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1 PHEC Correctio feuille d exercice correctio de l exercice. Loi de R : Il et évidet que R() [[; ]] (au mieux o pioche boule verte et doc boule rouge) et 8 [[; ]]; P (R ) 0 Juti catio du calcul : Pour le ca poible o choiit boule parmi le dipoible et pour le ca favorable, o choiit boule parmi le 0 boule rouge dipoible et le autre parmi le verte. La variable R uit doc la loi hypergéométrique H(; 0; ) et E(R) 0 : U calcul direct ou doe E(R ) X P (R ) X 0 : 8 7 ) V (R) E(R ) (E(R)) Loi de V : Il et évidet que V () [[0; ]] (o peut avoir 0 boule verte i l o pioche boule rouge) et 8 [[0; ]]; P (V ) 0 Juti catio du calcul : Pour le ca poible, o choiit boule parmi le dipoible et pour le ca favorable, o choiit boule parmi le boule verte dipoible et le autre parmi le 0 rouge. La variable V uit doc la loi hypergéométrique H(; ; ) et E(V ) : U calcul direct ou doe X X 0 E(V ) P (V ) 7 ) V (V ) E(V ) (E(V )) 7 7 Le variable V et R e ot pa idépedate puique P (R \ V 0) 0 (o e peut piocher boule dot rouge et 0 verte) et P (R )P (V 0) : 0 ) P (R \ V 0) P (R )P (V 0). O coidère l expériece E : " piocher ue boule da l ure coteat 0 boule rouge et boule verte ". Puique le tirage ot avec remie, le fait de piocher boule avec remie igi e que l o coidère expériece abolumet idetique à l expériece E; chaque expériece état idépedate de autre. Le variable R et V repréetet repectivemet le ombre réaliatio de l évèemet A : " obteir ue boule rouge " et de l évèemet B : " obteir ue boule verte ". La probabilité de réaliatio de l évèemet A état égale à 0 ; o e déduit que le variable R et V et celle de l évèemet B état égale à uivet repectivemet la loi biomiale B ; et B ; R() [[0; ]] et 8 [[0; ]]; P (R ) E(R) V (R) V () [[0; ]] et 8 [[0; ]]; P (V ) E(R) V (R) ; ce qui ou permet d écrire Le variable V et R e ot pa idépedate puique P (R 0 \ V 0) 0 (o e peut piocher boule dot 0 rouge et 0 verte) et P (R 0)P (V 0) 0 ) P (R 0\V 0) P (R 0)P (V 0) 0 0 /7 abdellah bechata

2 PHEC Correctio feuille d exercice Il et immédiat que X() [[; ]]: Pour calculer le probabilité correpodate, o coidère l évèemet R : "obteir ue boule rouge à la e pioche". P (X ) P (R ) 0 P (X ) P (R R ) P (R )P R (R ) 0 P (X ) P (R R R ) P (R )P R (R )P R R (R ) 0 7 P (X ) P (R R R R ) P (R )P R (R )P R R (R )P R R R (R ) 0 7 P (X ) P (R R R R R ) P (R )P R (R )P R R (R )P R R R (R )P R R R R (R ) P (X ) P (R R R R R R ) P (R )P R (R )P R R (R )P R R R (R )P R R R R (R )P R R R R R (R ) correctio de l exercice. O coidère l expériece E : " le cliet cotacte le ervice " aii que l évèemet A : " le cliet ubit u retard ". O coidère 8 expériece abolumet idetique à l expériece E, chaque expériece état idépedate de autre et X déige le ombre de uccè de l évèemet A. La probabilité de l évèemet A état égale à ; o e déduit que X uit la loi biomiale B 8; ; ce qui ou permet d écrire 8 X() [[0; 8]]; 8 [[0; 8]]; P (X ) E(X) 8 V (X) 8. Il et évidet que M() [[0; ]] et que 8 [[0; ]]; P (M ) 8 8 : 8 8 Juti catio du calcul : Pour le ca poible, o choiit cliet parmi le 8 électioé et pour le ca favorable, o choiit cliet parmi le cliet mécotet et le autre parmi le cliet atifait. Aii la variable M uit la loi hypergéométrique H(; ; 8), ce qui ou doe E(M) 8 : correctio de l exercice La variable X : O coidère l expériece E : " piocher ue boule da l ure coteat boule blache et 8 boule oire " aii que l évèemet A : " piocher ue boule blache ". O coidère expériece abolumet idetique à l expériece E; chaque expériece état idépedate de autre et X déige le ombre de réaliatio de l évèemet A. La probabilité de l évèemet A état égale à 0 ; o e déduit que X uit la loi biomiale B ; ; ce qui ou permet d écrire X () [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P (X ) E(X ) V (X ) Expreio de Y : O pioche X boule blache et, comme o pioche boule au total, X boule oire. Chaque boule blache fait gager poit, doc le X boule blache fot gager X poit, et chaque boule oire fait perdre poit, doc le X boule oire fot perdre ( X ) poit. Par coéquet, le ombre de poit obteu et égal à Y X ( X ) X : /7 abdellah bechata

