A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités

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1 Université de Strasbourg Année 203/204 Licence Maths/Info-Maths/Éco Analyse S A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités Soient f une fonction usuelle, I D f un intervalle ouvert et a I. On notera DL n a) pour un développement limité d ordre n au point a. Comme nous l avons vu en cours, on peut calculer le développement limité d une fonction usuelle en utilisant la formule de Taylor : fx) = n k=0 f k) a) k! x a) k + o x a) n ). Pour utiliser cette formule il faut calculer les dérivées successives de f puis il faut les évaluer au point a. En utilisant cette formule on a obtenu une liste de DL n 0) usuels. Il est impératif de connaitre cette liste par coeur. Nous rappelons que cette liste est constituée des DL n 0) de expx), ln + x), + x) α, x, sinx), cosx), shx) et chx). En général l utilisation de la formule de Taylor pour des fonctions plus complexes est laborieuse. On utilisera plutôt les règles suivantes qui permettent de déterminer les DL n a) d une fonction à partir des DL n 0) des fonctions usuelles précédentes. A. Troncation d un Développement limité. Proposition A.. Soient f une fonction usuelle, I D f un intervalle ouvert et a I. Si f admet un DL n a) de la forme : fx) = a 0 + a x a) a n x a) n + o x a) n ) alors, pour tout m n, f admet un DL m a) s obtenant par troncatures : fx) = a 0 + a x a) a m x a) m + o x a) m ). Exemple A.2. Soit P x) = a 0 + a x a p x p une fonction polynomiale. Pour n p, on a P x) = a 0 + a x a n x n + ox n ). Pour n > p, on a P x) = a 0 + a x a p x p + ox n ). A.2 Positionnement du problème en 0 Pour déterminer un développement limité en a d une fonction x fx), on relocalise le problème en 0 via le changement de variable x = a+h. On détermine alors un développement limité en 0 de la fonction h fa+h) puis on transpose ce développement limité en a en remplaçant h par x a. Exemple A.3. Déterminons le DL 2 ) de expx). On fait le changement de variable x = + h. On a alors e x = e +h = e e h. On en déduit que : e +h = e + h + h2 2 + o h 2)) = e + eh + eh2 2 + o h 2). On obtient ainsi le développement limité suivant au point : e x = e + ex ) + ex )2 2 + o x ) 2).

2 A.3 Développements limités d un produit Proposition A.4. Supposons qu au voisinage de 0 : fx) = a 0 + a x a n x n + o x n ), gx) = b 0 + b x b n x n + o x n ). Alors le DL n 0) de la fonction usuelle fg est donné par : fx)gx) = a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 ) x a 0 b n a n b 0 ) x n + ox n ). Remarque A.5. Il n est pas nécessaire de connaitre par coeur cette formule. Pour obtenir le DL n 0) d un produit il suffit de faire le produit des DL n 0) et de ne pas tenir compte des monômes d ordre > n. Exemple A.6. Détermier le DL 3 0) de Il suffit pour cela d écrire les DL 3 0) de e x et de x ex x.. On obtient alors : On en déduit que : e x = + x + x2 2! + x3 + ox3 ), x = + x + x2 + x 3 + ox 3 ). e x x = + + ) x ) x ) x 3 + ox 3 ) 6 = + 2x x x3 + ox 3 ). Exemple A.7. Déterminer les DL 3 0) de ln + x)e x et de ln + x) cosx). A.4 Développements limités d une composée Soient f et g des fonctions usuelles. Supposons f x) 0 et supposons que g admet le DL n 0) suivant : Ceci permet alors d écrire : g u) = a 0 + a u a n u n + o u n ) g fx)) = a 0 + a fx) a n fx) n + o fx) n ) Ainsi on a pu substituer fx) à u dans le DL n 0) de g et cela a été possible car f x) 0. Si l on connaît alors un développement limité de f, on peut en déduire un développement limité de gfx)). Exemple A.8. Déterminons le DL 3 0) de fx) = e x+x2. Le DL 3 0) de e u est donné par : e u = + u + u2 2! + u3 + ou3 ) En posant u = x + x 2 on a bien u = x + x 2 0. Commençons car calculer les développement limités de puissances de u à la précision ox 3 ) : u = x + x 2 = x + x 2 + ox 3 ), u 2 = x + x 2 ) 2 = x 2 + 2x 3 + ox 3 ), u 3 = x 3 + ox 3 ), 2

