AVRIL 2008 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

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1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 008 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Note : l épreuve est composée d exercices idépedats, ils peuvet être traités das u ordre idifféret. U barème idicatif est doé. Exercice 1 (3,5 poits) O cosidère l applicatio f de C das C qui à tout complexe z associe le complexe z tel que : z 1 = 3 ' + i z O pose : z 0 = 1, z 1 = f(z 0 ), z = f(z 1 ) et, de faço géérale, pour tout etier aturel : z +1 = f(z ). 1+ i 1) Calculer le module et u argumet du ombre complexe q = 3 ) Calculer z 1, z, z 3. O fourira les résultats sous forme algébrique et trigoométrique. 3) Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : E déduire le module et u argumet de z. z 1+ i = 3. 4) Pour quelles valeurs de l etier aturel, z est-il : a) réel? b) imagiaire pur? 5) Calculer la limite, quad ted vers l ifii, du module de z.

2 Exercice (3,5 poits) O défiit, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, l itégrale : I = 0 1! ( x) e 1) Calculer I 1. ) Etablir pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1 : 0 I! x dx ( e 1) 3) Motrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1 : I + 1 = I + 1 ( + 1)! 4) Démotrer par récurrece que e = I 1!!! 5) O pose, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1 : u =! a) Motrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 3 : u u 1 b) E déduire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 3, 0 u u3 6) E déduire la limite de la suite (u ) puis celle de la suite (I ). 7) Justifier efi que : e = lim !!! 3

3 Exercice 3 ( poits) La publicité d u ouveau véhicule automobile est axée sur sa logévité. L u des slogas publicitaires est «pas de grosse réparatio avat km». Le service des études techiques du costructeur a cepedat fouri au service commercial les probabilités d occurrece avat km des 5 grosses paes classiques, à partir de ses études de fiabilité. Pour les cardas cette probabilité est p 1 = 0,001, pour le moteur cette probabilité est p = 0,05, pour l embrayage elle est p 3 = 0,01, pour les freis o a trouvé p 4 = 0,013 et pour la boîte o a p 5 = 0,03. Quelle est la probabilité pour que le bac d essai des revues spécialisées de l automobile, ou des associatios de cosommateurs, pree à défaut la publicité de ce ouveau modèle, après étude d ue seule voiture? Exercice 4 ( poits) U test de culture géérale comportat 0 questios doit être passé par u cadidat à u poste d aget d admiistratio. Chaque questio vaut 1 poit et comporte 5 réposes possibles. Quelle est la probabilité qu u cadidat répodat totalemet au hasard obtiee strictemet plus de, sachat qu aucue péalité e frappe les mauvaises réposes. Exercice 5 (3 poits) Soiet t u réel, X u vecteur de R 3 de coordoées (x, y, z), et f t la foctio de R 3 das R 3 qui associe à tout vecteur X le vecteur de coordoées (x, y + tx, z + ty + ½ t x) 1) Doer la matrice F t de la foctio f t das la base caoique. ) Trouver la matrice J telle que F t = I + t J + ½ t J. I est la matrice idetité de R 3. 3) Motrer que l esemble des matrices F t mui du produit matriciel est u groupe commutatif. 4) Etudier la suite 1 S( t) = I + Ft +! F t F! 5) Doer les valeurs propres de F t et les vecteurs propres associés. t Exercice 6 (3 poits) Détermier les foctios f cotiues et dérivables qui vérifiet : b b a a + b ( a, b) R f ( t) dt = f ( a) + f ( b) + 4 f 6 Pour vous aider, vous êtes ivité à poser différetielle de type x F a x F( x) = f ( t) dt et à chercher à résoudre ue équatio 0 '' ' ( x) + α 1xF ( x) + α F( x) = α3 + α 4x + α5x

4 Exercice 7 (3 poits) Soit la foctio f ( x) = π / 0 (sit) x dt défiie pour tout x, réel positif 1) Motrer que la foctio f est ue foctio décroissate. ) O pose g(x) = x f(x) f(x-1). Motrer que g est périodique de période 1. 3) Calculer g(), état u etier aturel. 4) Doer u équivalet de f(), état u etier aturel. 5) E déduire que la foctio g est costate. 6) E déduire u équivalet de f(x) e +.

5 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 008 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 3 heures) Les cadidats traiterot au choix l u des trois sujets suivats. Sujet 1 Quelles sot les grades orietatios de la politique étragère des Etats africais? Vous essayerez de dégager les siges d ue voloté uitaire. Sujet Quels sot les ouveaux Cetres d impulsio écoomiques et les ouveaux flux (commerciaux et migratoires) apparus avec la Modialisatio? Sujet 3 Commetez cette phrase de l écrivai américai Samuel Hutigto das «Le choc des Civilisatios et la Refote de l ordre modial» 1996 : «Il est probable que les premières aées du 1è siècle voiet ue résurgece de la puissace et de la culture o occidetale aisi que le choc des peuples de civilisatios o occidetales avec l Occidet et etre eux».

