Transformations fonctionnelles pour l ingénieur. Pierre L. Douillet

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1 Transformations fonctionnelles pour l ingénieur Pierre L. Douillet 8 novembre 6

2 Le présent document reprend les notes de cours du module lapla.

3 Table des matières Transformation de Laplace 7. Définition et premiers résultats Image de l exponentielle Décalage temporel Dérivation Transformation inverse, présentation Décomposition en éléments simples Équations différentielles affines Convolution Fonctions périodiques Un exemple complet Mesure de Dirac Table Séries génératrices 9. Idée générale Formule sommatoire de Cauchy Formules de récurrence A Annexes 3 A. Convergence : quelques rappels A. Convergence d une suite de fonctions A.3 Comparaison de la avec la méthode de Lagrange References 5 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES

5 Table des figures.. La fonction sinus Les deux sortes de décalage ne commutent pas Excitation, réponse et dérivées successives La première période du cosinus Première période du créneau alternatif Créneau alternatif ϕ (t k T ) Les fonctions σ et σ (t k T ) Évolution d une solution non stationnaire Les fonctions ϕ et 5

6 6 TABLE DES FIGURES

7 Chapitre Transformation de Laplace La transformation de Laplace consiste à remplacer une fonction f : t f (t) par une fonction p L (f) (p). Les fonctions f sont appelées "fonctions objets" et les fonctions L (f) sont appelées "fonctions images". Le but poursuivi est la description d un régime transitoire. La variable t est le temps, et la date t = est la date de démarrage du processus, ou en tout cas la date de début de l observation. Par conséquent, la variable t vérifie à la fois t R et t. Insistons bien là dessus : il sera toujours supposé que les fonctions "objets" sont des fonctions continues par morceaux d une variable réelle positive. Ainsi la notation { L (sin) ne fait donc pas if x > then sin x référence à la fonction sinus usuelle, mais à la fonction x, otherwise comme décrite par la Fig Fig...: La fonction sinus. Par contre la fonction "image", c est à dire L (f) doit être considérée comme dépendant d une variable complexe p C. Nous nous autoriserons à écrire L (f) (p) au lieu de (L (f)) (p) et même, à écrire L (t + ) (p) au lieu de (L (t t + )) (p) qui est certes plus correct, mais qui nous semble moins lisible.. Définition et premiers résultats Définition (Laplace). Laplace. Soit f une fonction continue par morceaux définie sur l intervalle [, + ]. On appelle transformée de Laplace de cette fonction la nouvelle fonction définie par L (f) (p) = t= t= exp ( p t) f (t) dt (..) L utilisation de la notation L (f) (p) suppose que p C est choisi de telle sorte que l intégrale converge. 7

8 8. Transformation de Laplace Définition. Dire que "la fonction f est d ordre exponentiel à l infini" signifie qu il existe un α C tel que exp ( α t) f (t) lorsque t. Exercice. Montrer que l on peut toujours supposer que cet α est réel (abscisse de convergence). Théorème 3 (existence). Si la fonction f, définie sur [, + ] est continue par morceaux et d ordre exponentiel α à l infini, alors son image Laplace est définie pour tout p C dont la partie réelle est supérieure à α (i.e. Rp > α). Théorème 4. Si les fonctions f et g, définies sur [, + ] sont continues par morceaux et d ordre exponentiel α à l infini, alors il en est de même pour les combinaisons linéaires de f et g et l on a, pour tout choix des constantes a, b la relation L (a f + b g) (p) = a L (f) (p) + b L (g) (p) (..) Proposition 5 (polynômes). On a L () (p) = p, L (t) (p) = p et plus généralement ( ) t k L (p) = (..3) k! p k+ Exercice. Démontrer ce résultat par récurrence (cf. Spiegel, 965).. Image de l exponentielle Définition 6 (exponentielle). La fonction exp est définie dans C tout entier par exp z = z n n N. Cette série converge normalement dans toute partie bornée du plan complexe. n! Un calcul élémentaire montre que exp (z + z ) = exp z exp z. Exercice 3. Redémontrer cette formule. Définition 7 (sinus et cosinus). Les coefficients de la série exponentielle étant réels, on a : exp z = exp z et donc exp (i t) = exp (i t) exp ( i t) = exp =. Les points exp (i t), t R viennent se placer sur le cercle trigonométrique U = {z / z = }. On définit sin et cos par : exp (i t) = cos t + i sin t. Théorème 8. Tous les points de U peuvent s écrire exp (i t), et la fonction t exp (i t) est périodique, sa plus petite période étant π 6.8. Proposition 9. Formule fondamentale pour la transformation de Laplace : L (exp t) (p) = p Preuve. (calcul direct). Posons A = exp ( p t) exp t = exp (( p) t) dt. Supposant p, nous procédons au changement de variable (p ) t = x. On a donc dt = dx et A = t= exp (( p) t) dt = x= exp ( x) dx. On utilise alors p t= p x= exp ( x) dx = pour conclure. Preuve. (interprétation). On a exp t = ce qui précède, B. = L ( t n n!) (p) = pose q. = p. On a alors B = qn = q q = p t n et L (exp t) (p) = L ( t n n! n!) (p). D après. Supposons p >, soit q < si l on p n+. Il se trouve que A = B.

