Hamid Belghazi, Mohammed El Ganaoui, Jean-Claude Labbé. To cite this version: HAL Id: hal

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1 Soluto aalytque du trasfert de chaleur statoare das u matérau hétérogèe e cotact mparfat soums à ue source de chaleur e mouvemet Hamd Belghaz, Mohammed El Gaaou, Jea-Claude Labbé To cte ths verso: Hamd Belghaz, Mohammed El Gaaou, Jea-Claude Labbé. Soluto aalytque du trasfert de chaleur statoare das u matérau hétérogèe e cotact mparfat soums à ue source de chaleur e mouvemet. Jea-Jacques BEZIAN. JITH 7, Aug 7, Alb, Frace. ENSTIMAC, 5p., 7. <hal-544> HAL Id: hal Submtted o 9 Aug 7 HAL s a mult-dscplary ope access archve for the depost ad dssemato of scetfc research documets, whether they are publshed or ot. The documets may come from teachg ad research sttutos Frace or abroad, or from publc or prvate research ceters. L archve ouverte plurdscplare HAL, est destée au dépôt et à la dffuso de documets scetfques de veau recherche, publés ou o, émaat des établssemets d esegemet et de recherche fraças ou étragers, des laboratores publcs ou prvés.

2 Mauscrt auteur, publé das "JITH 7, Alb : Frace (7)" 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque SOLUTION ANALYTIQUE DU TRANSFERT DE CHALEUR INSTATIONNAIRE DANS UN MATERIAU HETEROGENE EN CONTACT IMPARFAIT SOUMIS A UNE SOURCE DE CHALEUR EN MOUVEMENT Hamd BELGHAZI *, Mohamed EL GANAOUI, Jea-Claude LABBE Uversté de Lmoges, SPCTS-UMR 6638 CNRS, Faculté des Sceces et Techques. 3 Albert Thomas, 876 Lmoges Cedex - Frace. * hamd.belghaz@etu.ulm.fr hal-544, verso - 9 Aug 7 Résumé : Ue étude aalytque a été meée pour l obteto d ue soluto exacte du trasfert statoare de la chaleur das u matérau bcouche e cotact mparfat (dépôt/substrat), le dépôt hétérogèe est soums à u flux laser Gausse e mouvemet. La soluto obteue permet d ue part d accéder à la dstrbuto et l évoluto de la température das le bcouche, et d autre part de vsualser l fluece de la qualté du cotact sur le saut de température à l terface. La fabrcato de pstes électrques e cuvre sur u substrat e alume par balayage laser, est tratée à ttre d exemple d applcato das le domae des tratemets de surface. Ce modèle peut servr auss à l estmato de la Résstace Thermque de Cotact (RTC). Mots clés: aalytque, statoare, coducto de chaleur, RTC, matérau bcouche.. INTRODUCTION Malgré que la majorté des problèmes dustrels relatfs aux trasferts de chaleur sot résolus par des méthodes umérques, le beso e matère de solutos exactes das ce domae e cesse de gradr, et e partculer das le cas des matéraux compostes multcouches souvet recotrés das le domae de tratemets de surfaces (dépôt sur substrat). Das cette étude o se focalse sur l établssemet d ue soluto aalytque de trasmsso de chaleur das u matérau bcouche e cotact mparfat, soums à u flux laser cotu Gausse e mouvemet. Parm ces études trouvées e lttérature, Adaw et al [] ot obteu par la trasformée de Laplace ue soluto aalytque D, e cosdérat le substrat comme sem-f, le flux laser poctuel et fxe; doc la vtesse du balayage, le profle Gausse du fasceaux laser, as que la RTC et les pertes covectves aux les bords ot été pas prs e compte, ce qu rédut la valdté de ce modèle a des temps d teracto laser-matère très brefs. H. Sheh et al [] ot traté ce même type de problème e utlsat les foctos de Gree. F. de Mote a extrat des solutos e D et D par la méthode de séparato des varables. Egalemet e cotact parfat [3, 4]. Sauf das [5] ou l étude a été fate sous de ombreuses restrctos (les mêmes dffusvtés thermques, cas statoare). D autres solutos aalytques ot été doées par H. Salt [6], N. Ozs [7], Ozs et Mhalov [8], et par Jaeger et Carslaw [9].. PROBLEME PHYSIQUE ET FORMULATION O s téresse au trasfert de chaleur statoare das u matérau bcouche e cotact mparfat. Le mleu est rradé par u fasceau laser cotu Gausse (TEM ), amé d ue vtesse de balayage costate. E outre, das le cas de couches mces sur u substrat, Alb, Frace du 8 au 3 Août 7

