LICENCE DE MECANIQUE 2 EME ANNEE MODULE 2A101 TRANSFERTS THERMIQUES. Sophie Mergui

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1 LICENCE DE MECANIQUE EME ANNEE MODULE A ANFE HEMIQUE ophi Mgui

2 Chap. : GENEALIE U LE ANFE DE CHALEU... 3 I. Ls tois mods d tansft d chalu :... 3 II. Définitions... 4 III. Fomulation d un poblèm d tansft d chalu... 5 Chap. : ANFE DE CHALEU PA CONDUCION... 8 I. Equation d la chalu... 8 II. Conduction n égim pmannt sans dissipation n d chalu... ) Equation d la chalu... ) Conduction dans un baau... 3) L poblèm du mu ) Poblèms à syméti d évolution ) ésistanc thmiqu Analogi élctiqu ) Analogi élctiqu ) ésistanc d contact nt du solids... III. Conduction n égim pmannt avc dissipation n d chalu... ) Equation d la chalu... ) L poblèm du mu avc dissipation n... 3) Poblèms à syméti d évolution... 4 IV. Ls Ailtts... 5 ) L équation d la chalu pou ds ailtts à sction constant... 6 ) Flu d chalu évacué pa un ailtt infinimnt longu t d sction constant ) Efficacité d un ailtt ) Efficacité d un sufac muni d ailtts... 3 V. Conduction n égim vaiabl dans un miliu à tmpéatu unifom modèl du bloc isothm ) Equation d la chalu... 3 ) La tmp d un bill métalliqu ) Validité d l appoimation du miliu à tmpéatu unifom nomb d Biot... 34

3 CHAP. : GENEALIE U LE ANFE DE CHALEU La thmodynamiqu nous appnd qu l éngi put êt tansféé à pati d actions nt l systèm t son nvionnmnt, sous fom d chalu t d tavail. Cpndant, la thmodynamiqu n s péoccup qu d l état initial t d l état final du systèm à l équilib, t n founit aucun infomation su la natu ds actions miss n ju t su l évolution tmpoll du systèm nt ls du états d équilib. t p t p () t p, V t () Echangs d éngi avc l téiu () f p f f t p f, V t f état d équilib initial ( t p unifoms) Evolution d () au cous du tmps t p non unifoms état d équilib final ( t p unifoms) Un tansft d chalu au sin d un systèm n s poduit qu s il ist ds gads d tmpéatu nt ls diffénts patis du systèm, c qui impliqu qu clui-ci n st alos pas à l équilib thmodynamiqu (la tmpéatu n st pas unifom dans tout l systèm). Au cous d la tansfomation du systèm vs un état d équilib final, la tmpéatu va évolu à la fois n tmps t n spac. L but d l analys ds tansfts d chalu st d idntifi quls sont ls mods d tansft mis n ju au cous d la tansfomation t d détmin quantitativmnt commnt vai la tmpéatu n chaqu po du systèm au cous du tmps. I. Ls tois mods d tansft d chalu : ansft d chalu pa conduction dans ls solids (ou ls fluids au pos). L pocssus d tansft d chalu pa conduction s appui su un miliu matéil sans mouvmnt d matiè t st dû à ds phénomèns physiqus micoscopiqus (agitation ds atoms ou ds moléculs, flu d élctons libs ). Il put êt vu comm un tansft d éngi ds paticuls ls plus éngétiqus (ls paticuls chauds qui ont un éngi d vibation élvé) vs ls paticuls ls moins éngétiqus (ls paticuls foids d éngi d vibation moins élvé), dû au collisions nt paticuls. Dans ls solids, l tansft d éngi put égalmnt s podui sous l fft du déplacmnt d élctons libs dans l ésau cistallin (pa mpl pou ls métau). Ainsi ls bons conductus d élcticité sont n généal égalmnt d bons conductus d la chalu. ansft d chalu pa convction La convction st un mod d tansft d chalu qui mt n ju, n plus d la conduction, l mouvmnt macoscopiqu d la matiè. C phénomèn s poduit au sin ds miliu fluids n écoulmnt ou nt un paoi solid t un fluid n mouvmnt. On distingu du typs d convction: - Convction natull: ls mouvmnts sont dus au vaiations d mass volumiqu dans un fluid soumis au champ d psantu. Ls vaiations d mass volumiqu puvnt êt généés pa ds gads d tmpéatu (l ai chaud st plus lég qu l ai foid) t/ou pa ds gads d composition. 3

4 - Convction focé: l mouvmnt du fluid st povoqué pa ds actions mécaniqus téius (pomp, vntilatu ). - On pala d convction mit losqu ls du typs d convction coistnt dans un systèm. ansft d chalu pa ayonnmnt out cops matéil émt t absob d l éngi sous fom d ayonnmnt élctomagnétiqu. L tansft d chalu pa ayonnmnt nt du cops sépaés pa du vid ou un miliu smitanspant s poduit pa l médiai d onds élctomagnétiqus, donc sans suppot matéil. L phénomèn d émission d un cops cospond à la convsion d éngi matéill (agitation ds élctons constituant la matiè dont l nsité dépnd d la tmpéatu) n éngi adiativ. L phénomèn d absoption st la convsion invs. II. Définitions Ls tansfts d chalu sont détminés à pati d l évolution dans l spac t dans l, y,z,t. tmps d la tmpéatu, ( ) M du systèm st donné pa la déivé patill d (, y,z,t) pa appot au tmps : t Pndant un vall d tmps dt, la vaiation d tmpéatu n un po M sa : d dt. t La vaiation dans l tmps n un po (, y,z) La vaiation dans l spac à un instant t st donné pa d gad d tmpéatu : Flu d chalu gad Un flu d chalu st un quantité d éngi tansféé sous fom d chalu pa unité d tmps. C st donc un puissanc, qui s pim n Watt (J/s) : Dnsité d flu d chalu y z Q Q & (W) t En généal, l flu échangé à tavs un sufac n st pas unifom su tout la sufac. On définit alos un dnsité d flu d chalu, ϕ, qui cospond à un flu d chalu pa unité d sufac (n W/m ). Empl : flu d chalu échangé pa un systèm avc l téiu à tavs un sufac Σ : 4

5 n dσ ϕ ϕ n < Σ () n dσ ϕ ϕ n > Σ ϕ dσ Σ ϕ n dσ n st la nomal téiu à l élémnt d sufac dσ. L sign - st oduit pou spct la convntion suivant : on compt positivmnt l flu qui nt dans l systèm. III. Fomulation d un poblèm d tansft d chalu But : détmin quantitativmnt l évolution d la tmpéatu à l éiu du systèm dans l spac t dans l tmps. L équation qui pmt d obtni ctt infomation s appll l équation d l éngi ou équation d la chalu. Commnt établi ctt équation? On éalis un bilan d éngi su l systèm c'st-à-di qu l on appliqu l pmi pincip d la thmodynamiqu. Σ Etap : on définit un volum d contôl (ϑ) limité pa un sufac d contôl Σ à tavs laqull d l éngi t d la matiè puvnt cicul. Etap : on fait l invntai ds diffénts flu d éngi mis n ju qui influnt su l état du systèm. Pa mpl, si on s éss au flu d chalu : ϑ () E dissipation flu d chalu ntant : flu d chalu sotant : E flu d chalu dissipé (poduit) dans l volum : P P a pou oigin un aut fom d éngi (chimiqu, élctiqu (fft Joul), nucléai) qui st convti n éngi thmiqu à l éiu du volum. A l issu d l échang, l flu d chalu accumulé (stocké) dans l volum va contibu à la vaiation d l éngi n, qui s taduit pa la vaiation d la tmpéatu du volum. Etap 3 : on fait l bilan d éngi n appliquant l pmi pincip d la thmodynamiqu : Accumulation Enté oti + Poduction i on suppos qu l volum st incompssibl (l tavail ds focs d pssion st nul) t au pos, c qui sa l cas dans tout la suit du cous, l pmi pincip s écit, pou un évolution nt ls instants t t t + dt : du δ Q δqt + δq. L tm δ Q t compt à la fois ds échangs d chalu avc l téiu, δ Qt (lié à E ), t du dégagmnt d chalu n, δ Q, issu d la convsion d un aut fom d éngi n chalu (lié à P ). du dt δq dt δq dt t + + Etap 4 : on établit ls pssions ds diffénts flu E P 5

