Technique de décision statistique/ Arbre de décision. Cours 8. Sections 7 et 8

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1 Technique de décision statistique/ Cours 8 Sections 7 et 8 Chapitres 4 et 5 du codex «Technique de décision statistique avec information additionnelle» 1

2 Plan du cours 8 Synthèse de la méthodologie d analyse Bayesienne Application de statistiques bayesiennes Normes graphiques Méthode de résolution Relation entre statistiques Bayesiennes et arbre de décision 2

3 Introduction Les statistiques Bayesiennes et les arbres de décision peuvent être utilisés séparément. Par contre, il peut être avantageux de les combiner pour mieux représenter une situation. Nous verrons les liens intimes entre ces deux outils d aide à la décision. 3

4 Résumé des probabilités Probabilités Approche: Objective Subjective (Faits) (Intuition) Classique (A priori) (Connaissance/déduction) Empirique (Observations) Présentation: Diagramme de Venn Table de contingence Type de Simples/Marginales Conjointes Conditionnelles probabilités (Un événement dans (Combinaison d'événement l'espace d'échantillonnage) dans l'espace d'échantillonnage) Règle Règle de Théorème de Bayes d'addition multiplication P(A ou B) = P(Bj/A) = Général. P(A) + P(B) - P(A et B) Indépendance Dépendance P(A/Bj)*P(Bj)/SP(A/Bi)*P(Bi) Mut. Excl. P(A) + P(B) P(A/B) = P(A) P(A et B) = Collectivement exhaustives P(B/A) = P(B) P(A/B) * P(B) et mutuellement exclusives P(A et B) = P(A) * P(B) P(A) = ΣP(A et Bi) P(A) = ΣP(A) * P(Bi) P(A) = ΣP(A/Bi) Bi exclusifs et exhaustifs Synthèse: 0 P(Ei) 1 Complément P(Ã) = 1-P(A) Général. P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B) Mut. excl. P(A ou B) = P(A) + P(B) Mut. excl./col. exhaust. ΣP(Bi) = 1 Indépendants P(A et B) = P(A) * P(B) Dépendants P(A et B) = P(A/B) * P(B) = P(B/A) * P(A) 4

5 Statistiques Bayesiennes Pour tenir compte des informations additionnelles dans le cas des calculs des probabilités, nous faisons appel aux statistiques Bayesiennes. Elle sont caractérisées par l ajustement des probabilités connues a priori par des probabilités comprenant plus d information, les probabilités a posteriori. L information additionnelle peut provenir de déductions, d études supplémentaires, de sondage, etc. 5

6 6 ING Analyse de Faisabilité Théorème de Bayes Pour n scénarios (états de la nature) mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs: S 1, S 2, S 3,, S n, dont on connaît les probabilités a priori, où l on ajoute de l information supplémentaire (indicateur), X, le théorème de Bayes est le suivant: = = = n i i i i i i S P S X P X P X S P X P X et S P X S P 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Avec P(X) 0 et discrète.

7 Théorème de Bayes Définition des variables: S i : Les scénarios (états de la nature). P(S i ): Les probabilités a priori des divers scénarios (la somme des P(S i ) = 1). P(X S i ): La probabilité conditionnelle d obtenir l indicateur X sachant que le scénario soit S i. P(X S i ) P(S i ): La probabilité conjointe d obtenir X et S i (la somme de P(X S i ) P(S i ) = P(X), la probabilité d obtenir le résultat X de l indicateur). P(S i X): La probabilité a posteriori d obtenir l;e scénario S i sachant que l indicateur a fourni le résultat X. 7

8 Statistiques Bayesiennes Forme tabulaire: En pratique, les analyse Bayesiennes sont réalisées par l entremise d un tableau standard. (1) (2) (3) (4) = (2)*(3) (5) = (4)/Σ(4) Scénario Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori S 1 P(S 1 ) P(X S 1 ) P(X S 1 )P(S1) P(X S 1 )P(S1)/P(X) S 2 P(S 2 ) P(X S 2 ) P(X S 2 )P(S2) P(X S 2 )P(S2)/P(X) S i P(S i ) P(X S i ) P(X S i )P(Si) P(X S i )P(Si)/P(X) S n P(S n ) P(X S n ) P(X S n )P(Sn) P(X S n )P(Sn)/P(X) ΣP(Si) = 1 ΣP(X Si)P(Si) = P(X) ΣP(Si X) = 1 8

9 Statistiques Bayesiennes Méthodologie d analyse Bayesienne: Avec l'information de base: Lister tous les scénarios Évaluer leur probabilité a priori Lister tous les choix à faire Établir la table des gains en fonction des décisions et des scénarios Calculer le gain espéré a priori Avec l'information additionnelle: Calculer les probabilités a posteriori pour chaque prédiction Calculer le gain a posteriori pour chaque prédiction (décision) En assumant que le scénario i se présentera: Faire le meilleur choix en fonction de ce scénario i Calculer le gain espéré a posteriori Déduire la valeur de l'information 9