9 .3. Décalage temporel 9 Exercice 4. Justifier l interversion entre et dans la formule ci-dessus. Proposition. Formule générale. Pour tout a C et tout p C tel que Rp > Ra, on a : L (exp a t) (p) = (..) p a Formule des sinus et cosinus. On a L (sin) (p) = p + ; L (cos) (p) = p p + (..) Exercice 5. Détailler le calcul à partir de la formule d Euler : exp (i t) = cos t + i sin t.3 Décalage temporel Définition {. décalage temporel. Partons de la fonction sin, c est à dire de la fonction if x > then sin x x, correspondant à la Fig.... La Fig..3. montre otherwise ce qu il convient d entendre par décalage temporel à gauche (avance) et par décalage temporel à droite (retard). On constate que ces deux opérations ne sont pas réciproques l une de l autre. 5 (a) Avance Fig..3.: Les deux sortes de décalage ne commutent pas. Définition. On appelle fonction de Heaviside la fonction valant pour t > et pour t <. La transformation "avance" d une fonction s écrit alors h (t) = f (t + a) H (t), tandis que sa retardée est g (t) = f (t a) H (t a). Exercice 6. Calculer l image Laplace de la fonction t sin (t + a) H (t). Proposition 3 (Formule des retards). Soit f une fonction objet, et g la fonction obtenue par la transformation g (t) = f (t a) H (t a) avec a >. Autrement dit, g est en retard sur f. On a alors : L (f (t a)) (p) = exp ( p a) L (f (t)) (p) (.3.) Preuve. Par définition de la transformée de Laplace, on a : L (g) (p) = g (t) exp ( p t) dt = t= t= f (t a) H (t a) exp ( p t) dt En posant x = t a, il vient L (g) (p) = x=+ f (x) H (t) exp ( p x p a) dx = exp ( p a) L (f) (p). x= a En effet, la contribution de l intervalle [ a, ] est nulle à cause du facteur H (t).

10 . Transformation de Laplace Exercice 7. Calculer l image Laplace de la fonction t t a. Comparer avec la retardée de la fonction t t. Proposition 4 (Formule des translations). Pour c C, on a la formule L (f) (p c) = L (t f (t) exp (c t)) (p) Exercice 8. Démontrer la formule ci-dessus. Exercice 9. Utiliser cette formule pour retrouver l image Laplace de sinus et cosinus. Proposition 5 (Formule des dilatations). Changement de l unité de temps : pour a >, on a : ( ( )) t L f (p) = a L (f) (a p) (.3.) a.4 Dérivation Théorème 6 (objet). Pour toute fonction ayant une dérivée continue par morceaux : L (f ) (p) = p L (f) (p) f () (.4.) Preuve. Pour f (t) = tn+, on a L (f) (p) =. Mais aussi f (t) = tn et donc (n+)! p n+ n! L (f ) (p) = p L (f) (p). Par linéarité, la formule s applique à tout polynôme. Exercice. Utiliser une intégration par parties et obtenir la preuve du cas général. Proposition 7. Exemples élémentaires. exp L (exp) (p) =. D où L p (exp ) (p) = sin L (sin) (p) = p +. D où L (sin ) (p) = p p = p p + p = L (exp) (p). = L (cos) (p). cos L (cos) (p) = p. D où L p + (cos ) (p) = p = L ( sin) (p). p + Exercice. Donner la formule de la dérivée seconde. La vérifier sur ces trois exemples. Théorème 8 (image). Pour toute fonction continue par morceaux d L (f (t)) (p) = L (t f (t)) (p) (.4.) d p Preuve. f (t) = tn, on a L (f) (p) =. Donc d n+ L (f (t)) (p) = = L (t f (t)) (p). n! p n+ d p p n+ Par linéarité, la formule s applique à tout polynôme. Exercice. Utiliser une intégration par parties et obtenir la preuve du cas général. Théorème 9. L image Laplace d une fonction continue par morceaux est holomorphe sur Rp > α Exercice 3. Utiliser (.4.) pour démontrer ce théorème. Expliquer pourquoi (.4.) n implique pas que f soit indéfiniment dérivable (cf Stephenson, 99). Proposition. Si la quantité f(t) admet une limite finie pour t, on a alors t ( ) f (t) L (p) = L (f) (s) ds t Exercice 4. Démontrer ce résultat et expliquer pourquoi l intégrale part de p =. Exercice 5. Quelle est l image Laplace de t Exemple. De L (sin) (p) =, on tire L ( sin t p + t On en déduit L ( ) sin t (p) = π π. t p f(u) u du? t ) (p) = p L (sin) (s) ds = p arctan p. Évaluée en p =, cette formule donne ds. +s sin t t dt =