3 PHEC Correctio feuille d exercice La variable Y : Puique X () [[0; ]]; o a : Y () f ; [[0; ]]g: Cet eemble état pa explicitable aiémet (car X () f ; + ; + 0; :::; ; g) o gardera cette otatio. 8 X (); P (X ) P (Y ) P Y + Remarquo que Y () alor il exite u etier q [[0; ]] tel que q ombre etier aturel. + + doc + + q et bie u correctio de l exercice La variable Y : O coidère l expériece E : " le puce aute d ue ou deux cae " aii que l évèemet A : " la puce aute d ue cae ". O coidère expériece abolumet idetique à l expériece E; chaque expériece état idépedate de autre et Y déige le ombre de réaliatio de l évèemet A. La probabilité de l évèemet A état égale à (la puce choiit au haard de auter d ue ou de deux cae), o e déduit que X uit la loi biomiale B ; ; ce qui ou permet d écrire Y () [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P (Y ) E(Y ) V (Y ) Expreio de X : La puce aute Y foi d ue cae et, comme elle e ectue aut au total, elle aute de deux cae Y foi. Chaque aut d ue cae permet à la puce d avacer... d ue cae (!!), doc le Y aut d ue cae lui permette d avacer de Y cae, et chaque aut de deux cae lui permettat d avacer... de deux cae (ic), doc le Y aut de deux cae lui permettet d avace de ( Y ) cae. Par coéquet, la puce avace de X Y + ( Y ) Y cae. La variable Y : Il et alor immédiat que E(X ) E( Y ) E(Y ) Puique Y () [[0; ]]; o a : X () f ; [[0; ]]g [[; ]] et V (X ) V ( Y ) ( ) V (Y ) 8 [[; ]]; P (X ) P ( Y ) P (Y ) correctio de l exercice. O coidère l expériece E : " lacer le dé D ". Puique le tirage ot avec remie, le fait de lacer foi le dé D igi e que l o coidère expériece abolumet idetique à l expériece E; chaque expériece état idépedate de autre. La variable X (i) repréete le ombre réaliatio de l évèemet A i : " la face obteue porte le uméro i ". La probabilité de réaliatio de l évèemet A (rep. A ; rep. A ) état égale à 7 (rep. 8 ; rep. ), o e déduit que la variable X() (rep. X () ; rep. X () ) uit la loi /7 abdellah bechata

