Les fonctions réciproques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Les fonctions réciproques"

Transcription

1 DOCUMENT 28 Les fonctions réciproques 1. Introduction et définition Pour tout ensemble E, il existe une loi de composition naturelle sur l ensemble des applications de E dans E qui est la composition des applications. Cette loi possède un élément neutre, l application identique 1 E, et on peut donc essayer de caractériser les éléments inversibles pour cette loi, c est-à-dire déterminer les applications f : E E pour lesquelles il existe g : E E verifiant g f = f g = 1 E. On verra que dans le cas des applications de R dans R, on obtient un outil très efficace pour définir de nouvelles fonctions. Une caractérisation de ces éléments inversibles est donnée, dans un cadre un peu plus général, par la proposition suivante. Proposition Soit f une application de E dans F. Il y a équivalence entre : (1) L application f est bijective ; (2) Il existe une application g de F dans E telle que g f = 1 E et f g = 1 F. Preuve. 1) 2). Si f est bijective alors, pour tout y F, f 1 ({y}) = {x E f(x) = y} possède un et un seul élément que l on désigne par g(y). Soit g l application de F dans E qui à y F fait correspondre g(y) E. Par définition, on a f 1 ({y}) = {g(y)}. Soit x E. L application f étant injective, {x} = f 1 ({f(x)}) d où {x} = {g(f(x))} et donc x = g(f(x)). Maintenant soit y F. Comme f est surjective, il existe x E tel que y = f(x) et, en utilisant l injectivité de f, {x} = f 1 ({y}) = {g(y)} d où x = g(y) et y = f(x) = f(g(y)). Finalement, g f = 1 E et f g = 1 F. 2) 1). Si f(x) = f(y) alors x = g(f(x)) = g(f(y)) = y et f est injective. D autre part, pour tout y F, y = f(g(y)) ce qui montre que f est surjective. Lorsque f est bijective, l application g de la proposition précédente est unique car si f g = 1 F et g f = 1 E alors g = g (f g) = (g f) g = g. Cela permet de définir l application réciproque d un application bijective. Définition Soit f une application bijective de E dans F. L unique application g de F dans E vérifiant g f = 1 E et f g = 1 F est appelée l application réciproque de f et on la note f 1. Remarques. 1) Si f est bijective alors l application réciproque de f est aussi bijective et (f 1 ) 1 = f. 2) Soit f : E F et g : F G deux applications bijectives. L application g f est bijective et (g f) 1 = f 1 g 1. 3) La proposition 28.1 résulte des deux résultats suivants faciles à démontrer (mais le premier suppose l axiome du choix). Une application f : E F est surjective si et seulement si il existe r : F E telle que f r = 1 F. Lorqu elle existe, r est injective. 303

2 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES On suppose E si F. Une application f : E F est injective si et seulement si il existe une application s : F E telle que s f = 1 E. Lorsqu elle existe, s est surjective. 4) Soit f : E F et Y F. On désigne souvent par f 1 (Y ) l image réciproque de la partie Y de F par f : f 1 (Y ) = {x E f(x) Y }. Lorsque f est bijective on verifie que f 1 (Y ) est aussi l image directe de Y par l application f 1 : f 1 (Y ) = {f 1 (y) y Y }. La notation f 1 (Y ) n est donc pas ambigüe mais il faut bien se souvenir qu elle ne suppose pas f bijective. 5) Soit f : E F et f l application de E sur f(e) définie, pour tout x E, par f(x) = f(x). Cette application f est surjective et souvent on peut la confondre avec f. Remarquons cependant que la détermination explicite de l image de f n est pas toujours simple. Considérons par exemple l application f de R + dans lui-même qui à x fait correspondre x 2. De l égalité x 2 y 2 = (x y)(x + y) on déduit facilement que f est injective et donc que f est une bijection de f sur son image Im f. Autrement dit tout élément de Im f possède une racine carrée positive mais ce résultat est sans intérêt si l on ne sait pas que Im f = R + (il signifie que tout nombre de la forme x 2 possède une racine carrée). Pour montrer que Im f = R +, une méthode consiste à prouver la continuité de f, ensuite on montre que lim f(x) = + et on utilise le théorème x + des valeurs intermédiaires. Il a donc été nécessaire de faire intervenir un important théorème d analyse. Si f n est pas injective alors il est possible que la restriction f E de f à E E soit injective et conserve une partie intéressante des propriétés de f. L application f E est alors une bijection de E sur f(e ). Par exemple, la restriction de la fonction sinus à [ π/2, π/2] est injective et l application de [ π/2, π/2] dans [ 1, 1] qui à x fait correspondre sin(x) est une bijection. Si l on peut toujours associer l application surjective f à f (bien qu en pratique il soit parfois malaisé de caractériser explicitement l image d une application) il est beaucoup plus difficile de trouver des conditions pour que f possède des restrictions injectives intéressantes. Dans le cas des applications de R n dans lui-même, on peut à l aide du théorème des fonctions implicites donner une condition suffisante pour l existence locale d une application réciproque. 2. Propriétés générales des applications réciproques Dans ce paragraphe nous donnons deux propriétés pour des applications réciproques des fonctions de E R dans F R. Ces propriétés ne font intervenir, ni la nature de E, ni la continuité de f. Proposition Soit f une application bijective d une partie E de R dans F R. L application f est monotone si et seulement si f 1 est monotone. Lorsque f est monotone, f et f 1 varient dans le même sens. Preuve. Soit y 1, y 2 F et x 1 = f 1 (y 1 ), x 2 = f 1 (y 2 ). L égalité (y 2 y 1 )(f 1 (y 2 ) f 1 (y 1 )) = (f(x 2 ) f(x 1 ))(x 2 x 1 ) montre que si f est monotone alors f 1 l est aussi et varie dans le même sens (Une fonction f est monotone si et seulement si (x y)(f(x) f(y)) garde un signe constant. Elle est croissante si et seulement si (x y)(f(x) f(y)) 0.). Comme f = (f 1 ) 1, la réciproque est évidente. Proposition Soit R = (O, u, v) un repère de l espace affine euclidien R 2 et f une bijection de E R dans F R. Le graphe G f 1 de f 1 se déduit du graphe G f de f par la symétrie s par rapport à la droite O + R( u + v), parallèlement à la droite O + R( u v). Si R est normé, s est la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice du repère.