6 a. Flu d chalu échangé pa conduction loi d Foui C mécanism d tansft st égi pa un loi phénoménologiqu établi pa Josph Foui n 8, stipulant qu la dnsité d flu échangé pa conduction st popotionnll au gad d tmpéatu (popotionnalité nt la caus (l gad) t l fft (l flu)). Ctt loi, applé loi d Foui, s écit : ϕ n W/m L sign - vnant dans ctt loi taduit l fait qu l flu d chalu cicul ds zons chauds vs ls zons foids (dans l sns opposé au gad d tmpéatu). L coffic d popotionnalité,, st la conductivité thmiqu, n W/m/K. La conductivité thmiqu dépnd d la natu du cops considéé t dépnd généalmnt d la tmpéatu. Ell taduit la capacité d un matéiau à tanspot la chalu pa conduction. Ainsi, pou un gad d tmpéatu donné, l flu d chalu sa d autant plus impotant qu la conductivité sa gand. Pou ls matéiau conductus d la chalu, sa élvé t invsmnt sa faibl pou ls isolants. Empls à la tmpéatu ambiant : lain d v.4 W/m/K ai.6 W/m/K (l ai immobil st un tès bon isolant) v. W/m/K cuiv 39 W/m/K Pa aillus, pou un flu d chalu donné, l gad d tmpéatu sa d autant plus faibl qu st gand. Pou ds flu modéés, on poua ainsi dans ctains cas considé qu la distibution d tmpéatu à l éiu d un cops d gand conductivité thmiqu st quasiunifom. b. Flu d chalu échangé pa convction loi d Nwton C mécanism d tansft st égi pa la loi d Nwton qui stipul qu la dnsité d flu d chalu échangé nt un paoi solid t un fluid n écoulmnt st popotionnll à l écat d tmpéatu qui lui a donné naissanc. solid fluid h du po d vu du solid (flu ntant dans l fluid ou sotant du solid si p > ): ( ) n ϕ h p p n h st un gandu positiv applé coffic d échang convctif, n (W.m -.K - ). C coffic dépnd d nombu paamèts (fluid, typ d écoulmnt, état d sufac ) t st donc têmmnt difficil à quantifi pécisémnt. c. Flu d chalu échangé pa ayonnmnt loi d tfan L tansft d chalu pa ayonnmnt nt du cops à ds tmpéatus diffénts sépaés pa du vid ou un miliu smi-tanspant s poduit pa l médiai d onds élctomagnétiqus, donc sans suppot matéil. C mécanism d tansft st égi pa la loi d tfan. E : cops d ptit dimnsion placé dans un nc fmé 6

7 p ϕ ε σ ( ) 4 4 p _ C C ε : émissivité du cops ( < ε ) σ : constant d tfan W/m /K 4. 7

8 CHAP. : ANFE DE CHALEU PA CONDUCION I. Equation d la chalu Considéons un systèm fmé solid (ou fluid au pos) homogèn t indéfomabl, occupant un volum (ϑ) limité pa un sufac Σ. C systèm évolu au cous du tmps sous l fft d échangs d éngi sous fom d chalu avc l téiu t/ou d poduction n d éngi caloifiqu. La distibution d tmpéatu à l éiu du volum n st pas unifom t évolu au cous du tmps. L systèm n st donc pas à l équilib thmodynamiqu t st donc l sièg d flu d chalu. Pou établi l équation qui égit l évolution d la tmpéatu n chaqu po du volum (ϑ), nous allons fai un bilan d éngi su l systèm. Dans tout la suit du cous, on considèa qu l systèm st au pos t qu il n y a pas d tavail mécaniqu mis n ju ca l systèm st indéfomabl (pas d vaiation d volum). La vaiation d éngi n du systèm nt ls instants t t t + dt st alos : où : du δ Qt + δ du st la vaiation d éngi n du systèm pndant un vall d tmps dt. δ Q t st la quantité d chalu échangé pa l systèm avc l téiu à tavs Σ pndant l vall d tmps dt. δ Q st la quantité d chalu poduit pa dissipation dans l volum total ϑ pndant l vall d tmps dt. du dt δq dt δq dt t + Q + Puisqu l systèm dans son nsmbl n st pas homogèn n tmpéatu donc pas à l équilib, nous n pouvons pas appliqu dictmnt l pmi pincip d un po d vu macoscopiqu. Nous allons donc considé un élémnt d volum élémntai, dτ, suffisammnt ptit d tll sot qu la tmpéatu à l éiu puiss êt considéé unifom (mais suffisammnt gand pou contni un gand nomb d paticuls). L volum élémntai put alos êt considéé à l équilib : on pal d équilib thmodynamiqu local. E P Σ ϑ dτ δ Q dissipation volum du systèm : mass contnu dans dτ : ρ mass volumiqu du cops mass du systèm : ϑ d τ ϑ dm ρ dτ m ϑ ρ dτ 8

9 a. Vaiation d éngi n d la mass m contnu dans (ϑ) nt ls instants t t t + dt la vaiation d éngi n pou l unité d mass du systèm st : où : du c d u st l éngi n massiqu c st la chalu spécifiqu (n J/K/kg) du matéiau la vaiation d éngi n pou la mass dm contnu dans l volum élémntai dτ (considéé à l équilib thmodynamiqu donc d tmpéatu unifom) st : dm du ρ dτ du ρ dτ c d ρ dτ c dt t n égant su l nsmbl du volum, on obt la vaiation d éngi n pou la mass m contnu dans (ϑ) pndant l vall d tmps dt : du dt ρ dτ t c ϑ oit, pa unité d tmps : du dt ρ dτ t c ϑ b. Flu d chalu (ou puissanc caloifiqu) dissipé à l éiu du volum (ϑ): oit P la poduction volumiqu n d puissanc caloifiqu (n W/m 3 ). P dτ P c. Flu d chalu échangé pa l systèm avc l téiu à tavs la sufac Σ : ϕ n dσ E ϑ avc ϕ (tansft d chalu pa conduction loi d Foui) L pmi pincip ( E ) + P du s écit : dt E t Σ Σ n dσ ρ c dτ n dσ + ϑ Σ ϑ P dτ En appliquant l théoèm d Ostogadski pou l égal d sufac, on obt : ( ) ρ c dτ div d P d 44 4t 43 4 τ + ϑ ϑ τ q. I ϑ 443 accumulation échangs avc l' nvionnmnt poduction n héoèm d Ostogadski ou théoèm du flu-divgnc : V V n d 9 ϑ divv dτ

10 C bilan constitu l équation d la chalu sous fom global (égé su tout l volum). Il st valabl qul qu soit l élémnt d volum dτ. On put alos éci un équation local d la chalu, qui pmt, apès ésolution, d détmin la tmpéatu n tout po du systèm à chaqu instant. Equation local d la chalu : ( ) P ρ c div + dans (ϑ) q. II t Dans l cas où put êt considéé constant (miliu homogèn t indépndant d ) : ( ) P ρ c div + t ρ c + P dans (ϑ) t t P + ρ c ρ c dans (ϑ) où + + (Laplacin). y z α (m /s) st la diffusivité thmiqu du miliu, qui quantifi la vitss à laqull ρ c diffus la chalu à l éiu du miliu. L égation d l équation d la chalu pmt d obtni (, y,z,t) Un condition initial (, y,z,t ). On doit pécis : qui définit l état thmiqu initial du systèm Du conditions au limits imposés au fontiès. Cs conditions puvnt êt d du typs : ds conditions d typ Diichlt : on impos un tmpéatu au fontiès. (,t) p n Dans c cas, l flu d chalu tavsant la fontiè st inconnu (ésult ds échangs). On poua l calcul pa la loi d Foui appliqué à la fontiè. ϕσ ϕ n n n ds conditions d typ Numann : on impos un flu d chalu, c'st-à-di l gad d tmpéatu, au fontiès. Σ

11 (,t) n Dans c cas, la tmpéatu d la fontiè st inconnu (ésult ds échangs). D maniè généal : ϕσ ϕ n n n Σ on impos un gad d tmpéatu on impos la pnt du pofil d tmpéatu à la fontiè. (,t) n Cas paticuli d la fontiè adiabatiqu : dans c cas, l flu d chalu tavsant la fontiè st nul. ϕ Σ on impos un pnt null au pofil d n Σ tmpéatu à la fontiè. Conditions à l fac nt du miliu : miliu miliu n ϕ ϕ Continuité du flu à la tavsé d l fac : ϕ ϕ ϕ ϕ ou ( ) n Pou l mpl du schéma : du po d vu du miliu : ϕ < du po d vu du miliu : ϕ > avc ϕ ϕ II. Conduction n égim pmannt sans dissipation n d chalu ) Equation d la chalu On considè un solid (ou un fluid au pos) homogèn t indéfomabl t on suppos qu la conductivité thmiqu du matéiau st constant. pnons l équation d la chalu établi pécédmmnt : ρ c t En égim stationnai (pmannt) : t ans dissipation n d chalu : P + P (l tm d accumulation st nul) (, y,z) dans (ϑ) maqu impotant : l tm st dictmnt lié au flu d chalu qui tavs la fontiè du systèm. En égim pmannt sans dissipation, l bilan d flu qui nt t qui sot du domain st nul. On a donc consvation du flu d chalu : ϕ n dσ E Σ

