La fonction carré est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x 2

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1 Lcée JANSON DE SAILLY I FONCTION CARRÉ DÉFINITION La fonction carré est la fonction définie pour tout réel par f)= 2 PROPRIÉTÉS Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel, on a 2 0. Un nombre et son opposé ont le même carré. Pour tout réel, on a 2 = ) 2. 2 VARIATIONS DE LA FONCTION CARRÉ La fonction carré définie pour tout réel par f) = 2 est décroissante sur ] ;0] et croissante sur [0; + [ TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION CARRÉ 0 + f) 0 DÉMONSTRATION Soient a et b deu réels et f la fonction définie pour tout réel par f)= 2. fa) fb)= a 2 b 2 =a b)a+b) Si a<b 0 : a<b a b<0 et a<b 0 a+b<0 donc fa) fb)>0 Ainsi, sur l intervalle ] ;0] si a<b, alors fa) > fb). La fonction carré est strictement décroissante sur ] ;0]. Si 0 a<b : a<b a b<0 et 0 a<b a+b>0 donc fa) fb)<0 Ainsi, sur l intervalle [0;+ [ si a<b, alors fa) < fb). La fonction carré est strictement croissante sur [0;+ [. CONSÉQUENCES Deu nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l ordre contraire. Si a b 0 alors a 2 b 2 Deu nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0 a b alors a 2 b 2 EXEMPLE Déterminer un encadrement de 2 pour 3 2. La fonction carré f n est pas monotone sur l intervalle [ 3; 2]. f est décroissante sur [ 3; 0] et croissante sur [0; 2]. A. YALLOUZ Page sur 8

2 Lcée JANSON DE SAILLY Si 3 0 alors Si 0 2 alors 0 2 f) 0 D après les variations de la fonction carré, si 3 2 alors COURBE REPRÉSENTATIVE La courbe représentative de la fonction carré f définie sur Ê par f) = 2 est la parabole P d équation = 2. 0 P = REMARQUE : Si 0 a alors a 2 a. Sur l intervalle [0;], la parabole P d équation = 2 est au dessous de la droite D d équation =. ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ÉQUATIONS 2 = AVEC RÉEL Si <0, comme un carré est positif, l équation 2 = n a pas de solution. Si =0, l équation 2 = 0 a pour unique solution =0 Si >0, résoudre l équation 2 =, revient à résoudre l équation 2 =0 On obtient les deu solutions = ou =. + ) ) = 0. A. YALLOUZ Page 2 sur 8

3 Lcée JANSON DE SAILLY < 0 =0 > = n a pas de solution 2 = 0 a pour unique solution 0 2 = a deu solutions ou INÉQUATIONS 2 OU 2 AVEC RÉEL Résoudre une inéquation 2 ou 2 avec réel revient à étudier le signe de 2. <0 > L inéquation 2 n a pas de solution : S= L inéquation 2 est toujours vraie : S=Ê L inéquation 2 a pour ensemble solution : [ S= ; ] L inéquation 2 a pour ensemble solution : ] S= ; ] [ [ ;+ EXEMPLE Résoudre dans Ê l inéquation 2 > 9. Pour tout réel, 2 > 9 2 9>0 +3) 3)>0 Étudions le signe du produit + 3) 3) à l aide d un tableau de signe. A. YALLOUZ Page 3 sur 8

4 Lcée JANSON DE SAILLY ) 3) L ensemble des solutions de l inéquation 2 > 9 est S=] ; 3[ ]3;+ [. A. YALLOUZ Page sur 8

5 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE Trouver l erreur dans le raisonnement suivant : «Pour tout nombre réel, +. D où +) 2 2 Soit en développant On en déduit que 2+ 0 soit 2 et donc finalement que tout nombre réel est plus grand que 2.» EXERCICE 2 f est la fonction carré définie pour tout réel par f)= 2. Sa courbe représentative est la parabolep) tracée ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal P) Calculer les images des réels : 6, 2, 0 2 et 2. Quels sont les antécédents éventuels de 2? Soit g la fonction affine définie pour tout réel par g)= a) Tracer dans le repère précédent, la courbe D représentative de la fonction g. b) Lire graphiquement, les solutions de l équation f) = g). c) En déduire une factorisation de E)= EXERCICE 3 Recopier et compléter les égalités suivantes : A =+) 2 B. 2 = 2 2) C = + 2) 3 2 D = 2) [ E =2 F = 3 G. ] + ) 2 [ + ) = [ ] + ) 2 2 H = ] [ ] ) 2 A. YALLOUZ Page 5 sur 8

