La luminosité de l arc-en-ciel

Transcription

1 N 778 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1759 La luminosité e l arc-en-ciel par Robert G.-M. CHALOT Vence RÉSUMÉ Dans la présente étue, on se propose e éterminer numériquement la luminosité u phénomène e l arc-en-ciel, tant celle es eux arcs principaux, (primaire et seconaire), que celle es arcs surnuméraires qui leur sont parfois associés. De plus, on parvient à préciser la position exacte e ces erniers en fonction u iamètre es gouttes eau. Les étues les plus récentes sur ce sujet font toutes appel à la iffraction e la lumière, et sont par suite inaptes à conuire à e pareils résultats. L intérêt e ces erniers est e mieux comprenre les conitions e visibilité es phénomènes. Ils ont pu être obtenus en se référant aux explications anciennes e René Descartes et e Thomas Young, associées à es consiérations physiques ou mathématiques un niveau relativement élémentaire. INTRODUCTION Nombreux sont les textes parus au cours es ernières écennies ayant trait à l arc-en-ciel et tentant e onner une explication e ce curieux phénomène lumineux atmosphérique. Il se trouve que toutes les théories présentées ont le éfaut e faire appel à la iffraction e la lumière, où il résulte qu elles sont inaptes à aborer correctement le problème e la luminosité, ont la solution est pourtant inispensable si l on ésire préciser les conitions complètes e sa visibilité. La présente étue se propose e éterminer numériquement la luminosité tant es arcs-en-ciel principaux, (primaire et seconaire), que es arcs surnuméraires, qui sont parfois visibles à l intérieur u primaire, en même temps qu est fixée la position exacte e ces erniers en fonction u iamètre es gouttes eau, ce qui n avait apparemment encore jamais été réalisé. Elle est fonée essentiellement sur la vieille théorie e Descartes, complétée au moyen e consiérations géométriques et analytiques simples, pour ce qui est es arcs principaux, et sur une explication e la formation es arcs surnuméraires, imaginée vers les années 1800 par Vol Novembre 1995

2 1760 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN le Physicien Thomas Young, et qui n a pas été retenue par la Communauté Scientifique pour es raisons historiques. Ainsi s explique la brièveté e la liste es références bibliographiques. Ici, pas e iffraction, mais prise en compte u iamètre e la pupille e l œil e l observateur. 1. RAPPEL DE LA THÉORIE DE DESCARTES Comme on sait, la géométrie es eux arcs-en-ciel principaux est éfinie par la érivation es eux équations : sin i n sin r 2 2 [p 1 r i] où i et r sont les angles incience et e réfraction, n est l inice e réfraction pour la longueur one consiérée, p le nombre e réflexions ans la goutte eau, la éviation pour le rayon émergent par rapport au rayon u Soleil (en fait 180 pour l arc primaire) (voir figures 1 et 2). Consiérons la fonction i. Elle croît jusqu à un maximum obtenu pour une certaine valeur e i, ce qui provoque une accumulation e lumière pour cette irection particulière, (le rayon e Descartes). Sauf inication contraire, la luminosité qui est ici étuiée est la luminosité maximale, c est-à-ire la luminosité qui apparaît à l observateur irigeant son regar ans la irection e la éviation maximale. Cette irection est onnée e la manière suivante : y i i y où y sin i et i 2 cos i p 1 n cos r 1 Le maximum e éviation est obtenu si : i 0 qui onne cos 2 i o n 2 1 p B.U.P. n 778

3 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1761 Figure 1 : Trajet es rayons arc primaire. Figure 2 : Trajet es rayons arc seconaire. Vol Novembre 1995