12 miliu miliu miliu 3 3 Σ Consvation du flu :... 3 Σ3 ) Conduction dans un baau On considè un baau cylindiqu d longuu L t d sction, composé d un matéiau homogèn d conductivité thmiqu supposé constant. C baau st chauffé à l un d ss témités pa fft Joul t st foidi à l aut témité à un tmpéatu donné (pa mpl n faisant cicul un liquid d foidissmnt). On suppos l égim stationnai att. ϕ Isolation pafait L n Isolation pafait On suppos qu l baau st pafaitmnt isolé su sa sufac latéal (donc pas d échang d chalu avc l téiu à tavs ctt sufac). On va donc pouvoi suppos qu l flu d chalu n s popag qu dans la diction aial (flu unidictionnl). La tmpéatu à l éiu du. baau n dépnd alos qu d un sul vaiabl d spac : ( ) d d L équation d la chalu s écit : Cst A d d ( ) A + B La distibution d tmpéatu à l éiu du baau st donc linéai. La détmination ds constants A t B nécssit la connaissanc d conditions au limits. détmination d A : n, on impos un flu d chalu (() inconnu): d ϕ n d ϕ d avc ϕ d t d d A d d d A d détmination d B : n L, on impos la tmpéatu (L) L : ( L ) L + B L A B + L L A ( ) ( L ) L

13 On put alos détmin la tmpéatu du baau n : Losqu L st fié, la tmpéatu st d autant plus élvé qu l flu imposé st impotant (la pnt st plus élvé). u l gaphiqu ci-cont, nous avons tacé pofils d tmpéatu cospondant à flu d chalu diffénts : ) > ( ), L étant fié. ( () () L L L. L 3) L poblèm du mu On considè un mu constitué d un matéiau homogèn t indéfomabl d conductivité thmiqu constant, d épaissu. On suppos qu la hautu t la pofondu du mu sont tès gands dvant son épaissu d façon à pouvoi fai l hypothès du poblèm unidictionnl. L flu d chalu s popaga dans un sul diction (suivant pa mpl) t la tmpéatu à l éiu du mu n. dépnda qu d un sul vaiabl d spac : ( ) d d d d La distibution d tmpéatu à l éiu du mu st linéai. i on not : ( ) t ( ) Cst A ( ) A + B cas < + () ( ) ( X ) ( ) θ X où X Détminons la dnsité d flu d chalu qui tavs l mu n qulconqu n appliquant la loi d Foui : d d ϕ ϕ où on a posé : ϕ (n W/m ) ϕ > (si > ) ou ϕ < (si < ) 3

14 L flu d chalu tavsant la sufac du mu pou un qulconqu s écit : ϕd (n W) > ou < où Hautu Pofondu du mu sufac du mu tavsé pa l flu d chalu. On constat qu l flu d chalu n dépnd pas d, c qui impliqu notammnt qu l flu qui tavs la fontiè n sa égal au flu qui tavs la fontiè n, véifiant ainsi la consvation du flu dans l cas du égim pmannt sans dissipation. La lation pécédnt put nco s éci : () t ( ) + (3) a. i ls du facs du mu sont à tmpéatu imposé Alos l équation () détmin complètmnt la distibution d tmpéatu. Ls flu d chalu au fontiès sont a pioi inconnus mais n égim stationnai t sans dissipation, l flu d chalu s consv t n dépnd donc pas d :., donné pa l équation (). Ls flu au fontiès du po d vu du mu : ϕ ϕ n où n nomal téiu à la fontiè considéé Dans c poblèm : d d n : n ϕ indépndant d ϕ ϕ 4 n (W/m ) On véifi bin qu ϕ st positif (ntant dans l mu) losqu > (la chalu s popag du chaud vs l foid). n : n ϕ ϕ On véifi bin qu ϕ st négatif (sotant du mu) losqu >. b. i au moins un ds facs du mu st au contact avc un fluid n écoulmnt?? h On pnd l mu pécédnt, mais ctt fois-ci : n (W/m ) la fontiè n st manu à tmpéatu constant,. la fontiè n st soumis à un flu convctif dû à l écoulmnt du fluid, caactéisé pa l coffic d échang convctif, h. La tmpéatu du fluid loin du mu st connu, égal à. La distibution d tmpéatu dans l mu sa toujous donné pa l équation (), mais dans c cas, la tmpéatu st inconnu ca ésult ds échangs d chalu pa conduction à l éiu

15 du mu t pa convction avc l fluid. D mêm, l flu d chalu dans l mu st donné pa l équation () mais là nco, on doit connaît pou l calcul. à la fontiè : l flu d chalu du côté du mu ( - ) st donné pa l équation () (loi d Foui) : l flu d chalu échangé pa convction dans l fluid ( + ) st donné pa la loi d Nwton : h ( ) + La continuité du flu d chalu à l fac solid-fluid (n ) impos : + h( ) On put ainsi pim n fonction ds donnés du poblèm : + + h h Détminons l flu d chalu qui tavs l systèm : un pmiè méthod consist à mplac l pssion d dans l pssion d. un duièm méthod, baucoup plus utilisé, pmt d s affanchi du calcul plicit d. soit : On a vu qu : h( ) En additionnant cs du lations : L flu d chalu qui tavs l mu st : h + ϕ + h h 5 (n W) + h On obt ainsi un pssion du flu à pati ds donnés du poblèm, sans avoi à calcul la tmpéatu a pioi inconnu. On poua alos détmin complètmnt la distibution d tmpéatu dans l mu pa l équation (3) : ( ) i bsoin, on aua alos facilmnt accès à la tmpéatu n :

16 c. uccssion d mus Considéons un succssion d n mus d matéiau diffénts, d conductivité i t d épaissu i (i à n). On s plac dans l cas où tous ls mus ont la mêm hautu t la mêm pofondu (mêm sufac tavsé pa l flu d chalu). On not, t n, ls tmpéatus qui ègnnt à chaqu témité du systèm. n- n n- n Flu d chalu qui tavs l systèm : Epimons l flu d chalu qui tavs l mu i : i... i i i i i i d i i i... i n (consvation du flu) d i i i i ( i i ) i n ; ; ; n n n n + n n n i i i n n (n W) i i i i Distibution d tmpéatu dans l systèm La distibution d tmpéatu () st linéai dans chaqu tonçon d mu. Pou l mu i : ( i ) ( ) i (voi équation (3)) i L pofil d tmpéatu st linéai, avc, pou un flu d chalu fié, un pnt d autant plus ptit qu i st gand (ls bons conductus unifomisnt la tmpéatu). Dans l mpl pésnté ci-dssous : > t 3. 6

17 3 3 4) Poblèms à syméti d évolution Pou c typ d poblèm, on s plac n généal dans un systèm d coodonnés cylindiqus. L opéatu Laplacin s pim alos pa : + + θ z Dans ls poblèms à syméti d évolution :. Pa aillus, dans ls poblèms abodés θ dans c cous, on supposa qu z, c qui vinda à s amn à un poblèm unidictionnl où l flu d chalu s popag uniqumnt dans la diction (flu adial) t la, θ,z. tmpéatu n dépnd qu d : ( ) ( ) On considè un cylind constitué d un matéiau homogèn t indéfomabl d conductivité thmiqu constant. On suppos qu la hautu du cylind st tès gand dvant son diamèt d façon à pouvoi fai l hypothès du poblèm unidictionnl. L équation d la chalu dans l cas où il n y a pas d dissipation s écit alos : d d d A d d d ( ) A ln( ) + B d d constants A t B sont à détmin, c qui nécssit l écitu d conditions au limits. a. Cylind plin d ayon :, ln ( ) ( ) Pou ( ) B ( ), c qui st physiqumnt impossibl A. cylind isothm b. Cylind cu d ayon éiu t d ayon téiu : A ( ) B ( ) A ln + avc Notons t ls tmpéatus égnant su ls facs éiu t téiu du cylind : ( ) A ln( ) ( ) A ln( ) + B + B 7

18 A t ln ln B ( ) ln( ) ln ( ) ln + (b) ln Détminons la dnsité d flu d chalu qui tavs l cylind n qulconqu n appliquant la loi d Foui : ϕ ϕ d ϕ ϕ d d A d maqu : la dnsité d flu dépnd d, contaimnt au cas du mu plan. avc 8 (n W/m ) ϕ > ou ϕ < L flu d chalu tavsant un hautu H d cylind pou un qulconqu : π H ϕ d (n W) d dθ dz ϕ dθ dz ϕ π H π H A π H ln On constat qu l flu d chalu n dépnd pas d, c qui impliqu notammnt qu l flu qui tavs la fontiè n st égal au flu qui tavs la fontiè n, véifiant ainsi la consvation du flu dans l cas du égim pmannt sans dissipation. En vanch, la dnsité d flu dépnd d, ca la sufac tavsé pa l flu dépnd d. Pou assu la consvation du flu total, la dnsité d flu sa ainsi plus élvé n qu n. La lation pécédnt put nco s éci : Et (b) put s éci sous la fom : (b) ln / ( π H ) + π H ( ) ln i ls facs éiu t téiu du cylind sont à tmpéatu imposé, alos la combinaison ds équations (b) t (3b) détmin complètmnt la distibution d (3b)