6 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE Soit un nombre réel.. L affirmation «Si 2 9 alors 3» est-elle vraie? 2. Écrire une proposition équivalente à : 2 9. EXERCICE 5. Résoudre dans Ê l équation 3) 2 = Résoudre dans Ê l inéquation 2) 2 9. EXERCICE 6 Soit un réel de l intervalle [ 0,5;3].. Donner un encadrement de 2 puis de 2 2. a) Montrer que pour tout réel, 2 = 2) 2. b) En déduire un deuième encadrement de 2. EXERCICE 7 f est la fonction carré définie pour tout réel par f)= 2. Sa courbe représentative est la parabole P) tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. P) Calculer les images des réels : 0 3) 3, 2 et Quels sont les antécédents éventuels de 20? 3. Le point A3,6; 3) appartient-il à la parabole P)?. Soit a un réel tel que : 3 a 2. Déterminer un encadrement de a Soit g la fonction affine telle que g 3)= 8 et g5)=6. a) Déterminer l epression de de g) en fonction de. b) Tracer la courbe D g représentative de la fonction g dans le repère précédent. A. YALLOUZ Page 6 sur 8

7 Lcée JANSON DE SAILLY 6. a) Montrer que f) g)= + 9 ) 3). 2 b) Résoudre dans Ê l inéquation f) g). c) Calculer les coordonnées des points d intersection de la droite D g avec la parabole P). EXERCICE 8 f est la fonction carré définie pour tout réel par f)= 2. Sa courbe représentative P) est tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. 28 P) PARTIE A. Calculer les images des réels : 2. Quels sont les antécédents éventuels de 2? 5) ) 6, 3 ), 0 3 et 3. Placer dans le repère précédent le point A de coordonnées A Le point A appartient-il à la parabole P)? ;20 ).. Résoudre dans l ensemble des réels l inéquation f) Soit a un réel tel que : 3 a 0,. Déterminer un encadrement de a2. 6. Si ] ;0 2], à quel intervalle appartient f)? PARTIE B Soit g la fonction affine telle que g 6)=6 et g2)=26.. a) Déterminer l epression de de g) en fonction de. b) Tracer la courbe D g représentative de la fonction g dans le repère précédent. 2. Calculer les coordonnées des points d intersection de la droite D g avec la parabole P). 3. Résoudre dans Ê l inéquation f) g). A. YALLOUZ Page 7 sur 8

8 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 9 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=9cm et AC= 5 cm. B G et D sont deu points du segment [CA] tels que CG=GD. On construit les rectangles ADEF et DGHI comme indiqué sur la E figure. On pose alors CG=GD= avec 0<<7,5. Le but de l eercice est de trouver les valeurs de pour lesquelles I H les aires des rectangles DGHI et ADEF sont égales. A D G C. a) Eprimer GH en fonction de. En déduire l aire en cm 2 du rectangle DGHI en fonction de. b) Eprimer ED en fonction de. En déduire l aire en cm 2 du rectangle ADEF en fonction de. 2. Résoudre alors le problème. EXERCICE 0 Le plan est muni d un repère orthonormal ) O; i, j. On considère les points A ; 2), B7;) et le cercle C de diamètre AB. B. Calculer les coordonnées du centre I du cercle C. 2. Calculer le raon r du cercle C. 3. Déterminer les abscisses des points M; 5) appartenant au cercle C. C A j O i I EXERCICE A P B C D a c 0 d b Soient a, b, c et d les abscisses respectives de quatre points distincts A, B, C et D de la parabole P d équation = 2. Quelle condition les réels a, b, c et d doivent-ils vérifier pour que les droites AB) et CD) soient parallèles? A. YALLOUZ Page 8 sur 8

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