4 PHEC Correctio feuille d exercice biomiale B ; 7 (rep. B ; 8 ; rep. B ; ); ce qui ou permet d écrire X () () [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P X () E(X () ) 7 7 X () () [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P E(X () ) 8 8 X () () [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P E(X () ) V (X () ) 7 X () 7 V (X () ) 8 X () V (X () ) L évèemet X () 0 \ X () 0 igi e que le face et e ot pa apparue lor de lacer doc le lacer ot doé uiquemet de face doc X () 0 \ X () 0 X () : Par coéquet, o a h i P X () 0 \ X () 0 P X () D autre part, o a doc P X () P X () 0 P X () 0 h i X () 0 \ X () 0 P X () 0 e ot pa idépedate. P X () ; ce qui implique que le variable X (). O ote G le gai du jeu. Il et immédiat que G X () X () + a X () poitif e moyee i et eulemet i E(G ) > 0, E, 7 X () X () + ax () > 0, E X () E X () + ae 8 + a > 0, (a 9) > 0, a 9 > 0, a > 9 et : Le gai du jeu et X () > 0 Aii, le gai moye du jeu et poitif i et eulemet a > 9, autremet dit, i chaque lacer fouriat le uméro rapporte au moi,8 euro. correctio de l exercice O coidère ue pièce telle que P (P ile) p ]0; [: O lace foi cette pièce. O ote T le ombre de pioche éceaire pour obteir le premier Pile. O coviet que T + i et eulemet i o a pa obteu de Pile durat le premièr lacer.. T () [[; + ]] (il faut au moi u lacer pour obteir le premier pile et au plu lacer, auf i l o obiet aucu pile et da ce ca T + ): E otat P l évèemet " obteir Pile au e lacer ", o a 8 [[; ]]; P (T ) P (P P P ) ( p) p P (T + ) P (P P ) ( p) + X X E(T ) P (T ) ( p) p + ( + )( p) /7 abdellah bechata

5 PHEC Correctio feuille d exercice ! 0 X x x + 0 X, x ( + )x + x + x ( x) 0 0 X X Puique x x et e choiiat x p; o e déduit que 0 X ( p) ( + )( p) + ( p) + p E(T ) p ( + )( p) + ( p) + p + ( + )( p) E utiliat le croiace comparée ( lim!+ q lim!+ q ); o e déduit que lim E(T ) p!+ p p : Iterprétatio : e laçat, a aucue limitatio, la pièce, o obtiet le premier pile au ( p )e tirage e moyee. correctio de l exercice 7. O itroduit l expériece E " appeller u correpodat " et l évèemet A : " obteir le correpodat ". La ecrétaire e ectue expériece idetique à l expériece E et X déige le ombre de réaliatio de l évèemet A doc X uit la loi biomiale B(; p); où p P (A). O a doc, e otat q q; X() [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P (X ) p q ; E(X) p; V (X) pq. (a) Il et évidet que la ecrétaire peut obteir au total etre 0 et correpodat doc Z() [[0; ]]: (b) Calcul de P (Z 0) : Puique X et Y ot de variable dot le valeur poible ot da [[0; ]]; o a immédiatemet P (Z 0) P (X + Y 0) P (X 0 \ Y 0) P (X 0)P (X0) (Y 0) q q q Juti catio de calcul de probabilité : P (X 0) : c et la quetio P (X0) (Y 0) : L évèemet (X 0) et réalié, doc la ecrétaire a obteu u correpodat à la première érie d appel et elle appelle le correpodat à la deuxième érie d appel, et l évèemet (Y 0) doit être réalié, c et-à-dire que la ecrétaire e cotacte aucu de correpodat lor de la deuxième érie d appel. Par coéquet, la ecrétaire appelle correpodat et elle e obtiet aucu. O et da la même co guratio que X 0; ce qui implique P (X0) (Y 0) q : Calcul de P (Z ) : : Puique X et Y ot de variable dot le valeur poible ot da [[0; ]]; o a immédiatemet P (Z ) P (X + Y ) P (X \ Y 0) + P (X 0 \ Y ) P (X )P (X) (Y 0) + P (X 0)P (X0) (Y ) pq q pq + pq pq ( + q) + [q ] p Juti catio de calcul de probabilité : P (X ) : c et la quetio P (X) (Y 0) : L évèemet (X ) et réalié, doc la ecrétaire a obteu u correpodat à la première érie d appel et elle appelle le autre correpodat à la deuxième érie d appel, et l évèemet (Y 0) doit être réalié, c et-à-dire que la ecrétaire e cotacte aucu correpodat lor de la deuxième érie d appel. Par coéquet, la ecrétaire appelle correpodat et elle e obtiet 0 doc P (X) (Y 0) q : P (X 0) : c et la quetio P (X0) (Y ) : L évèemet (X 0) et réalié, doc la ecrétaire a obteu u correpodat à la /7 abdellah bechata