3 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque ce modèle dot predre e cosdérato la trasmsso d ue porto de l éerge cdete drectemet au substrat (fgure ). Ce modèle pourra servr à l estmato du champ thermque das le bcouche, pour les cas pratques par exemple: la fabrcato de pstes électrques coductrces e cuvre sur u substrat e alume. Et auss à l estmato de la RTC par cofrotato des résultats modèle/expérece. Le problème étudé est schématsé das la fgure. Sas perte de gééraltés et pour alléger les calculs, l terface est stuée e y=. O pose θ = Tamb-T, avec = pour la couche supéreure et = pour la couche féreure. Les matéraux sot cosdérés homogèes et sotopes, leurs proprétés thermophysques costates. les coeffcets d échages covectfs sot costats, la représetato de la RTC reste uforme et costate tout au log de l terface. hal-544, verso - 9 Aug 7 Fgure : Schéma smplfé du problème. Fgure : Trasmsso d éerge laser aux matérau bcouche( dépôt de fable épasseur su u substrat). Ue porto du flux laser cdet est réfléche, (R.q ), ue autre proporto est absorbée par la premère couche et coverte e chaleur, (A.q ), et le reste ((-A -R ).q ) est trasms à la deuxème couche, et qu à so tour sut le même processus das la deuxème couche. Le modèle mathématque du problème physque étudé, est doé e coordoées cartésees comme sut: (avec =, pour la couche et ). θ q = θ + α t avec et. P q = A. P.exp( ( r vt) ). δ ( y a ) r ; = y = a et p π. r q A ε P r vt δ y.( )..exp( ( ) ). ( ) r () = () = où -a = y = (3) Les codtos aux lmtes et tales s écrvet : θ ± ( ) y=± a + hθ ( y = ± a, t) = y avec le sge (+) est valable pour =, et (-) pour =. (4) θ θ θ ( ) y= = ( ) y=, ( y =, t) θ( y =, t) = TCR ( ) y= θ (5) θ ( y, t = ) = T T ( y, t = ) (6) amb 3. EXTRACTION D UNE SOLUTION ANALYTIQUE La soluto aalytque obteue par la méthode de séparato des varables, les équatos c-dessus sot résolus e deux étapes, la premère cosste à résoudre les équatos homogèes (e posat q =), et as les valeurs propres sot asémet calculables, et par sute les foctos propres. Les solutos homogèes das les bcouche sot exprmées comme le Alb, Frace du 8 au 3 Août 7

4 hal-544, verso - 9 Aug 7 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque produt des foctos à ue seule varable la premère dépedat de l espace y et la deuxème du temps t. Les valeurs propres (λ, ) sot les races réelles postves autres que zéro, de l équato suvate: ( ) ( λ R + ) R( λ) + ( λ TCR) = λ λ avec R ( λ ) = h ta( a ) et les expressos de températures das le bcouche: H ad,, λ + h ta( λa ) λ λ λ α λ α = (7) θ ( y, t) = D C Y ( y) exp( λ α t), avec D = et ( ) ( α D = ) (8) α les termes o-homogèes q peuvet être exprmés sous forme de combasos léares des foctos propres, et par sute o trouve : sot S et S tel que: ' = φ ad, q D ( t) Y ( y) (9) a a ' ad, φ ad, () S = q Y ( y) dy = ( ( t) Y ( y)) dy ' ad, ad, D φ a a () S = ( q Y ( y)) dy = ( ( t) Y ( y)) dy les coeffcets N sot détermés e utlsat la relato d orthogoalté suvate : a ( ) ( ) () a N = Y y dy + Y y dy ad, ad, a ' φ ( t) = q Y ad, ( y) dy + ( q Y ad, ( y)) dy N D a ' φ ad, q ( y, t) = H ( y, t) + = D C exp(, t) Yad, ( y) + D ( t) Y ( y) θ θ λ α (4) pour smplfer o peut l écrre sous la forme: θ ( y, t) = D φ ( t) Yad, ( y) (5) où φ ( t ) est détermée à partr de la résoluto de l équato suvate: dφ ( ) ( ) t λ α + λ α α α ( ) ( ) ( t) dt,, ' φ t φ + = + (6) (3) t ( λ α + λ α ) α α φ ( t) = exp( ( )( t τ )).( + ) φ ( τ ) dτ,, ' D où les expressos fales de température das le bcouches : T ( y, t) = Tamb θ( y, t) (8) (7) 4. APPLICATIONS La comparaso de cette soluto aalytque D e dmesos fes avec celle obteue umérquemet das les même codtos (fgure.3) permet de tester la valdté de otre soluto. Les deux résultats cocordet, qualtatvemet et quattatvemet. Les résultats de la fgure 3, sot obteus sous les codtos suvates: Les matéraux choss sot cuvre /alume le fasceau laser est de type TEM A=%, h = W.m -.K -, RTC=.5-6 m.k.w -,P=3 W, r = mm, V=mm/s. Alb, Frace du 8 au 3 Août 7 3