4 1762 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN Et l on obtient les valeurs suivantes, bien connues : Arc primaire Arc seconaire nm n 1,330 1,342 1,330 1,342 i r Ouverture moyenne m Largeur Rouge à l extérieur à l intérieur Ces résultats sont valables pour un Soleil supposé ponctuel ; sinon, il convient ajouter 32 à. Tableau 1 : Configuration es arcs-en-ciel principaux. L angle e éviation maximale caractérise les arcs primaire et seconaire qui sont vus par l observateur comme es arcs parfaitement circulaires, situés comme le montre la figure 3. Figure 3 : Localisation es eux arcs. B.U.P. n 778

5 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN LA LUMINOSITÉ DES ARCS PRINCIPAUX Pour éterminer la luminosité es arcs-en-ciel principaux, on utilisera une méthoe pas à pas, comprenant cinq étapes Première étape : Le concept e «pupille entrée» Imaginons la situation suivante : une goutte eau unique, le Soleil comme source ponctuelle e lumière, pas e ispersion chromatique. Depuis une goutte, située à la istance L e l observateur, la pupille e l œil, e iamètre, est vue sous l angle /L. Pour la istance e référence L o 2 kilomètres, cet angle serait égal à 10 6 raian si = 2 mm. La pupille e l œil est un petit cercle perpeniculaire au plan es figures 1 ou 2. Si l on reste ans ce plan, elle se réuit à un segment e longueur. Si le rayon incient X A se éplace parallèlement à lui-même e la quantité h = R y, (R rayon e la goutte), le rayon émergent CZ accuse une rotation telle que : 1 R y h mais L où pour un éplacement fini h : h R L y Pour balayer complètement la pupille e l œil, il nous faut sortir u plan e la figure. Cela peut être fait simplement en faisant osciller le plan e la figure autour e l axe fixe OX joignant le centre u Soleil au centre e la goutte un angle /L où L est la istance e l œil e l observateur à l axe OX, soit L L sin. Ce faisant, le rayon incient se éplace, en arrière ou en avant u plan e la figure e la quantité h R t sin i en posant : t L sin. Il résulte e ce qui précèe qu à tout rayon émergent s appuyant sur le contour circulaire e la pupille e l œil, on peut faire correspon- 1 Vol Novembre 1995

6 1764 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN re un rayon issu u Soleil, supposé ponctuel, s appuyant sur un contour fermé, isposé ans un plan perpeniculaire à la irection OX, à une istance quelconque e la goutte, puisque tous les rayons incients sont parallèles. La surface e ce contour, qui peut être appelé «pupille entrée u système», et qui a la forme une ellipse très allongée, a pour expression : S h. h 4 étant un coefficient e forme restant inéterminé, mais qui peut, sans aucun oute, être confonu avec l unité, avec un egré approximation tout à fait acceptable pour le présent problème. En ivisant cette surface par la surface frontale e la goutte R 2, on obtient le rapport suivant, en prenant 1 : t y L Ce rapport sera ésigné ci-après comme le «coefficient e passage u front e conensation». Il joue un rôle e premier plan pour la étermination es caractéristiques photométriques es arcs-en-ciel. Jusqu ici, ce rapport est valable pour n importe quel angle incience i, sauf pour la région où la luminosité e l arc-en-ciel est maximale. Qu arrive-t-il alors? ten vers zéro, et ten vers l infini, ce y qui n a pas e sens physique. Dans ce cas, il nous faut utiliser le éveloppement en série e Taylor-Mac-Laurin et consiérer le secon terme u éveloppement : y 2 y 2 équation, qui, jointe à l équation h 2 R. y valable e part et autre u sommet e la parabole ite «osculatrice» e la fonction fy au voisinage e ce sommet, conuit à : h R 1 2 L B.U.P. n 778

