Les fonctions réciproques

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1 DOCUMENT 28 Les fonctions réciproques 1. Introduction et définition Pour tout ensemble E, il existe une loi de composition naturelle sur l ensemble des applications de E dans E qui est la composition des applications. Cette loi possède un élément neutre, l application identique 1 E, et on peut donc essayer de caractériser les éléments inversibles pour cette loi, c est-à-dire déterminer les applications f : E E pour lesquelles il existe g : E E verifiant g f = f g = 1 E. On verra que dans le cas des applications de R dans R, on obtient un outil très efficace pour définir de nouvelles fonctions. Une caractérisation de ces éléments inversibles est donnée, dans un cadre un peu plus général, par la proposition suivante. Proposition Soit f une application de E dans F. Il y a équivalence entre : (1) L application f est bijective ; (2) Il existe une application g de F dans E telle que g f = 1 E et f g = 1 F. Preuve. 1) 2). Si f est bijective alors, pour tout y F, f 1 ({y}) = {x E f(x) = y} possède un et un seul élément que l on désigne par g(y). Soit g l application de F dans E qui à y F fait correspondre g(y) E. Par définition, on a f 1 ({y}) = {g(y)}. Soit x E. L application f étant injective, {x} = f 1 ({f(x)}) d où {x} = {g(f(x))} et donc x = g(f(x)). Maintenant soit y F. Comme f est surjective, il existe x E tel que y = f(x) et, en utilisant l injectivité de f, {x} = f 1 ({y}) = {g(y)} d où x = g(y) et y = f(x) = f(g(y)). Finalement, g f = 1 E et f g = 1 F. 2) 1). Si f(x) = f(y) alors x = g(f(x)) = g(f(y)) = y et f est injective. D autre part, pour tout y F, y = f(g(y)) ce qui montre que f est surjective. Lorsque f est bijective, l application g de la proposition précédente est unique car si f g = 1 F et g f = 1 E alors g = g (f g) = (g f) g = g. Cela permet de définir l application réciproque d un application bijective. Définition Soit f une application bijective de E dans F. L unique application g de F dans E vérifiant g f = 1 E et f g = 1 F est appelée l application réciproque de f et on la note f 1. Remarques. 1) Si f est bijective alors l application réciproque de f est aussi bijective et (f 1 ) 1 = f. 2) Soit f : E F et g : F G deux applications bijectives. L application g f est bijective et (g f) 1 = f 1 g 1. 3) La proposition 28.1 résulte des deux résultats suivants faciles à démontrer (mais le premier suppose l axiome du choix). Une application f : E F est surjective si et seulement si il existe r : F E telle que f r = 1 F. Lorqu elle existe, r est injective. 303