6 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 008 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ÉCONOMIE (Durée de l épreuve : 4 heures) Le cadidat traitera au choix l u des deux sujets suivats. Sujet 1 Das quelle mesure l Etat peut-il iterveir pour souteir la croissace? Sujet MICROECONOMIE (10 poits) Exercices I Le Cosommateur et l offre de travail (6 poits) Soit le cosommateur A dot les préféreces sot représetées par la foctio d utilité : U( l, q ) = l 1/3 q 1/3 où l désige la quatité de loisir et q la quatité de bie cosommé. Le temps dispoible de ce cosommateur est de 4h, soit T = 4. Notos s le salaire et p le prix du bie de cosommatio.

7 1) Doez l équatio de la cotraite budgétaire de A. Tracez cette cotraite aisi que le vecteur de prix et iterprétez. ) Les préféreces du cosommateur sot-elles covexes? Iterprétez. 3) Doez le taux margial de substitutio de A. Iterprétez. 4) Ce cosommateur est e situatio de cocurrece parfaite. Qu itroduit-o alors comme hypothèses? 5) Calculez so choix optimal de cocurrece parfaite et représetez le graphiquemet sur le schéma précédet. Décrivez le type d arbitrage auquel se livre le cosommateur. Doez so offre de travail optimale. Commet iterpréter ce résultat? 6) Supposos désormais que le salaire s augmete. Décrivez sas calcul l effet de ce chagemet sur le choix optimal du cosommateur (vous décomposerez otammet cet effet e effet reveu et effet substitutio). Que peut-o dire de la forme de sa foctio d offre de travail? 7) Supposos désormais que A dispose d ue dotatio de survie otée q 0. Tracez, sur u ouveau schéma, so esemble de cosommatios possibles. Quel est alors so salaire de réserve? 8) Quelle forme de chômage permet d expliquer cette représetatio de l offre de travail e cocurrece parfaite? II Le producteur (4 poits) Soit u producteur e cocurrece parfaite dot la foctio de productio est : f(q 1, q ) = q 1/ 1/ 1 q Notos p, le prix de l output et p 1, p les prix respectifs des deux iputs. 1) Quelle est la ature des redemets d échelle? Iterprétez. ) Après e avoir rappelé la défiitio, calculez le taux margial de substitutio techique du producteur. 3) Doez l équatio du profit du producteur et calculez alors ses demades optimales d iputs e foctio des prix. Commet iterpréter ce résultat? Que peuto e déduire quad à l offre d output de ce producteur? 4) De maière plus géérale, quels problèmes pose la présece de redemets costats e cocurrece parfaite sur l offre d output?

8 MACROECONOMIE (10 poits) Exercice (4 poits) Soit ue écoomie à prix fixes formée de trois agets : Etat, etreprises et méages. La foctio de cosommatio est doée par : C = 0.6Y d + 00 où Y d est le reveu dispoible. La foctio d ivestissemet est doée par : I= i où i est le taux d itérêt. La foctio de demade de moaie est doée par : M d = 0.4Y 1000i Le iveau des taxes T est de 100, celui des dépeses publiques G de 00 et celui de l offre de moaie M de ) Iterprétez brièvemet les différetes foctios, aisi que leur ses de variatio. ) Tracez les courbes d équilibre du marché des bies et de la moaie. Calculez l équilibre global de cette écoomie. 3) Expliquez graphiquemet les effets d ue politique budgétaire expasioiste sur l équilibre global de cette écoomie. Précisez les mécaismes écoomiques à l œuvre. 4) Expliquez graphiquemet les effets d ue politique moétaire expasioiste sur l équilibre global. Précisez les mécaismes écoomiques à l œuvre. Questios (6 poits) I) La théorie de la valeur travail chez A. Smith. II) Le pricipe de la demade effective chez J. M. Keyes.