11 .5. Transformation inverse, présentation.5 Transformation inverse, présentation Théorème. Si deux fonctions continues par morceaux [, ] C ont exactement la même image Laplace, elles ne diffèrent qu en des points isolés. Remarque 3. Lorsque les images Laplace vérifient sup p L (f) (p) L (g) (p) ɛ, c est à dire sont voisines entre elles, les originaux peuvent néanmoins être très différents. Exercice 6. Trouver des exemples. Remarque 4. Il n est pas inutile de mémoriser les exemples utiles de transformation directe. Remarque 5. Méthode usuelle. Décomposer L (f) (p) en une somme d exponentielles multipliées par des fractions rationnelles. Les exponentielles se retraduisent par des retards, les fractions rationnelles se traitent par décomposition.(lanczos, 956).6 Décomposition en éléments simples Proposition 6 (Bezout). Rappel : si D (z) = D (z) D (z) avec gcd (D, D ) = alors N(z) la fraction rationnelle F (z) = se décompose en F (z) = P (z) + N (z) + N (z), D (z) D (z) D (z) D (z) avec P C [z], dgn < dgd et dgn < dgd. Exercice 7. Redémontrer cette propriété. Proposition 7 (Taylor). Rappel : la fraction n c k (z a) k. N(z) n, avec dgn < n, se décompose en (z a) Exercice 8. Redémontrer cette propriété. Définition 8. Décomposition en éléments simples. Il s agit de factoriser le dénominateur, puis d appliquer Bezout+Taylor. Définition 9. Pôles. Il s agit des valeurs qui annulent le dénominateur irréductible (et donc n annulent pas le numérateur). dans la dé- Définition 3. Résidu. Le résidu relatif au pôle a est le coefficient de composition de la fraction en éléments simples. z a Théorème 3. Formule pour un pôle simple. If F (z) = N (z) D (z) = N (z) (z a) D (z) then Res (a) = N (a) D (a) = N (a) D (a) (.6.) Exercice 9. Décomposer z + z(z )(z+). Décomposer +z z (z+). Exercice. Décomposer p +3p+ et p(p +3p+) en éléments simples. Exercice. Déterminer une condition pour laquelle la somme des résidus est nulle.

12 . Transformation de Laplace.7 Équations différentielles affines Théorème 3. L image Laplace d une équation différentielle à coefficients constants se réduit à une équation affine, dépendant des conditions initiales. Exemple 33. Considérons l équation différentielle { d d t y (t) + 4 d d t y (t) + 3y (t) = g (t), y () =, y () = g (t) = (if t [, ] then otherwise ). (p L (y) (p) p y () y ()) + 4 (p L (y) (p) y ()) + 3 L (y) (p) = L (g) (p). L (y) (p) (p + 4p + 3) = p ( exp ( p)) + y () + p y() + 4y (). L (y) (p) =. On a p(p+3) 3 On a exp( p) + = p(p +4p+3) p(p +4p+3) p +4p+3 p(p+3) p(p+)(p+3) ( p ). Donc p+3 = + p(p+)(p+3) 3 p p+ 6 = p(p+3) 3 L ( exp ( 3t)) (p). exp ( p). = L ( exp ( t) + exp ( 3t)) (p). p Avec la formule des retards, on obtient pour résultat y (t) = ( 3 ) exp ( 3t) H (t) + ( exp ( t) 6 ) exp (3 3t) H (t ) 4. Interprétation. La Fig..7. donne les tracés de la fonction excitatrice (en haut à gauche), de la réponse (en haut à droite) et de ses dérivées (en bas). On vérifie que la réponse est dérivable en tout point, cette dérivée étant elle même continue. Par contre, la dérivée seconde n est que continue par morceaux et présente un saut en t = (correspondant au point anguleux de la dérivée première) Fig..7.: Excitation, réponse et dérivées successives.