19 tmpéatu à l éiu du mu t ls flu d chalu au fontiès sont calculés pa l équation (b). Ls flu au fontiès du po d vu du mu : n : n ϕ ϕ n ϕ avc ϕ d d ϕ d d A On véifi bin qu ϕ st positif (ntant) losqu > (la chalu s popag du chaud vs l foid). n : n ϕ ϕ n ϕ avc ϕ d d d ϕ d A On véifi bin qu ϕ st négatif (sotant) losqu >. 5) ésistanc thmiqu Analogi élctiqu D apès ls ésultats établis au paagaph pécédnt, on constat qu ls pssions ds flu d chalu qui tavsnt un miliu pa conduction ou qui sont échangés pa convction puvnt s mtt sous la fom : thmiqu pou l mu plan : thmiqu pou l cylind cu : ln / ( π H ) pou l flu convctif : h ( ) p thmiqu thmiqu ln π H h La ésistanc thmiqu pésnt ainsi la ésistanc du miliu soumis à un écat d tmpéatu donné, à laiss s popag un flu d chalu. Pou un donné, l flu d chalu qui tavs l miliu sa d autant plus ptit qu la ésistanc st gand. Ainsi pa mpl pou l cas du mu, on voit qu plus l miliu st isolant ( faibl), plus la ésistanc st gand t donc plus l flu st ptit. Losqu l on taita d un poblèm d isolation thmiqu, on chcha donc à augmnt la ésistanc du systèm. En vanch, losqu l on chcha à amélio ls tansfts d chalu (foidissmnt d systèms, échangus ) on chcha à diminu la ésistanc du systèm (n augmntant h pa mpl). Analogi élctiqu 9

20 L pssion du flu ainsi écit pésnt un ctain analogi avc la loi d Ohm n élcticité : U I. L flu d chalu jou l ôl du couant élctiqu (flu d élctons), la diffénc d tmpéatu qui donn naissanc au flu d chalu jou l ôl d la diffénc d potntil qui donn naissanc au couant élctiqu. Ainsi, pou pésnt un poblèm thmiqu, on poua adopt la méthod ds schémas élctiqu équivalnts du typ : thmiqu On poua égalmnt appliqu ls mêms lois d composition qu n élcticité (cicuits séis ou paallèls) losqu l on sa confonté à un systèm mttant n ju plusius miliu t plusius typs d flu. Empl : un mu plan st soumis à un flu d convction su l un d ss facs (taité au paagaph II.). + h l schéma élctiqu équivalnt st l suivant : thmiqu + h h 6) ésistanc d contact nt du solids si l contact st pafait : solid solid ϕ ϕ Σ continuité du flu à la tavsé d l fac : d d Σ d d Σ + continuité ds tmpéatus à l fac : si l contact st impafait (ugosités à l échll micoscopiqu, défauts géométiqus ). La sufac éll d contact n pésnt alos qu qulqus poucnts d la sufac total. La dnsité d flu d chalu put alos êt localmnt tès gand.

21 L fac st défini su un épaissu ε. continuité du flu à la tavsé d l fac : discontinuité appant ds tmpéatus à l échll macoscopiqu. solid solid Ainsi tout s pass comm s il istait un ésistanc thmiqu nt ls du solids, applé ésistanc d contact. L saut d tmpéatu à la tavsé d l fac st : Σ c : l ai immobil mpisonné dans ls anfactuosités d l fac agit comm un tès bon isolant, c qui s taduia pa un ésistanc d contact élvé. Ecic d application : isolation d un mu t Donnés : ht t b b ϕ On considè un mu n béton, d conductivité thmiqu b t d épaissu b, n contact su un d ss facs avc un miliu à la tmpéatu (éiu d un pièc d habitation pa mpl), t l aut fac étant n contact avc un miliu à la tmpéatu (l téiu). Ls échangs d chalu nt l mu t son miliu nvionnant s poduisnt pa convction, dus au vnt à l téiu t au mouvmnts d l ai dans la pièc. On définit ls coffics d échang convctifs : h caactéisant ls échangs avc la pièc h t caactéisant ls échangs avc l téiu t C ; -5 C ; h 5 W/m /K ; h t W/m /K ; b W/m/K ; b cm Calcul du flu d chalu qui tavs l mu (d l éiu vs l téiu ca la pièc st plus chaud qu l téiu) pou un sufac d échang m : - chéma élctiqu équivalnt : ε h t t t - ésistanc équivalnt : Application numéiqu :.35 K/W, h t b + + h h b b b 7 W t h Calcul d la tmpéatu du mu à l éiu d la pièc : h ( ) h

22 Application numéiqu : 4 C 6 C!! q : dans c cas, mêm si l ai dans la pièc s touv à C, la tmpéatu ssnti pa un psonn s touvant dans la pièc sa baucoup plus bass, dû au échangs d chalu pa ayonnmnt nt l cops t ls mus. On ajout un couch d isolant (lain d v) d conductivité thmiqu iso.4 W/m/K t d épaissu iso cm. Calcul du flu d chalu qui tavs l mu pou un sufac d échang m. - chéma élctiqu équivalnt : t * * * * * * * * t t * h - ésistanc équivalnt : Application numéiqu : *.85 K/W t iso * + b b * iso iso iso 8, * 8.6 W h Calcul d la tmpéatu du mu à l éiu d la pièc : * * h ou * Application numéiqu : *.7 C > 8 C!! * III. Conduction n égim pmannt avc dissipation n d chalu ) Equation d la chalu On considè un solid (ou un fluid au pos) homogèn t indéfomabl t on suppos qu la conductivité thmiqu du matéiau st constant. pnons l équation d la chalu établi pécédmmnt : ρ c t En égim stationnai (pmannt) : t + P (l tm d accumulation st nul) (, y,z) P dans (ϑ) ) L poblèm du mu avc dissipation n On considè un mu constitué d un matéiau homogèn t indéfomabl d conductivité thmiqu constant, d épaissu. On suppos qu la hautu t la pofondu du mu sont tès gands dvant son épaissu d façon à pouvoi fai l hypothès du poblèm unidictionnl. C mu st soumis à un dissipation volumiqu d chalu P. L flu d chalu s popaga dans un

23 sul diction (suivant pa mpl) t la tmpéatu à l éiu du mu n dépnda qu d un. sul vaiabl d spac : ( ) d d P dissipation d d P + A P ( ) + A + B L pofil d tmpéatu st paaboliqu t admt un tmum n On not : ( ) t ( ) * d A (pou ). P d ( ) B t ( ) + A + P A P + P ( ) + + ( ) ( ) ( X ) ( ) P θ où L tmum d tmpéatu st att n ( ) ( X X ) + X A +. P P * X. Détminons la dnsité d flu d chalu qui tavs l mu n qulconqu n appliquant la loi d Foui : d P ϕ + A d ϕ dépnd d t on véifi bin qu ϕ. où ϕ P + (n W/m ) * ( P A) ϕ L flu d chalu tavsant la sufac du mu pou un qulconqu s écit : ϕd P + (n W) Hautu Pofondu du mu sufac du mu (dans ls dictions z t y). dépnd d t. * 3

24 ϕ */ ϕ Dans l cas où on a ϕ P < t ϕ P >. * t ϕ P ainsi 3) Poblèms à syméti d évolution z On considè un cylind d ayon constitué d un matéiau homogèn t indéfomabl d conductivité thmiqu constant. On suppos qu la hautu du cylind st tès gand dvant son diamèt d façon à pouvoi fai l hypothès du poblèm unidictionnl. L équation d la chalu dans l cas où il y a d la dissipation s écit alos : d d d d P d d P + A P 4 ( ) + A ln( ) + B constants A t B sont à détmin, c qui nécssit l écitu d conditions au limits. a) Cas du cylind plin : ( : dissipation dans un fil élctiqu) d i alos + c qui n st physiqumnt pas admissibl. On doit donc avoi : A. d En P : ( ) + B 4 P ( ) + 4 ( ) B P 4 + Détminons la dnsité d flu d chalu qui tavs l mu n qulconqu n appliquant la loi d Foui : ϕ dépnd d : n ϕ d P P ϕ ϕ d n ϕ P (n W/m ) ϕ P L flu d chalu tavsant la sufac du mu pou un qulconqu s écit : π ϕd H ϕ dθ dz 4