7 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1765 en posant : y 2 D où il résulte que : t L 3 2 L En prenant pour valeur e l inice e réfraction e l eau n = 1,335 au milieu u spectre visible, on obtient : Arc primaire Arc seconaire 0,909 0,39 t 1,29 1,21 0,29 0, Secone étape : La polarisation e la lumière Maintenant, il y a lieu e consiérer le partage e l énergie lumineuse à chaque rencontre avec la paroi e la goutte eau, en prenant en compte la polarisation e la lumière, incluse ans les formules e Fresnel. Si 1 et 2 sont les parts e la lumière qui sont réfléchies en A en B et en C e la figure 1, les parts qui sont réfractées sont 1 1 et 1 2. Et l on a : 1 2 sin i r sin i r 2 2 tg i r tg i r pour chacune es composantes ; le coefficient résultant le Fresnel r est onné par : r Vol Novembre 1995

8 1766 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN Arc primaire Arc seconaire r r 0,045 0,0194 Si représente le rapport entre l énergie e la composante perpeniculaire au plan incience, onc parallèle à la tangente à l arc-en-ciel, et celle e la composante parallèle, onc contenue ans le plan e la figure 1 ou 2, on trouve que 26,7 et 9,5 respectivement pour le primaire et pour le seconaire. Cela montre que les arcs-en-ciel sont polarisés, surtout le primaire. La figure 4 montre comment les coefficients 1 et 2 varient en fonction e l angle incience i. La polarisation notoire e l arc primaire est ue à la faible ifférence entre i o et l angle e Brewster égal à arctg n = pour n = 1,335. Figure 4 : Diagramme e Fresnel. B.U.P. n 778

9 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN Troisième étape : Le front e conensation Dans cette étape, on se propose e passer e l hypothèse e la goutte unique à la situation réelle qui survient avec un nuage, une cascae ou un rieau e pluie. Tous ces erniers seront ésignés comme «front e conensation». Le fait important est que ni le iamètre es gouttes eau, ni leur ensité e présence, (ans certaines limites précisées), ne viennent moifier le coefficient e passage. En effet, la étermination numérique e la luminosité effectuée ci-après, éuite u coefficient, n est irectement applicable que si, lors e l observation, une conition particulière est satisfaite, ce qui est ailleurs très fréquent ans le cas un nuage ou une cascae. Il suffit que la profoneur physique u front e conensation soit supérieure à la valeur ite «profoneur limite e saturation optique», laquelle épen à la fois e la ensité volumique e présence q et u iamètre D es gouttes par la formule simple : l D q l et D en mm q en g m 3 Cette circonstance résulte u fait que seules interviennent ans la formation u phénomène, les gouttes eau qui sont visibles en ligne roite à la fois vues u Soleil et vues côté observateur. L effet es gouttes situées en arrière est occulté par les gouttes situées en avant. La formule ci-essus se éuit e consiérations géométriques simples sur le egré obstruction en tenant compte e la formule onnant le volume e la sphère. Lorsque la conition est satisfaite, pas plus la ensité e présence q que le iamètre es gouttes D interviennent ans le résultat. S il n en est pas ainsi, es corrections peuvent être appliquées, que l on laissera ici e côté, faute e place. Par exemple, pour un nuage contenant 0,5 g/m 3 e gouttes e 0,05 mm e iamètre, on trouve 67 mètres pour la profoneur limite e saturation optique, certainement inférieure à sa profoneur physique. Pour un rieau e pluie avec la même valeur e q, mais es gouttes e 0,5 mm, on trouverait 667 mètres, éventuellement plus que la profoneur physique. Vol Novembre 1995

