Intervalles de confiance

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1 Itervalles de cofiace H4 H4 Itervalles de cofiace Vocabulaire : u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 95 %, u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 99 % 0 ) Echatillo o exhaustif La théorie des itervalles de cofiace suppose que chaque échatillo est o exhaustif c est-à-dire obteu par u tirage avec remise Néamois, lorsque e p < 5 %, cet échatillo peut être assimilé à u échatillo o exhaustif (e désige la taille de l'échatillo et p désige la taille de la populatio) ) Itervalle de cofiace relatif à ue fréquece (ou proportio) a) Positio du problème Afi d'estimer la proportio f d'ue populatio ayat u caractère doé, o prélève (avec remise) u échatillo de taille O ote f la proportio pour cet échatillo expérimetal O suppose que f 5 et ( f ) 5 b) Estimatio poctuelle f est u estimateur poctuel de la proportio f pour la populatio c) Tableau O ote F la statistique qui modélise les fréqueces expérimetales (obteues sur ue ifiité d'échatillos de taille ) La variable aléatoire X = F suit ue loi biomiale B(,f) que l'o peut approximer par ue loi ormale N(f ; f ( f ) ) car f 5 et (-f) 5 Par f ( f ) coséquet la loi de F peut être approximée par ue loi ormale N f, et la loi de F f peut être approximée par ue loi ormale N(0;) O e déduit le tableau ci-dessous f ( f ) Remarques : Plutôt que d'approximer maximum de f ( f ) f ( f ) f ( f ) par, o peut le majorer par lorsque f décrit [0;] qui est le Les coefficiets,96 et,576 provieet de la table (Foctio de répartitio de la loi de Laplace-Gauss) Les coefficiets,645 et,36 provieet de la table (Loi de Laplace- Gauss)

2 H4 JooBle - HSE Prédictio pour f (test) Type de l'itervalle Itervalle de cofiace pour f Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) f - f,96 f f ( f ) f ( f ) f,96 ; f +,96 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) f - f,576 Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) 0 f f +,645 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) 0 f f +,36 Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) f -,645 f Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, f(-f) f -,36 f uilatéral uilatéral uilatéral uilatéral f ( f ) f ( f ) f,576 ; f +,576 f f ( f ) 0 ; f +,645 f f ( f ) 0 ; f +,36 f f ( f ) f,645 ; f f ( f ) f,36 ; ) Itervalle de cofiace relatif à ue moyee a) Positio du problème Afi de détermier la moyee d'ue populatio, pour u caractère quatitatif x doé, o prélève u échatillo (o exhaustif) de taille O ote : * m la moyee pour cet échatillo expérimetal, * m la moyee pour la populatio, * et - les écarts-type pour cet échatillo expérimetal, * l'écart-type pour la populatio, X + X + X * M = la statistique modélisat la moyee de l'échatillo théorique * S = i = (X M ) i la statistique modélisat la variace de l'échatillo théorique b) Estimatio poctuelle m est u estimateur poctuel de la moyee m pour la populatio c) > 30 et est icou mais - ou est cou

3 Itervalles de cofiace H43 D'après la théorie de l'échatilloage, Il suffit de remplacer par = ou et - est u estimateur de das le tableau ci-dessous d) > 30 et est cou D'après la théorie de l'échatilloage, la loi de M peut être approximée par la loi ormale N m; O e déduit le tableau suivat Prédictio pour m (test) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - m,96 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - m,576 Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - < m m +,645 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - < m m +,36 Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m -,645 m < + Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m -,36 m < + Type de l'itervalle uilatéral uilatéral uilatéral uilatéral Itervalle de cofiace pour m m,96 ; m +,96 m,576 ; m +,576 ; m +,645 ; m +,36 m, 645 ; + m,36 ; +

4 H44 JooBle - HSE e) quelcoque et X suit ue loi ormale (M µ ) D'après la théorie de l'échatilloage, la variable aléatoire T - = suit ue loi de S Studet-Fisher à - degrés de liberté O e déduit le tableau ci-dessous das lequel t - (α) désige le coefficiet qui figure à l'itersectio de la lige - et de la coloe α das la table de Studet-Fisher Prédictio pour m (test) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - m t -(0,05) - Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - m t -(0,0) - Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - < m m + t -(0,0) - Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - < m m + t -(0,0) - Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - t -(0,0) - m < + Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, m - t -(0,0) - m < + Type de l'itervalle uilatéral uilatéral uilatéral uilatéral Itervalle de cofiace pour m t (0, 05) t (0, 05) m m ; m + t (0, 0) t (0, 0) m m ; m + t (0,0) ; m + t (0, 0) ; m + t (0,0) m ; + t (0, 0) m ; + 3 ) Itervalle de cofiace relatif à l'écart-type a) Positio du problème Afi de détermier l'écart-type d'ue populatio, pour u caractère quatitatif x doé, o prélève (avec remise) u échatillo de taille O ote : * et - les écarts-type pour cet échatillo expérimetal, * l'écart-type pour la populatio, * S = i = (X M ) la statistique modélisat l'écart-type de l'échatillo théorique i

