INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL. Exercice 1 : TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

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1 INSTITUT SUPEIEU DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL DEPATEMENT DE GENIE MECANIQUE TAVAUX DIIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉALE Niveau : LS Exercice : On considère un système S constitué d'un disque D de masse M et d'une tige T de masse m Le disque D tourne autour de l'axe O,z et est repéré par angle de rotation θ La tige T lié au disque au point A tourne autour de A,z et est repérée par angle de rotation ϕ Soient les repères: O, x, y, z le repère de référence lié au sol O, x, y, z le repère lié au disqued A, x, y, z le repère lié à la tige T avec z On note: z z α x,x ; ϕ x,x On pose: y,y y,y OA constante, AB L constante, M 3m et L a Déterminer le torseur cinétique de D au point O b Déterminer le torseur cinétique de T au point A c En déduire le torseur cinétique de S au point O d Déterminer l'énergie cinétique de S L Page 9

2 Exercice corrigé: Soit O,,, un repère orthonormé direct supposé galiléen lié à un bâti fixe Le système mécanique proposé S, mobile dans, est constitué de trois solides, et 3 et ce de la façon suivante : est une tige rectiligne d extrémité A et B, de longueur 3r, de masse négligeable Le repère O,,, orthonormé direct est lié rigidement à la tige subit un mouvement de rotation autour de l axe O, On note l angle Ψ, La liaison rotoide entre la tige et le bati est supposée sans frottement On a r, et r est un disque homogène de masse m et de rayon r, en liaison rotoide d axe A, avec Le repère O,,, orthonormé direct est lié rigidement à On note l angle α, 3 est une roue assimilée à un cerceau homogène de masse m 3 et de rayon r, en liaison rotoide d axe B, avec, le repère 3 B,,, orthonormé direct est lié L Page 9

3 à 3 On note l angle β, Les liaisons entre et et entre 3 et sont supposées sans frottement On appelle I, le point de contact entre et 3 et on suppose dans tout le problème que le glissement en I de 3 sur est nul Le pesanteur admet pour vecteur accélération, uniforme et constant - g, Le repère de projection est Tracer le graphe de liaisons du système Identifier les liaisons correspondantes Déterminer les vecteurs rotations Ω, Ω, Ω, Ω3 et Ω3 3 Déterminer les vecteurs vitesses suivants : et 4 Déterminer la condition de roulement sans glissement de sur 3 au point I 5 Trouver le moment d inertie du disque et du cerceau respectivement par rapport à l axe A, et B, 6 Déterminer, au point O, le torseur cinétique de S {,3} 7 Déduire le torseur dynamique, au point O, de S {,3} 8 Déterminer le torseur statique de sur S 9 Appliquer le théorème du moment dynamique à S, trouver une deuxième équation du mouvement Déterminer l énergie cinétique du système mécanique S L Page 9

4 Exercice 3 corrigé : ETUDE DYNAMIQUE D UNE CENTIFUGEUSE HUMAINE Mise en situation : L élargissement du domaine de vol des avions de combat modernes soumet les pilotes de chasse à des niveaux d accélération de plus en plus élevés L accélération ressentie par le pilote est généralement exprimée en «équivalent pesanteur» noté G, avec G 9,8 ms figure Dans le cadre de l entraînement physiologique des pilotes, l utilisation d une centrifugeuse humaine est un moyen avantageux de recréer au niveau du sol, l accélération subie en opération Les figures et 3 présentent une centrifugeuse où l on reconnaît une structure cinématique ouverte à quatre corps support, bras, anneau et nacelle assemblés par liaison pivot L Page 93

5 Figure 3 : les constituants de la centrifugeuse humaine La figure 4 représente le modèle de la centrifugeuse retenu pour l étude cinématique et dynamique du système qui est constitué par : un bras de longueuroi y, en liaison pivot d axe O, z par rapport au bâti Sa position est paramétrée par l angleψ avec ψ x, x y, y et z z un anneau en liaison pivot d axe I, x et de paramètre θ par rapport à l axe I, y lié au bras θ est l angle de roulis avec θ y, y z, z et x x une nacelle 3 dans laquelle prend place le pilote, en liaison pivot d axe I, y et de paramètre ϕ par rapport à l axe I, x lié à l anneau ϕ est l angle de tangage avec ϕ x, z, et y y3 x 3 z 3 L actionneur de tangage est essentiellement dimensionné par les couples qu il doit fournir durant les phases d accélération du bras La vitesse du bras sera considérée comme variable L Page 94