10 Exemple: Statistiques Bayesiennes S 1 : Les réglages de l équipement sont bien faits. S 2 : Les réglages ne sont pas bien faits. P(S 1 ) = 0.8 P(S 2 ) = = 0.2 X: L événement: il y a défaut dans l échantillon. Quand les réglages sont bien faits: 5% de défauts. Quand les réglages sont mal faits: 25% de défauts. Quelle est la probabilité que les réglages soient bien faits quand on trouve un défaut dans l échantillon? P(S 1 X) =? 10

11 Statistiques Bayesiennes Exemple: (1) (2) (3) (4) = (2)*(3) (5) = (4)/Σ(4) Scénario S i Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori S i P(Si) P(X S i ) P(X S i )P(Si) P(X S i )P(Si)/P(X) S 1 =Bien fait S 2 =Mal fait ΣP(Si) = 1 P(X) = 0.09 ΣP(Si X) = 1 Sachant qu il y a eu un défaut, la probabilité que les réglages soient bien faits est de 44.4% 11

12 Statistiques Bayesiennes Exemple: Un investissement peut générer les valeurs présentes suivantes sont l état de la nature: S 1 : VP = et S 2 = P(S 1 ) = 0.40 et P(S 2 ) = 0.60 La décision consiste investir ou pas. En investissant, la valeur espérée a priori est de: E(R) = 0.40 (6 000) (-4 000) = 0 Supposons qu en n investissant pas, le résultat est aussi nul. Il pourrait être intéressant d investir en connaissant mieux l avenir (probabilité de S 1 ). 12

13 Statistiques Bayesiennes Exemple: En connaissant l avenir, il serait possible de décider d investir si le scénario S 1 était prévu (+6 000$) et de ne pas investir si le scénario S 2 était prévu (0$). L information additionnelle est la suivante: X 1 : Prévision du scénario S 1 La probabilité de bien prédire ce scénario est de 80% X 2 : Prévision du scénario S 2 La probabilité de bien prédire ce scénario est de 60% Donc, P(S 1 ) = 0.40 P(S 2 ) = 0.60 P(X 1 S 1 ) = 0.80 et P(X 2 S 1 ) = 1 - P(X 1 S 1 ) = 0.20 P(X 2 S 2 ) = 0.60 et P(X 1 S 2 ) = 1 - P(X 2 S 2 ) =

14 Statistiques Bayesiennes Exemple: Si l indicateur prévoit X 1, nous trouvons: (1) (2) (3) (4) = (2)*(3) (5) = (4)/Σ(4) Scénario S i Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori S i P(Si) P(X 1 S i ) P(X 1 S i )P(Si) P(X 1 S i )P(Si)/P(X 1 ) S 1 =Favorable S 2 =Défavorable ΣP(Si) = 1 P(X 1 ) = 0.56 ΣP(Si X 1 ) = 1 Donc, si l indicateur prévoit un environnement favorable (X 1 ) et qu on décide d investir, la valeur espérée sera la suivante: E(R X 1 ) = 0.57 (6 000) (-4 000) = $ 14

15 Exemple: Si l indicateur prévoit X 2, nous trouvons: Statistiques Bayesiennes (1) (2) (3) (4) = (2)*(3) (5) = (4)/Σ(4) Scénario S i Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori S i P(Si) P(X 2 S i ) P(X 2 S i )P(Si) P(X 2 S i )P(Si)/P(X 2 ) S 1 =Favorable S 2 =Défavorable ΣP(Si) = 1 P(X 2 ) = 0.44 ΣP(Si X 2 ) = 1 Donc, si l indicateur prévoit un environnement défavorable (X 2 ) et qu on décide d investir, la valeur espérée sera la suivante: E(R X 2 ) = (6 000) (-4 000) = $ Dans ce cas, il sera préférable de ne pas investir. 15

16 Statistiques Bayesiennes Exemple: Enfin, en ayant une indication supplémentaire sur l état de la nature, nous prenons les décisions les plus avantageuses pour avoir le rendement suivant: E(R X i ) = 1 714, si X = X 1 0, si X = X 2 Ce qui génère une valeur espérée de: E(R IP) = 0.56 (1 714) (0) = 960$ VPPÉ = E(R IP) - E(R) Valeur Prévue Provenant de l Échantillon = Valeur espérée avec information Parfaite Valeur prévue a priori Valeur espérée a posteriori valeur prévue a priori 16

17 Statistiques Bayesiennes Valeur Prévue provenant de l Échantillon: VPPÉ = E(R IP) - E(R) E(R IP) = P(S i ) * max[contribution(a 1, A 2,,A j,, A m S i ] E(R IP) : Contribution espérée en ayant l information parfaite. E(R) : Contribution espérée (sans information add.)é P(S i ): Probabilité du scénario S i. A j : Choix ou décision j Contribution(A j S i ]: Valeur de la décision j dans le scénario i. max[contribution(a 1, A 2,,A j,, A m S i ]: Meilleure décision à prendre selon S i. 17