5 Itervalles de cofiace H45 b) Estimatio poctuelle U estimateur poctuel de l'écart-type pour la populatio est - = c) > 30 et X suit ue loi ormale D'après la théorie de l'échatilloage, la variable aléatoire X = S suit ue loi du χ à ν = - degrés de liberté et comme o a ν 30, la variable aléatoire X - ν - = S suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite D'où le tableau suivat Prédictio pour (test) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - -3,96 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - -3,576 Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, -, Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, -, Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - -3,645 Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, - -3,36 Type de l'itervalle uilatéral uilatéral uilatéral uilatéral Itervalle de cofiace pour ; 3 +, 96 3,96 ; 3 +,576 3,576 0 ; 3, ; 3,36 ; + 3 +, 645 ; + 3 +, 36

6 H46 JooBle - HSE d) quelcoque et X suit ue loi ormale D'après la théorie de l'échatilloage, la variable aléatoire S suit ue loi du Khi-deux (χ ) à - degrés de liberté O e déduit le tableau suivat das lequel χ - (α) désige le coefficiet qui figure à l'itersectio de la lige - et de la coloe α das la table du Khideux (χ ) Prédictio pour (test) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,05) χ - (0,975) Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,005) χ - (0,995) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,05) Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,0) Das 95 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,95) Das 99 % des échatillos expérimetaux, o obtiedra, χ - (0,99) Type de l'itervalle uilatéral uilatéral uilatéral uilatéral Itervalle de cofiace pour ; χ(0,975) χ(0, 05) ; χ(0,995) χ(0, 005) 0 ; χ(0, 05) 0 ; χ(0, 0) ; + χ(0,95) ; + χ(0,99) 4 ) Itervalle de cofiace relatif à la variace Il suffit d'utiliser les résultats du paragraphe précédet e remarquat que la variace est égale au carré de l'écart-type

7 Itervalles de cofiace H47 5 ) Applicatio des itervalles de cofiace aux estimatios a) Estimateur O cherche à coaître la caractéristique z (moyee, écart-type ou proportio) d'ue populatio statistique représetée par la variable aléatoire X Pour cela : O prélève u échatillo expérimetal de taille auquel o associe u échatillo théorique de variables aléatoires (X ; X ; ; X ) idépedates et de même loi de probabilité que X O calcule la caractéristique recherchée (moyee, écart-type ou proportio) sur l'échatillo expérimetal : z = g(x ; x ; ; x ) Cette valeur z permet d'obteir ue estimatio poctuelle de la caractéristique z de la populatio A la caractéristique z, o associe la variable aléatoire Z = g(x ; X ; ; X ) (O dit que Z est ue statistique) E suivat la même méthode que pour le chapitre "Comparaiso d'u échatillo à ue orme", la statistique Z permet d'obteir u itervalle de cofiace de la caractéristique z de la populatio Déf O dit que la variable aléatoire Z est u estimateur de la caractéristique z de la populatio lorsque : lim E [ Z ] = z et lim V [ Z ] = 0 O dit que Z est u estimateur sas biais de z lorsque E[Z ] = z Exemples : X + X + X M = est u estimateur sas biais de la moyee de la populatio S = (Xi M ) est u estimateur biaisé de la variace de la populatio S - = i = S populatio = (X M ) i i = est u estimateur sas biais de la variace de la Déf Si Z' et Z" sot estimateurs de la caractéristique z de la populatio, o dit que Z' est plus efficace que Z" lorsque V(Z' ) < V(Z" ) O dit que Z est u estimateur efficace lorsque V(Z ) est la plus petite des variaces de tous les estimateurs de z Exemples : M est u estimateur efficace de la moyee de la populatio S - est u estimateur efficace de la variace de la populatio S - est u estimateur biaisé et iefficace de l'écart-type b) Exemple U bac cotiet ue grade quatité de pièces bleues ou rouges Afi de détermier la proportio f de pièces bleues das le bac, o prélève (à l'aide d'ue méthode o exhaustive) u échatillo de 0 pièces Cet échatillo cotiet 0 pièces bleues et 00 pièces rouges a) Estimez poctuellemet la proportio de pièces bleues das le bac b) Avec ue fiabilité de 95 %, doez l'itervalle de cofiace bilatéral pour la proportio de pièces bleues das le bac c) Même questio pour ue fiabilité de 99 % c) Exemple