3 3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES Preuve. On a G f = {O + x u + f(x) v x E} = {O + f 1 (y) u + y v y F } et G f 1 = {O + y u + f 1 (y) v y F }. Il en résulte que G f 1 = s(g f ), où s est l application de R 2 dans lui-même définie par s(o + x u + y v) = O + y u + x v. L application s : x u + y v y u + x v est involutive et linéaire. C est donc une symétrie vectorielle. Les élément de la droite R( u + v) sont fixes et la droite R( u v) est conservée par s. Cette application est donc la symétrie par rapport à R( u + v), parallèlement à la droite R( u v) d où la nature de s car s(m) = s(o) + s( OM) et s possde un point fixe O (sinon s pourrait être une symétrie glissée). Si R est normé, u + v et u v dirigent les bissectrices des axes du repère et ces deux vecteurs sont orthogonaux. La droite R( u+ v) est la première bissectrice c est-à-dire la bissectrice intérieure de la paire de demi-droites (R + u, R + v). 3. Fonctions réciproques des fonctions continues sur un intervalle Nous allons maintenant supposer que les fonctions considérées sont continues sur un intervalle. Parmi les fonctions injectives il y a les fonctions strictement monotones mais, en général, cette condition est seulement suffisante. Le premier résultat important est, que pour les fonctions continues sur un intervalle, elle est aussi nécessaire. Proposition Soit I un intervalle et f une application continue de I dans R. Il y a équivalence entre : (1) La fonction f est injective ; (2) La fonction f est strictement monotone. Preuve. Il suffit de prouver que 1) implique 2). Soit x 0, y 0, x, y des éléments de I tels que x 0 < y 0 et x < y. Pour tout λ [0, 1], on pose x(λ) = λx 0 + (1 λ)x et y(λ) = λy 0 + (1 λ)y. On a x(λ) [x 0, x] I et y(λ) [y 0, y] I. D autre part, x(λ) < y(λ) car si λ 0, λx 0 < λy 0 et (1 λ)x (1 λ)y et si λ = 0 alors x(0) = x, y(0) = y. Considérons l application h définie sur [0, 1] par h(λ) = (x(λ) y(λ))(f(x(λ)) f(y(λ)). Cette fonction est continue sur [0, 1] et l injectivité de f entraine qu elle ne prend jamais la valeur 0. Elle a donc un signe constant et en particulier h(1) = (x 0 y 0 )((f(x 0 ) f(y 0 )) a le même signe que h(0) = (x y)(f(x) f(y). Il en résulte que le signe de (x y)(f(x) f(y)) est indépendant de (x, y) : la fonction f est monotone. Remarques. 1) On peut trouver une autre démonstration de ce résultat dans le document 27 Image d un intervalle par une fonction continue. L ingrédient essentiel de cette autre preuve est encore le théorème des valeurs intermédiaires. 2) Une démonstration plus courte de la proposition 28.4, mais qui utilise une fonction de deux variables, est la suivante. L ensemble K = {(x, y) I 2 x < y} est un connexe de R 2 et son image par la fonction continue g : (x, y) (x y)(f(x) f(y)) est donc un connexe de R, c est-à-dire un intervalle. Si f est injective, cet intervalle ne contient pas 0 et donc g(k) R + ou g(k) R ce qui signifie que f est monotone. 3) Si f n est pas continue ou si f n est pas monotone l implication 1) 2) peut être fausse comme le montre les exemples suivants. A gauche, la fonction est définie sur un intervalle et discontinue en un point, à droite elle est continue mais n est pas définie sur un intervalle.