2 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES On suppose E si F. Une application f : E F est injective si et seulement si il existe une application s : F E telle que s f = 1 E. Lorsqu elle existe, s est surjective. 4) Soit f : E F et Y F. On désigne souvent par f 1 (Y ) l image réciproque de la partie Y de F par f : f 1 (Y ) = {x E f(x) Y }. Lorsque f est bijective on verifie que f 1 (Y ) est aussi l image directe de Y par l application f 1 : f 1 (Y ) = {f 1 (y) y Y }. La notation f 1 (Y ) n est donc pas ambigüe mais il faut bien se souvenir qu elle ne suppose pas f bijective. 5) Soit f : E F et f l application de E sur f(e) définie, pour tout x E, par f(x) = f(x). Cette application f est surjective et souvent on peut la confondre avec f. Remarquons cependant que la détermination explicite de l image de f n est pas toujours simple. Considérons par exemple l application f de R + dans lui-même qui à x fait correspondre x 2. De l égalité x 2 y 2 = (x y)(x + y) on déduit facilement que f est injective et donc que f est une bijection de f sur son image Im f. Autrement dit tout élément de Im f possède une racine carrée positive mais ce résultat est sans intérêt si l on ne sait pas que Im f = R + (il signifie que tout nombre de la forme x 2 possède une racine carrée). Pour montrer que Im f = R +, une méthode consiste à prouver la continuité de f, ensuite on montre que lim f(x) = + et on utilise le théorème x + des valeurs intermédiaires. Il a donc été nécessaire de faire intervenir un important théorème d analyse. Si f n est pas injective alors il est possible que la restriction f E de f à E E soit injective et conserve une partie intéressante des propriétés de f. L application f E est alors une bijection de E sur f(e ). Par exemple, la restriction de la fonction sinus à [ π/2, π/2] est injective et l application de [ π/2, π/2] dans [ 1, 1] qui à x fait correspondre sin(x) est une bijection. Si l on peut toujours associer l application surjective f à f (bien qu en pratique il soit parfois malaisé de caractériser explicitement l image d une application) il est beaucoup plus difficile de trouver des conditions pour que f possède des restrictions injectives intéressantes. Dans le cas des applications de R n dans lui-même, on peut à l aide du théorème des fonctions implicites donner une condition suffisante pour l existence locale d une application réciproque. 2. Propriétés générales des applications réciproques Dans ce paragraphe nous donnons deux propriétés pour des applications réciproques des fonctions de E R dans F R. Ces propriétés ne font intervenir, ni la nature de E, ni la continuité de f. Proposition Soit f une application bijective d une partie E de R dans F R. L application f est monotone si et seulement si f 1 est monotone. Lorsque f est monotone, f et f 1 varient dans le même sens. Preuve. Soit y 1, y 2 F et x 1 = f 1 (y 1 ), x 2 = f 1 (y 2 ). L égalité (y 2 y 1 )(f 1 (y 2 ) f 1 (y 1 )) = (f(x 2 ) f(x 1 ))(x 2 x 1 ) montre que si f est monotone alors f 1 l est aussi et varie dans le même sens (Une fonction f est monotone si et seulement si (x y)(f(x) f(y)) garde un signe constant. Elle est croissante si et seulement si (x y)(f(x) f(y)) 0.). Comme f = (f 1 ) 1, la réciproque est évidente. Proposition Soit R = (O, u, v) un repère de l espace affine euclidien R 2 et f une bijection de E R dans F R. Le graphe G f 1 de f 1 se déduit du graphe G f de f par la symétrie s par rapport à la droite O + R( u + v), parallèlement à la droite O + R( u v). Si R est normé, s est la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice du repère.

3 3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES Preuve. On a G f = {O + x u + f(x) v x E} = {O + f 1 (y) u + y v y F } et G f 1 = {O + y u + f 1 (y) v y F }. Il en résulte que G f 1 = s(g f ), où s est l application de R 2 dans lui-même définie par s(o + x u + y v) = O + y u + x v. L application s : x u + y v y u + x v est involutive et linéaire. C est donc une symétrie vectorielle. Les élément de la droite R( u + v) sont fixes et la droite R( u v) est conservée par s. Cette application est donc la symétrie par rapport à R( u + v), parallèlement à la droite R( u v) d où la nature de s car s(m) = s(o) + s( OM) et s possde un point fixe O (sinon s pourrait être une symétrie glissée). Si R est normé, u + v et u v dirigent les bissectrices des axes du repère et ces deux vecteurs sont orthogonaux. La droite R( u+ v) est la première bissectrice c est-à-dire la bissectrice intérieure de la paire de demi-droites (R + u, R + v). 3. Fonctions réciproques des fonctions continues sur un intervalle Nous allons maintenant supposer que les fonctions considérées sont continues sur un intervalle. Parmi les fonctions injectives il y a les fonctions strictement monotones mais, en général, cette condition est seulement suffisante. Le premier résultat important est, que pour les fonctions continues sur un intervalle, elle est aussi nécessaire. Proposition Soit I un intervalle et f une application continue de I dans R. Il y a équivalence entre : (1) La fonction f est injective ; (2) La fonction f est strictement monotone. Preuve. Il suffit de prouver que 1) implique 2). Soit x 0, y 0, x, y des éléments de I tels que x 0 < y 0 et x < y. Pour tout λ [0, 1], on pose x(λ) = λx 0 + (1 λ)x et y(λ) = λy 0 + (1 λ)y. On a x(λ) [x 0, x] I et y(λ) [y 0, y] I. D autre part, x(λ) < y(λ) car si λ 0, λx 0 < λy 0 et (1 λ)x (1 λ)y et si λ = 0 alors x(0) = x, y(0) = y. Considérons l application h définie sur [0, 1] par h(λ) = (x(λ) y(λ))(f(x(λ)) f(y(λ)). Cette fonction est continue sur [0, 1] et l injectivité de f entraine qu elle ne prend jamais la valeur 0. Elle a donc un signe constant et en particulier h(1) = (x 0 y 0 )((f(x 0 ) f(y 0 )) a le même signe que h(0) = (x y)(f(x) f(y). Il en résulte que le signe de (x y)(f(x) f(y)) est indépendant de (x, y) : la fonction f est monotone. Remarques. 1) On peut trouver une autre démonstration de ce résultat dans le document 27 Image d un intervalle par une fonction continue. L ingrédient essentiel de cette autre preuve est encore le théorème des valeurs intermédiaires. 2) Une démonstration plus courte de la proposition 28.4, mais qui utilise une fonction de deux variables, est la suivante. L ensemble K = {(x, y) I 2 x < y} est un connexe de R 2 et son image par la fonction continue g : (x, y) (x y)(f(x) f(y)) est donc un connexe de R, c est-à-dire un intervalle. Si f est injective, cet intervalle ne contient pas 0 et donc g(k) R + ou g(k) R ce qui signifie que f est monotone. 3) Si f n est pas continue ou si f n est pas monotone l implication 1) 2) peut être fausse comme le montre les exemples suivants. A gauche, la fonction est définie sur un intervalle et discontinue en un point, à droite elle est continue mais n est pas définie sur un intervalle.