10 1768 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 2.4. Quatrième étape : Le Soleil n est pas ponctuel Lors e cette étape, l hypothèse u Soleil ponctuel est abanonnée au profit e la situation réelle, avec son iamètre apparent 0,0093 raian ou 32. Comme on sait, l énergie raiante en provenance u Soleil reçue sur une surface perpeniculaire aux rayons et à la limite e l atmosphère terrestre est C 1380 W m 2. On continue ignorer la ispersion chromatique et le iamètre e la pupille e l œil est toujours égal à 2 mm. Dans l hypothèse u Soleil ponctuel, l arc-en-ciel evrait apparaître comme un filament circulaire sans épaisseur extraorinairement brillant. Maintenant, il apparaît comme un arc lumineux e même couleur que le Soleil et ont la largeur est exactement égale à son iamètre apparent. En effet, la irection es rayons lumineux solaires atteignant le front e conensation varie e 2 puisque leur origine couvre le isque solaire tout entier et que l angle e éviation maximale est le même pour tous. On remarque qu à l intérieur e la bane e largeur, la luminosité n est pas constante, mais varie e zéro à zéro un bor à l autre et passe par un maximum au centre. Cela est û à ce que chaque arc concentrique reçoit une énergie corresponant à une «core» u isque solaire autant plus courte qu elle est plus éloignée e son iamètre parallèle à la tangente à l arc-en-ciel. Il en résulte que le profil transversal énergétique lumineux ans la bane est nécessairement, (à une certaine échelle), représenté par un emi-cercle, ont le rayon correspon à la luminosité maximale au centre e la bane. Pour parvenir à exprimer le rapport existant entre cette luminosité maximale et celle u isque solaire, (consiérée comme uniforme), il suffit e chercher le rapport existant entre la quantité e lumière qui se propage vers l œil e l observateur en provenance une plage convenablement choisie e l arc-en-ciel «blanc» à l intérieur un angle solie éterminé et la quantité e lumière se propageant e façon similaire ans l angle solie éfini par le contour circulaire u Soleil. Pour ce faire et pour assurer l égalité es eux angles solies, la plage choisie est constituée un carré quelconque inscrit ans la bane à l étue supposée située à la istance L e l observateur, et ont le côté B.U.P. n 778

11 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1769 apparent soit exactement égal à. En même temps, le Soleil circulaire est remplacé fictivement par un carré e même côté apparent. L énergie lumineuse en provenance u Soleil fictif carré, pénétrant ans l œil e l observateur est onnée par : W 1 C f C f 2 tanis que l énergie lumineuse en provenance e la plage carrée e l arc-en-ciel est onnée, selon ce qui a été éterminé plus haut par : W 2 C f t r L 2 L 2 le coefficient f représente la fraction e l énergie visible ans le spectre solaire (environ 0,4). Dans ces conitions, le quotient cherché serait égal à : W 2 W 1 t 4 r L Ramenant alors le Soleil epuis sa forme fictive carrée à la forme réelle circulaire, le énominateur se trouve multiplié par et le résultat 4 final cherché est : W 2 W 1 t r L Remplaçant les symboles par leurs valeurs : = 0,909 ; t = 1,29 ; r = 0,045 ; L = 2 km ; = 2 mm ; = 0,0093 on trouve : W 2 W 1 1, pour rapport es luminosités cherchées, pour un front e conensation situé à eux kilomètres. Il résulte e l équation littérale ci-essus, (valable aussi bien pour l arc seconaire que pour le primaire), que la luminosité e ces arcs est proportionnelle à la racine carrée e la istance L. Donc qu elle croît Vol Novembre 1995