13 .8. Convolution 3.8 Convolution Définition 34. La convolution des fonctions f et g est une nouvelle fonction notée f g et définie par (f g) (t) = u=t f (u) g (t u) du. u= Exemple 35. Si Z est la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y, ayant f et g pour densités de probabilité, c est à dire si P r {x X < x + dx} = f (x) dx et P r {y Y < y + dy} = g (y) dy, la formule des probabilités totales donne : h (z) dz = P r {z Z < z + dz} = f (x) P r {z X + Y < z + dz X = x} dx. On a donc h (z) = R f (x) g (z x) dx et la loi de la somme est la convolution des lois (pour des variables R indépendantes). Théorème 36. L image Laplace d une convolution est le produit des images Laplace. Autrement dit : L (f g) (p) = L (f) (p) L (g) (p) (.8.) Preuve. En effet, h (t) = t f (x) H (x) g (t x) H (t x) dx = + dx. Si f et g sont d ordre exponentiel α et β, alors f g est d ordre exponentiel α + β et L (h) (p) = f (x) H (x) g (t x) H (t x) dx exp ( p t) dt. On remarquera que l intégrale est R prise dans le plan tout entier, les facteurs de Heaviside sélectionnant automatiquement le bon domaine d intégration. Le changement de variable t = y + x a pour matrice ( u x ) = ( ) ( u t ). Comme det J =, cette intégrale double se transforme en f (x) g (y) H (x) H (y) exp ( p (x + y)) dy dx R qui se factorise (Edminister and Nahvi, 996). Exemple 37. Prenant f (t) = t et g (t) = t, on a t + x4 3 4 ( ) Laplace, on a L (f) (p) L (g) (p) = = L (p). p p 3 h (t) =. (f g) (t) = x=t x (t x= x) dx = x t x3 t 4 t = t4. Passant aux images Exemple 38. Prenant f = sin et g = cos, on a h (t) = x=t sin (x) cos (t x) dx = x= (exp (i x) exp (i x)) (exp (i t i x) + exp ( i t + i x)) dx. Ce qui conduit à h (t) = i (sin t + sin (x t)) dx = x sin t cos (x t) x=t = t sin t. La formule (.4.) de 4 x= dérivation de l image donne L (t sin t) (p) = d d p formule (.8.) se vérifie. L (sin) (p) = d d p = p, et la p + (p +) Exemple 39. L image Laplace de l équation différentielle de la section.7 conduisait à Lap (f) (p) = Lap(g)(p) +. On a déjà obtenu = L (ϕ) (p) avec ϕ (t) =. p +4 p+3 p +4 p+3 p +4 p+3 exp ( t) exp ( 3 t). D après ce qui précède, on a y = ϕ + ϕ g, ce qui redonne le résultat déjà obtenu. Exercice. Donner les détails du calcul..9 Fonctions périodiques Définition 4. Périodicité. Lorsqu il existe T > tel que t > : f (t + T ) = f (t), on dit que f est une fonction périodique. Dit rapidement, la période est alors la plus petite valeur possible pour T. Il faut être attentif au fait que f (t T ) = f (t) n est vrai que pour t > T.