4 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES Avant d énoncer le principal résultat du document, montrons une proposition qui est la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions monotones. Proposition Soit f une fonction monotone de D f R dans R. Si l image de f est un intervalle I alors f est continue. Preuve. En remplaçant éventuellement f par f, on peut supposer f croissante. Considérons a D f et ɛ > 0. On définit α R par : Si f(a) ɛ I alors on prend α D f tel que f(α) = f(a) ɛ. On a α < a car α a implique f(α) f(a). Si f(a) ɛ I alors on prend α =. On a encore α < a. On définit aussi β R par : Si f(a) + ɛ I alors on prend β D f tel que f(β) = f(a) + ɛ. On a β > a car β a implique f(β) f(a). Si f(a) + ɛ I alors on prend β = +. On a encore β > a. Dans tous les cas α < a < β et on va montrer que f([α, β] D f ) [f(a) ɛ, f(a) + ɛ] ce qui entraine la continuité de f en a. Soit t [α, β] D f. Si f(a) ɛ I alors f(a) ɛ = f(α) f(t) et si f(a) ɛ I alors, I étant un intervalle, f(a) ɛ minore I d où f(a) ɛ < f(t). (On a utilisé le fait que si I est un intervalle alors tout élément qui n appartient pas à I est soit un minorant soit un majorant de I. Ici, f(a) ɛ < f(a) entraine que f(a) ɛ ne peut pas être un majorant de I.) On montre de façon analogue que f(t) f(a) + ɛ. On peut aussi donner cette autre preuve. Si la fonction monotone f n est pas continue alors f n est pas continue à droite ou à gauche en un point non isolé a de D f. C est dire, en supposant f croissante, que l un des intervalles ouverts ]f(a ), f(a)[, ]f(a), f(a+)[ est non vide (f(a ) désigne la limite à gauche en a de f. De même f(a+) est la limite à droite et l une au moins de ces limites existe car f est monotone et a non isolé dans D f.) Si par exemple, ]f(a ), f(a)[ alors f est définie pour des valeurs plus petites que a. Si b D f et b < a alors f(b) f(a ) < f(a) et f(d f ) n est pas un intervalle car f(a ) + f(a) [f(b), f(a)] f(d f ) (par exemple f(d f )). 2 Théorème Soit f une application définie sur un intervalle I de R, continue et strictement monotone. L application f possède une application réciproque f 1, définie sur l intervalle J = f(i), continue et strictement monotone. De plus, f et f 1 varient dans le même sens. Preuve. L application f est une bijection de I sur f(i) = J qui est un intervalle car f est continue. La proposition 28.1 entraine l existence de f 1 qui est monotone en variant dans le même sens que f. L image de f 1 étant l intervalle I, la proposition précédente entraine que f 1 est continue sur J.