25 π H P (n W) où H st la hautu du cylind su laqull on calcul l flu. En : π H P i ésult d un échang convctif avc l fluid nvionnant : h h Consvation du flu d chalu à l fac : Flu d chalu pa aivant à l fac pa conduction dans l solid Flu d chalu évacué pa convction dans l fluid. ( ) avc π H h π P h π H ( ) H P h IV. Ls Ailtts Ls ailtts sont d bons conductus d la chalu dont un dimnsion st gand pa appot au auts. Ells sont utilisés pou amélio l évacuation d la chalu d un systèm solid confiné dans lqul ls dnsités d flu d chalu sont élvés. ésistancs chauffants à ailtts. ub à ailtts (adiatu). Dissipatus thmiqus. Motu d moto. Figu : Empls d systèms à ailtts utilisés dans diffénts sctus d applications. Dans ls paagaphs pécédnts, l tansft d chalu pa conduction dans l solid t l tansft d chalu pa convction à pati d ss fontiès s poduisait dans la mêm diction. Dans ls systèms avc ailtts, la diction du flu d chalu convctif st ppndiculai à la diction pincipal du flu d chalu dans l solid. Considéons l mu plan d la Figu (a). L flu d chalu évacué du mu pa convction s pim pa la loi d Nwton : conv 5 ( ) h i p st fié, il y a du possibilités pou augmnt l flu d chalu évacué : ch Augmnt l coffic d échang convctif, h, n augmntant la vitss d l écoulmnt t/ou diminu la tmpéatu du fluid. Dans la plupat ds applications, augmnt h au maimum n suffit pas pou évacu l flu d chalu souhaité t bin souvnt l coût st top élvé (installation d pomps ou vntilatus puissants t ncombants). édui st bin souvnt infaisabl dans l installation. La duièm solution st baucoup plus simpl à mtt n œuv : il s agit d augmnt la sufac d échang, éch, n utilisant ds ailtts s étndant à pati du solid dans l miliu nvionnant (voi Figu (b)). La conductivité thmiqu du matéiau constituant l ailtt doit êt élvé afin d minimis ls gads d tmpéatu nt la bas t l témité d l ailtt. p

26 L augmntation du flu d chalu sa maimal si l ailtt st à tmpéatu unifom à p (conductivité infini). éch h éch ( p - ) p, éch p Figu : Utilisation d ailtts pou augmnt l flu d chalu évacué du mu : (a) mu plan, (b) mu muni d ailtts. Il ist plusius configuations d ailtts (voi figu ci-dssous), dont l choi, dans la patiqu, st conditionné pa d nombu citès : l spac disponibl dans l systèm, l poids, la facilité d fabication, ls coûts Il faut égalmnt pnd n compt la ptubation d l écoulmnt ngndé pa la pésnc ds ailtts (pts d chag). l Figu 3 : diffénts typs d ailtts : (a) ailtt doit à sction constant, (b) ailtt doit à sction vaiabl, (c) ailtt annulai, (d) ailtt n fom d aiguill à sction vaiabl. ) L équation d la chalu pou ds ailtts à sction constant On chch à détmin dans qull msu la pésnc d ailtts put amélio l tansft d chalu d un sufac d un solid vs l fluid nvionnant. Considéons l ailtt d sction constant schématisé su la figu Figu 4 baignant dans un fluid n mouvmnt à la tmpéatu. Pou quantifi l tansft d chalu associé à ctt ailtt nous dvons tout d abod détmin la distibution d tmpéatu l long d l ailtt à pati d un bilan d éngi qu nous allons établi n posant ls hypothèss suivants : - L égim st pmannt t il n y a pas d dissipation n d chalu. - La conductivité thmiqu d l ailtt,, st constant. - L coffic d échang convctif, h, st unifom su tout la sufac d l ailtt. - On néglig l tansft d chalu pa ayonnmnt. - L poblèm st monodimnsionnl, c st-à-di qu l flu d chalu n s popag qu dans un sul diction (la diction ). On considè ainsi qu la tmpéatu st unifom dans un sction d l ailtt n donné, c qui st généalmnt assué pa l utilisation d ailtts fins. 6

27 conv, h +d h d Figu 4 : Bilan d éngi su un tanch d ailtt d épaissu d. Effctuons un bilan d éngi su l systèm constitué d un tanch d l ailtt compis nt t + d : + d + - flu d chalu tansmis pa conduction n : - + d flu d chalu tansmis pa conduction n + d : - conv, où : conv d d + d d + d flu évacué pa convction à la fontiè nt t + d : h p d ( ( ) ) st l ai d la sction d passag du flu d conduction. conv, p st l péimèt d l ailtt (péimèt d échang du flu convctif). d d d d + d d d h p d d ( ( ) ) d d + d d d h p h p d d ( ( ) ) ( ( ) ) d d ca d + d d d d d d d d d d d h p ( ( ) ) Eq. IV. L champ d tmpéatu dans l ailtt, (), st ainsi détminé pa la ésolution d ctt équation (pafois applé équation d la ba) associé à du conditions au limits, écits à la bas t à l témité d l ailtt. maqu : si la sction d l ailtt n st pas constant : () t p p(). L équation d bilan s écit alos : d d + d d d h p ( ) d ( ( ) ) p( ) ( ( ) ) d d d d h 7

28 Posons ( ) ( ( ) ) θ t m h p. L équation IV. dv : d θ m θ d Eq. IV. h coffic d échang convctif (W.m -.K - ). conductivité thmiqu du matéiau constituant l ailtt (W.m -.K - ). sction d l ailtt (m ). p péimèt d l ailtt (m). Pou un ailtt ctangulai d épaissu t d lagu l : Pou un ailtt cylindiqu d ayon : π t p l t p ( + l). π. L équation difféntill IV., d od linéai t homogèn à coffics constants, admt un solution généal d la fom : m m ( ) C + C θ Eq. IV.3 dθ m C d m m ( C ) ésolution d l équation difféntill linéai d od à coffics constants (EDL) θ '' m θ ( s éfè à la déivé scond pa appot à ). La solution d un EDL du pmi od à coffics constants (EDL) θ ' aθ ( s éfè à la déivé pmiè pa appot à t a constant éll) st d la fom θ ( ) K a (K constant). On chch s il ist ds solutions d l EDL ayant la mêm fom qu clls d un EDL, c.a.d. d la fom α α L EDL s écia dans c cas θ '' m θ α m α m (équation caactéistiqu) α ± m avc dans not cas m él. Ainsi m t m α. sont solutions d l équation. out combinaison linéai d cs solutions θ C (C t C + C m m st égalmnt solution. La fom généal d la solution d l EDL st donc ( ) constants). Ls constants C t C sont détminés à pati ds conditions au limits à la bas t l témité d l ailtt. A la bas d l ailtt ( ) : θ ( ) ( ( ) ) ( ) θ ( ) C + C θ θ Eq. IV.4 A l témité d l ailtt ( L) : plusius cas puvnt êt considéés : a. tmpéatu imposé à l témité (condition au limits d typ Diichlt) : ( L) ( ( L) ) ( L ) θ L θ θ. cas paticuli : ailtt infinimnt longu : ( L) ( L) b. ailtt soumis à un flu d chalu convctif à son témité (condition au limits d typ Numann). cas paticuli : ailtt isolé thmiqumnt (condition d adiabaticité). 8

29 ) Flu d chalu évacué pa un ailtt infinimnt longu t d sction constant L Pou un ailtt d longuu «infini», la tmpéatu à l témité sa égal à la tmpéatu du miliu nvionnant,. Ainsi θ L si L. La condition au limits n L s écit alos : C m L m L ( L) θ C + C L L θ Eq. IV.5 C La condition au limits n (Eq. IV.4) s écit alos : C θ. L champ d tmpéatu à l éiu d l ailtt st donné pa l équation IV.3 avc C t θ : θ θ ( ) m L flu d chalu évacué du solid pa l ailtt,, dv: dθ d θ / θ θ m d d h p En mplaçant m pa son pssion ( m ), on obt : Eq. IV.6 θ h p θ Eq. IV.7 On put donc odui un ésistanc thmiqu d l ailtt infini,, tll qu : ( ) θ m h p ous qull condition put-on considé qu l appoimation L st valid? Dans la patiqu, l hypothès L.99 ), soit ml ln() ou θ L L sa considéé valid si <. ( %) θ L 4.6 avc m h p m. (ou Empl : baau cylindiqu n Cuiv, n Aluminium ou n Aci (taité n cous). 9