14 4. Transformation de Laplace Définition 4. "Première période". Il s agit de la fonction ϕ qui coïncide avec f sur l intervalle ], T [ et qui est nulle en dehors. On a donc ϕ (t) = f (t) (H (t) H (t T )). Proposition 4. En appliquant la formule des retards, on a L (ϕ) (p) = L (f) (p) ( exp ( p T )). Preuve. On a ϕ (t) = f (t) f (t T )... Ne pas oublier que t < : f (t) =. Exemple 43. Pour f = cos, on a ϕ (t) = cos t (H (t) H (t π)) (cf. Fig. L (ϕ) (p) = ( exp ( p π)). p p +.9.) et Fig..9.: La première période du cosinus. Théorème 44. On obtient l image Laplace d une fonction périodique en divisant l image Laplace de la première période par le facteur adéquat, soit : L (f) (p) = L (ϕ) (p) exp ( p T ) (.9.) Exercice 3. Déterminer l image Laplace du créneau positif, c est à dire du périodisé de H (t) H (t T/). Exercice 4. Déterminer l image Laplace du créneau alternatif, c est à dire du périodisé de H (t) H (t T/) + H (t T ).. Un exemple complet. On considère la fonction ψ(t) = H (t) H ( t ) 5 + H (t 5), dont le graphe est donné Fig.... Son image Laplace, donnée par la formule des retards, vaut L (ϕ) (p) = ( exp ( 5/ p) + exp ( 5 p)). p. La fonction obtenue en répétant à l infini le motif décrit par ϕ donne une fonction périodique f dont l image Laplace est L (f) (p) = L (ϕ) (p). exp( 5p) 3. Pour vérifier, calculons l image Laplace inverse avec Maple. On trouve : invlaplace( L (ϕ) (p), p, t) =. H ( ) ( t 5 + ( ) (+floor( /5 t))) + t) ( )floor( /5 Le graphe de cette fonction est donné Fig... à gauche. 4. Le résultat brut comporte une partie étrange pour t <, qu il convient d annuler pour la suite des calculs. La description exacte de la fonction g est g (t) = ( ) floor(/5 t) H (t), dont le graphe est donné Fig... à droite.

15 .. Un exemple complet 5 Fig...: Première période du créneau alternatif. Fig...: Créneau alternatif. 5. Considérons maintenant l équation différentielle ( ) ( ) d d d t f (t) + 3 d t f (t) + f (t) = g (t), f () =, D (f) () = Son image Laplace est L (f) (p) = par sa valeur, on trouve L (f) (p) = L(g)(p) + p+5. En remplaçant L (g) (p) (p+) (p+) (p+) (p+) + exp ( 5/ p) exp ( 5 p) (p + ) (p + ) p ( + exp ( 5 p)) + p + 5 (p + ) (p + ) 6. Introduisons la fonction ϕ définie par L (ϕ) (p) = L (f) (p) ( exp ( 5p)). Nous savons calculer la fonction ϕ à partir de son image Laplace. On a L (ϕ) (p) = + 5 p + p p (p + ) (p + ) exp ( 5/ p) p (p + ) (p + ) + ( 5p p ) exp ( 5 p) p (p + ) (p + ) Nous définissons donc trois nouvelles fonctions auxiliaires par L (ϕ ) (p) = L (ϕ ) (p) = exp( 5/ p) et L (ϕ p (p+) (p+) 3) (p) = ( 5p p ) exp( 5 p). p (p+) (p+) 7. Une décomposition en éléments simples donne L (ϕ ) (p) = ( ϕ (t) := 5 ) exp ( t) + 3 exp ( t) H (t) p 5 8. Une décomposition en éléments simples donne = + p (p+) (p+) p décalage dans le temps, ( ϕ (t) = ( + exp ( t + 5/) exp ( t + 5)) H t 5 ) +5 p+p, p (p+) (p+) p+ + 3 p+, d où p+ p+, et par

16 6. Transformation de Laplace De même, ϕ 3 (t) = ( exp ( t + 5) + 7 exp ( t + )) H (t 5) 9. Le graphe de la fonction ϕ = ϕ + ϕ + ϕ 3 est donné Fig...3 à gauche. Cette fonction ϕ présente un saut de f = + et t = et un saut de f = en t = T. Par conséquent, la fonction définie par k= ϕ (t k T ) est continue en t = T et en t = T, tout en présentant un saut de f = en t = 3T. Enfin, la fonction définie par f (t) = k N ϕ (t k T ) est continue en tout point. Il est aisé de montrer qu elle est en fait dérivable en tout point, la dérivée étant elle même dérivable, sauf aux multiples de T/ Fig...3: Les fonctions ϕ et ϕ (t k T ).. Une autre méthode pour résoudre l équation proposée serait de trouver y solution de E (y) = sur [, T/] en partant de la condition initiale. Puis de trouver y solution de E (y) = sur [T/, T ] en partant de y (T/) = y (T/) et de D (y ) (T/) = D (y ) (T/), et ainsi de suite. On obtient les valeurs raccords suivantes : t y (t) D (y) (t) On peut obtenir la partie périodique de la façon suivante. On part d une condition initiale inconnue, décrite par y () = a, D (y) () = b et on résout l équation y (t)+ 3 y (t) + y (t) = sur [, T/]. On trouve : z (t) = + exp ( t) ( + b + a) exp ( t) ( + b + a). On résout alors y (t) + 3 y (t) + y (t) = sur [T/, T ] à partir de la condition intermédiaire. On trouve : z (t) = + exp ( t) ( a + b + exp 5 ) + exp ( t) ( b a exp 5).. On détermine a, b par les relations z (T ) = z () et D (z ) (T ) = D (z ) (). Il vient : a = ( ( ) ) exp 5 3 exp ( ( ( ) ) ( ( ) ), b = ) 5 exp 5 ( ( ) exp 5 + (exp ( 5) + ) exp 5 ) + (exp ( 5) + ) soit a , b