6 PHEC Correctio feuille d exercice première érie d appel et elle appelle le correpodat à la deuxième érie d appel, et l évèemet (Y ) doit être réalié, c et-à-dire que la ecrétaire cotacte u correpodat lor de la deuxième érie d appel. Par coéquet, la ecrétaire appelle correpodat et elle e obtiet. O et da la même co guratio que X ; ce qui implique P (X0) (Y ) P (X ) pq (c) L évèemet (X ) et réalié, doc la ecrétaire a cotacté correpodat à la première érie d appel et elle appelle le autre, et o ouhaite la réaliatio de l évèemet (Y h); c et-àdire que la ecrétaire cotacte h correpodat à la ecode érie d appel. Autremet dit, la ecrétaire appelle correpodat et elle e obtiet h: O et clairemet da ue co guratio biomiale (o répète expériece idetique à l expériece E et o ouhaite h réaliatio de A) doc 8 [[0; ]]; 8h [[0; ]]; P (X) (Y h) p h q ( ) h p h q h h h Remarque : Etat doé que la ecrétaire appelle correpodat, elle pe peut cotacter plu de correpodat (ic), c et pour cette raio que l éocé coidère h [[0; ]]. Lorque h > ; la probabilité coditioelle P (X) (Y h) et ulle puiqu elle correpod à u évèemet impoible (obteir plu de correpodat que de peroe appelée) (d) Puique X et Y preet de valeur etre 0 et ; l égalité X +Y éceite que X 0, doc Y ; X ; doc Y ; X ; doc Y ; etc, juqu à X ; doc Y : Par coéquet, o a P (Z ) P (X + Y ) P (X 0 \ Y ) + P (X ) \ Y ) + P (X \ Y ) X P ((X ) \ (Y )): 0 (e) Calcul de P (Z ) : D aprè le quetio.c) et.d), o a P (Z ) X P ((X ) \ (Y )) 0 X P (X )P (X) (Y ) 0 X ) X p q p q ( ) 0 X X p q p q p q p q q : E utiliat la dé itio de combiatoire par le factorielle, o a 9!!( )! ( )! ( )!(( ) ( ))!! >!( )!( )!!!( )!!!( )!! ) >;!( )!( )! p C [p( + q)] (q ) p P (Z ) p q X : E utiliat le deux égalité précédete, o obtiet 0 X q p q 0 q O voit apparaitre ue belle formule du biôme avec a q et b doc p p q X 0 p q (q + ) q (q ) () X p q 0 p q + q q + p q q p q (q + ) [p(q + )] (q ) q /7 abdellah bechata

7 PHEC Correctio feuille d exercice (f) Puique q p, p q; o a p( + q) ( q)( + q) q doc Z() [[0; ]]; 8 [[0; ]]; P (Z ) q (q ) ce qui motre que Z uit la loi biomiale B(; q ) B(; p( p)) Remarque : o e déduit immédiatemet que E(Z) p( p) et, puique E(X) p; o obtiet que E(Z) E(X +Y ) E(X)+E(Y ), E(Y ) E(Z) E(X) p( p) p p( p ) p( p) E moyee, la ecrétaire obtiet p( p) correpodat. 7/7 abdellah bechata

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