9 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 008 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ANALYSE D UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE (Durée de l épreuve : heures) O veut étudier l évolutio de la productivité horaire de l idustrie maufacturière de la Frace. O rappelle que la productivité horaire (dite «apparete») est égale à la valeur ajoutée par heure travaillée. Pour des comparaisos portat sur plusieurs aées, o part de la valeur ajoutée e prix costats (ici les prix de l aée 000). (a) Productivité horaire = (valeur ajoutée e volume) / (durée du travail x ombre d emplois) Le ombre d heures travaillées sera mesuré à partir de la durée auelle effective du travail des salariés et du ombre total d emplois de la brache. Ceci reviet à admettre que la durée du travail est idetique pour les salariés et les o-salariés. 1) A l aide des tableaux fouris e aexe, tracer sur 3 graphiques disticts l évolutio de 000 à 005 de la valeur ajoutée aux prix de 000, de la durée du travail, de l emploi de l esemble des braches. ) Pour les aées 001 à 005, calculer l idice de la productivité horaire de l esemble des braches sur la base 100 e 000. Tracer la courbe correspodate. 3) Graphiquemet, estimer l idice de productivité horaire de l aée ) E utilisat la méthode des moidres carrées, extrapoler la durée du travail e ) E vous référat à la défiitio (a), et das l hypothèse où la valeur ajoutée e volume augmete de,5% par a de 006 à 010, estimer le iveau de l emploi e ) Pour les aées 001 à 005, calculer l idice de la valeur ajoutée sur la base 100 e 000. Sur u même graphique, les préseter aisi que ceux de la productivité. Commeter. 7) Commeter les tableaux fouris e rédigeat u article d ue vigtaie de liges sur l évolutio de la valeur ajoutée par brache.

10 Ititulés DA Agriculture, sylviculture, pêche 36,6 35,6 37,4 31,7 38,1 35,9 35, DB Idustrie ( = EB à EG) 9,0 33,9 35, 39,5 4, 45,0 49,1 EB Idustries agricoles et alimetaires 6,5 5,5 5,9 7,7 7,9 8,1 8,8 EC Idustries des bies de cosommatio 36, 38, 38,3 37,7 37,3 38,0 38,6 ED Idustrie automobile 16,0 14,6 14,8 15,7 16,3 16,7 15,1 EE Idustries des bies d'équipemet 45, 46,4 45,8 46,0 48,1 49, 5, EF Idustries des bies itermédiaires 79,5 80,8 80,4 8,0 81,5 81,8 8,6 EG Eergie 5,6 8,4 30,0 30, 31,0 31,0 31,8 DH Costructio 66,6 68,9 68,0 67,4 68,5 70,8 7,8 DJ Services pricipalemet marchads ( = EJ à EP) 684, 697,4 708,4 7,1 741,3 757,1 774,5 EJ Commerce 135,7 138,3 138,6 139,7 140,6 14,9 144,5 EK Trasports 5,8 5, 53,3 53,7 56,5 57,4 58,8 EL Activités fiacières 66,4 64,8 66,1 70,5 71,9 74,1 75,3 EM Activités immobilières 158,8 164,7 165,6 168,0 174,0 177,3 18,3 EN Services aux etreprises 0,7 06,7 13,0 17,4 5,1 30,6 38, EP Services aux particuliers 67,9 70,6 71,8 73,0 73,6 75,4 75,8 DQ Services admiistrés ( = EQ à ER) 74,4 77,9 77,4 78,7 83,7 86,5 89,3 EQ Educatio, saté, actio sociale 169,4 17,3 174,5 174,7 178,5 179,5 180,6 ER Admiistratio 104,9 105,6 10,9 103,9 105, 106,9 108,7 TOTAL Esemble 1 90, ,6 1 36, , , ,7 1 4,5 Milliards d'euros 000 Tableau 1 : Valeur ajoutée par brache e volume (prix chaîés, base 000) Source : Comptes atioaux - Base 000, Isee Tableau - Durée auelle du travail des salariés par brache Ititulés DA Agriculture, sylviculture, pêche 1 567, , , , , ,5 DB Idustrie ( = EB à EG) 1 58, 1 557,1 1 55,5 1 54, 1 549, 1 545,7 EB Idustries agricoles et alimetaires 1 536,8 1 50, , , , 1 498,7 EC Idustries des bies de cosommatio 1 60, , 1 559, , ,7 1 57,5 ED Idustrie automobile 1 561, , 1 53, , , ,3 EE Idustries des bies d'équipemet 1 605, , , , , ,5 EF Idustries des bies itermédiaires 1 598, ,6 1 56,3 1 54, 1 555, ,6 EG Eergie 1 455,7 1 44, , , , ,0 DH Costructio 1 759, , , ,5 1 7, ,7 DJ Services pricipalemet marchads ( = EJ à EP) 1 55,8 1 50, 1 489, 1 480, ,6 1 49,9 EJ Commerce 1 546,7 1 53, , 1 490, ,3 1 50,3 EK Trasports 1 69, , , , ,3 1 64,6 EL Activités fiacières 1 508, 1 486, , , 1 491, ,8 EM Activités immobilières 1 584, , ,3 1 58, 1 600, ,3 EN Services aux etreprises 1 511,5 1 50, , ,5 1 51,1 1 50,9 EP Services aux particuliers 1 459, ,9 1 40, ,6 1 40, , DQ Services admiistrés (= EQ à ER) 1 336,0 1 35,1 1 73, 1 77, , ,1 EQ Educatio, saté, actio sociale 1 45,6 1 36,9 1 0,6 1 16,3 1 47,1 1 44,8 ER Admiistratio 1 494, , 1 407, ,9 1 43,3 1 49,7 TOTAL Esemble 1 490, , , , , ,9 Heures auelles par salarié Source : Comptes atioaux - Base 000, Isee

