Fonctions polynômes du second degré Trinômes Résolutions d équations et d inéquations, factorisations et étude de trinômes

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1 Fonctions polynômes du second degré Trinômes Résolutions d équations et d inéquations, factorisations et étude de trinômes Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 1 Rappels : L équation (avec ) est dite équation du second degré à une inconnue. On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable solution de l'équation. Le réel tel que est le discriminant du trinôme. 1 er cas : L équation admet une solution double : 2 e cas : L équation admet deux solutions réelles distinctes : 3 e cas : L équation n admet aucune racine réelle. Résolvons l équation s écrit aussi Posons le discriminant du trinôme. Alors donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes et : 1

2 Les solutions de l équation se notent : * + Résolvons l équation Posons le discriminant du trinôme. Alors donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes et : Les solutions de l équation se notent : * + Résolvons l équation Posons le discriminant du trinôme. Alors donc le trinôme n admet aucune racine réelle. Les solutions de l équation se notent : Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen Résoudre dans l inéquation suivante : Correction de l exercice 2 Résolvons dans l inéquation : Commençons par étudier le signe de, et, discriminants respectifs des trinômes, et Remarque : Il est inutile de calculer le discriminant du trinôme puisque ce trinôme est facilement factorisable, à l aide de l identité remarquable. En effet :. / ( )( ) 2

3 Déterminons désormais les racines de chaque trinôme. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : donc le trinôme n admet aucune racine réelle. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Le trinôme a pour racines réelles distinctes : Dorénavant, factorisons chaque trinôme. Rappel : Factorisation d un trinôme Soit une fonction polynôme du second degré telle que. Si admet deux racines réelles distinctes et, alors, pour tout réel,. Si n admet pas de racine réelle, alors n est pas factorisable. admet deux racines réelles distinctes et De ce fait, est factorisable et n admet aucune racine réelle donc ce trinôme n est pas factorisable dans. admet deux racines réelles distinctes et De ce fait, est factorisable et Ainsi :. / ( )( ) 3

4 . / ( )( ) Etudions enfin le signe du quotient. / ( )( ) Pour ce faire, étudions le signe de chaque facteur suivant les valeurs de. Attention lors de l étude du signe de! Effectivement, est du signe contraire de. / ( )( ) Déterminons également le signe du trinôme. Rappel : Signe d un trinôme (n ayant aucune racine réelle) Soit une fonction polynôme du second degré telle que. Si n admet aucune racine réelle (cas où ), alors : [ ] (forme canonique du trinôme ) pour tout, est du signe de (c est-à-dire du coefficient du terme de degré 2) En effet, l expression entre crochets ci-dessus est positive. Le trinôme est donc positif, pour tout réel. En effet, le coefficient du terme de degré 2 est. 4

5 Tableau de signes : Les solutions de l inéquation ] [ [ ] ] [ sont notées : Exercice 3 (1 question) Niveau : difficile Déterminer pour que l équation admette deux solutions réelles distinctes comprises entre 1 et 5. Correction de l exercice 3 Soit l équation du second degré à une inconnue avec réel. Cette équation admet deux racines réelles distinctes si et seulement si le discriminant du trinôme est nul. Or, Donc, si, le trinôme admet deux racines réelles distinctes. Appelons-les et. On a alors :. 5

6 Si et sont comprises entre 1 et 5, alors : D une part, car et D autre part, car et Rappel : Signe d un trinôme (ayant deux racines réelles distinctes) Soit une fonction polynôme du second degré telle que. Si admet deux racines réelles distinctes et telles que, alors :. pour tout -, -,, et est du signe de pour tout -,, et est du signe de Ainsi, l équation admet deux solutions réelles comprises entre 1 et 5 si et seulement si : { { { Rappel : Somme et produit de racines Soit une fonction polynôme du second degré telle que. Si admet deux racines réelles distinctes et alors : Le produit des racines est : La somme des racines est : Or, Et Donc : { En conclusion, l équation si -,. { { { { admet deux solutions réelles comprises entre 1 et 5 si et seulement 6