ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 ÉUDES DE FONCIONS NUMÉRIQUES Site MthsICE de Adm roré Lycée echnique Bmko I Pln d étude d une fonction numérique : Pour étudier une fonction numérique nous dopterons le pln suivnt : Déterminer l ensemble de définition (étudier l continuité) Etudier éventuellement l prité. Recherche de l période, des symétries fin de réduire l intervlle d étude. Etudier les ites u bornes de l ensemble de définition ; Clculer l fonction dérivée et étudier son signe ; indiquer le sens de vrition. Consigner dns un tbleu de vrition les résultts précédents. Déterminer les points remrqubles à l étude de l fonction Points d intersection de l courbe vec les es de coordonnées Points d infleion etc. II Eemple d étude de fonctions polynômes : 1- héorème 1: Si f dmet un etremum reltif d bscisse 0, lors f Ʌ( 0 ) = 0 ou f n est ps dérivble en 0. - héorème : Soit f une fonction dérivble sur un intervlle ouvert ] ; b[. Si f Ʌ() s nnule en 0 de ] ;b[ en chngent de signe, lors f dmet un etremum en 0. f ( 0 ) mimum f ( 0 ) minimum Définition : Soit f une fonction dérivble sur un intervlle ouvert I. On dit que le point d bscisse 0 de I est un point d infleion pour l fonction f si et seulement si f "( ) s nnule en 0 en chngent de signe. (En ce point l courbe trverse s tngente). Etude de fonctions Pge 1 sur 5 Adm roré Professeur Lycée echnique

2 f ( 0 ) M 0 est un point d infleion 0 4- Eemple : Soit f l fonction définie pr = 3 +. ) Etudier les vritions de f ; b) Montrer que f dmet un point d infleion que l on préciser. On déterminer les intersections de l courbe de f vec les es de coordonnées. c) rcer l courbe de f dns un repère orthonormé. Quels sont les etremums reltifs de f?. En quels points sont-ils tteints?. III Etude de fonctions homogrphiques : 1 ) Définition : On ppelle fonction homogrphique, toute fonction numérique f définie pr : + b = ( c 0). L courbe représenttive d une fonction homogrphique c + d est ppelée une hyperbole. ) Recherche d symptotes prllèles u es de coordonnées : ) Asymptote Verticle : Si = + ou lors l droite d éqution = est symptote verticle à l courbe de f. 3 y = L droite d éqution : = est symptote verticle à l courbe de f. j O i Etude de fonctions Pge sur 5 Adm roré Professeur Lycée echnique

3 b) Asymptote horizontle : Si = L ( réel),lors l droite d éqution y = L est symptote + horizontle à l courbe de f. y y = L j L droite d éqution : y = L est symptote horizontle à l courbe de f. O i 3- Eemple : Étudier et représenter l fonction f définie pr + 1 IV Quelques propriétés géométriques 1. Fonctions pires : Une fonction numérique f d ensemble de définition D f est dite pire si, et seulement si ε D f, ( ) ε D f ; f ( ) = f (). L courbe de f dmet l e des ordonnées comme e de symétrie.. Fonction impire : Une fonction numérique f d ensemble de définition D f est dite impire si, et seulement si ε D f, ( ) ε D f ; f ( ) = f (). L origine du repère est centre de symétrie pour l courbe de f dns un repère crtésien. 3. Ae de symétrie d une représenttion grphique : Dns un repère orthogonl l droite (D) d éqution =, ( εr) est e de symétrie pour l courbe de f, si et seulement si f ( ) = f (). Etude de fonctions Pge 3 sur 5 Adm roré Professeur Lycée echnique

4 4. Centre de symétrie d une représenttion grphique : Le repère étnt quelconque, le point I ( ; b) est un centre de symétrie pour l courbe de f si et seulement si, f ( ) + f () = b. 5. Fonctions périodiques : Une fonction numérique f est périodique si, seulement si il eiste un réel strictement positif t tel que ε D f f (+t) = f (). On dit lors que t est une période de f. Si f() = cos( +b) lors l période Si f() = sin( +b) lors l période Si f() = tn( +b) lors l période IV Etude de fonctions rtionnelles : 1- Asymptote oblique : π = ; π = ; π Si + = +, lors il y possibilité d symptote oblique en +. Si = + b + C( ) vec C( ) = 0 + ; lors l droite d éqution y = +b est symptote oblique à l courbe u voisinge de + ou. L droite (D) d éqution : y = + b est dite symptote oblique à l courbe u voisinge de de + ou ; si et seulement, si [ ] 0 = + - Position de l courbe pr rpport à son symptote oblique : Pour étudier l position de l courbe de f pr rpport à son symptote oblique (D) d éqution : y = + b ; on étudie le signe de dns D f.. Etude de fonctions Pge 4 sur 5 Adm roré Professeur Lycée echnique

5 1 er cs : Si [ ] < 0 ; lors l courbe est en dessous de (D). ème cs : Si [ ] > 0 ; lors l courbe est u dessus de (D). 3 ème cs : Si [ ] = 0 ; lors l courbe coupe (D) en un point Eemples d études et de représenttions: Eemple 1 : Soit f l fonction définie pr ) Déterminer les réels, b et c tels que c = + b + ; b) Montrer que l courbe de f dmet une symptote oblique (D) à préciser ; c) Etudier l fonction f ; d) Montrer que le point I ( ; 1) est centre de symétrie pour l courbe de f e) Etudier l position reltive de pr rpport à (D) ; f) Construire (D) et dns un repère orthonormé. Eemple : Etudier et représenter l fonction f définie pr + 6 = Eemple 3 : Soit l fonction f définie pr 1 ) Déterminer l ensemble de définition de f. Etudier l prité de f. b) Etudier les vritions de f puis trcer s courbe 4- Recherche de l symptote oblique : Soit f une fonction de R vers R. S il eiste deu réels et b tels que : + = et + [ ] = b, lors l courbe de f dmet pour symptote l droite (D) : y = + b u voisinge de + ou de. Etude de fonctions Pge 5 sur 5 Adm roré Professeur Lycée echnique