Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction.

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1 hapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. I Introduction : le cas de la fonction eponentielle A Approimation affine de ep au voisinage de 0 n notera f la fonction eponentielle f : e. n sait que f est dérivable sur R et, en particulier en 0. De plus, f (0) =, c est-à-dire, en reprenant la définition du nombre dérivé En posant ε() = e e lim =, on a donc ε() f() + A M N T : = + e = + + ε() avec lim f Ainsi, au voisinage de 0, e s écrit comme la somme du polnôme + et d un terme ε() où lim Par conséquent, pour voisin de 0, nous pouvons faire l approimation e + ( «proche» de 0) n dit que + est une approimation affine locale de e au voisinage de 0. Remarquez que = + est l équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en 0. ette approimation affine s interpréte géométriquement : lorsque est suffisamment proche de 0, on peut confondre la courbe f avec la tangente T. B Et si on pouvait faire «mieu»... Nous avons obtenu précédemment une approimation affine locale de la fonction ep au voisinage de 0. L idée maintenant serait d obtenir une approimation locale polnômiale au voisinage de 0. Graphiquement, cela revient à déterminer, un polnôme dont la courbe représentative se rapproche de la fonction ep au voisinage du point A(0; ). est le mathématicien BRK TAYLR qui est à l origine (en 72) de ces approimations d une fonction régulière au voisinage d un point par des polnômes (qui portent son nom). Lorsque l on fait une approimation, il est toujours souhaitable d avoir un contrôle de l erreur commise. L étude de l erreur d approimation restera vaine, il faudra attendre ses successeurs pour obtenir une epression plus fine de l erreur. Nous allons dans la suite de notre étude considérer les intégrales de la forme où est réel et n entier naturel non nul. I n () = 0 ( t) n e t dt Problème ) Approimation par un trinôme du second degré. n considère l intégrale I() = I () = (a) En intégrant par parties, démontrer que I() = e ( + ). 0 ( t)e t dt. (b) Soit [0; + [. Démontrer que pour tout t [0; ], on a e t e. En déduire l encadrement : pour tout [0; + [ 2 2 I() 2 e 2. (c) Soit ] ; 0[. Démontrer que pour tout t [; 0], on a e e t. En déduire l encadrement : pour tout [ ; 0[ 2 e 2 I() 2 2. e (d) Déduire de ce qui précéde que lim (+) = 2 2. En déduire l eistence d une fonction ε telle que e = ε () avec lim ε () = 0. Lcée Les Pannevelles Page F. Boure BTS 2ème année

2 2) Approimation par un polnôme du troisième degré. n considère l intégrale J() = I 2 () = 0 ( t) 2 e t dt. (a) En faisant deu intégrations par parties successives, démontrer que J() = 2 e (b) Soit [0; + [. Démontrer l encadrement : pour tout [0; + [ n démontre de la même façon et on admet l encadrement : 3 3 J() 3 e 3. pour tout [ ; 0[ 3 e 3 J() 3 3. e + + (c) Déduire de ce qui précéde que lim que = 6. En déduire l eistence d une fonction ε 2 telle e = ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. Plus généralement, nous obtenons de la même façon e = ! + 4 4! + + n n! + n ε() T : = + avec lim ette écriture est appelée développement limité (d.l.) à l ordre n de ep au voisinage de 0. = A Le polnôme n n! f = est appelée partie régulière du d.l. à l ordre de n de ep en 0. II Développements limités. Définitions et propriétés Définition. Soit f une fonction définie au voisinage d un réel a. n dit que f admet un développement limité d ordre n en a s il eiste des nombres réels a 0, a,...a n et une fonction ε tels que f() = a 0 + a ( a) + + a n ( a) n + ( a) n ε() avec lim a Le cas particulier a = 0 f admet un développement limité d ordre n en 0 s il eiste des nombres réels a 0, a,... a n et une fonction ε tels que f() = a 0 + a + + a n n + n ε() avec lim Remarques. Par changement de variable t = a, on se ramène à l étude de f au voisinage de 0. Ainsi, on peut se limiter à l étude des d.l. en 0. Si f admet un développement limité à l ordre n en 0, alors ce développement est unique (résultat admis). Si f() = P n () + n ε() est le développement limité à l ordre n de f en 0, alors, la fonction polnômiale P n est appelée partie régulière d ordre n. Le d.l. en 0 d une fonction paire (resp. impaire) admet une partie régulière dont les termes sont des puissances paires (resp. impaire) de. Lcée Les Pannevelles Page 2 F. Boure BTS 2ème année