30 3) Efficacité t ndmnt d un ailtt applons qu ls ailtts sont utilisés pou augmnt l flu d chalu tansféé du solid vs l nvionnmnt. On nota cpndant qu l ailtt ll-mêm possèd un ésistanc thmiqu. On pouait ainsi s touv dans l cas où, si l ailtt n st pas coctmnt dimnsionné, sa pésnc n contibua pas à l augmntation du tansft. On définit l fficacité d un ailtt comm étant l appot nt l flu d chalu évacué pa l ailtt,, t l flu d chalu qui sait évacué sans ailtt : h ε h θ L st la sction d la bas d l ailtt (n, contact avc l solid). θ - où st la tmpéatu d la bas d l ailtt ou d la sufac du solid. h θ Dans l cas d l ailtt «infini», l fficacité s écit : ε h p θ, h θ ε, p h L fficacité d un ailtt st avéé si ε. Ainsi l fficacité d l ailtt st amélioé pa : l choi d un matéiau d conductivité élvé. l choi d la géométi d l ailtt, tll qu p élvé (utilisation d ailtts fins). l choi d un coffic d échang convctif «lativmnt» pu élvé (tout n assuant un flu évacué élvé). Ainsi l utilisation d ailtts sa plus justifié dans l cas où l fluid n écoulmnt st un gaz plutôt qu dans l cas d un liquid, t losqu l tansft d chalu s poduit pa convction natull. Un aut msu d la pfomanc d un ailtt st founi pa l calcul du ndmnt d un ailtt. Clui-ci st défini comm étant l appot nt l flu d chalu évacué pa un ailtt,, t l flu d chalu maimal qu pouait évacu un ailtt. C flu d chalu maimal st att dans l cas où l écat d tmpéatu nt l ailtt t l fluid nvionnant st maimal c.a.d. losqu l ailtt ntiè s touv à la tmpéatu d la bas : où ailtt ( ) h ch ailtt ma h θ ch ailtt ch st la sufac d échang nt l ailtt t l fluid nvionnant. L ndmnt d un ailtt s écit alos : η ailtt h ch θ η 3

31 Dans d nombuss applications patiqus, l analys du compotmnt thmiqu d un systèm muni d ailtts dv compl si ls ailtts utilisés n ont pas un sction constant. L obtntion du champ d tmpéatu dans l ailtt dv adu t donc l calcul du flu d chalu évacué pa l ailtt compliqué. Ds abaqus ou ds pssions analytiqus du ndmnt, η, t d la sufac ailtt d échang, ch, d ailtts d fom couant sont alos disponibls dans la littéatu, qui pmttnt d détmin l flu d chalu évacué pa l ailtt,, connaissant la tmpéatu à la bas d l ailtt, θ. 4) Efficacité t ndmnt d un sufac muni d ailtts On définit l fficacité d un sufac muni d ailtts comm étant l appot nt l flu d chalu total évacué pa l systèm avc ailtts,, t l flu d chalu total qui sait évacué pa convction sans ailtt : ε h θ où nvionnant, N + st la sufac total du systèm sans ailtt n contact avc l fluid nt nt ailtts étant la sufac nt ls ailtts. Dans la patiqu, on chch bin sû à ailtts concvoi un systèm pou lqul ε. flu évacué pa ls ailtts + flu évacué pa convction nt ls ailtts N + h nt ailtts flu d chalu évacué pa ailtt. N nomb d ailtts (touts idntiqus, d sction à la bas, ) disposés su la sufac. θ - où st la tmpéatu d la bas d l ailtt ou d la sufac du solid. N + h N η h h θ + θ ( N ) θ θ + h ( N ) N h θ ( ε ) ε fficacité d un ailtt (voi paagaph pécédnt). ε + N ( ε ) θ Un aut msu d la pfomanc d un sufac muni d ailtts st founi pa l calcul du ndmnt du systèm. Clui-ci st défini comm étant l appot nt l flu d chalu évacué pa l systèm avc ailtts,, t l flu d chalu total maimal : η h total ch θ total ailtt où ch N ch + nt ailtts st la sufac d échang total du systèm muni d ailtts avc l fluid nvionnant. 3

32 N + h nt ailtts N η h h total ch ailtt ch θ + h θ + N h total ailtt N + h ( ch N ch ) total ailtt ( ch N ch ) θ θ ( η ) θ ailtt ch ailtt ch η N ( η ) total ch Dans la patiqu, connaissant η à pati ds abaqus, on put calcul η attaché au systèm étudié, puis accéd au flu d chalu total évacué. V. Conduction n égim vaiabl dans un miliu à tmpéatu unifom modèl du bloc isothm. ) Equation d la chalu pnons l pssion d l équation d la chalu sous fom global (bilan d éngi nt ls instants t t t + dt dans tout l volum (ϑ) du systèm) établi au paagaph I pou un miliu homogèn : ou, d façon équivalnt : t ρ c dτ ϕ n d + ϑ ϑ ρ c dτ t + P ϑ θ P dτ pésnt l flu d chalu échangé à tavs la fontiè du systèm t P la puissanc caloifiqu dissipé à l éiu du systèm. On suppos qu la tmpéatu st unifom dans tout l volum (ϑ) (on vinda plus loin su ls conditions d validité d ctt appoimation). Ell n dépnd donc qu du tmps t : (, y,z,t) ( t) On suppos pa aillus qu ρ t c sont constants dans tout l volum. On put donc éci : où m st la mass du systèm : ϑ m ρϑ. d ρ c dτ ρ c ϑ t dt L équation d la chalu pou l volum (ϑ) s écit : d m c dt d m c dt ϕ P dτ n d + ϑ Eq. V. ) La tmp d un bill métalliqu n C pocssus consist à immg un bill initialmnt à la tmpéatu i, dans un bain manu à tmpéatu constant, i. On suppos qu la tmpéatu d la bill st unifom, c qui sa quasimnt l cas si la bill st d ptit taill t/ou si la conductivité thmiqu du matéiau constituant la bill st élvé. 3

33 Dans c poblèm, il n y a pas d poduction n d chalu. L équation V. s écit : d m c Eq. V. dt l flu d chalu échangé à tavs la fontiè st ici un flu convctif, égi pa la loi d Nwton. La dnsité d flu d chalu s écit : bill ϕ ( ) n h p La tmpéatu d la bill étant unifom, bill p su tout la sufac d la bill,, t donc : ϕ n d h ( t) L équation d bilan V. s écit alos : d m c dt d dt h h m c ( ( t) ) ( ( t) ) d ( ( t) ) dt h m c ( ) ( ( t ) ) On pos : τ m c h C goupmnt caactéistiqu a la dimnsion d un tmps : c st la constant d tmps du systèm, qui donn l od d gandu d la dué du égim tansitoi du phénomèn physiqu étudié. ( ) ( ) d dt τ t Intégation : K p τ Condition initial : à t, i K i i t p τ Eq. V.3 τ Pou t τ : p( ).3679 i Cla signifi qu à l instant τ, l écat nt la tmpéatu d la bill t la tmpéatu du miliu st égal à nvion 37% d l écat initial. 33

34 i t/τ Au tmps tès longs, c'st-à-di losqu t, on att l égim asymptotiqu : i La tmpéatu d la bill tnd vs la tmpéatu du miliu dans lqul ll st plongé : l systèm bill + miliu st isothm asymptotiqumnt (à l équilib). En patiqu, on considè qu un systèm att la tmpéatu du miliu téiu losqu t asympt % (.), c qui cospond à un tmps ln. ln(), soit : τ i t asympt τ ln() 4.6τ 3) Validité d l appoimation du miliu à tmpéatu unifom nomb d Biot L paamèt caactéistiqu du poblèm qui pmt d véifi la validité d l appoimation du miliu à tmpéatu unifom st un nomb sans dimnsion, applé nomb d Biot défini comm étant l appot nt du ésistancs thmiqus : ésistanc n (lié à la bill) : t ésistanc tn (lié au fluid) : Ainsi : p Bi t t t t Bi t t t Bi << si : tmpéatu unifom dans l solid (tès bons conductus). En généal, on considè qu l appoimation st valid si Bi <.. Bi >> si p : l fluid impos sa tmpéatu à la sufac du solid. p p oit δ la dimnsion caactéistiqu du systèm solid considéé (pa mpl l ayon pou un sphè). ésistanc d conduction : t ésistanc d convction : δ t h h δ Bi 34

35 Nomb d Foui : pnons l pssion d la constant d tmps du systèm, τ: m c ρ ϑ c ρ l c ρ c l l τ h h h h l α Bi où α st la diffusivité thmiqu d la bill (n m /s) ρ c t t Bi τ l / α l cospond à un tmps d diffusion thmiqu, caactéisant la pénétation d la chalu à α l éiu du solid. On oduit un tmps sans dimnsion, applé nomb d Foui : t Fo l / α t τ Bi Fo p( Bi Fo) i 35