12 1770 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN avec elle. Cette loi était emeurée jusqu ici ignorée. Le fait s est trouvé issimulé parce que l observateur est amené, sans s en renre compte, à comparer la luminosité intrinsèque e l arc-en-ciel avec celle u ciel environnant, laquelle peut varier, selon les circonstances, ans e granes proportions, e un à trente ou plus, comme le émontre un posemètre autonome ont l inice éclairement, entre un ciel particulièrement clair et un ciel sombre peut passer e un à quatre ou e un à cinq. Or, on a La même équation montre que, paraoxalement, plus petite est la pupille e l œil, plus l arc-en-ciel paraît brillant. Cela ne oit pas toutefois surprenre, car il ne faut pas oublier qu il s agit un rapport e luminosité, celle e l arc-en-ciel et celle u Soleil ; et cette ernière varie comme 2. Le fait peut être utilisé lors e la photographie u phénomène. Pour augmenter le contraste entre l arc-en-ciel et le ciel environnant, il suffit e fermer le iaphragme autant que possible, tout en augmentant en compensation le temps e pose. En effet, le iaphragme e l objectif joue le même rôle que la pupille e l œil Cinquième étape : La luminosité es banes colorées Que eviennent les résultats obtenus ci-essus : «Profil semi-circulaire e la luminosité à l intérieur e l arc-en-ciel blanc et luminosité maximale en son centre I o 1, , rapportée à celle u isque solaire», lorsque l on tient compte e la ispersion e la lumière. Imaginons en premier lieu que la loi e variation n e l inice e réfraction avec la longueur one e la lumière soit une loi linéaire. Dans l intervalle e variation retenu e 750 nm à 410 nm, il y a chevauchement e tous les profils semi-circulaires ientiques et également espacés. L analyse montre que, ans les limites ci-essus corresponant à la largeur théorique e 1,75 egrés, la luminosité énergétique, (c est-à-ire inépenante u pouvoir e l œil humain e percevoir plus ou moins bien les couleurs), est constante ans cet intervalle et est onnée par : I 4 1 3,28 I o 3, B.U.P. n 778

13 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1771 Le facteur n est autre que la valeur numérique e l intégrale 4 1 éfinie y x es oronnées es ifférents points u profil semi-circulaire. Le coefficient 3,28 provient u fait que la luminosité est 0 autant plus réuite que la ispersion e la lumière est plus importante ; il est égal au rapport e la largeur théorique e l arc-en-ciel primaire 1,75 egrés ou 105 au iamètre apparent u Soleil 32. La courbe représentative e la luminosité en fonction e l inice e réfraction, (ou ce qui revient au même, en fonction e l angle e éviation ), se compose alors un segment e roite horizontal, prolongé à ses eux extrémités par eux quarts ellipse ayant respectivement I et 2 pour emi-axes vertical et horizontal. Figure 5 : Profil e la luminosité pour les arcs principaux. Vol Novembre 1995

14 1772 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN En réalité, la loi n f est très loin être linéaire. Le tableau 2 montre la relation réelle entre n et. La courbe I e la figure 5 montre la variation u quotient ifférentiel en fonction e n, lequel est n proportionnel à la luminosité. L oronnée e la roite horizontale, en traits mixtes, est égale à la valeur moyenne e ce quotient, soit : ,012 2, nm n nm 1, , , , , , , , , , ,5 16,5 1, ,5 1, , Tableau 2 : fn. On en conclut que la luminosité e la bane rouge, pour 750 nm, est égale à environ 3,5 fois la valeur moyenne, tanis que celle e la bane violette est égale à la moitié e cette ernière. Ce résultat explique pourquoi la bane rouge est toujours la plus lumineuse, alors que la bane violette n est que rarement visible. Il convient en outre e tenir compte u fait que l énergie solaire n est pas répartie e manière uniforme à l intérieur u spectre solaire. Si l on pren pour unité la valeur u maximum, obtenue pour 490 nm, la bane rouge reçoit le coefficient 0,67 et la bane violette le coefficient 0,77, tanis que la valeur moyenne reçoit le coefficient B.U.P. n 778

15 0,87. Les valeurs es luminosités pour les banes extrêmes eviennent ans ces conitions : Rouge : 3,52 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN ,5 0,67 0, , Violet : 3,52 0,5 0,77 0, , La courbe II e la figure 5 trauit l effet e la non-uniformité e l énergie ans le spectre solaire (relèvement au milieu, abaissement sur les bors). Les valeurs numériques ci-essus sont valables pour une istance L égale à eux kilomètres. Sinon, elles sont à multiplier par le facteur L 1 2 L o. Elles sont si faibles qu elles ne sont guère parlantes. Aussi, est-il préférable e comparer ces luminosités avec celle e la Pleine Lune, plutôt qu avec celle u Soleil. Comme on sait, le rapport e luminosité e ces eux astres est onné par : A o 2 6, avec A o Albeo e la Pleine Lune = 0,073 et 0,093. On obtient alors : Rouge : 150 fois la Pleine Lune, Violet : 25 fois la Pleine Lune. Il apparaît que l arc-en-ciel, apparaissant sur un nuage lointain, est beaucoup plus lumineux que ce que l on aurait pu imaginer. Les mêmes calculs peuvent être appliqués à l arc seconaire, en remplaçant les coefficients, t et r par leurs nouvelles valeurs et en remarquant que l arc seconaire est 1,88 fois plus large que le primaire, on trouve que la luminosité u seconaire est environ le ixième e celle u primaire, pour chaque couleur homologue. Vol Novembre 1995

