MUNIER Agnès SALLERIN Marie. UE de différenciation Sciences en société Résolution d un problème de recherche en CM2

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1 MUNIER Agnès SALLERIN Marie M2P1B UE de différenciation Sciences en société Résolution d un problème de recherche en CM2 Montigny-lès-Metz 2011/2012

2 SOMMAIRE Introduction...2 I. Analyse a priori...2 II. Déroulement de la séance... 3 III. Analyse a posteriori...5 IV. Les objectifs ont-ils été atteints?...6 V. Remédiation...7 VI. Analyse de productions d élèves...7 VII. Prolongements...9 Conclusion

3 Introduction Parmi la liste de problèmes de recherche qui nous étaient proposés nous en avons sélectionné un de niveau CM2. Voici sont énoncé : Tracer le plus possible de triangles différents ayant tous leurs sommets en l un des neuf points d un réseau 3x3. Nous avons commencé par résoudre nous-mêmes ce problème et nous avons jugé la difficulté suffisante et intéressante pour l exploiter en classe car il nous apparaissait comme un réel problème de recherche. Nous avons effectué cette séance dans une classe de CM2 à l école Sainte Thérèse de Metz en début d après-midi. I. Analyse a priori Pour une meilleure compréhension de cette analyse a priori nous vous conseillons de parcourir notre fiche de préparation en annexe. Nous avons anticipé certaines difficultés ou erreurs pouvant être rencontrées par les élèves lors de cette séance, qui sont les suivantes : En ce qui concerne l appropriation du problème : Au cours de la phase de découverte nous avons anticipé les problèmes d orientation d un même triangle qui pourraient induire les élèves en erreurs. Pour leur faire prendre conscience qu un même triangle peut avoir plusieurs orientations différentes, nous avons prévu une démonstration à l aide d un géo plan et de papier calque afin que les élèves visualisent mieux le problème. 2

4 L énonce du problème nous semble particulièrement difficile à cause du vocabulaire («triangles différents» «réseau 3x3» «sommets en l un des neuf points d un réseau 3x3»). Il nécessite donc une explicitation termes à termes de notre part et une reformulation par les élèves. Le géo plan permet également de visualiser le réseau 3x3. Au niveau de la première phase de recherche : Nous voulons privilégier un travail de groupe pour ce problème mais nous avons souhaité laisser la possibilité à chacun de chercher dans un premier temps individuellement avant de pouvoir comparer avec ses pairs. De cette manière les élèves disposent d un temps de recherche individuelle ce qui permet une meilleure appropriation du problème. Une fois en groupe les élèves disposent d une feuille de papier calque pour pouvoir identifier les différentes orientations d un triangle et comparer leurs réponses. Lors de cette phase de recherche, nous imaginons que les élèves vont rencontrer des difficultés et ne trouveront sans doute pas deux voir trois triangles parmi les 8. Au niveau de la deuxième phase de recherche : Comme l un de nos objectifs de cette séance est de mettre en avant une procédure exhaustive de résolution, nous pensons que la motivation pour la trouver sera nourrie par l envie de trouver les triangles manquants. Cependant nous pensons que les élèves ne trouveront pas seuls la procédure et qu ils auront besoin pour cela d une aide : leur donner un des côtés des triangles manquants. II. Déroulement de la séance Comme cette classe dispose d un matériel informatique unique : caméra reliée à un vidéo projecteur et deux télévisions, nous avons su tirer profit de ce matériel et l utiliser pour notre séance, ce qui a été très bénéfique pour les différentes phases. 3