6 Figure 4 : modélisation de la centrifugeuse retenu pour l étude cinématique et dynamique Soit O, x, y, un repère absolu lié au bâti z Soit O, x, y, un repère mobile au bras z Soit I, x, y, un repère mobile lié à l anneau z Soit I, x, y, un repère mobile lié à la nacelle z3 Approche cinématique Déterminer les vecteurs instantanés de rotation des mouvements relatifs Ω, Ω Ω 3 En déduire alors Ω 3 Calculer le vecteur V I 3 du point I dans le mouvement de 3 par rapport à 3 Calculer le vecteur accélération Γ I 3 en projection dans la bas e O, x, y, Approche dynamique z, et L Page 95

7 [ ] Soit I 3 I A B la matrice d inertie du solide 3 en I dans I, x, y, A I, x, y, z z Le solide 3 de masse m a son centre d inertie en I Soit{ τ } 3 I G I, x, y, z X Y Z L N 3 3 I, x, y, z le torseur des efforts de liaison entre et 3 en I dans la base Soit{ τ m 3 } C I 3 avec C 3 le couple suivant l axe I, y 3 fourni à la nacelle 3 par I, x, y, z le moteur d asservissement monté sur l anneau, telle quec 3 C3y3 {3} sin cos 4 Calculer la résultante cinétique C 3 de la nacelle 3 dans son mouvement par rapport au bâti 5 Etant donné que I est le centre de gravité de la nacelle 3, calculer son moment cinétique σ I dans son mouvement par rapport au bâtiexprimer dans 3 6 Donner alors le torseur cinétique { C 3 }I en I de la nacelle 3 dans son mouvement par rapport au bâti Les éléments de réduction du torseur seront exprimés dans I, x, y, z 7 Calculer la résultante dynamique d 3 de la nacelle 3 dans son mouvement par rapport au bâti Exprimer dans cette résultante 8 Etant donné que I est le centre de gravité de la nacelle 3, calculé son moment dynamique δ I dans son mouvement par rapport au bâti 3 9 Donner alors le torseur dynamqie { D } 3 I en I de la nacelle 3 dans son mouvement par rapport au bâti Les éléments de réduction du torseur seront exprimés dans I, x, y, z Appliquer le principe fondamental de la dynamique au solide 3 dans son mouvement par rapport au bâti Ecrire les équations en projection sur I, x, y, et déterminer l expression du couple moteur C 3 z Exercice 4 Corrigé: L Page 96

8 On considère une centrifugeuse d entraînement physiologique des pilotes de chasse représenté par son schéma cinématique suivant : z O S S θ G x x θ x G z ; z S Un moteur non représenté entraîne le solide S de masse m en rotation autour de son axe z Un deuxième moteur non représenté entraîne le solide S de masse m avec le pilote embarqué en rotation autour de son axe z θ et θ étant deux paramètres de position angulaire des solides respectifs S et S Pour l étude suivante, on donne : o O, x, y, z repère lié au bati S O,x, y, z repère lié au solide S G, x, y, z repère lié au solide S l OG l x ; OG x L Page 97

9 L Page 98 [ ] [ ] z, y, x, G z, y, x O, C A C B A S I ; C B A S I On demande de : Calculer la vitesse S V G et l accélération S Γ G Ecrire le torseur cinétique ainsi que celui le torseur dynamique du solide S dans son mouvement par rapport à 3 Calculer la vitesse S V G et l accélération S Γ G 4 Ecrire le torseur cinétique ainsi que celui le torseur dynamique du solide S dans son mouvement par rapport à

10 Exercice : COECTION Etablissement du graphe de liaisons du système et identification des liaisons Graphe de liaison Identification des liaisons L L3 L 3 L4 L : pivot d axe, L : pivot d axe, L3 : pivot d axe, L4 : linéique rectiligne de direction, r 4 3 I 3 + Λ AI -r Λ r V I + r V I r V I 3 V B 3+ 3 BI V I 3 r + + Λ -r V I 3 r - r + r D où : V I V I 3 r r première equation L Page 99