16 1774 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 3. LES ARCS SURNUMÉRAIRES 3.1. L explication e Thomas Young On appelle «arcs surnuméraires» les arcs supplémentaires, e couleur rose, au nombre e eux ou trois, rarement quatre, qui sont parfois visibles au-essous e l arc primaire. Une bonne explication e ce phénomène a été onnée vers l année 1800 par le Physicien Thomas Young. On peut aujour hui comprenre facilement pourquoi cette explication n a pas été retenue par la Communauté Scientifique. Il y a à cela trois raisons : la première est que la ifférence entre les chemins optiques à l intérieur es gouttes est très faible, e l orre u millième u trajet total, la secone résie ans le fait e la ifficulté e éterminer avec une précision suffisante les angles incience i 1 et i 2 corresponant aux rayons émergents parallèles engenrant les interférences, qui, selon Young, étaient à l origine e la formation u phénomène, la troisième est plutôt orre historique. A l époque e Young, eux théories opposées régnaient à propos e la nature e la lumière, la théorie corpusculaire et la théorie onulatoire. Or, l explication e Young allait ans le sens e la secone, alors que c est la première qui prévalait à cette époque, surtout en Angleterre. On constate que, s il est très facile e éterminer à partir e i au moyen es eux équations e Descartes : sin i n sin r et 2 2 r i ce n est pas le cas pour l opération inverse, éterminer i à partir e. Le système équation est irréversible, et ne peut être utilisé ans l autre sens qu au moyen un orinateur. L expression e la longueur u chemin optique est : 2 R 2 n cos r cos i comme le montre la figure 1, si l on pren comme plans e référence entre lesquels est évaluée cette longueur, les plans ont les traces sont OT et OT" sur la figure 1. B.U.P. n 778

17 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1775 L équation ci-essus est valable quelque soit la valeur e l angle incience i, égale ou non à l angle incience i o e Descartes, et l on constate que la fonction : ne épen que e la variable i. x 2 n cos r cos i Consiérons une paire e rayons incients parallèles situés e part et autre u rayon incient e Descartes, ans l hypothèse u Soleil ponctuel. Et choisissons les angles incience i 1 et i 2 e telle sorte que les rayons émergents possèent la même éviation, telle que o, o étant la éviation maximale e Descartes. Soit! la ifférence e chemin optique pour les eux paires e rayons,! 2 x. 2R. La figure 6 représente la variation e 2 x comme fonction e, en prenant n = 1,330 pour l inice e réfraction e l eau ; en effet, la couleur rosée es arcs surnuméraires est la conséquence e la préponérance e la couleur rouge ans l arc-en-ciel principal. Le tracé e la courbe peut être obtenu par orinateur. Par exemple, 1,8 egré conuit à 2 x 1,6 10 3, l orinateur fournit les valeurs i 1 50,13 egrés et i 2 68,16 egrés. Selon la théorie es interférences e Young, la ifférence! 2 R 2 x oit être un multiple e, soit ".. Si l on pren " 2, le iamètre e la goutte oit être égal à : D 2 R " 2 x 2 x , ,94 mm valeur tout à fait vraisemblable pour es arcs surnuméraires aperçus ans un jet eau. Sur la figure 6, la courbe est complétée par un faisceau e lignes roites inclinées, issues e l origine, avec es coefficients angulaires arbitraires entiers, 1, 2, 3, 4. Une construction géométrique simple permet e voir que pour les trois autres valeurs " et un même iamètre e goutte eau, les écarts angulaires pour les autres arcs surnuméraires seraient respectivement : 1,2-2,2-2,6 egrés, la première frange interférence étant alors noyée ans l arc principal et e ce fait invisible. Vol Novembre 1995