3 et ou 3 ) = ox 3 ). En effet, si g est une fonction usuelle telle que gx) = o x 3) alors Réciproquement si gx) = o u 3) alors : gx) u 3 = gx) x + x 2 ) 3 = gx) x 3 + x) 3 0. gx) x 3 = gx) u 3 u 3 x 3 0 = 0. Un développement limité à l ordre 3 de e u peut alors être transformé en un développement limité à l ordre 3 en x comme suit : e x+x2 = + x + x 2) x + x 2 ) 2 x + x 2 ) ! = + x x x3 + o x 3). + o x + x 2) 3 ) Exemple A.9. Déterminons le DL 6 0) de ln + x 2 + x 3 ). On remarque que ln + x 2 + x 3 ) est de la forme ln + u) où u = x 2 + x 3. Calculons les puissances successives de u : On fait alors un DL 3 0) de ln + u) : En remplacant u par son expression on obtient : u = x 2 + x 3 + o x 6), u 2 = x 4 + 2x 5 + x 6 + o u 3 = x 6 + o x 6) o u 3) = o x 6). x 6), ln + u) = u 2 u2 + 3 u3 + o u 3). ln + x 2 + x 3 ) = x 2 + x 3 2 x4 x 5 6 x6 + o x 6). ) Exemple A.0. Déterminer le DL 3 0) de ln + sinx)), le DL 2 0) de cosx) et le DL 3 0) de e +x. Exercice A.. Déterminer le DL 4 π/2) de A.5 Développements limités d un inverse lncosx)). Supposons que le DL n 0) de f est donné par fx) = a 0 + a x a n x n + ox n ) avec a 0 0. En écrivant : f x) = a 0 + a a 0 x an a 0 x n + o x n ) = a 0 + u, 2) on peut déterminer un DL n 0) de f en utilisant la technique présenté dans la section précédente. 3

4 Exemple A.2. Déterminons le DL 3 0) de +e x. On a : + e x = 2 + x + x2 2! + x3 ) = + o x 3 ) 2 + u, où u = x + x2 2! + x3 + o x 3) 0. Puis u 2 = 4 x2 + 4 x3 + o x 3), u 3 = 8 x3 + o o u 3) = o x 3). x 3), Ainsi donne + u = u + u2 u 3 + o u 3) + e x = 2 4 x + 48 x3 + o x 3). Exemple A.3. Déterminer le DL 4 0) de cosx) et le DL 50) de tanx). A.6 Développements limités délicats Lors des calculs, des divisions peuvent réduire l ordre d un développement limité. En anticipant celles-ci, on peut éviter de devoir reprendre un calcul initié avec des développements trop courts. Exemple A.4. Déterminons le DL 3 0) de cosx)) x. Premièrement, cosx)) x = exp x lncosx)) ) Pour former le développement limité voulu, on développe à l ordre 3 l expression x lncosx)). Puisque la division par x, réduit l ordre d un développement limité, nous allons former un développement limité à l ordre 4 de lncosx)). Premièrement : ln cos x)) = ln 2 x x4 + o x 4)) 3) = ln + u), 4) avec u = 2 x x4 + o x 4). Par composition des développements limités on obtient : On en déduit que Finalement cos x)) x = e u avec ln cos x)) = 2 x2 2 x4 + o x ln cos x)) = 2 x 2 x3 + o x 3). u = 2 x 2 x3 + o x 3). Par composition de développements limités, on obtient : cos x)) x = 2 x + 8 x x3 + o x 3). 4 x 4). 5)

5 Exemple A.5. Déterminons le développement limité à l ordre en 0 de : Premièrement, On en déduit par passage à l inverse que : sinx) x. sinx) = x + o x 2). 6) sin x) = x x3 + o x 4 ) = x x2 + o x 3 ) avec u = x2 + o x 3). On remarque alors que : ) = x + u), u = x2 + o x 3) = x2 + o x 2) par troncation), o u) = o x 2) Puis, On obtient alors Ainsi + u = u + o u). sin x) = + x2 x + o x 2)) = x + x + o x). sin x) x = x + o x). A.7 Exercices. Exercice A.6. Déterminer les développements limités suivants :. DL 3 π/4) de sinx). 2. DL 4 ) de lnx) x DL 5 0) de shx)ch2x) chx). Exercice A.7. Déterminer les développements limités suivants :. DL 3 0) de ln + e x ). 2. DL 3 ) de ln2 + sinx)). 3. DL 3 0) de 3 + cosx). Exercice A.8. Déterminer la limite en 0 de : Exercice A.9. Déterminer la limite en 0 de : Exercice A.20. Déterminer la limite en 0 de : ln + x) x x 2. sinx) x x 3. + x) x e. x 5

6 Références. Ces notes sont basées sur les notes de cours de David Delaunay disponible sur l excellent) site web : http ://mp.cpgedupuydelome.fr/ 6