4 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES Avant d énoncer le principal résultat du document, montrons une proposition qui est la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions monotones. Proposition Soit f une fonction monotone de D f R dans R. Si l image de f est un intervalle I alors f est continue. Preuve. En remplaçant éventuellement f par f, on peut supposer f croissante. Considérons a D f et ɛ > 0. On définit α R par : Si f(a) ɛ I alors on prend α D f tel que f(α) = f(a) ɛ. On a α < a car α a implique f(α) f(a). Si f(a) ɛ I alors on prend α =. On a encore α < a. On définit aussi β R par : Si f(a) + ɛ I alors on prend β D f tel que f(β) = f(a) + ɛ. On a β > a car β a implique f(β) f(a). Si f(a) + ɛ I alors on prend β = +. On a encore β > a. Dans tous les cas α < a < β et on va montrer que f([α, β] D f ) [f(a) ɛ, f(a) + ɛ] ce qui entraine la continuité de f en a. Soit t [α, β] D f. Si f(a) ɛ I alors f(a) ɛ = f(α) f(t) et si f(a) ɛ I alors, I étant un intervalle, f(a) ɛ minore I d où f(a) ɛ < f(t). (On a utilisé le fait que si I est un intervalle alors tout élément qui n appartient pas à I est soit un minorant soit un majorant de I. Ici, f(a) ɛ < f(a) entraine que f(a) ɛ ne peut pas être un majorant de I.) On montre de façon analogue que f(t) f(a) + ɛ. On peut aussi donner cette autre preuve. Si la fonction monotone f n est pas continue alors f n est pas continue à droite ou à gauche en un point non isolé a de D f. C est dire, en supposant f croissante, que l un des intervalles ouverts ]f(a ), f(a)[, ]f(a), f(a+)[ est non vide (f(a ) désigne la limite à gauche en a de f. De même f(a+) est la limite à droite et l une au moins de ces limites existe car f est monotone et a non isolé dans D f.) Si par exemple, ]f(a ), f(a)[ alors f est définie pour des valeurs plus petites que a. Si b D f et b < a alors f(b) f(a ) < f(a) et f(d f ) n est pas un intervalle car f(a ) + f(a) [f(b), f(a)] f(d f ) (par exemple f(d f )). 2 Théorème Soit f une application définie sur un intervalle I de R, continue et strictement monotone. L application f possède une application réciproque f 1, définie sur l intervalle J = f(i), continue et strictement monotone. De plus, f et f 1 varient dans le même sens. Preuve. L application f est une bijection de I sur f(i) = J qui est un intervalle car f est continue. La proposition 28.1 entraine l existence de f 1 qui est monotone en variant dans le même sens que f. L image de f 1 étant l intervalle I, la proposition précédente entraine que f 1 est continue sur J.

5 3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES Remarque. Dans la proposition précédente, la partie difficile à montrer est la continuité de f 1. Si f n est pas définie sur un intervalle l exemple cicontre montre que f 1 n est pas nécessairement continue. Cette exemple montre qu une bijection continue n a pas nécessairement un bijection réciproque continue (Toute bijection continue n est pas forcément un homéomorphisme.). On sait que si f est une fonction continue, définie sur un intervalle I, alors f(i) est un intervalle mais cet intervalle n est pas nécessairement de même nature (ouvert, fermé, semiouvert) que I. L exemple classique est celui de la fonction x x 2 qui transforme l intervalle ouvert ] 1, 1[ en l intervalle semi-ouvert [0, 1[. A l aide du lemme suivant on va montrer que cela ne se produit pas pour les fonctions continues strictement monotones. Lemme Soit f une application continue croissante (resp. décroissante) définie sur un intervalle I. Si a 1 = inf I, a 2 = sup I, b 1 = inf f(i), b 2 = sup f(i) alors lim f(x) = b i (resp. x ai lim f(x) = b j, i j). x a i Preuve. On va montrer, en supposant f croissante, que lim f(x) = b 1. Les autres preuves x a 1 sont analogues (Attention! a i et b i peuvent être ±.) Si f(i) est réduit à un point (i.e. si f est constante) le résultat est évident. Supposons donc f(i) non réduit à un point. Soit V V(b 1 ) (voir le document 25 Limite à l infini... pour la définition). Il existe dans V un élément y 1 > b 1 (b 1 + ) et il existe dans f(i), y 2 > b 1. Si y = min(y 1, y 2 ) alors y ]b 1, y 1 ] ]b 1, y 2 ] V f(i). Soit x I tel que f(x) = y. On a x a 1 et si x = a 1 alors, pour tout t I, t x d où f(t) f(x) = y et inf f(i) y > b 1, ce qui est absurde. On a donc x > a 1. Soit W =]a 1 η, a 1 + η[ avec η = x a 1 si a 1 et W =], x[ sinon. Dans les deux cas, W V(a 1 ) et si t W I alors a 1 t < x d où b 1 f(t) f(x) = y et y V implique f(t) V. Finalement f(w I) V et donc lim f(x) = b 1. x a 1 Proposition Soit f une application continue strictement monotone définie sur un intervalle I. On pose J = f(i), a 1 = inf I, a 2 = sup I, b 1 = inf J, b 2 = sup J (1) Si f est croissante alors a i I équivaut à b i J. Lorsque a i I on a f(a i ) = b i. (2) Si f est décroissante et si i j alors a i I équivaut à b j J. Lorsque a i I on a f(a i ) = b j. Preuve. 1). Si a i I alors, f étant continue, lim x ai f(x) = f(a i ) et le lemme entraine f(a i ) = b i et donc b i J. En remplaçant f par f 1 on voit que si b i J alors a i I et f 1 (b i ) = a i d où f(a i ) = b i. 2) Preuve analogue.