5 3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES Remarque. Dans la proposition précédente, la partie difficile à montrer est la continuité de f 1. Si f n est pas définie sur un intervalle l exemple cicontre montre que f 1 n est pas nécessairement continue. Cette exemple montre qu une bijection continue n a pas nécessairement un bijection réciproque continue (Toute bijection continue n est pas forcément un homéomorphisme.). On sait que si f est une fonction continue, définie sur un intervalle I, alors f(i) est un intervalle mais cet intervalle n est pas nécessairement de même nature (ouvert, fermé, semiouvert) que I. L exemple classique est celui de la fonction x x 2 qui transforme l intervalle ouvert ] 1, 1[ en l intervalle semi-ouvert [0, 1[. A l aide du lemme suivant on va montrer que cela ne se produit pas pour les fonctions continues strictement monotones. Lemme Soit f une application continue croissante (resp. décroissante) définie sur un intervalle I. Si a 1 = inf I, a 2 = sup I, b 1 = inf f(i), b 2 = sup f(i) alors lim f(x) = b i (resp. x ai lim f(x) = b j, i j). x a i Preuve. On va montrer, en supposant f croissante, que lim f(x) = b 1. Les autres preuves x a 1 sont analogues (Attention! a i et b i peuvent être ±.) Si f(i) est réduit à un point (i.e. si f est constante) le résultat est évident. Supposons donc f(i) non réduit à un point. Soit V V(b 1 ) (voir le document 25 Limite à l infini... pour la définition). Il existe dans V un élément y 1 > b 1 (b 1 + ) et il existe dans f(i), y 2 > b 1. Si y = min(y 1, y 2 ) alors y ]b 1, y 1 ] ]b 1, y 2 ] V f(i). Soit x I tel que f(x) = y. On a x a 1 et si x = a 1 alors, pour tout t I, t x d où f(t) f(x) = y et inf f(i) y > b 1, ce qui est absurde. On a donc x > a 1. Soit W =]a 1 η, a 1 + η[ avec η = x a 1 si a 1 et W =], x[ sinon. Dans les deux cas, W V(a 1 ) et si t W I alors a 1 t < x d où b 1 f(t) f(x) = y et y V implique f(t) V. Finalement f(w I) V et donc lim f(x) = b 1. x a 1 Proposition Soit f une application continue strictement monotone définie sur un intervalle I. On pose J = f(i), a 1 = inf I, a 2 = sup I, b 1 = inf J, b 2 = sup J (1) Si f est croissante alors a i I équivaut à b i J. Lorsque a i I on a f(a i ) = b i. (2) Si f est décroissante et si i j alors a i I équivaut à b j J. Lorsque a i I on a f(a i ) = b j. Preuve. 1). Si a i I alors, f étant continue, lim x ai f(x) = f(a i ) et le lemme entraine f(a i ) = b i et donc b i J. En remplaçant f par f 1 on voit que si b i J alors a i I et f 1 (b i ) = a i d où f(a i ) = b i. 2) Preuve analogue.

