Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle

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Ariane Barrette
il y a 7 ans
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1 Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on revoit ce qu il faut savoir sur les fonctions trigonométriques Fonction tangente On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x = sin x cos x Elle est définie pour les x tel que cos x 0, c est-à-dire x donc : + k, [ + k k Z À noter : cette fonction est périodique impaire, la tangente en 0 (y = x, les limites aux bornes [ L ensemble de définition est Figure Fonction tangente

2 Valeurs usuelles Le tableau résume les valeurs à savoir Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur le cercle trigonométrique x sin x 0 cos x tan x Table Valeurs trigonométriques à savoir Angles opposés, complémentaires, supplémentaires On a : sin( x = sin(x cos( x = cos(x tan( x = tan(x sin( + x = sin(x cos( + x = cos(x tan( + x = tan(x sin( x = sin(x cos( x = cos(x tan( x = tan(x sin ( x = cos(x cos ( x = sin(x tan ( x = tan(x Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu à apprendre par cœur Sinus et cosinus d une somme et d une différence, angle double et de moitié cos(a + b sin(a + b = cos(a cos(b sin(a sin(b = sin(a cos(b + cos(a sin(b Formule que l on peut retrouver par Moivre : e i(a+b = cos(a + b + i sin(a + b = e ia e ib = (cos(a + i sin(a(cos(b + i sin(b = cos(a cos(b sin(a sin(b + i sin(a cos(b + cos(a sin(b En appliquant à la différence : cos(a b sin(a b = cos(a cos(b + sin(a sin(b = sin(a cos(b cos(a sin(b

3 En appliquant à l angle double : cos(x = cos (x sin (x = cos (x = sin (x sin(x = sin(x cos(x que l on peut retrouver directement par e ix = (e ix et en utilisant cos + sin = : e ix = cos(x + i sin(x =(cos(x + i sin(x = cos (x sin (x + i cos(x sin(x On a aussi les formules qui relient l angle de moitié au carré : cos (a = +cos(a cos(x = sin ( x sin (a + cos(x = cos ( x = cos(a On peut retrouver ces formules en utilisant Euler : cos (a = 4 (eia + e ia = 4 (eia + + e ia = ( + cos(a On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l angle de moitié : + cos(x = + eix + e ix = ( + eix + + e ix = (e i x x cos( + e i x x cos( ( x ( = cos e i x + e i x ( x = cos Transformation de produit en somme [ sin a cos b = cos a cos b = [ sin a sin b = sin(a + b + sin(a b cos(a + b + cos(a b [ cos(a b cos(a + b

4 On peut retrouver ces formules avec Euler : sin a cos b = [ (e ia e ia (e ib + e ib 4i = [e i(a+b + e i(a+b + e i(a b e i(a b 4i = [ sin(a + b + sin(a b Transformation de somme en produit sin(p + sin(q = cos(p + cos(q = sin(p sin(q = cos(p cos(q = sin cos sin sin ( p+q ( p+q ( p q ( p+q cos cos cos sin ( p q ( p q ( p+q ( p q Ces formules proviennent de la factorisation par l angle de moitié : sin(p + sin(q = [e ip e ip + e iq e iq i = [ e ip + e iq (e iq + e ip i = [e i p+q (e i p q p q i + e e i p+q (e i p q + e i = ( ( [e i p+q p q p+q cos i p q e cos i ( = cos p q [e i p+q p+q i e i ( ( p q p + q = cos sin i p q Équation trigonométrique Il faut dessiner systématiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur cosinus égaux cos x = cos α k Z, x = α + k x = α + k Sinus égaux sin x = sin α k Z, x = α + k x = α + k Tangentes égales tan x = tan α k Z, x = α + k

5 Propriété fondamentale Enfin, il ne faut pas oublier la relation cos x + sin x = Résolution de a cos x + b sin x = c On s intéresse à la résolution de l équation (E d inconnue x : (E : a cos x + b sin x = c, avec (a, b (0, 0 La première étape consiste à poser z = a + ib On a z 0 (si a et b sont nuls, et le problème a peu d intérêt On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z = ρe iα On divise alors par ρ pour avoir : a ρ cos x + b ρ sin y = c ρ cos α cos x + sin α sin y = c ρ cos(x α = c ρ Deux cas sont alors possibles : si c ρ >, l équation (E n a pas de solution dans ce cas sinon, il existe un angle θ tel que cos(θ = c ρ Dans ce cas l équation (E est équivalente avec ces nouvelles notations à (E : cos(x α = c ρ Cette dernière équation se résout de manière classique Comme souvent : apprenez la technique et non les formules Exemple: On veut résoudre : (E : cos x sin x = On considère donc le nombre complexe : z = i = ( i = e i 6 On a alors ( (E cos (E cos 6 ( x + 6 ( cos x sin = cos 6 ( 6 sin x =

6 On résout alors classiquement : x + 6 (E k Z = 6 + k, ou x + 6 = 6 + k x = k, ou (E k Z x = + k Interprétation géométrique : si on considère le nombre complexe z = a+ib et le nombre complexe X = cos x + i sin x (qui est sur le cercle unité On identifie ces nombres complexes à des vecteurs du plan L équation peut alors s écrire : z X = c En effet, a cos x+b sin x est le produit scalaire du vecteur z et X En géométrie, on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes par le cosinus de l angle formé par les deux vecteurs Appliqué ici, cela donne : z X = z cos(x α En effet, X = et l angle formé par les deux vecteurs est x α On obtient donc bien l équation : z cos(x α = c Autres équations trigonométriques Exercice Résoudre dans R les équations suivantes : a cos ( x + = b sin (x + cos(x = 0 c sin ( x + 6 = cos ( x + d sin(x + sin(x + sin(x = 0

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