6 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES Remarques. 1) Si f est continue monotone, la proposition précédente peut être fausse. Ici a = sup I I et b = sup J J. 2) Le caractère borné d un intervalle n est pas nécessairement conservé par une fonction continue strictement monotone. Penser à la restriction de la fonction tan à ] π/2, π/2[. 3) Soit I et J deux intervalles non vides et non réduits à un point. Il existe une application continue et strictement monotone f telle que f(i) = J (et donc f 1 (J) = I) si et seulement si on est dans l un des cas suivants : (1) Les intervalles I et J sont ouverts. (2) Chaque intervalle I et J a l une des formes : ], a], [a, + [, [a, b[, ]a, b] (a, b R, a < b). (3) Les intervalles I et J sont fermés et bornés. Si I et J sont bornés, il suffit de prendre pour f une application affine convenable. Sinon, on peut définir f à l aide de fonctions affines, de la fonction tan et de la fonction arctan. On peut considérer sur l ensemble des intervalles de R la relation d équivalence définie par : I J il existe f : I J surjective, continue et strictement monotone. Si I J on dit que I et J sont homéomorphes et, d après ce qui précède, cette relation d équivalence possède cinq classes qui sont celles de :, {0}, [0, 1], ]0, 1], ]0, 1[. 4. Dérivation des fonctions réciproques Voir le document 26 Nombre dérivé et fonctions dérivées. 5. Exemples 5.1. Les fonctions puissances rationnelles. Soit n N et f n l application de R + dans lui-même définie par f n (x) = x n. L application f n est strictement croissante (Utiliser f(x) f(y) = (x y)(x n 1 + x n 2 y + + xy n 2 + y n 1 ).), continue et surjective (Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et lim f n(x) = + ). Donc f n possède une application x réciproque que l on note f 1/n. On remarque que f n f m = f m f n (= f n.m ) d où f n = f m f n f 1/m et f 1/m f n = f n f 1/m. Si mq = np (m, n, p, q N ) alors f m f q = f n f p et donc f m f 1/n = f p f 1/q. La fonction composée f m f 1/n ne dépend donc que de r = m. On peut donc n définir pour tout r Q + une application f r de R + dans R + en posant f r = f m f 1/n si r = m n, m, n N. Notons que f r est bijective et (f r ) 1 = (f m f 1/n ) 1 = f 1 1/n f 1 m = f n f 1/m = f 1/r. Lorsque n est impair, l application g n de R dans R définie par g n (x) = x n est une bijection qui prolonge f n. Elle possède donc une application réciproque qui prolonge f 1/n. La théorie des fonctions réciproques permet donc de définir, pour tout réel positif x et tout rationnel positif r, le nombre réel x r. Elle permet aussi de donner un sens à x 1/n pour x < 0 et n entier impair.

7 5. EXEMPLES Les fonctions trigonométriques et leurs inverses. La fonction qui à x [ π/2, π/2] fait correspondre sin x [ 1, 1] est surjective, continue et strictement monotone. Elle possède donc une application réciproque notée arcsin et l on a : arcsin(sin x) = x pour x [ π/2, π/2] et sin(arcsin x) = x pour x 1. On définit de façon analogue la fonction arccos et on démontre que pour x < 1 on a (arcsin) (x) = arcsin x = 1 1 x 2 et (arccos) (x) = x 0 dt 1 t 2 1. Pour x < 1, on a donc 1 x 2 arccos x = x 0 dt 1 t 2 + π/2 (arccos(0) = π/2). Ces relations peuvent être considérées comme une définition des fonctions arcsin et arccos d où, en utilisant la théorie des fonctions réciproques, la possibilité de définir les restrictions de la fonction sinus à ] π/2, π/2[ et de la fonction cosinus à ]0, π[. On peut en déduire par parité et périodicité une définition de sinus et cosinus. Evidemment, cette méthode suppose que l on a démontré auparavant que toute fonction continue possède une primitive. De façon analogue on peut considérer que la fonction arctan est définie sur R par x dt arctan x = t 2. Cette fonction est une bijection continue et strictement croissante de R sur un intervalle de la forme ] a, a[, a > 0. Elle possède donc une application réciproque qui applique ] a, a[ sur R. On prolonge ensuite cette application réciproque à R \ {(2n + 1)a n Z} par périodicité. 1 En se souvenant des relations cos 2 x = 1 + tan2 x et sin x = tan x cos x, on en déduit une définition des fonction sinus et cosinus sur R. Il reste ensuite à montrer que x = cos t, y = sin t, t [0, 4a] est une paramétrisation du cercle trigonométrique pour en déduire, en 4a utilisant 2π = (sin 2 ) (t) + (cos 2 ) (t)dt, que a = π/2 et achever la définition des fonctions 0 trigonométriques Les fonctions exponentielles. Voir le document concernant ces fonctions Les fonctions homographiques. Soit a, b, c et d des nombres réels tels que ad bc 0. On considère l application f qui à x R { d ax + b } fait correspondre f(x) = c cx + d R {a c }. On montre facilement que cette application est bijective et que f 1 (x) = dx b cx + a. Ici la fonction f n est ni monotone ni définie sur un intervalle. On peut cependant appliquer les résultats précédents en considérant les restrictions de f à ], d c [ et ] d c, + [.