17 .. Mesure de Dirac 7 3. Appelons σ la fonction obtenue en mettant z et z bout à bout, soit σ (t) = z (t) (H (t) H (t T/))+z (t) (H (t T/) H (t T )). La fonction s, obtenue en répétant σ, soit s (t) = k σ (t k T ) est alors une fonction périodique, et c est la partie permanente de la réponse du système décrit par l équation différentielle sous l action de l excitation g. La Fig...4 donne les graphes de σ (à gauche) et de s (à droite) Fig...4: Les fonctions σ et σ (t k T ). 4. On conclut en vérifiant, Fig...5, que le graphe de f vient s écraser sur celui de s, montrant que s est le régime permanent associé à f. 5 Fig...5: Évolution d une solution non stationnaire.. Mesure de Dirac Fait 45. Problème de Dirac. Si l on applique la formule de dérivation à la fonction H de Heaviside, c est à dire à la fonction H (t) = (if t then otherwise ), on a L (H) (p) = p et donc L (H ) (p) =... quoique H (p) = pour tout t... ce qui n est pas possible avec une fonction. Définition 46. Mesure de Dirac. Ce n est pas une fonction. En particulier, la notation δ (t) ne doit pas apparaître de façon isolée. Cet objet est défini par le fait que, pour toute

18 8. Transformation de Laplace fonction f continue en t =, on a + δ (t) f (t) dt = f () Remarque 47. Représentation. On peut se représenter la mesure de Dirac comme étant "la limite" de la suite de fonctions g ɛ : t (H (t ɛ) H (t + ɛ))... mais cette représentation ne justifie aucun calcul puisque, précisément, cette "limite" n existe pas en tant ɛ que fonction.. Table Rappel : toutes les fonctions utilisées sont nulles à gauche de t =. fonction image domaine f (t) L (f) (p) δ (t) t n Rp > n! p n+ exp t Rp > p+ p cos t Rp > p + sin t Rp > p + f (t a) L (f) (p) exp ( p a) a > f (t) pl (f) (p) f () Rp > α t f (t) d L (f) (p) d p Rp > α ln t γ+ln p p Rp > f g L (f) (p) L (g) (p) Rp > α + β

19 Chapitre Séries génératrices. Idée générale Notation 48. Une suite u est une fonction u : N E : u (n) = u n. Il est stupide, et néanmoins usuel, d utiliser la notation (u n ) n N pour désigner une telle suite. Il est encore plus stupide (et encore plus usuel) d utiliser la notation (u n ). Définition 49. Soit u une suite dont les valeurs appartiennent à un même espace vectoriel. On dit que la série S (z) engendre la suite (u n ) lorsque : S (z) = n N u n z n (american: z-transform). Proposition 5. Une série génératrice converge au moins en z =. Si elle ne converge pas sur C tout entier, il existe un nombre ρ tel que S (z) converge pour tout z tel que z < ρ et diverge pour tout z tel que z > ρ. Définition 5. Ce nombre ρ s appelle le rayon de convergence de la série (si S (z)converge pour tout z, on pose ρ = ). Définition 5. Dans le cas ρ =, on parle de série formelle. Théorème 53. A l intérieur de son disque de convergence, une série est dérivable terme à terme (et aussi intégrable terme à terme... en étant attentif au choix des constantes d intégration). Exemple 54. Considère la série S qui engendre la suite (). Il est clair que : S (z). = n N Le rayon de convergence de cette série est ρ =. z n = z Proposition 55. Si la série S (z) engendre la suite (u n ), alors la série z S (z) engendre la suite v définie par v = et v n+ = u n. tandis que la série (S (z) u ) /z engendre la suite w n = u n+. Proposition 56. Si la série S (z) engendre la suite (u n ) alors la série z d S (z) engendre d z la suite (n u n ). 9