5 Pour commencer nous avons fait une phase de découverte en utilisant un géo plan sur lequel nous avions représenté un triangle. Puis nous avons demandé aux élèves de reproduire sur un deuxième géo plan le même triangle mais orienté différemment. Pour vérifier si le triangle fait par les élèves était bien le même que celui que nous avions fait, nous avions préparé un calque avec le modèle. De cette manière en posant le calque sur le triangle fait par les élèves, un élève a pu montrer que les deux triangles étaient identiques. Nous avons ensuite demandé à deux autres élèves de reproduire ce triangle sur le géo plan mais de l orienter de deux manières différentes. Les quatre orientations de ce triangle ont donc été obtenues et visualisées par les élèves. Nous avons alors pu donner la consigne du problème : la feuille de recherche avec l énoncé a été distribuée. Un élève a lu la consigne une première fois à voix haute. Nous avons repris les termes compliqués de l énoncé pour les expliquer à la classe. Puis deux élèves ont reformulé la consigne. La phase de recherche individuelle a pu être lancée : pendant 5 minutes, les élèves ont dessiné tous les triangles qu ils ont trouvés sur leur feuille. Puis ils se sont mis en trinôme et ont mutualisé leurs solutions. Pour s accorder sur les différents triangles possibles, nous leur avons distribué une feuille de calque afin de s assurer qu ils n avaient pas plusieurs triangles identiques orientés différemment. Nous circulions dans les rangs. Lors de la mise en commun, un élève de chaque groupe est venu sous la caméra reproduire sur une feuille vierge un des triangles qu ils avaient trouvé. Un élève a mis en doute la proposition d un autre élève. Nous lui avons alors proposé de venir vérifier à la caméra avec du calque. Il s est ainsi rendu compte de son erreur. Les huit solutions ont finalement été trouvées. Nous avons alors émis un doute sur le fait qu ils avaient toutes les réponses : Et s il y en avait neuf ou plus? Pour vérifier cela, les élèves se sont lancés dans une deuxième phase de recherche en trinômes au cours de laquelle ils devaient trouver une procédure exhaustive qui leur permette de trouver les triangles manquants ou d être certain qu il n y en ait pas d autres. Voyant la motivation décliner, nous leur avons offert une aide. Dans un réseau pointé 3 x 3 reproduit au tableau, nous avons tracé le côté d un triangle et les élèves sont venus dessiner tous les triangles possédant ce côté. Puis nous leur avons demandé de réitérer l opération sur leur feuille en groupe avec un autre côté (plus petit). Les élèves se sont exécutés à la tâche. Après cinq minutes de recherche, 4

6 nous avons fait une seconde mise en commun, où les élèves ont complété le réseau 3x3 avec leurs résultats. Nous avons enfin tout synthétisé à l aide d une fiche que nous avions préparée et distribuée aux élèves. Sous la caméra nous avons complété la première partie de la fiche (visualisation de la procédure exhaustive). Puis nous avons interrogé les élèves sur la nature des différents triangles : ils nous ont donné les réponses à l oral que nous avons reportées à l écrit. III. Analyse a posteriori Nous pouvons analyser cette séance en deux grandes parties : Les points négatifs : ce qui a moins bien fonctionné Au cours de notre première mise en commun nous avons été très surprises que les élèves aient trouvé les huit possibilités de triangles. Nous avons été un peu prises de cours pour relancer la recherche de la procédure exhaustive. En effet la motivation devait être nourrie par la recherche des triangles manquants. Or plusieurs élèves étaient tout à fait convaincus de les avoir tous trouvé. Certains nous ont répondu que : - S il y en avait eu d autres je les aurais trouvés. - Il n y en a pas d autres puisque nous en avons tous trouvé huit. - Il n y en a que huit car nous n en avons corrigé que huit. Pour relancer leur intérêt, nous avons tenté de leur faire prendre conscience qu ils n avaient aucune preuve, mais nous n avons pas été assez convaincantes car nous n étions pas suffisamment persuadées de ce que nous affirmions. Le besoin de trouver cette preuve n a donc pas été très bien compris par les élèves ce qui explique leur manque de motivation lors de la deuxième phase de recherche. Lors de la démonstration de la procédure au tableau, nous avons omis de tester tous les cotés du réseau 3 x 3 en particulier la petite et la grande diagonale. Nous avons ainsi oublié de tester toutes les possibilités de troisième point à relier à ce côté. Et nous n avons donc pas montré l exhaustivité de la procédure. 5