8 LES FONCTIONS RE CIPROQUES

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone.

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. LEÇON N 6 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. Pré-requis : I est un intervalle si a,b I a b, [a,b] I ; Toute partie non

Plus en détail

Chapitre 4. Applications

Chapitre 4. Applications Chapitre 4 Applications 1. Définitions et exemples Définition 4.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues.

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition

Plus en détail

Limite à l infini. Branches infinies

Limite à l infini. Branches infinies DOCUMENT 25 Limite à l infini. Branches infinies 1. Introduction et notations Considérons les trois fonctons réelles f, g et h définies par : f() = + 1 + e, g() = sin, h() = 1/ 2 et donnons de grandes

Plus en détail

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle DOCUMENT 36 Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle Une propriété importante des fonctions exponentielles est qu elles sont solutions de

Plus en détail

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

ENSEMBLES ET APPLICATIONS ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applications : définitions ensemblistes Définition 1.1 Application Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F un objet { mathématique f qui à tout élément

Plus en détail

Limites et Continuité

Limites et Continuité Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès. Octobre 2013 Voisinages, Points adhèrents

Plus en détail

Chapitre 5. Applications

Chapitre 5. Applications Chapitre 5 Applications 1. Définitions et exemples Définition 5.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Continuité des fonctions réelles

Continuité des fonctions réelles Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles 2.1 Généralités Définition 2.1.1. Une fonction réelle f est une application d une partie D de R dans R. La partie D est appelée ensemble (ou domaine) de définition

Plus en détail

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Aix-Marseille Université 2012-2013 Analyse I PLANCHE 1 : LIMITES, CONTINUITÉ Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Exercice 1 Soit a, b R. Montrer les implications suivantes :

Plus en détail

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES 1.1. Propriétés de R On suppose connus N = {0, 1, 2, 3,...}, l anneau des entiers Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} et le corps des rationnels Q = { a a, b Z,

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2.

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Chapitre 3 Les angles 3.1 Angles orientés de vecteurs du plan 3.1.1 Groupe des rotations Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Définition 3.1 On appelle

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES RÉELS 1 Approximations d un réel 1.1 Ensembles de nombres Notation 1.1 On note R l ensemble des nombres réels. On note Q l ensemble des nombres rationnels i.e. l ensemble des nombres de la forme

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Aix-Marseille Université 013-014 Analyse I PLANCHE : LIMITES, CONTINUITÉ Les exercices marqués du symbole sont les exercices qui seront traités prioritairement en TD. Le site internet EXO7 (http ://exo7.emath.fr)

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques Jérôme Germoni Novembre 2 Première étude : par équation différentielle.. Définition On s inspire de la définition de l exponentielle vue en terminale. Théorème (admis) Il existe

Plus en détail

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations 1. Lois de composition internes 1.1. Définition et exemples Définition 5.1 Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application

Plus en détail

Chapitre 8 : Fonctions continues

Chapitre 8 : Fonctions continues Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons «Attribution - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International». https://melusine.eu.org/syracuse/immae/ Chapitre 8

Plus en détail

Limites et continuité des fonctions

Limites et continuité des fonctions (*) WWW.SEGBM.NET Portail des étudiants d'économie Limites et continuité des fonctions numériques 1 Généralités sur les fonctions numériques 1.1 Quelques définitions 1.1.1 fonction numérique Une fonction

Plus en détail

Fonction d une variable réelle

Fonction d une variable réelle Fonction d une variable réelle 1 Fonction d une variable réelle : généralités Définitions Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie Limites Limites et opérations Limites

Plus en détail

Corrigé des Exercices d approfondissement du chapitre 0.

Corrigé des Exercices d approfondissement du chapitre 0. Corrigé des Exercices d approfondissement du chapitre 0. Exercice 0.17. Supposons que g f soit surjective et montrons que g est surjective. Soit z G. Comme g f est surjective, il existe x E tel que g f(x)

Plus en détail

Les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques,

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions Année 2016-2017 PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Plus en détail

Limites et fonctions continues

Limites et fonctions continues Limites et fonctions continues Vidéo partie. Notions de fonction Vidéo partie 2. Limites Vidéo partie 3. Continuité en un point Vidéo partie 4. Continuité sur un intervalle Vidéo partie 5. Fonctions monotones

Plus en détail

Extrait gratuit de document, le document original comporte 13 pages.

Extrait gratuit de document, le document original comporte 13 pages. Notations Dans ce problème, E est un espace euclidien de dimension n 1. On note (x y) le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x, y de E. On note [x] ε la matrice-colonne des coordonnées d un vecteur

Plus en détail

Logique, ensembles et applications.