36 CHAP. 3 : ANFE DE CHALEU PA CONVECION I. Généalités La convction st un mod d tansft d chalu qui mt n ju, n plus d la conduction, l mouvmnt macoscopiqu d la matiè. C phénomèn s poduit au sin ds miliu fluids (liquids ou gaz) n écoulmnt ou nt un paoi solid t un fluid n mouvmnt. On distingu du typs d convction: - Convction natull: ls mouvmnts sont dus au vaiations d mass volumiqu dans un fluid soumis au champ d psantu. Ls vaiations d mass volumiqu puvnt êt généés pa ds gads d tmpéatu (l ai chaud st plus lég qu l ai foid) t/ou à ds gads d composition (ai d un pièc chauffé pa un adiatu, couants océaniqus ou atmosphéiqus ). - Convction focé: l mouvmnt du fluid st povoqué pa ds actions mécaniqus téius (pomp, vntilatu ). - On pala d convction mit losqu ls du typs d convction coistnt dans un systèm. Dans l chapit pécédnt, nous avons considéé ls échangs pa convction sulmnt comm un condition au limits pou tait ds poblèms d conduction dans ls solids (l systèm étudié était l solid qui échangait d la chalu pa convction à sa fontiè avc l miliu téiu). Dans c chapit, l systèm étudié sa l fluid n mouvmnt, l état thmiqu du solid étant alos pis comm condition au limits. L étud du tansft d chalu pa convction pmt d détmin ls échangs d chalu s poduisant nt un paoi t l fluid n écoulmnt. On distingu alos classiqumnt du gands typs d configuations caactéisant la géométi du systèm : - Ecoulmnts tns: typiqumnt ls écoulmnts autou d obstacls (aéonautiqu, échangus ). - Ecoulmnts ns: concnnt ls écoulmnts dans ls tuyau (échangus) ou dans ls locau (thmiqu du bâtimnt). L impotanc du flu d chalu échangé pa convction va dépnd du égim d écoulmnt sous lqul s poduisnt ls échangs : égim laminai ou tubulnt. Un écoulmnt laminai st un écoulmnt caactéisé pa ds ligns d couant bin idntifiabls paallèls au paois. Un écoulmnt tubulnt st caactéisé pa ds stuctus toubillonnais qui favoisnt l bassag du fluid t donc ls échangs d chalu. Pou ctains configuations, comm pa mpl l écoulmnt l long d un plaqu plan, l écoulmnt put évolu d un égim laminai à un égim tubulnt n passant pa un phas d tansition.

37 y U Ecoulmnt autou d un cylind : topologi d l écoulmnt diè l cylind n fonction d l nsité d l écoulmnt initial. zon laminai zon tubulnt Ecoulmnt l long d un plaqu plan : dévloppmnt d la couch limit dynamiqu. ansition laminai tubulnt. y y ous-couch laminai zon tubulnt égim laminai écoulmnt n L tansft d chalu s poduit : pa conduction (diffusion) dans la diction y, pa conduction (généalmnt négligabl) t convction dans la diction. égim tubulnt écoulmnt n L tansft d chalu s poduit : pa convction dans touts ls dictions dans la zon tubulnt sauf dans la sous-couch laminai pès ds paois. La notion d tmpéatu st dictmnt lié à l agitation ds moléculs qui composnt la matiè (on pal d agitation thmiqu). Plus l agitation (l éngi cinétiqu) st impotant, plus la tmpéatu st élvé. Ainsi l tansft d chalu d un égion chaud vs un aut plus foid cospond à un tansft d éngi cinétiqu los ds chocs nt ls moléculs. D façon similai, la viscosité cospond à un dissipation d éngi lié au tansft d quantité d mouvmnt los d cs mêms chocs -moléculais. On voit donc qu ls phénomèns d tansft d chalu t d quantité d mouvmnt sont immnt liés, c qui a amné à odui l analogi d ynolds : ls pofils d vitss t d tmpéatu au sin d un fluid n mouvmnt dans un tub t soumis à ds échangs d chalu pa convction sont liés pa un lation d similitud. II. Coffic d échang convctif Notion d couch limit : c st un égion d l spac au sin d laqull sont obsvés ls gads d vitss (couch limit dynamiqu) ou ls gads d tmpéatu (couch limit thmiqu). L dévloppmnt d la couch limit dynamiqu st dû au phénomèn d diffusion d quantité d mouvmnt pa fottmnt visquu. L dévloppmnt d la couch limit thmiqu st dû au phénomèn d diffusion d nthalpi. On not δ l épaissu d la couch limit dynamiqu t δ l épaissu d la couch limit thmiqu.

38 écoulmnt y U δ ϕ δ O adhénc plaqu chauffé p() Au voisinag ds paois, compt tnu ds faibls vitsss du fluid, l tansft d éngi pa diffusion st dominant. Ctt couch constitu la pincipal ésistanc au tansft d chalu nt la paoi t l fluid n mouvmnt. Ainsi au voisinag immédiat d la paoi, on poua défini un ésistanc thmiqu local d conduction,, tll qu : où st la conductivité thmiqu du fluid. La dnsité d flu (flu pa unité d sufac) échangé nt la paoi t l fluid s écit alos : ϕ 3 δ p / δ / δ L tansft d chalu s poduit nsuit pa convction dans l fluid t la dnsité d flu obéit alos à la loi d Nwton : ϕ h où h désign l coffic d échang convctif (W.m -.K - ). On aua alos : ϕ / δ h Losqu l on pal d dnsité d flu d chalu, on s éss au flu d chalu échangé localmnt nt la paoi t l fluid. On y associ un coffic d échang convctif local, h. Ls conditions d écoulmnt pouvant vai d un po à l aut d la paoi, l coffic d échang t donc l flu d chalu échangé, puvnt aussi vai. On définit ainsi un coffic d échang convctif moyn, h, qui cospond au coffic d échang local moynné su tout la sufac d la paoi au contact avc l fluid : h Ls épaissus d couchs limits au sin dsqulls s poduisnt ls tansfts d chalu t d quantité d mouvmnt dépndnt d un gand nomb d paamèts (natu du fluid, égim d écoulmnt, taill t géométi du systèm, état d sufac d la paoi ) t sont donc difficils à caactéis. L coffic d échang convctif, qui donn accès au calcul du flu d chalu échangé nt la paoi t l fluid, st dictmnt lié à cs épaissus d couchs limits t st ainsi un gandu têmmnt difficil à évalu. C coffic st difficil à calcul pécisémnt mais on put toutfois donn ds ods d gandus (n W.m -.K - ) : - convction focé : gaz h, liquid h 3 à 5. Application : échangus, foidissmnt ds cicuits élctoniqus h d h δ

39 - convction natull : gaz h, liquid h. Application : thmiqu d l habitat, météoologi, mouvmnts dans l mantau tst, couants océaniqus q : losqu la tubulnc d l écoulmnt augmnt, l épaissu d la sous-couch laminai diminu t donc la ésistanc thmiqu décoît. Ainsi, l flu d chalu échangé pou un écat d tmpéatu donné, augmnt. III. Lois d coélation pou l coffic d échang convctif Dans l domain d l ingénii, ls coffics d échang sont calculés à pati d lois d coélations, obtnus soit pa l analys pécis ds mécanisms qui gouvnnt ls tansfts dans ls couchs limits, ou obtnus à pati d péimntations (lois mpiiqus).. Paamèts caactéistiqus d la convction Ls échangs d chalu pa convction s poduisnt au sin d un fluid n écoulmnt. On a vu qu l coffic d échang, qui v dans l calcul du flu d chalu, était lié à d nombu paamèts, notammnt au égim d écoulmnt (laminai ou tubulnt) t à la natu du fluid. On chch donc à pim c coffic d échang n fonction d gandus caactéistiqus du égim d écoulmnt t d la natu du fluid. Ainsi on poua éci qu h st fonction d la vitss d l écoulmnt, ds coffics d diffusion d quantité d mouvmnt t d chalu (qui contôlnt ls épaissus d couch limit) t d un longuu caactéistiqu du systèm. Dans la patiqu, on utilis plutôt ds gandus sans dimnsions. L égim d écoulmnt n convction focé st caactéisé à pati d un nomb sans dimnsion : l nomb d ynolds, qui quantifi l impotanc ds focs d i (motu d l écoulmnt) pa appot au focs visquuss (dissipation, fin à l écoulmnt). Il s écit : U ρ focs d' i Lf focs visquuss U µ L L f où : U st la vitss caactéistiqu d l écoulmnt (m.s - ). pa : Lf st un longuu caactéistiqu du systèm étudié (m). 4 f U L ν st la viscosité cinématiqu du fluid (ou diffusivité d quantité d mouvmnt), défini µ ν où µ st la viscosité dynamiqu du fluid (kg.m -.s - ) ρ ρ st la mass volumiqu du fluid (kg.m -3 ) ν st ainsi un popiété physiqu du fluid, qui quantifi la capacité d c fluid à diffus la quantité d mouvmnt (à atténu ls gads d vitss). Ell s pim n m /s. L égim d écoulmnt n convction natull st caactéisé à pati d un nomb sans dimnsion : l nomb d Gashof, qui quantifi l impotanc ds focs d Achimèd (motu d l écoulmnt) pa appot au focs visquuss (dissipation, fin à l écoulmnt). Il s écit : GL f g β L ν 3 f ν f