11 5, ² B ² ² ² ² ² ², 3 ² ² 3 B3 ² ² 3 6 Le torseur cinétique de S {,3}o au point emarque : Si E {} A { } MVGO σ + 3 A σ si o {} m V A σ + σ B B ² ² ² + σ ² L Page

12 A Ʌ r ² D où σ ² + + ² σ ²3 D où {} ² 3 {3 } 3 m 3 r σ 3o σ 3o + m 3 BO Λ σ 3o I 3 B3 3 B3 ² ² ² + 3 ² + m 3 BO Λ m 3 r Λ -r 4m 3 r² 3 ² m 3 r² ² 9 + D où : {3}, 9 +, D où : { } ² , L Page

13 ² Le torseur dynamique, au point, de S {,3}O emarque : Pour E {} A {} MΓ A δ E δ {D So} O {DO} O + {D3O} O {DO} O m Γ AO A m Γ AO m V AO O m rψ y O - m r y - m rψ - - m r y + m rψ ² rm ² y δ o σ o o + m VOO Λ AO σ o m r² 3 y D où {D O} ϴ ² ² 3 {D 3O}O, 3 m 3 V BO O m 3 rψ y O rm 3 y Ψ ² σ 3O σ 3O O + m 3 VOo Λ V BO L Page

14 σ 3O O ² ² D où 9Ψ + z o 9Ψ + z rm ψ {D 3O} O rm Ψ ² 9Ψ + rψ ²m m {D SO} O rψ m +m ² 9Ψ + + m r 3Ψ α D où {D SO} O rψ m m usψ rψ m m sinψ rψ m m sinψ rψ m m cosψ ² 9Ψ + + m r² 3Ψ α O 8 Le torseur statique de sur S bilan des actions mécaniques appliquées sur S Le poids de tel que P -m g y Le poids de 3 tel que P -m g y L action mécanique due à S P, P, Torseurs associés aux actions mécaniques en leur point d application τ P S, m g, τ P S, m g B, X L {τ S}, Y M Z O, L Page 3

15 - Torseur statique S S au point O et dans la base B τ P S M P M P + P Λ AO O + -m gy Λ r m gy Λ r cos Ψx + sinψy rm g cosψ z D où : τ P S m g r m g cosψ B τ P S M P M P + P Λ BO O + -m g y Λ -r m g y -r cos Ψxo +sinψy -r m g cosψz D où τ P S m g rm g cos Ψ ϴ X L D où : τ S S, y m g m g M Z rm g cos Ψ rm gcosψ O, 9 application du PFD à S τ S S, {DSo}, {DSo}, Car la masse de la tige est négligeable ainsi on obtient un système de 6 équations L Page 4

16 TD De Mécanique Générale X rψ ² m m cosψ rψ m m sinψ Y -m g - m gr ² m m sinψ + rψ m m cosψ Z 3 L 4 M 5 ² m r² 3 r m g cos Ψ r m g cos Ψ 6 L équation du mouvement est l équation ne continuant pas d inconnues statiques : ² m r² 3Ψ α m - m rgcosψ Détermination de l énergie cinétique du système mécanique S emarque : S { n} { } + 3 { } { } { } rψ α + Ψ m rψ m r² α + Ψ m r² α + Ψ ² + r²ψ ² m r² α + Ψ ² + r²ψ ² r² Ψ α + Ψ ² Ec 3O { 3} { 3} L Page 5

17 rψ + Ψ m rψ r² Ψ + Ec 3O m r² + Ψ ² + m r²ψ ² ² + Ψ + 8Ψ D où EC SO ² Ψ α + Ψ² + ² + Ψ + 8Ψ² τ S D NI TI Transfert des torseurs statiques au point C {τ S D} On a MC M + CI Λ 3 NI O + Λ TI 3 On a I -N + T y -N cos θ x + sinθ y + T cos θ y sinθ x D où : {τs S D} N coso T sinθ N coso T cosθ T L3 Le torseur statique au point C et dans la base τ τ + {τ } + {τ } 9 L Page 6