Logique, ensembles et applications. Logique, ensembles et applications. I Outils du raisonnement mathématique 1 I.A Assertions et connecteurs logiques................. 1 I.A.1 Assertions........................... 1 I.A.2 Connecteurs logiques.....................

Plus en détail

Des démonstrations en analyse

Des démonstrations en analyse Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Nicole Bopp Strasbourg, novembre 007 Des démonstrations en analyse 1. Caractérisations équivalentes du fait que R est complet L une des trois propriétés ci-dessous est admise

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront des d une variable réelle (i.e. l ensemble de départ est R) à valeurs dans R ou C. 1 Généralités 1.1 Ensemble de

Plus en détail

Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième { R R Fonction

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Université Aix-Marseille Parcours CUPGE Introduction à l analyse. Cours Applications

Université Aix-Marseille Parcours CUPGE Introduction à l analyse. Cours Applications Université ix-marseille 2015 2016 Parcours CUPGE Introduction à l analyse Cours pplications 1 Définitions Définition 1 Une application, c est la donnée de trois choses : 1 un ensemble de départ ; 2 un

Plus en détail

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54 Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments () Fonctions réelles : 1 / 54 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Définition d un ensemble Définition 1. Un ensemble est une collection d objets mathématiques. Les objets qui

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés...

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés... 1. Espaces métriques 1 Distance, boules, ouverts, fermés... Définition 1.1. Soit E un ensemble (non vide). On appelle distance sur E une application d de E E dans [0, + [ vérifiant les trois propriétés

Plus en détail

L ensemble R des nombres réels

L ensemble R des nombres réels L ensemble R des nombres réels Plan du chapitre 1 L ensemble des nombres réels page 11 Description géométrique des réels page 1 Inégalités dans R page 1 Distance entre deux réels Intervalles de R page

Plus en détail

Limites et continuité de fonctions

Limites et continuité de fonctions Chapitre 12 Limites et continuité de fonctions Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Limites et continuité de fonctions 1 / 53 Notations : On note, sauf

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité Chapitre 5 Limites et continuité Les buts de ce chapitre sont : connaître les définitions des ites et de la continuité d une fonction en un point, savoir démontrer qu une fonction admet une ite comme on

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

AN 1 FONCTIONS USUELLES et RÉCIPROQUES

AN 1 FONCTIONS USUELLES et RÉCIPROQUES Analyse /0 AN FONCTIONS USUELLES et ÉCIPOQUES Les notions de limites, dérivées, primitives, continuité sont supposées connues, elles seront revues ultérieurement THEOEMES FONDAMENTAUX D ANALYSE Théorème

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Fonctions Numériques :

Fonctions Numériques : Fonctions Numériques : Limites et continuité. 1. Notion de limites Dénitions, opérations et Exemples. 2. Fonctions monotones. (a) Dénitions. (b) Limites des fonctions monotones. 3. Fonctions continues.

Plus en détail

Fonctions usuelles. Bestiaire du collège-lycée. I.1 Valeur absolue. Signe. I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 1. 1 si x > 0 x 1 si x < 0

Fonctions usuelles. Bestiaire du collège-lycée. I.1 Valeur absolue. Signe. I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 1. 1 si x > 0 x 1 si x < 0 Fonctions usuelles. I Bestiaire du collège-lycée I.1 Valeur absolue. Signe. Définition 1. R R{ La fonction signe est la fontion sg : 1 si x > 0 x 1 si x < 0. Définition 2. R R{ La fonction valeur absolue

Plus en détail

Recherche des extremums d une fonction

Recherche des extremums d une fonction DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche

Plus en détail

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES Algèbre - chap 1 1/8 Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES 1. ELEMENTS DE LOGIQUE 1.1 Propositions Règles logiques Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation

Plus en détail

Limites à l infini d une fonction

Limites à l infini d une fonction 9 Limites à l infini d une fonction On garde les notations du chapitre précédent en supposant ici que a = ou a = + est adhérent à l ensemble I, ce qui signifie que : ou : m R, ], m[ I M R, ]M, + [ I ce

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Axiomatique de N. Construction de l anneau Z

Axiomatique de N. Construction de l anneau Z DOCUMENT 1 Axiomatique de N. Construction de l anneau Z 1. Les entiers naturels La première définition axiomatique des entiers naturels apparaît dans un ouvrage de Dedekind, Was sind und was sollen die

Plus en détail

Limites et fonctions continues

Limites et fonctions continues Exercices 6 Limites et fonctions continues Extension de la notion de limite aux fonctions. Étude des propriétés locales et globales des fonctions continues sur un intervalle. 6 Limites et fonctions continues.........................................................

Plus en détail

Etude de fonction : notion de continuité

Etude de fonction : notion de continuité Etude de fonction : notion de continuité Leur faire lire des rappels sur les fonctions pour le jour en question. Toutes les fonction considérées dans ce chapitre sont définies sur ou une partie de et sont

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) N. CHENAVIER

COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) N. CHENAVIER COURS DE MATHEMATIQUES (MATH 2) Licence MSPI, 1ère année Semestre 1 N. CHENAVIER 2 Table des matières 1 Rudiments de théorie des ensembles 5 1.1 Premières définitions..................................