3 Développements limités usuels en 0 Voici les développements limités usuels en 0. A notre niveau, nous admettrons ces résultats. Théorème (d.l. usuels en 0). = n + n ε() avec lim + = ( ) n n + n ε() avec lim ln( + ) = n + + ( )n+ 4 n + n ε() avec lim e = ! + 3 3! + + n n! + n ε() avec lim cos() = 2 2! + 4 4! 6 2p + + ( )p 6! (2p)! + 2p ε() avec lim sin() = 3 3! + 5 5! 7 7! + + ( )p 2p+ (2p + )! + 2p+ ε() avec lim α étant un réel quelconque, ( + ) α = + α! lim α(α ) ! α(α )(α 2) ! α(α ) (α n + ) n + n ε() n! Attention! Pour chacune des fonctions précédentes, la fonction, notée ε est différente : elle dépend en effet de la fonction et de l ordre du d.l. Ainsi, lorsque l on étudiera des développements limités de fonctions différentes ou d une même fonction à des ordres différents, on indicera les fonctions ε : ε, ε 2, ε 3... (voir les eemples suivants) avec III D.L. et opérations A D.L. d une somme de fonctions. Déterminons le développement limité à l ordre 3 en zéro de la fonction f définie par f() = e + +. n reconnait que f est la somme de la fonction eponentielle et de la fonction de chacune de ces fonctions. Pour cela, on utilise le théorème précédent. + e = ! + 3 ε () avec lim ε () = 0.. Déterminons un d.l. à l ordre 3 Par conséquent, + = ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. e + + = ! + 3 ε () ε 2 () = (ε () + ε 2 ()) = ε() en posant ε() = ε () + ε 2 () r, d après le théorème sur la limite d une somme, on a lim Ainsi, finalement, f() = ε() avec lim La méthode décrite dans cet eemple se généralise facilement. n retiendra cette méthode : Lcée Les Pannevelles Page 3 F. Boure BTS 2ème année

4 Développement limité à l ordre n d une somme de fonctions n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 de la somme de deu fonctions en ajouant les parties régulières des développements limités d ordre n en 0 des deu fonctions. B D.L. d un produit de fonctions. Déterminons le développement limité en 0 à l ordre 3 de la fonction g définie par g() = ln( + )cos(). g est le produit des fonction ln( + ) et cos. Rappelons les d.l. à l ordre 3 de chacune de ces fonctions : cos() = 2 ε () avec lim ε () = 0. Par conséquent, ln( + ) = ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. cos()ln( + ) = 2 ε () ε 2 () = ε 2 () ε 2() + 3 ε () ɛ 2 () = ε 2 () ε 2() + ε () ɛ 2 () = ε() avec lim ε() = 0 d après les règles opératoires sur les limites. La méthode décrite dans cet eemple se généralise facilement. n retiendra cette méthode : =ε() Développement limité à l ordre n d un produit de fonctions n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 du produit de deu fonctions en multipliant les parties régulières des développements limités d ordre n en 0 des deu fonctions et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n. D.L. d une composée de fonctions f g où g est une fonction polnômiale Déterminons le développement limité en 0 à l ordre 3 de la fonction h définie par h() = 2. n a l enchaî- + 2 nement suivant : g t = 2 2 f t = h(). avec g() = 2 2 et f(t) =. g admet un développement limité à l ordre 3 donné par : t n a alors, on notant δ() = 2 f(t) = + t + t 2 + t 3 + t 3 ε(t) avec lim t 0 ε(t) = 0. h() = f(g()) = f( 2 2) = + ( 2 2) + ( 2 2) 2 + ( 2 2) 3 + ( 2 2) 3 ε( 2 2) = ( ) + 3 δ() 3 ε( 2 2) = P() + δ()ε( 2 2) = ε () où P est une fonction polnôme de limite nulle en 0. Par les règles opératoires sur les limites, on montre que lim ε () = 0. n obtient donc le développement limité souhaité. Plus généralement, nous avons le résultat suivant ε () Lcée Les Pannevelles Page 4 F. Boure BTS 2ème année

5 Développement limité à l ordre n de la composée f g où g est une fonction polnôme n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 de la composée f g de deu fonctions où g est une fonction polnômiale de terme constant nul en composant la partie régulière Reg n f de f avec le polnôme g et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n. D D.L. au voisinage de a 0 Déterminer le d.l. à l ordre 3 au voisinage de 2 de la fonction f : 2 + e n pose t = 2. Ainsi, lorsque tend vers 2, t tend vers 0 et on se ramène à la recherche d un d.l. en 0. n a donc = t + 2. f() = 2 + e = (t + 2) 2 + e t+2 = t 2 + 4t e 2 e t = t 2 + 4t e 2 ( + t + t2 2 + t3 6 + t3 ε(t)) = (4 + e 2 ) + t(4 + e 2 ) + t 2 + e2 e2 + t e2 t 3 ε(t) = (4 + e 2 ) + ( 2)(4 + e 2 ) + ( 2) 2 + e2 e2 + ( 2) ( 2)3 ε ( 2) n a donc obtenu un d.l. à l ordre 3 en 2 de la fonction f. IV Applications des développements limités A Au calcul de limite... Eercice En utilisant un d.l., déterminer la limite e lim 4 Eercice 2 En utilisant un d.l., déterminer la limite lim ln( + ) 2 Lcée Les Pannevelles Page 5 F. Boure BTS 2ème année

6 B A l étude locale d une fonction... Eercice 3 Soit f la fonction définie sur R par f() = e 2 ( + ) +. n désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (; i, j ). ) Démontrer que le d.l. à l ordre 3 de la fonction f au voisinage de 0 est f() = ε() avec lim 2) En déduire une équation de la tangente T à au point d abscisse 0. 3) n a donc, au voisinage de 0, l égalité f() (2 + ) = ε(). (a) Au voisinage de 0, quel est le signe de ε()? (b) Au voisinage de 0, par valeurs négatives, quel est le signe de 3? et par valeurs positives? (c) Déduire des questions précédentes la position relative de et T an voisinage de 0. j i Eercice 4 Soit f la foncion définie sur R par f() = 2 5 ln n désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (; i, j ). j i ) (a) A l aide du développement limité à l ordre 2 de la fonction t ln( + t) au voisinage de t = 0, écrire le développement limité à l ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction ln (b) En déduire le développement limité à l ordre 4 de la fonction f au voisinage de = 0. 2) (a) Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse 0. (b) Déterminer le d.l. à l ordre de 2 au voisinage de 0 de la fonction f. A l aide de ce développement limité, étudier la position relative de et T au voisinage de 0. es deu eercices ont valeur de méthode. La remarque suivante est capitale! Attention! Un développement limité permet une étude locale autour d un point : c est-à-dire au voisinage d un point. Ainsi, l étude de signe menée précédemment pour étudier la position relative de et de sa tangente T n est vraie qu au voisinage de 0 (pour des valeurs très proches de 0). Ainsi, le d.l. ne permet pas de déduire la position relative globalement. Lcée Les Pannevelles Page 6 F. Boure BTS 2ème année

7 A l étude du comportement asmptotique d une fonction en ± Eercice 5 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f() = e ( + ). n appelle la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal. j i ) Etudier les limites de f au bornes de son intervalle de définition. 2) (a) Déterminer le développement limité à l ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction h : t e t ( + t). (b) En posant t =, montrer que f() = 2 + ε avec lim t 0 ε(t) = 0. (c) En déduire que admet une asmptote oblique D au voisinage de +. Préciser son équation réduite. (d) Etudier la position relative de et D au voisinage de +. Lcée Les Pannevelles Page 7 F. Boure BTS 2ème année