18 cos sin + + cos sin 3 c D où τ D D 9mg XDT NI cosθ TI sinθ LDT YDT NI sin θ + TI cos θ MDT ZDT T L3 τ D D {D DO} O C D où on obtient le système d équations suivants : - 9mg XDT NI cosθ + TI sin θ -9m Lθ sin θ + L cos θ - YDT NIsinθ + Ti cos θ 9m Lθ cos θ + L sin θ - ZDT - LDT - MDT - TI L3 ² + 4 L équation de roulement sans glissement de D sur S I VI DO - VI DO VI DO L θ y + θ + z Λ L3 I V DO L θ + L3 θ + y VI DO D où VI DS L θ + θ L Page 7

19 Exercice 3 : Ω D où Ω Ω Ω Ω +Ω + Ω Ω +Ω D où +Ω Γ Γ 3 + Γ 3 + Etude dynamique L Page 8

20 TD De Mécanique Générale 5 Tapez une équation ici 3 3,,, Ω3 Ω3 + +,, + + cos +sin Ω3 + cos +sin + Ω3 + sın + cos + sın cos + + sin + cos 6 {3 } + sin cos 7 Γ Avec : + + sin + cos,,, cos sin + cos sin + cos sin L Page 9

21 sin + cos D où sin + cos + + sin + cos sin + cos Avec +Ω o +θ x +ψ sin θy +ψ cos θ z x ψ sin + cos Ω θ x + θ x + cos θ z +sinθ Ω + sin + cos +Ω + + sin + cos cos +Ω D où + + sin + cos sin L Page

22 3 + sin + cos + + sin + cos + + sin cos + cos sin + cos + sin D où : + sin cos + cos sin + cos + + sin + cos cos + sin + + sin + cos sin + sin cos + cos sin + + sin + cos + sin + cos sin {3 },,, + sin cos + cos sin cos + sin + cos sin sin + cos + + sin PFD appliqué au moment de la nacelle 3 dans son mouvement % {3 3},,, {3 },,, Avec { 3 3} {3} + {3} + {3} + + sin cos { 3 3} +sin +cos,,, {3 } projeté dans { 3 3} projeté dans L Page

23 D où on obtient +sin cos +cos - cos 3 + sin cos + cos sin 4 + sin + cos 5 sin + cos + + sin 6 D où l expression du couple moteur est déduite de l équation 5 : + sin + cos Exercice 4 : Calculs relatifs au solide S V Γ G G S S * Torseur cinétique : d dt d dt OG V G S Cherchons le moment cinétique : d dt l x - - l θ l θ z z - l θ x σ o S m OG VO S + A B C θ B [ IS ] θ y O ΩS L Page

24 L Page 3 Le torseur cinétique est : { } O O θ y B z θ l m - S τ * Torseur dynamique: Cherchons le moment dynamique : y θ B S V S V m S σ dt d S δ G o o o + Le torseur dynamique est : { } O O θ y B x θ - z θ - l m δ S 3 Calculs relatifs au solide S G G G x θ l - z θ l - S V dt d S Γ z θ l - x l dt d OG dt d S V 4 * Torseur cinétique : Cherchons le moment cinétique : Le solide S est de révolution, sa matrice est la même dans le repère y θ z θ Ω Ω S S Ω + + [ ] z, y, x, G G G G z θ C y θ A θ θ C A A ΩS IS S V G G m S σ + +

25 L Page 4 Le torseur cinétique est : { } G G z θ C y θ A z θ l m - S τ + * Torseur dynamique: Cherchons le moment dynamique : x θ G G G G dt d z θ C dt y d θ A z θ C y θ A S V S V m S σ dt d S δ Le torseur dynamique est : { } G G x θ θ C z θ C y θ A x θ - z θ l m δ S + +

26 L Page 5

27 Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Nabeul Département de Génie Mécanique EXAMEN DE MECANIQUE GENEALE Année universitaire : 89 Date : le 69 Classe : GM Nombre de pages : Durée : heure 3 mn Documents : non autorisés Proposé par : M Bouden&M Amdouni&M Kalleli&M Tlili ETUDE DYNAMIQUE D UNE MEULE A HUILE La figure à droite représente une meule à huile artisanale qui a été utilisée par nos ancêtres pour le broyage et l écrasement des olives avant la phase de l essorage pour l obtention de l huile d olive Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à l étude dynamique de cet appareil Comme le montre la figure, Pour écraser les olives, la meule qui roule sans glisser sur le socle en pierre, est entraînée en rotation par le bras Dans la modélisation de l appareil figure, on associe au socle le repère A, x, y, z avec A, axe de la rotation Le repère A, x, y, est associé au bras, avec α x,, αnégatifle repère G, x, y, z x z est associé à la meule avec θ z, z y, y On suppose que la meule roule sans glisser au point I sur le socle Un moteur M applique un couple C m sur le bras On néglige le poids du bras et son inertie devant celle de la meule de masse m d épaisseur h, de rayon La liaison pivot entre le socle et le bras d axe A, et la liaison pivot entre la meule et le bras d axe A, sont parfaites, sauf la liaison entre la meule et le socle coefficient de frottement f L Page 6

28 G y Figure z z θ y θ x y G Figure : Modélisation de la meule à huile On donne : GI z, avec : rayon de la meule AG a, G, I, J et K sont dans le plan médian de la meule [ I ] G { τ } α 3 G z A x A B avec : A et B + G y X Y Z B G, x, y, z M N α 3 3 x x G, x, y, z { τ } pes G G A mg G, x, y, z { τ } sol I T N I G, x, y, z L Page 7

29 avect f N Travail demandé : Calculer Ω et Ω et en déduire Ω Ω + Ω Calculer V G 3 Calculer l accélération Γ G 4 Calculer le moment cinétique G A, x, y, au point G z 5 Calculer le moment dynamique δ G A, x, y, au point G z 6 Donner alors le torseur dynamique σ de la meule par rapport au repère { D } G de la meule par rapport au repère de la meule par rapport au repère A, x, y, z au point G 7 Transformer le torseur statique appliqué par le socle en pierre à la meule au point G, appliquer le principe fondamental de la dynamique PFD sur la meule et en déduire les inconnues X 3, Y 3, Z 3, M 3, N 3 et N en fonction des données du problème BON TAVAIL L Page 8

30 COECTION D EXAMEN DYNAMIQUE DES SOLIDES JUIN 9 D où + G O O O - a D où 3 - a - a - a D ou 4 A L Page 9

31 - + - D où : D où : Do 7 Transferts des torseurs statiques : On a I G + Λ G G + G + G PFD sur le mouvement de % o : D où on obtient alors le système d équations suivant : L Page

32 X + Y Z + N mg 3 N 4 M 5 N 6 D où X d après N d après 4 Y -ma N d après D où : Y -ma - Z mg N d après 3 Z mg - M - d après d après5 N - d après 6 L Page

33 EXAMEN EN DYNAMIQUE DES SOLIDES Année universitaire : 9 Date : le 6 6 Classe : GM,, 3, 4, 5,6 Nombre de pages : 4 Durée : h 3 Documents : non autorisés Proposé par Mrs: KalleliS &JerbiM & AmdouniH & BoudenM Etude d un variateur à plateaux Le variateur schématisé ci-dessous est constitué : D un bâti D un plateau moteur en liaison pivot d axe Ax ; avec le bâti le plateau est entrainé en rotation par un moteur électrique non représenté D un plateau récepteur 4, en liaison pivot d axe Dx ; avec le bâti D un galet 3, en liaison pivot glissant d axe Ey ; avec le bâti, l ordonnée y des point B et de C peut varier Son mouvement n est pas limité par le bâti La commande de la translation du galet n est pas représentée On suppose qu au point B il y a roulement sans glissement entre les solides et 3 et aussi au point C entre les solides 3 et 4 Plateau moteur Galet 3 Plateau récepteur 4 Bati Bati Figure L Page

34 E F Cm y G Figure Soit :,,, Un repère lié au bâti,,, Un repère lié au plateau moteur,,, Un repère lié au galet 3,,, Un repère lié au plateau récepteur L Page 3