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

2 Maximum, minimum, borne supérieure...

2 Maximum, minimum, borne supérieure... Bibliothèue d exercices Énoncés L Feuille n 9 Propriétés de R Les rationnels Q Exercice. Démontrer ue si r Q et x Q alors r + x Q et si r 0 r.x Q.. Montrer ue Q, 3. En déduire : entre nombres rationnels

Plus en détail

Chapitre 3: Espaces topologiques

Chapitre 3: Espaces topologiques Chapitre 3: Espaces topologiques I. Définition et exemples. Dans le chapitre précédent, nous avons défini les ouverts puis nous avons également caractérisé les points adhérents, les points intérieurs,

Plus en détail

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique.

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Programme de colle - Semaine 4 Fonctions circulaires. Bijections, fonctions circulaires réciproques. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Démonstrations du

Plus en détail

Fonctions continues. le développement décimal propre de x. 10 1) Soit f : [0, 1[ [0, 1[ définie par : f(x) = x k+1. k= k 1 + x ) x + a R.

Fonctions continues. le développement décimal propre de x. 10 1) Soit f : [0, 1[ [0, 1[ définie par : f(x) = x k+1. k= k 1 + x ) x + a R. Fonctions continues Exercice 1. Fonction périodique Soit f : R R et T > 0. On suppose que f est T -périodique cad : x R, f(x + T ) = f(x). 1) Si f possède une limite en +, montrer que f est constante.

Plus en détail

Géométrie dans les espaces préhilbertiens

Géométrie dans les espaces préhilbertiens 13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens Pour ce chapitre (E, ) est un espace préhilbertien et est la norme associée. 13.1 Mesures de l angle non orienté de deux vecteurs non nuls L inégalité de Cauchy-Schwarz

Plus en détail

Quatrième Aventure A - BIJECTION - INJECTION - SURJECTION. A - 1 : Parlons patate

Quatrième Aventure A - BIJECTION - INJECTION - SURJECTION. A - 1 : Parlons patate Quatrième Aventure Résumé Nous allons nous occuper d un problème important : une fonction f envoie vers f(). Eiste-t-il un moen pour revenir vers? I - ÉTUDE THÉORIQUE A - BIJECTION - INJECTION - SURJECTION

Plus en détail

Corrigé du TD n o 11

Corrigé du TD n o 11 CPP 03/04 Fonctions réelles J. Gillibert Corrigé du TD n o Exercice Soient f et g deux fonctions continues R R. On suose que : x Q, f(x = g(x Montrer que f = g. Réonse : Raelons d abord le résultat suivant

Plus en détail

Chapitre 10 : Continuité

Chapitre 10 : Continuité Chapitre 0 : Continuité PTSI B Lycée Eiffel 23 janvier 204 Un prof de maths explique à une blonde comment montrer que lim x 8 =. La blonde assure avoir parfaitement compris. Pour vérifier, le prof lui

Plus en détail

Planche n o 3. Ensembles, relations, applications : corrigé

Planche n o 3. Ensembles, relations, applications : corrigé Planche n o 3 Ensembles, relations, applications : corrigé Exercice n o 1 Si E = F, alors P(E) = P(F) Réciproquement, supposons que P(E) = P(F) F est un élément de P(F) et donc F est un élément P(E) Mais

Plus en détail

Polycopié de Logique Mathématique

Polycopié de Logique Mathématique 1. Propositions. Université de la Nouvelle Calédonie. Licences Math, PC, SPI. Semestre 2. Polycopié de Logique Mathématique Une proposition est un enoncé mathématique qui peut être soit vrai (V) soit faux

Plus en détail

Etude des fonctions usuelles

Etude des fonctions usuelles Etude des fonctions usuelles 1. Introduction Soit f une fonction réelle de la variable réelle, on a vu que ces fonctions sont souvent définies par des formules, c est-à-dire définies par des epressions

Plus en détail

Argument d un nombre complexe

Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Dans ce chapître, nous allons introduire les éléments indispensables à la résolution de notre grand problème : montrer la clôture algébrique de C, c està-dire le fait que

Plus en détail

Filière SMA Module de topologie

Filière SMA Module de topologie Université Mohammed V-Rabat Faculté des sciences Département de mathématiques Filière SMA Module de topologie Semestre 5 Hamza BOUJEMAA 1 Introduction Le contenu du module de topologie enseigné en semestre

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

Proposition1.1. (i) Le composé d une rotation et d une translation (ou d une translation et d une rotation) est une rotation de même angle.

Proposition1.1. (i) Le composé d une rotation et d une translation (ou d une translation et d une rotation) est une rotation de même angle. Géométrie affine 0. Objet du cours. L objet de ce cours est de présenter les principales idées et les résultats importants de la géométrie élémentaire dans le cadre réel affine et dans le cadre réel euclidien,

Plus en détail

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base.