18 1776 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN Figure 6 : Abaque pour les arcs surnuméraires. B.U.P. n 778

19 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1777 La figure peut être utilisée, soit pour connaître le iamètre es gouttes connaissant la position es franges, soit pour effectuer l opération inverse. La figure 7 montre le trajet es rayons lumineux pour 1,8 egré, avec i 1 50,13 egrés et i 2 68,16 egrés. La istance entre les eux rayons émergents parallèles est environ 0,1 mm pour une goutte e 1 mm e iamètre, c est-à-ire beaucoup moins que le iamètre e la pupille e l œil. Cette figure peut être facilement tracée connaissant les eux angles incience, en utilisant la formule suivante : f sin i tgi r avec f OF R Figure 7 : Trajet es rayons arcs surnuméraires. En réalité, un arc surnuméraire ne se réuit pas à une seule ligne. Sa largeur résulte à la fois u fait que le Soleil n est pas ponctuel, et u fait qu il existe une certaine ispersion à l intérieur e la bane rouge. Vol Novembre 1995

20 1778 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 3.2. Luminosité Sont étuiées ci-après successivement la luminosité es arcs surnuméraires et celle e la zone intérieure à l arc primaire, qui a onné lieu à l appellation e «zone sombre Alexanre» à la région comprise entre les eux arcs-en-ciel principaux, à cause un effet e contraste. Nous commencerons par la secone. Soulignons tout abor la ifférence fonamentale qui existe entre ces eux luminosités et celle es arcs principaux : elles sont inépenantes e la istance L u front e conensation à l observateur, contrairement à celle-ci. Cela est û à ce qu ici, la érivée première e la fonction fi conserve sa juste place. En effet, les angles incience à consiérer sont fort éloignés e ceux que l on rencontre au voisinage imméiat e la région éclat maximal. La pupille entrée unique en forme ellipse très allongée est remplacée par eux pupilles entrée e part et autre e la première, ont la forme se rapproche un cercle. Pour la luminosité e la zone intérieure, toutes les couleurs se trouvent mélangées, et l on pren en compte l inice e réfraction moyen n = 1,335. Le rapport entre la luminosité e cette zone intérieure et la luminosité au centre e l arc primaire se étachant sur un front e conensation situé à une istance L quelconque, peut être obtenu en utilisant la formule suivante : avec au numérateur t sin i sin # t t t L 1 y et le coefficient résultant e Fresnel pour chacun es angles incience i 1 et i 2, et au énominateur t, et, les mêmes coefficients que ceux précéemment éfinis lors e l étue e la luminosité e l arc primaire. L application e cette formule montre que la luminosité e cette zone est faible, e l orre u quart e celle e la Pleine Lune en borure imméiate e celui-ci, et qu elle ne écroît que lentement vers l intérieur, encore la moitié environ e cette valeur à la istance e ix egrés e l arc principal. B.U.P. n 778