35 Données du problème : Le plateau moteur est assimilé à un disque d épaisseur e négligeable, de masse, de rayon, de centre de gravité négligeable La matrice d inertie du plateau moteur au point G est : et encastré à une tige de masse,,,,,, Avec : et ; Les torseurs statiques des actions appliquées sur le plateau moteur sont :,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;,,,,,, Avec, est le coefficient de frottement Questions : Calculer les vecteurs de rotations : Ω ; Ω et Ω Calculer 3 Calculer le torseur cinétique { } du plateau moteur par rapport au repère A, x,y, z au point G 4 Calculer l énergie cinétique du plateau moteur 5 Calculer l accélération 6 Déterminer le torseur dynamique { } du plateau moteur par rapport au repère A, x,y, z au point G 7 Exprimer le torseur statique des actions mécaniques extérieures appliquées sur le plateau moteur au point G et dans le repère,,, 8 Appliquer le principe fondamental de la dynamique sur plateau moteur et déterminer les inconnues statistiques,,, et en fonction des données du problème Bon courage L Page 4

36 3 - φ 4 - Correction examen dynamique de solides G 3 G D où 4 Ec Ec + Ec D où L Page 5

37 5 G 6 G Transfert de tous les torseurs au point G : D où 8 PFD appliqué au mouvement de par rapport à : En projetant les composantes de deux torseurs dans le repère, on obtient le système d équations suivantes : D où L Page 6

38 L Page 7

39 Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Nabeul Département de Génie Mécanique EXAMEN EN MECANIQUE GENEALE Année universitaire: 9 Date: le 44 Classe: GM - 6 Nombre de pages :3 Durée: heure Documents: non autorisés Proposé par: Mrs BOUDEN, AMDOUNI, KALLELI & JEBI ETUDE DU MOUVEMENT D'UN DEMI DISQUE SU UN PLAN HOIZONTAL Le solide à étudier est un demi disque homogène, de masse m, de rayon a et de centre A Son centre de gravité est noté G On lui associe le repère A,,, Celui-ci roule sans glisser sur le plan, dont on lui associe le repère o O,,, On donne Figure : demi disque sur un plan ;, ; ;, ; 4 4 ; TAVAIL DEMANDE :,, ; L Page 8

40 Calculer le vecteur rotation Sachant qu il y a roulement sans glissement au point de contacte I, calculer et en déduire 3 Calcul de torseur cinétique : a- Calculer la résultante cinétique du disque par rapport à b- Calculer le moment cinétique du disque, 4 Calculer le vecteur accélération 5 Calcul de torseur dynamique a- Calculer la résultante dynamique du disque par rapport à b- Exprimer la dans le repère c- Calculer le moment dynamique du disque, d- Utiliser la formule de transport des moments pour le calculer au point ; {}, 6 Calculer le torseur des actions mécaniques extérieures sur le disque au point I 7 Appliquer le principe fondamentale de la dynamique au disque et déterminer les inconnues X, Y et l équation de mouvement de par rapport à NB le barème est approximatif Bonne chance L Page 9

41 COECTION DE L EXAMEN EXMG -6- SG + Λ + + Λ b - a Λ b - a 3 a ésultat cinétique : m m - b σa,o m Λ + A, - + Λ D où : - a Λ -a -mb Λ -a + mab Λ + c mab + C - mab cosα + c m 4 GO + + b GO 5 a ésultante dynamique m GO m b on a et - donc m GO m + m GO m L Page 3

42 c A, O m Ʌ + A, O m A, O m A, O m A, O ma d A, O A, O+ Ʌ m GO + a Ʌ m I, O ma I, O ma e I,O 6 + Ʌ a bmg bmg sin I + 6 I,h I Donne : X Y bmg L Page 3

43 Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Nabeul Département de Génie Mécanique EXAMEN DE MECANIQUE GENEALE Année universitaire : Date : le 6 Classe : GM Nombre de pages : 4 Durée : heure 3 mn Documents : non autorisés Proposé par : M Bouden& M Kalleli &M Amdouni& M Jerbi Dans cette épreuve, on s intéresse à l étude d un amortisseur des vibrations de torsion à pendule excentré Un amortisseur pendulaire de torsion est utilisé pour atténuer les vibrations de torsion d un rotor à une fréquence multiple de la fréquence de rotation du rotor Il est constitué d une ou plusieurs masses pendulaires montées sur un disque qu on désire réduire ses vibrations La figure montre deux exemples de réalisation d amortisseurs pendulaires Figure : exemples de réalisation d amortisseurs pendulaires La figure présente le modèle utilisé pour l étude cinématique et dynamique d un amortisseur pendulaire Ce modèle est constitué d un disque de rayon ayant une liaison pivot d axe, avec le bâti et un pendule simple de masse concentré m, située au point, et suspendue autour du point par une tige tel que La distance du point de L Page 3