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. 1 Axiome du choix Definition 1.1. Etant donnée une famille (A i ) i I de parties d un ensemble E (c est à dire une application de

Plus en détail

Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct Exercice IV.1 Ch4-Exercice1 Montrer que l intersection d un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a. Soient (V k=1,...,p ) p voisinages de a.

Plus en détail

Notions de bases. 2 Ensembles Vocabulaire ensembliste Ensemble des parties d un ensemble... 5

Notions de bases. 2 Ensembles Vocabulaire ensembliste Ensemble des parties d un ensemble... 5 Maths PCSI Cours Notions de bases Table des matières 1 Logique 2 1.1 Proposition logique.......................................... 2 1.2 Disjonction, conjonction et implication...............................

Plus en détail

III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5

III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5 Séries entières I Généralités I.A Définition........................................... I.B Lemme d Abel........................................ 2 I.C Rayon de convergence d une série entière..........................

Plus en détail

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : Déterminer les

Plus en détail

2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction :

2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction : Chapitre 2 Opérateurs bornés 2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques 2.1.1 Relations d ordre Soit une relation d ordre sur un ensemble X. Si Y X on définit les majorants (resp. minorants)

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissances. 1.1 Fonction logarithme et exponentielle

FONCTIONS USUELLES. 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissances. 1.1 Fonction logarithme et exponentielle FONCTIONS USUELLES Fonctions logarithme, eponentielle et puissances. Fonction logarithme et eponentielle Définition. Logarithme La fonction ln est l unique primitive de sur R + s annulant en. Proposition.

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit f : R R dénie par. 1 x arccos x. Montrer que f est totalement discontinue. dénie sur R +.

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit f : R R dénie par. 1 x arccos x. Montrer que f est totalement discontinue. dénie sur R +. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 avril 017 Enoncés 1 Limite et continuité Généralités sur les fonctions Eercice 1 [ 00501 ] [Correction] Soit f une fonction croissante de [0 ; 1] dans [0 ; 1].

Plus en détail

Dérivation et fonctions trigonométriques

Dérivation et fonctions trigonométriques Dérivation et fonctions trigonométriques 1. Compléments sur la dérivation Théorème. Soit une fonction à valeurs positives dérivable sur un intervalle. Alors est dérivable sur et. Soit. La fonction est

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

Chapitre 1 Notions de théorie des ensembles

Chapitre 1 Notions de théorie des ensembles Chapitre 1 Notions de théorie des ensembles De nombreuses façons, les mathématiques s intéressent à l étude des structures et des applications entre elles Par exemple, l algèbre linéaire s occupe des espaces

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Université de Provence Feuille d exercices n 4. Théorie des ensembles, relations, applications. I. Un peu de logique

Université de Provence Feuille d exercices n 4. Théorie des ensembles, relations, applications. I. Un peu de logique Université de Provence 2010 2011 Mathématiques Générales 1 Feuille d exercices n 4 Théorie des ensembles, relations, applications I. Un peu de logique Exercice 1 Ecrire à l aide de quantificateurs (, )

Plus en détail

V. Quelques équations diophantiennes

V. Quelques équations diophantiennes V. Quelques équations diophantiennes V. Quelques équations diophantiennes Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 1 / 37 V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n Limites de fonctions Théorie Eercice Démontrer que 0 Soient m, n des entiers positifs + Étudier 0 3 Démontrer que 0 ( + + ) = Eercice = + m m n Montrer que toute

Plus en détail

Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle

Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle Notations. K désigne R ou C. S (K désigne l'ensemble des suites d'éléments de K et u, v des éléments de S (K. I, J désignent des

Plus en détail

Isométries affines et vectorielles

Isométries affines et vectorielles Chapitre 3 Isométries affines et vectorielles Objectifs de ce chapitre 1. Rappels sur les isométries vectorielles.. Groupe orthogonal en dimension et 3. Détermination d une isométrie vectorielle en dimension

Plus en détail

M = b d. a b ou M =. b a

M = b d. a b ou M =. b a Ce texte est extrait du cours optionnel de géométrie de l année universitaire 1999/2000. B.Ingrao Étude du groupe orthogonal dans le cas du plan. Dans ce qui suit, l espace est de dimension 2 ; en conséquence

Plus en détail

Analyse (1) : fonctions d une variable réelle

Analyse (1) : fonctions d une variable réelle MP 1. Semestre 1. Cours. Chapitre 2 : Analyse Analyse (1) : fonctions d une variable réelle continuité, limites, asymptotes dérivées, variations Application : courbes paramétriques 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES

Plus en détail

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques Chapitre 6 Fonctions trigonométriques Corrigés des exercices-tests Vrai La hauteur issue de M dans le triangle OIM est également médiane Donc le triangle OIM est isocèle en M Étant aussi isocèle en O,

Plus en détail

p = A cos(kx ωt). (1.2)

p = A cos(kx ωt). (1.2) 1 1. Séries de Fourier 1. Introduction En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vibrations ou des oscillations. La vibration d un diapason est un exemple de mouvement harmonique

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Ouverts et fermés Exercice 1 [ 113 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s écrire comme intersection d une suite décroissante d ouverts.

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail