LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

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1 TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; + contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On écrit : Enoncé nlogue pour dire que l suite tend vers - : pour tout nombre B,. Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Pour tout nombre A, il est possible de trouver un rng N, tel que, pour tout Pour l représenttion grphique des termes de l suite se situe u-dessus de l droite d éqution. Suites de référence définie pr vérifie définie pr vérifie Pour tout réel q>1, = Dém du 1 er cs : 2 / Suites croissntes non mjorées, suites décroissntes non minorées Propriété : 1. Si une suite est croissnte et non mjorée, lors elle tend vers + 2. Si une suite est décroissnte et non minorée, lors elle tend vers - Démonstrtions à connître : voir feuille nnee Eemple : Soit l suite définie pr Monotonie : 3 / une ite finie Définition : l désigne un nombre réel. Dire que pour ite l, signifie que tout intervlle ouvert contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On dit que l suite converge vers l, est convergente. On note : Remrques : 1. lorsque l suite converge vers l, l ite l est unique (voir eercice 20 pge 29) 2. Si une suite n est ps convergente, lors elle est divergente. Interpréttion grphique ( voir feuille de figures, fig 2 ) Eemples : 1. Les suites définies pr vérifient Eplictions pour :

2 TS-cours-chp Pour tout réel q tel que -1< q <1, = 3. Quelques eemples de suites divergentes :,, Propriété de convergence monotone ( propriété dmise ) 1. Toute suite croissnte et mjorée pr un réel A converge ( vers une ite inférieure ou égle à A ) 2. Toute suite décroissnte et minorée pr un réel B converge ( vers une ite supérieure ou égle à B ) Eemple Soit définie pr ( terme écrit vec n décimles égles à 1 ) Monotonie : Mjortion : Conclusion : II.. Suites djcentes Définition : On dit que deu suites et sont djcentes si l une est croissnte, l utre est décroissnte, et. Eemple : et Propriété : Si deu suites et sont djcentes, vec croissnte et décroissnte, lors : et convergent et ont l même ite ; de plus,. Dém de (1) pr l bsurde Supposons qu il eiste un entier tel que et posons,. ( suite feuille nnee, dém à connître ) III. Limite d une fonction f en + ou en - 1 / f tend vers l infini Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle du type [ 0 ; + [. Dire que f tend vers + en + signifie que tout intervlle [A ; +[, vec A réel, contient toutes les vleurs f() pour ssez grnd. On écrir : f() ou f On donne un énoncé nlogue pour f tendnt vers - en + :....

3 TS-cours-chp2-3 - Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Pour tout nombre A, il est possible de trouver un intervlle [ ; + [, tel que f() A pour tout pprtennt à [ ; + [. Sur [ ; + [, l représenttion grphique de f est u-dessus de l droite d éqution. Fonctions de référence Ces fonctions, définies sur R +, ²,, n, n entier nturel non nul, vérifient. 2 / Rppel : symptote oblique Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle du type [ 0 ; + [ ( respectivement du type ] - ; 0 ] ) dont l courbe est C dns un repère donné. Soit et b deu réels, non nul. Dire que l droite d éqution y = + b est symptote oblique à C en + ( respectivement en - ) signifie que ( respectivement ) f() peut s écrire sous l forme f() = + b + ) vec ) 0 Eemple : ( respectivement : f est l fonction définie sur R * pr f() = et s courbe est C. (observtion sur l écrn de l clcultrice ) Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Voir ussi feuille complémentire pour interpréttion grphique 3 / Limite finie en + ou en - Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle du type [ 0 ; + [ ; l désigne un nombre réel. Dire que f dmet pour ite l en + signifie que tout intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs f() pour ssez grnd. On écrir ( On donnerit un énoncé nlogue pour f tendnt vers l en - ) L courbe C représenttive de f dmet en + une symptote horizontle d éqution y = l. Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Pour r >0, il est possible de trouver un intervlle ] ; + [ tel que, pour tout pprtennt à cet intervlle, l - r < f() < l + r. Sur l intervlle ] ; + [, l courbe représenttive de f est située entre les droites d équtions y = l r et y = l + r Eemples 1. Les fonctions, définies sur ]0 ; + [, pr ; ; 1 1 ² 1 vérifient = 2 1 = ( ( - )² ) = ²