5 h h a a W.m -. C - M 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque Table : codtos aux lmtes et épasseurs du bcouche. ρ c p hal-544, verso - 9 Aug 7 W.m -. C - g.m -3 J.g -. C - Cuvre (Cu) Alume (Al O 3 ) Table : proprétés thermophysques moyees des matéraux utlsés Fgure 3: Comparaso des résultats aalytques et umérques (e u pot) au cetre de la Gaussee, pour le couple cuvre/alume: A =%, h = W.m -.K -, RTC=,5-6 m.k.w -,P=3 W, r = mm, V=m m.s -, Tt=55 C. La fgure 4 llustre l évoluto de la température d u pot de la surface supéreure du bcouche, pour dfféretes valeurs de la vtesse de balayage laser (v=,.5 et 5 mm/s). O remarque que plus la vtesse est mportate plus le passage du fasceau laser est rapde doc le temps d teracto laser matère est court d où la température maxmale attete est mos mportate. O peut remarquer auss que les courbes sot décalées par rapport à l axe des temps, les courbes de température sot amplfées pour des vtesse fables. Sur la fgure 5 o peut remarquer que l augmetato de la pussace laser a pour effet ue traslato de la courbe de température vers le haut (vers des températures élevées). Fgure 4: Élovuto de la temperature du couple cuvre/alume, au pot T(y=a,t) pour dfféretes valeurs de la vtesse et sous les codtos suvates: RTC= -6 m.k.w -, Tt=3 C, P=5w, r=.5mm, A=., A=. Fgure 5: Élovuto de la temperature du couple cuvre/alume, au pot T(y=a,t) pour dfféretes valeurs de la pussace du laser et sous es codtos suvates: V= mm/s, RTC= -6 m.k.w -, Tt=3 C, r=.5mm, A=., A=. Alb, Frace du 8 au 3 Août 7 4

6 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque 5. CONCLUSION Ue soluto aalytque de coducto statoare de la chaleur das u matérau bcouche e cotact mparfat, a été élaborée e dmesos fs tout e preat e cosdérato ue source de chaleur e mouvemet, cette étude peut être asémet étedue à tros couches ou plus. Les résultats de cette étude, sot e bo accord avec ceux obteus umérquemet. Parm les domaes d applcatos, où ce modèle aalytque peut servr, o cte, le traçage de pste électroque (e cuvre) sur u substrat (e alume). E outre ce modèle aalytque paramétré par la RTC, est très utle à l estmato de la résstace thermque de cotact ( etre u splat de céramque sur u substrat métallque par exemple). NOMENCLATURE hal-544, verso - 9 Aug 7 a épasseur de la couche, m h coeffcet de trasfert de la couche, W.m -.K - coductvté thermque de la couche, W.m -.K - Cp capacté calorfque de la couche, J.g -.K - θ θ =T amb -T, K t temps, s T amb température ambate, K T t température ambate, K p pussace du laser du flux laser, W r rayo de la Gaussee à /e, m v vtesse de balayage laser, m.s - Remercemets : Ecole Doctorale STS de l Uversté de Lmoges. Référeces A coeffcet d absorpto de la couche RTC Résstace Thermque de Cotact, m.k.w - Y ad, foctos propres admesoelles symbols Grecques ρ masse volumque de la couche, g.m -3 λ, eme valeur propre suvat y, m - ε coeffcet de trasmsso de la couche dces dce de la couche ombre eter [] M. K. El-Adaw ad al, Laser heatg of two layer system wth costatt surface absorpto : a exact soluto, It. J. Heat Mass Trasfer Vol.38, pp , 995. [] A.Haj-Sheh, J. V. Bec, Temperature soluto mult-dmesoal mult-layer bodes, It. J. Heat Mass Trasfer, Vol.45, pp ,. [3] F. de Mote, Traset heat coducto oe-dmesoal composte slab. A atural aalytc approach, It. J. Heat Mass Trasfer, Vol. 43, pp ,. [4] F. de Mote, Usteady heat coducto two-dmesoal two slab-shaped regos. Exact closed-form soluto ad results, It. J. Heat Mass Trasfer, Vol. 46, pp , 3. [5] F. de Mote, Trasverse egeproblem of steady-state heat coducto for multdmesoal two-layered slabs wth automatc computato of egevalues, It. J. Heat Mass Trasfer, Vol. 47 pp 9, 983. [6] H. Salt, Traset coducto a two-dmesoal composte slab-., It. J. Heat Mass Trasfer Vol. 6, pp6-66, 983. [7] M. Necat Ozs Boudary Value Problem, Dover publcatos, INC., New yor. 989 [8] M. N. Özs, M. D. Mhalov, ufed aalyss ad solutos of heat ad mass dffuso, secod edto, A Wley-Iterscece. Alb, Frace du 8 au 3 Août 7 5

7 3èmes Jourées Iteratoales de Thermque [9] H. S. Carslaw ad J. C. Jeager, Coducto of heat solds, secod edto, Claredo press Oxford, pp , 993. hal-544, verso - 9 Aug 7 Alb, Frace du 8 au 3 Août 7 6