11 Tableau 3 - Emploi itérieur total par brache (Nombre de persoes) Ititulés DA Agriculture, sylviculture, pêche 961,1 945,3 98,3 91,3 905,6 891, DB Idustrie ( = EB à EG) 3 866, ,4 3 86, 3 737, , ,0 EB Idustries agricoles et alimetaires 567,8 570,9 577,8 580,5 567,0 558,8 EC Idustries des bies de cosommatio 66,0 651,8 60,9 596,1 567,5 540,8 ED Idustrie automobile 4,4 3,1 31,1 3,4 4,7 19,5 EE Idustries des bies d'équipemet 799,9 805,1 790,5 768,3 759,9 755,7 EF Idustries des bies itermédiaires 1 403, , , , ,0 1 69,7 EG Eergie 09, 05,7 05,3 00,1 0,7 03,4 DH Costructio 1 464, ,0 1 57, , , 1 604,7 DJ Services pricipalemet marchads ( = EJ à EP) 10 94, , , , , ,7 EJ Commerce 3 183,3 3 56,6 3 30,6 3 37, ,9 3 40,1 EK Trasports 1 054, , ,6 1 11, , ,4 EL Activités fiacières 78,5 744,8 763, 768, 763,8 765, EM Activités immobilières 5,3 49,6 54,6 56,5 58,3 66,9 EN Services aux etreprises 3 736, ,4 3 94, , , 3 988,7 EP Services aux particuliers 1 969,5 045, 119,7 158, 176,0 07,5 DQ Services admiistrés (= EQ à ER) 7 116, , ,1 7 10,3 7 49, ,0 EQ Educatio, saté, actio sociale 4 634, , , , , ,6 ER Admiistratio 481,5 446,9 364,7 363,8 383,9 395,4 TOTAL Esemble 4 33, , , , 4 976, ,6 Milliers de persoes Source : Comptes atioaux - Base 000, Isee Tableau 4 - Productivité horaire du travail par brache Ititulés DA Agriculture, sylviculture, pêche -,6-0,1 11,8-13,4 0,7-4,6 DB Idustrie ( = EB à EG) 6,3,8 4,5 4,,3 4,0 EB Idustries agricoles et alimetaires 0,7-3,8,5 5,5,5 3,5 EC Idustries des bies de cosommatio 13,6 8,5 6,5,9,1 7, ED Idustrie automobile 7,3-10,1,7 5,9 4,7 5,6 EE Idustries des bies d'équipemet 5,7 3,,8 3,5 3,6 3, EF Idustries des bies itermédiaires 6,1 1,5 4,5 5,0 0,9 4,0 EG Eergie 1,8 13,9 6,8,7 0,4-0,4 DH Costructio,9 1,9-0,9-0,8 -,4 1,1 DJ Services pricipalemet marchads ( = EJ à EP) 3,3-0,9,1,0 0,5,0 EJ Commerce 5,4 1, 0,0-0, -1, 1,9 EK Trasports 0, -5,7,5,,6 1,9 EL Activités fiacières 13,4-3,,7 5, -0,3 3, EM Activités immobilières 8, 1,8 1,0 1,6 1,4-0,8 EN Services aux etreprises -1,1-3,1 4,8 3,5 0,7 1,4 EP Services aux particuliers,4,1 1, 1,0-0,7 3,0 DQ Services admiistrés (= EQ à ER),1,1 3, -0,8-1, 0,5 EQ Educatio, saté, actio sociale, 1,7 1,5 -, -0,7 0,0 ER Admiistratio 1,8,8 6, 1,8 -,1 1,3 TOTAL Esemble 3,5 0,8 3,1 1, 0,7 1,7 Evolutio par rapport à l'aée précédete e % (Valeur Ajoutée / Volume d'heures travaillées) Source : Comptes atioaux - Base 000, Isee