4 IV. Limite d une fonction f en un réel TS-cours-chp / Un eemple de ite finie en un réel ( à bien connître ) f définie sur R * pr f() = sin conjecture sur l ite de f en 0, à l ide de l écrn de clcultrice ( zooms successifs) et d un tbleu de vleurs, vec des ps de 0.1 puis 0.01 ) ( une démonstrtion ser fite en eercice) 2 / ite finie en un réel dns cette prtie, on considère des fonctions f définies sur un intervlle contennt ou de borne, du type ] ; [ ou ] ; [ Définition : nlogue à celle du II. 3 / en remplçnt pour ssez grnd pr pour ssez proche de Propriété ( dmise ) Si f est une fonction usuelle, définie en, f polynôme, rtionnelle, rcine crrée, cosinus, etc lors f dmet une ite en et Si f n est ps définie en, et si, pour, f() = g() où g est une fonction usuelle définie en, lors f dmet une ite en et Eemples f() = 3² + 4 1, définie sur ite en = 1 f() = 3 1 1, définie sur ite en = 2 f() = 3², définie sur ite en = 0 Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Pour tout nombre strictement positif e, il est possible de trouver un intervlle ]-r ; +r[ tel que, pour de cet intervlle, l e < f() < l +e. Sur l intervlle ]-r ; + r[ l courbe représenttive de f est située entre les droites d équtions y = l e et y = l + e Remrque : ite à guche, ite à droite On considèrer l restriction de f à l intervlle ]- ; [ et on étudie f() : ite à guche de f en ou l restriction de f à l intervlle ] ; + [ et on étudie f() : ite à droite de f en Eemple : f définie sur R, pr f() = : étude de l ite en 1 3 / f tend vers + ou - Définition f est une fonction définie u voisinge de ( ps nécessirement en ) Dire que f tend vers + qund tend vers signifie que tout intervlle [A ; + [ contient toutes les vleurs f() pour ssez proche de. On écrir f() ou f ( énoncé nlogue lorsque f tend vers - ) L courbe C, représenttive de f, dmet une symptote verticle d éqution =

5 TS-cours-chp2-5 - Interpréttion grphique (feuille nnee fig.. ) Pour tout nombre A, il est possible de trouver un intervlle ] - r ; + r[,tel que, pour tout, pprtennt à cet intervlle, f() A.Sur cet intervlle, l représenttion grphique de f est u-dessus de l droite d éqution y=a Fonction de référence L fonction f définie sur R * pr f() = 1 vérifie ² En effet, f() > A, A>0, dès que pprtient à l intervlle. ou L droite d éqution = 0 ( e.) est symptote verticle à l représenttion grphique de f u voisinge de 0 ( voir clcultrice ) llure de courbe : Eemples l droite d éqution l droite d éqution V.. Limites et comprison des suites et des fonctions Théorème des gendrmes pour les suites (1) Soit (u n ), (v n ), (w n ) trois suites vérifint, à prtir d un certin rng, u n v n w n Si (u n ) et (w n ) sont deu suites convergentes de même ite l, lors l suite (v n ) est convergente et s ite est l. Théorème des gendrmes pour les fonctions (2) Soit f, g et h trois fonctions vérifint, u voisinge de, f() g() h(), étnt soit un réel, soit +, soit -. Si f et h dmettent l même ite l lorsque tend vers, lors g dmet ussi l pour ite en. Eemple Soit g l fonction définie sur R * pr g() = sin ², étude de l ite de g en + Sur ]0 ; +[, encdrons g() : Démonstrtion du théorème (2), dns le cs où = +. ( Dém à connître) ( voir feuille nnee )

6 Théorème de mjortion ou de minortion Soit f et g deu fonctions vérifint, sur un intervlle [A ; + [, f() g() Si f() lors g() ( vec fini ou infini ) Si g() - lors f() - (énoncé nlogue vu en première pour les suites. Voir livre pge 15 ) TS-cours-chp2-6 - Eemple Soit f définie sur R, pr f() = + sin ; étude de l ite en -, pr comprison Pour tout, sin, donc f(). Propriété Soit l un réel, Si, pour ssez proche de, f() - l g() et si g() 0 lors f() = l Eemple Etude de l ite en + de l fonction définie pr f() = 1+ 1 VI.. Limites et opértions Les tbleu suivnts résument quelques résultts dmis, dns les cs de sommes, produits et quotients ; Dns chque cs, il s git des ites u même point, fini ou infini Dns les cs de formes indéterminées on peut être mené à modifier l forme de l epression pour essyer de conclure! Cs de l somme F.I. F.I. signifie : forme indéterminée, (on lèver l indétermintion) Cs du produit 0 0 F.I. F.I. Cs du quotient

7 VII. Limites et composées 1 / Limite d une fonction composée L fonction suivie de est notée o. Théorème (dmis) et sont : soit des réels, soit +, soit -. Si Schém «fléché» : TS-cours-chp2-7 - Eemples : 1. Etude de l ite de en -, où 2. Etude de l ite de en 0, où 2 / Composée d une suite et d une fonction Théorème ( dmis) et sont : soit des réels, soit +, soit -. est une suite et une fonction. Si Eemples : 1. L suite est définie pour pr ; étude de l ite de. On peut poser et 2. L suite est définie pour pr ; étude de l ite de. On peut poser et