44 suspension à l axe de disque porteur est tel que La liaison entre le disque et le pendule est une liaison pivot d axe, Pendule Bâti Disque Figure : Modèle d un amortisseur des vibrations de torsion y α y x Y θ Y X z α x θ X Dans cette étude on a : Le repère,,, est un repère fixe lié au bâti Le repère,,, est un repère mobile lié au disque Le repère,,, est un repère mobile lié à la pendule Les deux paramètres cinématiques du système étudié sont les suivants : L Page 33

45 La rotation du disque par rapport au bâti,, La rotation du pendule par rapport au disque,, L objectif de tout ce qui suit consiste à effectuer une étude dynamique du pendule dans le cas où le mouvement du disque est imposé La pendule est constituée d une tige de longueur et de masse négligeable non pesante et d une masse concentrée en Le point est le centre de gravité centre d inertie du pendule On donne : + L expression du torseur de l action de liaison du disque sur la tige au point est :,,, La force de pesanteur du pendule est négligée dans toute l étude TAVAIL DEMANDE : Déterminer les vecteurs vitesses instantanées de rotation des mouvements relatifs Ω, Ω et en déduire Ω Déterminer l expression du vecteur vitesse du point dans le mouvement de par rapport à 3En déduire l expression du vecteur accélération Г 4Calcul du torseur cinétique a Déterminer l expression de la résultante cinétique du pendule dans son mouvement par rapport à L Page 34

46 b Déterminer, en utilisant le relation de transport des moments, l expression du moment cinétique du mouvement de par rapport à, sachant que c Ecrire dans le repère le torseur cinétique au point O du mouvement de par rapport à 5Calcul du torseur dynamique a Déterminer l expression de la résultante dynamique du pendule dans son mouvement par rapport à b Déterminer, en utilisant la relation de transport des moments, l expression du moment dynamique du mouvement de par rapport à, sachant que c Exprimer dans le repère, le torseur dynamique au point O du mouvement de par rapport à 6Appliquer le principe fondamental de la dynamique au pendule et déterminer les inconnues de liaison X, Y, Z, L et M ainsi que l équation de mouvement du pendule dans son mouvement par rapport à emarque : l équation du mouvement du système est celle ne contenant pas d inconnues statiques BON TAVAIL L Page 35

47 COECTION EXAMEN DYNAMIQUE DE SOLIDES JUIN Travail demandé : + + z + l + Ω +l + Ω o + α +l + α + α y +lα + ϴ y 3 Γ Γ Avec + Ʌ + Ʌ - + Ʌ + + Ʌ - + D où : +l + + l + Γ - ² + l + - l + ² 4 a m m α y +lα + ϴ y m + + b + m Ʌ + mα y + ml + Ʌ -l L Page 36

48 Ʌ ml² + Ʌ On a : cosθ + sinθ ml cos + ml² α + ϴ D où : ml cos + ml² + ml + sin { } + +,,, a mг m ² ² m - m ² + ml + - ml α + ϴ ² b +m Γ Ʌ + ² + + α + ϴ ²Ʌ -l + Ʌ + Ʌ ² + Ʌ Ʌ Avec cos + sin ml cos + ml² sin + ml² + ml + α ² + + C Exprimons la résultant dynamique dans sin + cos cos + sin ù: m - m ² + ml + + ml α + ϴ ² + ² + α + ϴ cos α + ϴ sinθ { } Г L Page 37

49 ² + α + ϴ cosθ + α + ϴ sinθ,,, + ² PFD appliqué au mvt de % o { },,, { },,, Avec { } Ɵ {} Ɵ,,, { },,, projeté dans,,, projeté dans On obtient par la suite le système d équation s : L expression des inconnues statiques de liaison : - m ² + sin α + ϴ cosθ m + + cos α + ϴ sinθ L équation de mvt du système ml + ² + + L Page 38

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