8 H48 JooBle - HSE Ue etreprise produit des fils de métal O teste la charge de rupture sur 00 fils d'u même lot Pour cet échatillo, prélevé par ue méthode o exhaustive, la moyee est m 848g et l'écart type est 7,3g L'aalyse de cet échatillo a motré que la charge de rupture pouvait être modélisée par ue loi ormale a) Doez ue estimatio poctuelle de la moyee m du lot complet b) Au, doez l'itervalle de cofiace uilatéral à droite de la charge de rupture moyee m pour le lot complet c) Doez ue estimatio poctuelle de l'écart-type du lot complet d) Au, doez l'itervalle de cofiace uilatéral à gauche de l'écart-type du lot complet d) Exemple 3 O repred l'exemple précédet e supposat que l'o a prélevé fils au lieu de 00 a) Doez ue estimatio poctuelle de la moyee m du lot complet b) Au, doez l'itervalle de cofiace uilatéral à gauche de la charge de rupture moyee m pour le lot complet c) Doez ue estimatio poctuelle de l'écart-type du lot complet d) Au, doez l'itervalle de cofiace uilatéral à gauche de l'écart-type du lot complet e) Au, doez l'itervalle de cofiace bilatéral de l'écart-type du lot complet 6 ) Applicatio des itervalles de cofiace aux tests statistiques a) Test bilatéral O ous affirme que la caractéristique d'ue populatio (proportio, moyee ou écart-type) est égale à c Afi de le vérifier, o prélève u échatillo de taille Gééralemet, la caractéristique c observée sur l'échatillo 'est pas égale à c O est alors ameé à choisir etre hypothèses : * H o : "La différece observée est due à l'échatilloage et la caractéristique de la populatio est réellemet égale à c" * H : "La différece observée 'est pas due à l'échatilloage et la caractéristique de la populatio 'est pas égale à c" Pour pouvoir résoudre le problème, il faut choisir u seuil de sigificatio et recourir aux itervalles de cofiace (voir les exemples)

9 Itervalles de cofiace H49 b) Test uilatéral à droite O ous affirme que la caractéristique d'ue populatio (proportio, moyee ou écart-type) est supérieure à c Afi de le vérifier, o prélève u échatillo de taille # O e protestera pas si la caractéristique c observée sur l'échatillo est supérieure à c, voire même très légèremet iférieure à c # Par cotre, o protestera plus ou mois vigoureusemet suivat que la caractéristique c observée sur l'échatillo est plus ou mois iférieure à c Le choix d'u seuil de sigificatio permet de défiir ue limite iférieure pour les valeurs de c (cette limite du "tolérable" est iférieure à c) Das ce cas o est ameé à choisir etre hypothèses : * H o : "La différece observée est due à l'échatilloage et la caractéristique de la populatio est réellemet supérieure à c" * H : "La différece observée 'est pas due à l'échatilloage et la caractéristique de la populatio 'est pas supérieure à c" Pour pouvoir résoudre le problème, il faut choisir u seuil de sigificatio et recourir aux itervalles de cofiace (voir les exemples) c) Test uilatéral à gauche Il est aalogue au test uilatéral il suffit de remplacer supérieur par iférieur d) Vocabulaire sur les tests Das u test statistique, il y a possibilités d'erreur : * rejeter l'hypothèse H o alors qu'elle devrait être acceptée, o dit que l'o commet ue erreur de ère espèce ou erreur de type α * accepter l'hypothèse H o alors qu'elle devrait être refusée, o dit que l'o commet ue erreur de ème espèce ou erreur de type β Au cours du test d'ue hypothèse, la probabilité maximale que l'o accepte de faire ue erreur de ère espèce costitue le iveau de sigificatio (α ) de ce test Ce iveau de sigificatio est choisi par l'expérimetateur Par cotre, l'erreur de ère espèce déped de l'erreur de ère espèce choisie et de la taille de l'échatillo sachat que l'acceptatio, ou le rejet d'ue hypothèse est plus sûr avec u plus grad échatillo Plusieurs tests de coceptio très différete sot souvet dispoibles pour soumettre à ue épreuve de vérité ue hypothèse pricipale Das u tel cas, le test le plus puissat est celui qui fourit l'erreur β la plus petite, pour ue même erreur α Pour chaque test, la théorie des probabilités-statistiques impose souvet le respect de plusieurs coditios idéales pour pouvoir utiliser celui-ci Souvet le o respect de certaies coditios 'affecte que très peu les résultats Mois u test sera sesible au o respect des coditios idéales et plus celui-ci sera robuste