21 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN 1779 La luminosité es arcs surnuméraires se éuit e ce premier résultat par les consiérations auxiliaires suivantes : u fait e la préponérance e la couleur rouge ans l arc primaire, engenrant, comme il a été it, leur couleur rosée, il convient e consiérer l inice n = 1,330 et non 1,335, mais surtout e multiplier par trois le résultat, par ailleurs, on sait que, lorsqu il y a interférence, ce ne sont pas les énergies qui s ajoutent, mais les amplitues à la crêtes es ones, ce qui, si les énergies étaient égales, oublerait encore le résultat, en fait, ans le cas présent, les énergies ne sont pas égales, et il se trouve que, pour la composante polarisée parallèle, les énergies es rayons émergents pour i 1 et pour i 2 sont si ifférentes, à cause e la proximité e l angle e Brewster pour le rayon incient intérieur, qu il n y a pas interférence. Seuls interfèrent les rayons émergents e la composante perpeniculaire. Le résultat final est que la luminosité es arcs surnuméraires, inépenante e la istance, peut être évaluée en gros comme égale à celle e la Pleine Lune, ce qui est très faible, comparé à ce qui a été obtenu pour l arc-en-ciel primaire. Ces résultats inéits sont e nature à expliquer pourquoi les arcs surnuméraires et, a fortiori, le contraste e la zone sombre Alexanre, sont si rarement perceptibles. Les meilleures conitions pour les apercevoir sont celles un ciel extraorinairement clair et égagé, avec un Soleil situé bas sur l horizon, conitions que l on retrouve ailleurs pour l observation un arc-en-ciel primaire très lumineux se étachant sur un nuage lointain, comme il arrive après un orage. Pour les arcs surnuméraires, une conition supplémentaire intervient, à savoir une homogénéité suffisante u front e conensation au point e vue u iamètre es gouttes eau. En effet, la configuration géométrique es franges interférence épen, comme on a vu, u iamètre es gouttes ; un manque homogénéité entraînant inévitablement leur brouillage complet. C est ailleurs la vraie raison pour laquelle on ne voit jamais plus e eux ou trois arcs surnuméraires à proximité imméiate u primaire, et non pas la écroissance e leur luminosité lorsqu on s éloigne à l intérieur. Remarquons pour terminer qu à aucun moment, on n a pris en consiération le pouvoir qu a l œil humain e transformer en sensation colorée le flux énergie lumineuse reçu u Soleil par l interméiaire e la goutte eau. Vol Novembre 1995

22 1780 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIEN On a raisonné comme si l œil était uniformément impressionné ans les limites arbitrairement fixées u spectre visible, e 750 nm côté rouge, à 410 nm côté violet. En effet, ce ernier problème est un problème e physiologie qui n entre pas ans le care e cette étue exclusivement physique. CONCLUSION Il apparaît que la présente étue sur la luminosité e l arc-en-ciel atteint un ouble objectif : une part, elle réhabilite totalement les vues es eux savants, René Descartes et Thomas Young, injustement mises à l écart au profit explications complexes mettant en jeu la iffraction e la lumière, et incapables e ce fait e quantifier la luminosité, autre part, en pénétrant ans le mécanisme intime es phénomènes, elle permet e mieux appréhener les conitions photométriques e leur apparition. Accessoirement, elle ren inutile le besoin aller consulter les textes traitant e ce sujet parus urant les années récentes, puisqu elle ne fait appel qu à es notions e Physique et e Mathématiques pratiquement connues e tous. Essentiellement, elle emane e bien savoir «voir ans l espace». En fait, la iffraction e la lumière intervient lors e l étue e son effet sur e petits objets, comme le sont les gouttelettes e brouillar, qui n ont pas été consiérées ci-avant. BIBLIOGRAPHIE René DESCARTES : «Les Météores», Discourt huitième, Thomas YOUNG : Conférence u 24 novembre 1803, ans Philosophical Transactions of the Royal Society e l année 1804, sur la loi générale es interférences. R. CHALOT : «A propos u phénomène e l arc-en-ciel», B.U.P. n 724, mai R. CHALOT : «Une nouvelle approche pour l arc-en-ciel», C.R. Aca. Sci. Paris, t. 315, Série II, 1992, p R. CHALOT : «Une mise à jour e la théorie e l arc-en-ciel», La Météorologie, septembre 1993, p. 18 à 25. B.U.P. n 778