20 . Séries génératrices Exemple 57. On considère la série S qui engendre la suite (n). Le critère du Theorem 73 montre que le rayon de convergence est encore ρ =. Et on voit que : S (z) =. n z n z = ( z) n N Exemple 58. On considère la série S 3 qui engendre la suite (n ). La Proposition 56 montre que : S 3 (z) =. n z n = z d z d z ( z) = z + z ( z) 3 n N Remarque 59. On peut vérifier tout cela par un développement limité (american : series).. Formule sommatoire de Cauchy Théorème 6. Le produit de deux séries s obtient par la formule : ( ) ( ) u a z a v b z b = ( c=n ) u c v n c a N n N c= b N Définition 6. La suite n c=n c= u c v n c s appelle la convolution des deux suites u et v, et se note u v. Exemple 6. La série S S = / ( z) engendre la suite n = n +. On retrouve la suite (n) en décalant d un cran, conduisant à retrouver S = z (S (z)). Exemple 63. La série Sg =. S S = z/ ( z) 3 engendre la suite w n = n c= c. On a donc S 3 = z + z ( z) 3 = z z + z ( z) 3 = Sg S et Sg = S 3 + S. Ce qui permet de retrouver que n c= c = n (n + ) /. Exercice 5. Retrouver les formules donnant n c= c et n c= c3..3 Formules de récurrence Définition 64. La suite de Fibonacci est définie par la condition initiale u = u = et la récurrence u n+ = u n+ + u n. Algorithme 65. La suite de Fibonacci se code par : fib:= proc(n::nonnegint); fib(n):= fib(n-)+fib(n); end; fib():= ; fib():= ; Exemple 66. On transforme l équation de récurrence portant sur la suite en une équation portant sur la série génératrice. Si S (z) engendre (u n ), alors (u n+ ) est engedrée par (S u ) /z et (u n+ )est engendrée par (S u z u ) /z. La suite nulle est donc engendrée par On en déduit que (S z) z (S ) z S = S (z) = z z z n

21 .3. Formules de récurrence Proposition 67. La suite (a n ) est engendrée par la série S (z) = a z. Remarque 68. La décomposition en éléments simples traditionnelle fournit des termes en, qui doivent donc être réécrits sous la bonne forme. z a Exemple 69. La série S (z) = z z S (z) = 5 z 5 Ce qui conduit à 5 z + 5 ( F ib (n) = 5 se décompose en ( = z + ) n+ ( 5 ) n+ 5 ) 5 5 z Exercice 6. Etudier la suite définie par u = u = et la récurrence u n+ = u n+ +u n. Exercice 7. Etudier la suite de polynômes définie par u =, u = x et la récurrence u n+ = x u n+ u n.

22 . Séries génératrices

23 Annexe A Annexes A. Convergence : quelques rappels Définition 7. Limite. Pour ajuster le résultat, il suffit d ajuster les conditions initiales. Autrement dit (u n ) λ veut dire ɛ > : N N : n N : u n λ < ɛ. Suppose de connaître la limite. Exercice 8. Redémontrer qu il y a unicité de la limite... lorsqu elle existe. Définition 7. Critère de Cauchy. Il s agit de la propriété : ɛ > : N N : n N : p N : u n+p u n < ɛ. Exercice 9. Montrer que, sans aucune hypothèse, on a toujours : existence d une limite implique critère de Cauchy. Théorème 7 (Cauchy). Pour des suites dans des espaces raisonnables, le critère de Cauchy implique l existence d une limite. C est plus compliqué à mettre en oeuvre, mais ne suppose pas de connaître la limite au préalable. Exercice 3. Bien comprendre le rôle de p N. Ainsi la suite u n = n pas, même si u n+ u n. Le redémontrer. k ne converge Théorème 73 (d Alembert). Si la quantité v n+ /v n tend vers une limite k avec k < alors la série v n converge. Preuve. Soit s n = n v k. Par définition, la série v n converge si et seulement si la suite s n converge. Et donc si et seulement si (critère de Cauchy) : n+p ɛ > : N N : n N : p N : v k ɛ On pose λ = ( + k) / <. Par convergence de v n+ /v n vers k, il existe un rang N à partir duquel v n+ /v n λ. On a alors n, p N : N+n+p N+n v k v N+n n λ p v N λ n λ Il suffit alors de prendre n assez grand pour voir le reste de Cauchy tendre vers (indépendamment de la valeur de p). 3