10 H40 JooBle - HSE e) Exemple 4 L'etreprise SOUTRETE fourit à la société KONSTRUCT des lots de pièces e garatissat que la proportio de pièces défectueuses das chaque lot est iférieure à 8 % La société KONSTRUCT refuse la derière livraiso de l'etreprise SOUTRETE avec l'argumet suivat : "Nous avos prélevé 00 pièces das le lot de et ous avos trouvé % de pièces défectueuses C'est beaucoup trop! Si o prélevait u grad ombre d'échatillos de 00 pièces das u bac coteat ue proportio de pièces défectueuses f = 0,08, das 95 échatillos sur 00, e moyee, o obtiedrait f ( f ) 0 f f +,645 c-à-d 0 f 0, Maiteat, pour u bac coteat mois de 8 % de pièces défectueuses, il faut revoir la limite supérieure de 0, à la baisse E tout cas, pour l'échatillo que l'o a prélevé, f = 0,0 dépasse largemet cette limite du tolérable" L'etreprise "SOUTRETE" refuse de repredre sa derière livraiso e rétorquat : "Après vérificatio das vos locaux, ous garatissos que la proportio de pièces défectueuses das le lot e litige e dépasse pas 8 % Le hasard a fait que la proportio de pièces défectueuses prélevée est supérieure à la proportio de pièces défectueuses das le bac D'ailleurs si o pred u seuil de sigificatio de %, o obtiet ue limite supérieure de 0,5 et la valeur f = 0,0 deviet tolérable " Quelle sera la répose de l'expert appelé pour arbitrer ce différet? Répose ombre de pièces prélevées ombre de pièces das le bac = ,0 < 0,05 par coséquet, cet échatillo est assimilable à u échatillo o exhaustif f = 6 5 et (-f) = 84 5 o peut doc utiliser les résultats du tableau O peut faire remarquer à la société KONSTRUCT que sur u bac de pièces coteat 800 pièces défectueuses (doc 8 %), la "malchace" peut faire qu'o e prélève 00 défectueuses lors d'u tirage au hasard La probabilité est faible mais pas ulle D'ailleurs le risque que la société KONSTRUCT commette ue erreur de ère espèce e refusat le lot est de,85 % : si au pire il y a effectivemet 8 % de pièces défectueuses, F 0,08 0,04 P(F > 0,) = P > 0, 08x0,9 0, 08x0, = - π(,085),85 % La proportio de pièces défectueuses observée est f = 0,0 qui 'appartiet pas à l'itervalle de cofiace I 0,05, mais qui appartiet à l'itervalle de cofiace I 0,0 Par coséquet, o revoie les deux partie dos à dos e leur recommadat de predre u plus gros échatillo

11 Itervalles de cofiace H4 f) Exemple 5 O lace 80 fois u dé et o obtiet 9 fois "6" au lieu des 30 fois attedues Le dé est-il truqué ou bie cet écart est-il dû à des fluctuatios d'échatilloage? Vous effectuerez u test à 5 % puis à % g) Exemple 6 Afi de cotrôler ue esacheuse produisat des paquets de gâteaux dot la masse e doit pas être iférieure à 00 g, le service qualité prélève 50 paquets das u carto de 000 L'aalyse des résultats doe m = 99,8 g et =, g Cette machie est-elle déréglée ou l'écart etre la moyee théorique et la moyee observée est-il dû aux fluctuatios d'échatilloage? Vous effectuerez u test à 5 % puis à % 7 ) Applicatio des itervalles de cofiace aux calculs d'icertitude a) Itroductio Bie souvet la méthode des mi-max est trop pessimiste ou impossible à mettre e œuvre Si o suppose qu'il 'y a pas d'erreur systématique et que les erreurs accidetelles se produiset de faço aléatoire, o peut modéliser chaque mesure par ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale dot l'espérace est la valeur exacte à détermier, l'écart type est foctio de l'icertitude de mesure O pourra résoudre ce problème d'icertitude de faço statistique e répétat u certai ombre de fois la même mesure b) Exemple 7 Das le but d'étudier la justesse de la méthode de dosage du plomb das l'eau, u essai a été réalisé e effectuat 9 mesures à partir d'ue solutio coteat 00 µg/l de Pb ++ (valeur m = 98,6µ g / l dot o est sûr) L'aalyse des résultats doe O suppose que ces 9 =,3 µ g / l mesures sot assimilables à u échatillo o exhaustif et sot modélisées par ue loi ormale Cette méthode est-elle etachée d'ue erreur systématique? c) Exemple 8 Pour établir le titre d'ue solutio de HCl, u chimiste effectue, soigeusemet, 8 mesures de cette solutio e utilisat la même méthode O suppose que ces 8 mesures sot assimilables à u échatillo o exhaustif et sot modélisées par ue loi ormale m =,375 L'aalyse des résultats doe = 0, 0004 Avec u, doez l'itervalle de cofiace bilatéral du titre de cette solutio