COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE

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1 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE Février 2009 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 8 pages, y compris celle-ci. 1

2 Exercice 1 (10 points) Un acheteur hésite entre deux modèles de véhicules : le modèle A à et le modèle B à 15100, plus cher, mais qui consomme moins de carburant. 1) Il évalue la distance qu'il parcourt chaque année à km et considère qu'il parcourt la même distance chaque trimestre. Sachant que la consommation moyenne aux 100 km est de 9 litres pour le modèle A et de 7 litres pour le modèle B, montrer que la consommation trimestrielle est de 270 litres pour le modèle A, et de 210 litres pour le modèle B. 2) Pour pouvoir effectuer une évaluation de ses futures dépenses de carburant, il fait l'hypothèse que le prix du litre de carburant, actuellement de 1,530, va augmenter régulièrement de 3% par trimestre pendant les sept prochaines années. On note U n le prix en euros du litre de carburant, au cours du n-ième trimestre. On a ainsi U 1 = 1,530. a) Calculer les valeurs arrondies au millième de U 2 et U 3. b) Exprimer U n+1 en fonction de U n. En déduire la nature et la raison de la suite (U n ). 3) Pour faire ses calculs, l'acheteur a utilisé un tableur, et créé le tableau donné en annexe 1 (les valeurs de certaines cellules ont été masquées). Ce tableau complété est à remettre avec la copie. a) Compléter le tableau avec les valeurs des cellules B5 et B6 arrondies à 0,001. Donner la formule qui a pu être écrite en B5 et recopiée automatiquement jusqu'en B31. b) Compléter le tableau avec la valeur de la cellule D4. c) Compléter le tableau avec les valeurs des cellules E4, E5 et E6. Indiquer une procédure possible, pour obtenir, à l'aide du tableur, les valeurs des cellules de E5 à E31. 4) Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera le tableau de l'annexe 1 : a) Compte tenu du prix d'achat des véhicules et des dépenses de carburant, quel est le modèle le plus économique au bout de trois ans et demi? b) Au bout de combien de temps l'achat du modèle B s'avère-t-il être le plus économique? c) Quelle formule écrite en J4 et recopiée vers le bas permettrait-elle de répondre plus rapidement aux deux questions précédentes? Expliquer votre réponse. 2

3 NOM : Prénom : Annexe 1 A rendre complétée avec la copie Les valeurs inscrites dans la colonne B sont arrondies au millième, celles des colonnes D, E, G, H et J au centième. A B C D E F G H I J 1 Véhicule A Véhicule B 2 3 Trimestre Prix du litre de carburant ( ) Consommation Trimestrielle (litre) Dépenses trimestrielles de 270 Cumul des dépenses de Consommation Trimestrielle (litre) Dépenses trimestrielles de carburant ( ) 210 Cumul des dépenses de carburant ( ) 4 1 1, ,3 321, ,49 330,94 652, ,26 340,87 993, , , ,26 351, , , , ,20 361, , , , ,10 372, , , , ,36 383, , , , ,42 395, , , , ,73 407, , , , ,73 419, , , , ,90 431, , , , ,73 444, , , , ,71 458, , , , ,36 471, , , , ,21 486, , , , ,81 500, , , , ,71 515, , , , ,50 531, , , , ,78 546, , , , ,15 563, , , , ,26 580, , , , ,74 597, , , , ,29 615, , , , ,57 634, , , , ,32 653, , , , ,26 672, , , , ,15 692, , , , ,76 713, ,71 3

4 Exercice 2 (10 points) La distance d'arrêt d'une voiture est égale à la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur augmentée de la distance de freinage. Dans cette étude, on suppose que pour une voiture donnée et son conducteur : -la distance parcourue pendant le temps de réaction est fonction de la vitesse et dépend de deux états possibles du conducteur: conducteur en forme ou conducteur fatigué ; -la distance de freinage de la voiture est fonction de la vitesse et dépend de deux états possibles de la route: route sèche ou route mouillée. Les résultats demandés seront obtenus par lecture graphique, avec la précision permise par les graphiques donnés. Partie A: Etude de la distance parcourue pendant le temps de réaction en fonction de la vitesse. (Annexe 2) 1. La distance parcourue pendant le temps de réaction est-elle proportionnelle à la vitesse? Justifier la réponse. 2. Le conducteur en forme roule à 50 km/h. a) Quelle distance parcourt-il pendant son temps de réaction? b) Par combien, environ, est multipliée cette distance lorsque ce conducteur roule à 100 km/h? 3. Le conducteur fatigué parcourt 50 mètres pendant son temps de réaction. A quelle vitesse roule t-il? Partie B : Etude de la distance de freinage en fonction de la vitesse. (Annexe 3) 1. La distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse? Justifier la réponse. 2. Le conducteur roule à 50 km/h sur une route sèche. a) Quelle est sa distance de freinage? b) Par combien, environ, est multipliée cette distance lorsque le conducteur roule à 100 km/h? 3. Le conducteur roule à 130 km/h. Par combien, environ, est multipliée la distance de freinage entre un arrêt sur route sèche et un arrêt sur route mouillée? 4