24 4 A. Annexes A. Convergence d une suite de fonctions Définition 74. convergence simple. Lorsque l on étudie des suites de fonctions (f n ), la convergence simple des f n vers g veut dire que pour chaque t, la suite f n (t) tend vers g (t). Définition 75. Définition : convergence uniforme. Lorsque l on étudie des suites de fonctions (f n ), la convergence uniforme des f n vers g veut dire que sup x f n (x) g (x) tend vers lorsque n. Théorème 76. Si chaque fonction f n est continue et si la suite (f n ) converge uniformément vers g, alors la fonction g est continue. Théorème 77. Intégration sur un segment [a, b]. Si les fonctions f n sont intégrables sur le même segment [a, b], et si la suite (f n ) converge uniformément vers g, alors la fonction g est intégrable, et on a b g (t) dt = lim b f a a n (t) dt. Exercice 3. Démontrer ce résultat en utilisant le critère de Cauchy. Définition 78. Continuité par morceaux sur un intervalle (a, b). Par définition, il s agit d une fonction qui () ne possède qu un nombre fini de points de discontinuité et qui () admet en chaque point une limite à gauche (x a) et une limite à droite (x b). Définition 79. Intégrale d une fonction positive, continue par morceaux sur un intervalle (a, b). Par définition, on pose b f (t) dt = sup β f (t) dt, la borne supérieure étant prise a α sur tous les segments [α, β] contenus dans (a, b). La question qui se pose est de savoir si cette borne est + ou bien est réelle (finie). Définition 8. Fonction absolument intégrable. Cela veut dire que f est intégrable. Exercice 3. Démontrer (Cauchy) que l intégrabilité de f entraîne celle de f. A.3 Comparaison de la avec la méthode de Lagrange. Dans cette méthode, on commence par résoudre l équation linéaire y (t)+4 y (t)+ 3 y (t) = qui conduit aux solutions indépendantes α (t) = exp ( 3 t) et β (t) = exp ( t). Chacune des solutions de l équation linéaire peut donc s écrire y (t) = a α (t) + b β (t) et vérifie y (t) = a α (t) + b β (t).. Variation des constantes. On cherche alors les solutions de l équation affine sous la forme y (t) = a (t) α (t) + b (t) β (t), y (t) = a (t) α (t) + b (t) β (t). En écrivant que d d t y (t) = y (t) on obtient une première équation : Eq : a (t) α (t) + b (t) β (t) = En reportant y (t) et y (t) dans l équation initiale, on obtient, après s être débarrassé des facteurs α (t) + 4 α (t) + 3 α (t) et β (t) + 4 β (t) + 3 β (t) qui sont nuls par définition, Eq : a (t) α (t) + b (t) β (t) β (t) = g (t) = H (t) H (t ) 3. On obtient donc un système affine en a et b qui se résout en a (t) = g (t) exp (3 t) et b (t) = g (t) exp (t), conduisant à a (t) = A + ( exp (3 t) + ( 6 6) H (t) + exp (3 t) exp 3) H (t ) et 6 6 b (t) = B + ( exp t ) ( H (t) + exp t + e) H (t )

25 A.3. Comparaison de la avec la méthode de Lagrange 5 Exercice 33. Le déterminant du système donnant a et b s appelle le Wronskien du système. Donner son expression. Montrer qu il ne s annule jamais. 4. La solution est donc ( y (t) = A exp ( 3 t) + B exp ( t) + 3 exp ( t) + ) exp ( 3 t) H (t) 6 + ( 3 6 exp (3 3 t) + ) exp ( t) H (t ) 5. On remarquera que l expression précédente n est pas nulle pour t <. Par contre, après fixation des constantes par les conditions initiales, la fonction y (t) H (t) est égale à la fonction trouvée à la section précédente. Exercice 34. Donner les détails du calcul.

26 6 A. Annexes

27 Bibliographie Edminister J. and Nahvi M. Analysis of transients by Laplace transforms. In Schaum s Outline of Electric Circuits, pp (McGraw-Hill), 3rd ed. (996)..8 Lanczos C. Inverse Laplace Transform (Prentice-Hall), dover-988 ed. (956), 54 pp. 5 Spiegel M. Shaum s Outline of Laplace Transforms (McGraw-Hill) (965), 7 pp. Stephenson G. The Laplace Transformation (Longman Scientific and Technical, Harlow, England), nd ed. (99), pp. 3 7