6 LES FONCTIONS RÉCIPROQUES Remarques. 1) Si f est continue monotone, la proposition précédente peut être fausse. Ici a = sup I I et b = sup J J. 2) Le caractère borné d un intervalle n est pas nécessairement conservé par une fonction continue strictement monotone. Penser à la restriction de la fonction tan à ] π/2, π/2[. 3) Soit I et J deux intervalles non vides et non réduits à un point. Il existe une application continue et strictement monotone f telle que f(i) = J (et donc f 1 (J) = I) si et seulement si on est dans l un des cas suivants : (1) Les intervalles I et J sont ouverts. (2) Chaque intervalle I et J a l une des formes : ], a], [a, + [, [a, b[, ]a, b] (a, b R, a < b). (3) Les intervalles I et J sont fermés et bornés. Si I et J sont bornés, il suffit de prendre pour f une application affine convenable. Sinon, on peut définir f à l aide de fonctions affines, de la fonction tan et de la fonction arctan. On peut considérer sur l ensemble des intervalles de R la relation d équivalence définie par : I J il existe f : I J surjective, continue et strictement monotone. Si I J on dit que I et J sont homéomorphes et, d après ce qui précède, cette relation d équivalence possède cinq classes qui sont celles de :, {0}, [0, 1], ]0, 1], ]0, 1[. 4. Dérivation des fonctions réciproques Voir le document 26 Nombre dérivé et fonctions dérivées. 5. Exemples 5.1. Les fonctions puissances rationnelles. Soit n N et f n l application de R + dans lui-même définie par f n (x) = x n. L application f n est strictement croissante (Utiliser f(x) f(y) = (x y)(x n 1 + x n 2 y + + xy n 2 + y n 1 ).), continue et surjective (Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et lim f n(x) = + ). Donc f n possède une application x réciproque que l on note f 1/n. On remarque que f n f m = f m f n (= f n.m ) d où f n = f m f n f 1/m et f 1/m f n = f n f 1/m. Si mq = np (m, n, p, q N ) alors f m f q = f n f p et donc f m f 1/n = f p f 1/q. La fonction composée f m f 1/n ne dépend donc que de r = m. On peut donc n définir pour tout r Q + une application f r de R + dans R + en posant f r = f m f 1/n si r = m n, m, n N. Notons que f r est bijective et (f r ) 1 = (f m f 1/n ) 1 = f 1 1/n f 1 m = f n f 1/m = f 1/r. Lorsque n est impair, l application g n de R dans R définie par g n (x) = x n est une bijection qui prolonge f n. Elle possède donc une application réciproque qui prolonge f 1/n. La théorie des fonctions réciproques permet donc de définir, pour tout réel positif x et tout rationnel positif r, le nombre réel x r. Elle permet aussi de donner un sens à x 1/n pour x < 0 et n entier impair.

7 5. EXEMPLES Les fonctions trigonométriques et leurs inverses. La fonction qui à x [ π/2, π/2] fait correspondre sin x [ 1, 1] est surjective, continue et strictement monotone. Elle possède donc une application réciproque notée arcsin et l on a : arcsin(sin x) = x pour x [ π/2, π/2] et sin(arcsin x) = x pour x 1. On définit de façon analogue la fonction arccos et on démontre que pour x < 1 on a (arcsin) (x) = arcsin x = 1 1 x 2 et (arccos) (x) = x 0 dt 1 t 2 1. Pour x < 1, on a donc 1 x 2 arccos x = x 0 dt 1 t 2 + π/2 (arccos(0) = π/2). Ces relations peuvent être considérées comme une définition des fonctions arcsin et arccos d où, en utilisant la théorie des fonctions réciproques, la possibilité de définir les restrictions de la fonction sinus à ] π/2, π/2[ et de la fonction cosinus à ]0, π[. On peut en déduire par parité et périodicité une définition de sinus et cosinus. Evidemment, cette méthode suppose que l on a démontré auparavant que toute fonction continue possède une primitive. De façon analogue on peut considérer que la fonction arctan est définie sur R par x dt arctan x = t 2. Cette fonction est une bijection continue et strictement croissante de R sur un intervalle de la forme ] a, a[, a > 0. Elle possède donc une application réciproque qui applique ] a, a[ sur R. On prolonge ensuite cette application réciproque à R \ {(2n + 1)a n Z} par périodicité. 1 En se souvenant des relations cos 2 x = 1 + tan2 x et sin x = tan x cos x, on en déduit une définition des fonction sinus et cosinus sur R. Il reste ensuite à montrer que x = cos t, y = sin t, t [0, 4a] est une paramétrisation du cercle trigonométrique pour en déduire, en 4a utilisant 2π = (sin 2 ) (t) + (cos 2 ) (t)dt, que a = π/2 et achever la définition des fonctions 0 trigonométriques Les fonctions exponentielles. Voir le document concernant ces fonctions Les fonctions homographiques. Soit a, b, c et d des nombres réels tels que ad bc 0. On considère l application f qui à x R { d ax + b } fait correspondre f(x) = c cx + d R {a c }. On montre facilement que cette application est bijective et que f 1 (x) = dx b cx + a. Ici la fonction f n est ni monotone ni définie sur un intervalle. On peut cependant appliquer les résultats précédents en considérant les restrictions de f à ], d c [ et ] d c, + [.

8 LES FONCTIONS RE CIPROQUES

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