40 où : g st l accéléation d la psantu (m.s - ). β st l coffic d dilatation thmiqu (K - ρ ) : β. ρ st un écat d tmpéatu caactéistiqu du systèm étudié (K). L compotmnt du fluid vis-à-vis ds échangs d chalu pa convction st caactéisé pa l nomb d Pandtl. C st un paamèt sans dimnsion défini pa l appot nt la diffusivité d quantité d mouvmnt t la diffusivité thmiqu : ν P α p α st la diffusivité thmiqu du fluid, défini pa : α ρc p où st la conductivité thmiqu du fluid (W.m -.K - ) c p st la chalu spécifiqu du fluid (J.kg -.K - ) α st ainsi un popiété physiqu du fluid, qui quantifi la capacité d c fluid à diffus la chalu (à atténu ls gads d tmpéatu). Ell s pim n m /s. L nomb d Pandtl put êt vu comm un appot d du tmps caactéistiqus : l tmps d diffusion d la quantité d mouvmnt, L f τ ν t l tmps d diffusion thmiqu, ν τα P τ ν L f τ α : α Ainsi un nomb d Pandtl faibl (cas ds métau liquids) signifi qu la diffusion d la chalu dans l fluid s poduit tès vit (tmps d diffusion tès cout) d tll sot qu l champ d vitss n a pas l tmps d affct l champ d tmpéatu. Invsmnt, un nomb d Pandtl élvé signifi qu l champ d tmpéatu dans l fluid st fotmnt influncé pa l champ d vitss. Ods d gandu (conditions nomals d pssion t d tmpéatu) : Pai.7, Pau 7, P huil. L nomb d Pandtl put êt combiné au nomb d ynolds pou fom l nomb d Péclt : P L L P f f U L L nomb d Pandtl put êt combiné au nomb d Gashof pou fom l nomb d ayligh : α f a Lf G Lf g β L P ν α 3 f 5

41 L flu d chalu échangé pa convction sa caactéisé n l compaant à un flu d chalu d éfénc échangé pa conduction. On définit ainsi un nomb sans dimnsion, applé nomb d Nusslt : NuL f flu convctif loi d Nwton h flu d conduction d éfénc loi d Foui L h Lf NuL f Un nomb d Nusslt élvé signifia donc qu ls échangs d chalu pa convction pédominnt fac au échangs pa conduction. L nomb d Nusslt fait bin ntndu appaaît l coffic d échang convctif. On poua ainsi défini un nomb d Nusslt local à pati du coffic d échang local associé au flu d chalu échangé localmnt nt un paoi t l fluid ou bin un nomb d Nusslt moyn défini à pati du coffic d échang moyn associé au flu d chalu global su tout la sufac d la paoi. Empl : écoulmnt l long d un plaqu plan d longuu L : Nomb d Nusslt local n un position donné l long d la plaqu : 6 ( ) h Nu Nomb d Nusslt moyn calculé su la longuu d la plaqu : h L Nu L où h L q : l nomb d ynolds caactéistiqu d l écoulmnt n un position donné l long d la U plaqu st (L f ) :. ν. Lois d coélation n convction L tansft d chalu pa convction dépnd du égim d écoulmnt (laminai ou tubulnt) t d la natu du fluid. En convction focé, on chcha donc à établi ds coélations qui l l nomb d Nusslt au nombs d ynolds t d Pandtl : Nu f (,P) L f Lf Ls pincipals coélations sont pésntés n ann. En convction natull, on chcha à établi ds coélations qui l l nomb d Nusslt au nombs d Gashof t d Pandtl. Ls étuds montnt qu ls coélations s écivnt Nu f a L h d simplmnt n utilisant l nomb d ayligh : ( ) Lf L f 3. Méthodologi pou calcul l flu d chalu n convction Calcul du nomb d ynolds, L (convction focé) ou du nomb d ayligh, f a L f (convction natull), t du nomb d Pandtl, P. f

42 Choi d la coélation. Calcul du nomb d Nusslt : NuL f ( L,P) ou L f ( a ) f f Nu. f L f Calcul du coffic d échang (local ou moyn) : h NuL L f. Calcul du flu d chalu (local ou global) pa la loi d Nwton. f maqu : Dans l cas ds conduits, la longuu caactéistiqu st l diamèt hydauliqu, défini pa : ction d passag du fluid D h 4 4 Péimèt mouillé d la conduit P mpls : cylind d diamèt D totalmnt mpli d fluid : D π t P π D D h D 4 conduit ctangulai d hautu h, d lagu L totalmnt mpli d fluid : dans l cas où L >> h : h L t P ( a + L) h L h D h h h + L h + L h L D h h + L 7

43 PINCIPALE LOI DE COELAION EN CONVECION FOCEE Ls popiétés thmo-physiqus qui vinnnt dans ls nombs d ynolds t d Pandtl sont évalués à la tmpéatu moynn nt la tmpéatu d l écoulmnt t la tmpéatu d sufac du solid. Convction focé n Diamèt hydauliqu d un conduit : : sction d passag du fluid P : péimèt mouillé d la conduit. Ecoulmnt dans un conduit d diamèt hydauliqu D h n égim établi égim laminai ( Coélation mpiiqu valabl pou conduit chauffé à tmpéatu constant p. égim tubulnt Coélations valabls si, Coélation d Colbun si viscosité dynamiqu calculé à p. Coélation mpiiqu d Dittus-Bolt chauffé foidi n.4 si paoi n.3 si paoi q : pou un tub totalmnt mpli d fluid, un solution analytiqu put êt obtnu n égim laminai : paoi chauffé à tmpéatu constant : paoi chauffé à flu constant. Convction focé tn Ecoulmnt autou d un cylind d diamèt D : coélation d Hilpt D C m

44 Ecoulmnt autou d un sphè d diamèt D : coélation d Whitak valabl pou : 3.5 t st la viscosité dynamiqu du fluid calculé à la tmpéatu d l écoulmnt à l infini (loin d la sphè). st la viscosité dynamiqu du fluid calculé à la tmpéatu d sufac d la sphè. égim laminai Local : ( Moyn : Ecoulmnt l long d un plaqu plan d longuu L égim tubulnt ( 9

45 CHAP. 3 : ANFE DE CHALEU PA AYONNEMEN I. INODUCION L tansft d éngi pa ayonnmnt ésult ds actions éngétiqus nt un miliu matéil t l champ élctomagnétiqu nvionnant t s poduit pa l médiai d onds élctomagnétiqus, donc sans suppot matéil. Losqu la popagation s poduit dans l vid ou dans un miliu pafaitmnt tanspant, il n y a pas d dégadation d l éngi tanspoté. La plupat ds gaz simpls ntnt dans ctt catégoi. En vanch, losqu la popagation ds onds élctomagnétiqus s accompagn d un diminution d l éngi, on pal d miliu smitanspants. Ctains gaz, liquids ou solids ntnt dans ctt catégoi. out cops matéil émt t absob d l éngi sous fom d ayonnmnt élctomagnétiqu. L phénomèn d émission d un cops cospond à la convsion d éngi matéill n éngi adiativ. L phénomèn d absoption st la convsion invs. L ayonnmnt élctomagnétiqu (..m.) obéit au lois d la physiqu quantiqu t put êt décit soit pa l aspct copusculai soit pa l aspct ondulatoi, slon la natu ds phénomèns qui couplnt c ayonnmnt à la matiè t slon ls éngis miss n ju. Du po d vu ondulatoi, l..m. ésult d la popagation d un ond élctomagnétiqu (popagation simultané d un champ élctiqu t d un champ magnétiqu) caactéisé pa sa féqunc. L ond tanspot un ctain quantité d éngi lié à l nsité du champ élctiqu. Du po d vu copusculai, l..m. st constitué d quantas (photons) d éngi h ν (h J.s - c st d Planck, ν féqunc d l ond s - ). L flu d éngi st d autant plus gand qu l nomb d photons st élvé mais aussi qu la féqunc st élvé. C st n fait l éngi tanspoté pa chaqu photon qui conditionn la fom qu pnd l action du ayonnmnt avc la matiè. La gandu fondamntal caactéisant un..m. st ainsi la féqunc ν ou la longuu d ond c /ν (c 3. 8 m.s - vitss d la lumiè dans l vid) d chaqu photon. Distibution spctal du ayonnmnt élctomagnétiqu