7 Les points positifs : ce qui a bien fonctionné Notre phase d appropriation du problème a été claire et complète car aucun élève n a manifesté de difficultés à entrer dans le problème. Cela a été aidé par l explicitation des différents termes précis de la consigne et par l usage du papier calque pour lever tous les doutes quant à la possibilité d obtenir un même triangle orienté différemment. De plus suite à question d une élève lors de cette phase, nous avons mis en avant la possibilité que le côté d un triangle passe par 3 points alignés du réseau 3 x 3. Tout au long de la séance l utilisation du papier calque a été bénéfique en particulier lors de la phase d appropriation, de la phase de recherche en trinômes et pour la première mise en commun (vérification). En ce qui concerne cette première mise en commun, il a été intéressant de demander aux élèves de reconnaître et de mémoriser les triangles qui avaient déjà été donnés et de n en proposer qu un nouveau. Cela a nécessité une attention constante de leur part et une réflexion tout au long de la correction. IV. Les objectifs ont-ils été atteints? Nous avions trois objectifs spécifiques pour cette séance : Prendre conscience qu un même triangle peut avoir différentes orientations. Nous avons particulièrement insisté sur cet objectif lors de la phase de découverte et il nous semble rempli car les élèves n ont rencontré aucunes difficultés persistantes (ils ont bien compris comment vérifier à l aide du papier calque). Prendre conscience qu une procédure exhaustive permet de s assurer de toutes les possibilités de résolution d un même problème (contrairement à une procédure aléatoire). Nous pensons que cet objectif a été finalement bien compris à la fin de la séance mais les élèves ne semblaient pas entièrement convaincus de son utilité dans ce problème du fait qu ils avaient les huit réponses dès le départ. Et de notre côté, nous n avons sans doute pas assez insisté pour les convaincre du contraire. Coopérer pour la résolution d un problème en groupe. Dans l ensemble il y a eu une bonne coopération des élèves : chacun a pu s exprimer au sein du groupe en confrontant ses résultats avec ceux des autres. 6

8 V. Remédiation Si nous devions refaire cette séance nous insisterions beaucoup sur la nécessité d une preuve et au cours de la correction nous mettrions en valeur toutes les possibilités des côtés des triangles afin que les élèves comprennent vraiment ce qu est une procédure exhaustive. En effet nous avons bien insisté sur l idée d une procédure mais pas assez sur son exhaustivité. De plus nous laisserions les élèves chercher la nature des triangles individuellement à l écrit pour faire une mise en commun très rapide à l oral. VI. Analyse de productions d élèves Production de Colette : Dans le premier dessin, Colette a recopié l exemple construit au tableau par nous et des élèves, il y avait 4 possibilités de triangles. Puis elle a cherché avec son groupe, sur un deuxième réseau 3 x 3, les triangles dont l un des côtés relie deux points verticaux. Mais elle s est trompée ne reconnaissant pas deux triangles identiques orientés différemment. Elle obtient donc bien huit triangles mais avec un doublet, donc sept triangles différents. Production de Yanis 7

9 Le premier réseau correspond à la recherche personnelle de Yanis : il a représenté tous les triangles dans le même réseau. On peut supposer qu il a essayé d utiliser tous les points, de cette manière il croyait peut être avoir testé toutes les possibilités. De nombreux élèves ont procédé de la même manière pour commencer la recherche de la procédure. Production d Alix Dans le premier dessin, Alix a non seulement représenté tous les triangles dans le même réseau comme Yanis, mais elle a également testé toutes les orientations de tous les triangles. Sa procédure est juste puisqu elle a testé toutes les possibilités mais elle n est pas satisfaisante car il devient impossible de visualiser nettement quels sont les huit triangles différents. Dans les trois réseaux suivants, elle semble avoir tenté de trouver un moyen d être 8

10 plus synthétique pour rendre le dessin plus lisible. Cette production se rapproche le plus du résultat final à trouver. VII. Prolongements 1. Prolongement immédiat Comme réinvestissement ou approfondissement, on pourrait faire un exercice du même type autour du carré, dont la consigne serait : Sur un réseau pointé 4x4, trouver tous les carrés que l on peut tracer. Même question sur un réseau 5x5. 2. Travail autour des aires Calculer l aire de ces triangles : Pour les triangles à angles obtus, on expliquerait aux élèves qu il faut se servir de la hauteur en faisant le lien avec l aire des rectangles. Mesurer le périmètre de ces triangles et les comparer : Cela permettrait aux élèves de prendre conscience que des triangles de même aire peuvent avoir un périmètre différent et inversement. Conclusion Dans l ensemble nous sommes particulièrement satisfaites du résultat. Nous retenons tout de même quelques points à améliorer et prenons en compte les remarques pertinentes qui nous ont été faites. Comme le niveau de cette classe de CM2 était particulièrement élevé, nous trouverions intéressant de réitérer l expérience dans une autre classe de niveau moyen ou pourquoi pas dans une classe de CM1 de bon niveau pour confronter les différentes approches. 9

11 ANNEXES Fiche de préparation Fiche recherche vierge et productions d élèves Fiche synthèse et productions d élèves

12 Domaine : Mathématiques/Problèmes Niveau : CM2 Durée : env. 1h PROBLEME : TROUVER TOUTES LES SORTES DE TRIANGLES A L INTERIEUR D UN QUADRILLAGE PARTICULIER Programmes 2008 : Pré-requis : - Résoudre des problèmes de plus en plus complexes - Reconnaître les différentes natures de triangle - Reproduire un triangle à l aide d instruments Objectifs spécifiques : - prendre conscience qu un même triangle peut avoir différentes orientations - prendre conscience qu une procédure exhaustive permet de s assurer de toutes les possibilités de résolution d un même problème (contrairement à une procédure aléatoire) - coopérer pour la résolution d un problème en groupe Matériel : - géoplan + deux élastiques + papier calque avec le triangle choisi dessiné - 1 feuille A4 par élèves avec 12 grilles de 3x3 - ½ feuille de papier calque par groupe - 1 feuille de synthèse DEROULEMENT DE LA SEANCE 1. Phase de découverte : présentation du problème (10 min) Afficher le géoplan sur lequel est représenté un triangle. Demander à un élèves de venir reproduire ce même triangle mais orienté différemment. Insister sur le fait qu un même triangle peut avoir différentes orientations : vérification avec le papier calque. Distribution des feuilles A4 avec l énoncé du problème, lecture collective, reformulation par trois élèves. Insister sur la contrainte que les sommets doivent être trois points la grille. Proposer aux élèves qu il serait mieux de faire un type de triangle par grille pour plus de lisibilité (les douze ne signifiant pas qu il y a douze possibilités). 2. Phase de recherche : individuelle puis en trinôme ( min) Les élèves cherchent individuellement sans aide puis une fois en groupe de trois, ils disposent d un papier calque comme aide et moyen de vérification. 3. Mise en commun 1 : Collectif (10 min) Un rapporteur par groupe qui vient montrer à la caméra une proposition de triangle. Donc il y aura autant de passages à la caméra que de réponses trouvées par les élèves. Faire au tableau proprement tous les triangles proposés par les élèves afin qu ils puissent corriger. S il les élèves ont trouvé ou non toutes les possibilités (3 possibilités particulièrement compliquées à trouver) leur demander s ils sont sûrs d avoir trouvé toutes les possibilités. Si oui, leur demander de trouver une démarche qui montre que l on a toutes les possibilités. 4. Deuxième phase de recherche : par trinômes (5 + 5 min) Les élèves doivent trouver une procédure qui permet de s assurer que l on a trouvé toutes les possibilités. Tous d abord ils cherchent seul sans indication particulière. - S ils avaient trouvé en phase 3 toutes les possibilité on peut leur donner une indication après 5 min de recherche au sujet de la procédure. - S ils n avaient pas trouvé en phase 3 toutes les possibilités on leur donne une indication après 5 min de recherche : un des cotés du ou des triangle(s) manquant(s), ils devront alors explorer toutes les possibilités pour le troisième point manquant, apparaîtra alors la procédure attendue. 5. Mise en commun 2 : collectif (5 min) Les élèves qui ont trouvé viennent sous la caméra montrer leur résultat, les autres complètent leur fiche. 6. Synthèse : 10 min Distribution de la feuille de synthèse qui montre bien la procédure exhaustive. Faire à la caméra, les élèves complètent en même temps. Puis à l oral interroger les élèves sur la nature de chaque triangle Prolongement : le carré BILAN :

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