5 Partie C : Etude de la distance d'arrêt en fonction de la vitesse. (Annexe 4) On rappelle que : La distance d'arrêt d'une voiture est égale à la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur augmentée de la distance de freinage. 1. Le conducteur en forme roule à 50 km/h sur une route sèche. a) En utilisant les résultats obtenus dans les parties A et B, donner sa distance d'arrêt. b) Comment utiliser le graphique donné en annexe 4, pour retrouver cette distance d'arrêt? 2. Le conducteur souhaite pouvoir s'arrêter, quel que soit son état et celui de la route, en moins de 100 mètres. A quelle vitesse maximum doit-il rouler? 5

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8 Première L Composition de mathématiques informatique Février

9 CORRECTION Exercice 1 1) Consommation annuelle pour le modèle A : Soit une consommation trimestrielle de : 1080 = 270 litres 4 = = 1080 Litres Consommation annuelle pour le modèle B : = = 840 Litres 100 Soit une consommation trimestrielle de : 840 = 210 litres 4 2) a) U 2 = 1,53 1,03 1,576 U 3 = 1,53 1,03 2 1,623 b) U n+1 = 1,03 U n La suite (U n ) est une suite géométrique de raison 1,03. 3) a) b) c) Trimestre Véhicule A Consommation trimestrielle (litre) 270 Dépenses trimestrielles de Cumul des dépenses de Véhicule B Consommation trimestrielle (litre) 210 Dépenses trimestrielles de Cumul des dépenses de Prix du litre de 1 1, ,10 413,10 321,30 321,30 2 1, ,49 838,59 330,94 652,24 3 1, , ,85 340,87 993,11 4 1, , ,26 351, ,20 5 1, , ,20 361, ,83 6 1, , ,10 372, ,30 Formule en B5 : = B4*1,03 Formule en E4 : = D4 Formule en E5 : = E4 + D5 Formule recopiée vers le bas 4) a) 3 ans et demi = = 14 trimestres Coût pour le véhicule A = ,36 = ,36 Coût pour le véhicule B = ,84 = ,84 Le véhicule A est le plus économique au bout de 3 ans et demi b) Au bout du 18 ème trimestre (soit 4 ans et demi) : Coût pour le véhicule A = ,50 = ,50 Coût pour le véhicule B = ,06 = ,06 c) Formule en J4 = H E4 On calcule la différence de coût total pour les 2 véhicules. On repère dans la colonne J quand cette différence devient négative pour la première fois. 9

10 CORRECTION Exercice 2 Partie A 1) La distance parcourue pendant le temps de réaction est proportionnelle à la vitesse car les représentations graphiques de l annexe 2 dont des droites passant par l origine du repère caractéristiques d une situation de proportionnalité. 2) a) A 50 km/h, le conducteur en forme parcourt une distance pendant son temps de réaction de 14 mètres environ (lecture sur le graphique de l ordonnée pour une abscisse de 50 sur la droite correspondant à un conducteur en forme) b) A 100 km/h, le conducteur en forme parcourt une distance pendant son temps de réaction de 28 mètres environ (lecture sur le graphique de l ordonnée pour une abscisse de 100 sur la droite correspondant à un conducteur en forme) La distance est multipliée par 2 3) Le conducteur fatigué parcourant 50 mètres pendant son temps de réaction roule à une vitesse de : 90 km/h (lecture sur le graphique de l abscisse pour une ordonnée de 50 sur la droite correspondant à un conducteur fatigué). Partie B 1) La distance de freinage n est pas proportionnelle à la vitesse car les deux courbes figurant sur l annexe 3 ne sont pas des droites passant par l origine. 2) a) A 50 km/h, sur route sèche la distance d arrêt est d environ 12 m (lecture sur le graphique de l annexe 3, de l ordonnée correspondant à une abscisse de 50 sur la courbe «route sèche»). b) A 100 km/h, sur route sèche la distance d arrêt est d environ 48 m La distance d arrêt entre 50 km/h et 100 km/h est multipliée par 4 (environ) 3) Sur route sèche, à 130 km/h la distance d arrêt est d environ 82 mètres. Sur route mouillée, à 130 km/h la distance d arrêt est d environ 163 mètres. La distance de freinage à 130 km/h entre un arrêt sur route sèche et un arrêt sur route mouillée est multipliée par (environ) Partie C 1) a) A 50 km/h, sur route sèche la distance d arrêt est environ : = 26 mètres. b) On additionne les ordonnées lues pour une vitesse de 50 km/h lues sur les deux courbes (distance de freinage sur route sèche et distance parcourue pendant le temps de réaction). 2) Pour s arrêter en moins de 100 mètres quel que soit son état et quel que soit l état de la route, on prend le plus pénalisant : conducteur fatigué + route mouillée. Pour une vitesse d environ 75 km/h, on lit une distance de freinage de 55 m et une distance parcourue pendant le temps de réaction de 42 mètres : soit au total une distance d arrêt de : = 97 mètres environ). 10