Haddock) Au CC puis au CO, Introduction des la conventions d écriture a 2 et a 3 en lien vec les calculs de surface et d aires. - Utiliser sur des 8

9 2.2 Calcul littéral Développement 2.1 Nombres entiers et rationnels Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. exemples numériques les égalités : 10 m x 10 n = 10 m+n 1/10 n = 10 -n (10 m ) n = 10 mxn, où m et n sont des entiers relatifs. Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques - simplifier une fraction simple Au CC, Premier travail sur le calcul numérique : Introduction d expressions numériques utilisant des parenthèses et calcul du résultat. Au CO, Introduction du calcul littéral et exercices de calcul en attribuant aux variables des valeurs entières. Diviseurs communs à deux entiers 2.2 Calculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif 2.3 Ecritures littérales - savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. - sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités ( a) 2 = a a 2 =a Utiliser sur des exemples les égalités : Au CC, Introduction en lien avec le travail des aires du carré : - Comprendre la convention d écriture - Savoir l utiliser dans une situation problème Savoir calculer le côté d un carré dont l aire est donnée Au CO, Utilisation de la touche de la calculatrice. 9

10 Puissances Identités remarquables 2.4 Equations et inéquations du premier degré - a m.a n = a m+n - a m /a n = a m-n - (a m ) n = a mn - (ab) n = a n b n - (a/b) n = a n /b n ou a et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers relatifs. Connaître les identités : - (a+b)(a-b) = a 2 b 2 - (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = a 2-2ab + b 2 10

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