18 Souvent, une décision actuelle influencera celles à venir, car ces dernières devront être prises dans le contexte qui sera l héritage des décisions passées. L utilisation des arbres de décision s avère un moyen très efficace pour représenter l interaction dans une séquence de décisions. Sa simple construction exige une compréhension des décisions à venir, ce qui est déjà un avantage important. Sa résolution permet de trouver l optimum. 18

19 Définition: Un diagramme illustrant toutes les conséquences des différentes décisions selon les états de la nature. L arbre de décision n est pas un outil prescriptif, il contribue toutefois établir les décisions. On y représente seulement les actions et les décisions qui ont une importance. On suppose qu il n y aura pas de changement suffisamment important pour modifier la structure de l arbre de décision. 19

20 Il existe deux types d arbre de décision: Déterministes Dans ce cas, la séquence de décisions est prise dans un contexte de certitude. L arbre structure et illustre bien les conséquences. Probabilistes Ici, en plus des décisions il y a des événements aléatoires dont on peut estimer les probabilités. L arbre est d autant plus utile dans ce cas. 20

21 Exemple déterministe: Remplacement Il est prévu de réévaluer la situation à chaque trois ans quant à l opportunité de remplacer une machine. Vieille Vieille Vieille 4M$/an 3.5M$/an 3M$/an Déc. 3 ans Déc, 3 ans Déc. 3 ans 1-0.8M$ 2-1M$ 3-2M$ Neuve 5M$/an 9 ans -15M$ Neuve 6.5M$/an 6 ans -17M$ Quand devrait-on remplacer la machine? Remarque: Sans la valeur de l argent dans le temps. Neuve 6.5M$/an 3 ans -18M$ 21

22 Exemple déterministe: Remplacement Pour prendre la meilleure décision au point 1 (Déc. 1), il faut considérer les impacts de cette décision. Plutôt que de tenter d évaluer les chaînes de conséquences, il est beaucoup plus astucieux de débuter par l analyse de la décision la plus lointaine. Ainsi, on choisira la troisième décision, ensuite la deuxième et finalement la première! On appelle ce processus, les décision à rebours ou à contre-courant. C est donc en ayant pris les futures décisions qu on est le mieux placé pour prendre celles actuelles! 22

23 Analyse Résultats financiers Décision Décision Choix Revenus - coûts 3 Vieille 3.0M$(3) - 2.0M$ = 7.0M$ Vieille Neuve 6.5M$(3) M$ = 1.5M$ 2 Vieille 7.0M$ + 3.5M$(3) - 1.0M$ = 16.5M$ Neuve 6.5M$(6) M$ = 22.0M$ Neuve 1 Vieille 22.0M$ + 4.0(3)M$ - 0.8M$ = 33.2M$ Vieille Neuve 5.0M$(9) M$ = 30.0M$ Donc, il sera préférable de remplacer cette machine dans trois ans (point de décision 2). 23

24 En reconsidérant le même exemple, mais avec un taux d actualisation de 25%, l analyse est plus complexe. Vieille Vieille Vieille 4M$/an 3.5M$/an 3M$/an Déc. 3 ans Déc, 3 ans Déc. 3 ans 1-0.8M$ 2-1M$ 3-2M$ Neuve 5M$/an 9 ans -15M$ Neuve 6.5M$/an 6 ans -17M$ Neuve 6.5M$/an 3 ans -18M$ Dans ce cas, il est avantageux d utiliser la valeur présente et d actualiser les valeurs monétaires au point de décision. 24

25 Analyse avec i = 25% Résultats financiers Décision Décision Choix Revenus - coûts 3 Vieille 3.0M$(P/A;25%;3) - 2.0M$ 3.0M$(1.95) - 2.0M$ = 3.85M$ Vieille Neuve 6.5M$(P/A;25%;3) M$ 6.5M$(1.95) M$ = -5.33M$ 2 Vieille 3.85(P/F;25%;3)M$ + 3.5M$(P/A;25%;3) - 1.0M$ 3.85(0.512)M$ + 3.5M$(1.95) - 1.0M$ = 7.79M$ Vieille Neuve 6.5M$(P/A;25%;6) M$ 6.5M$(2.95) M$ = 2.18M$ 1 Vieille 7.79M$(P/F;25%;3) + 4.0(P/A;25%;3)M$ - 0.8M$ 7.79M$(0.512) + 4.0(1.95)M$ - 0.8M$ = 10.99M$ Vieille Neuve 5.0M$(P/A;25%;9) M$ 5.0M$(3.46) M$ = 2.30M$ Le haut taux d actualisation privilégie les faibles investissements actuels et retarde le remplacement. 25

26 Exemple probabiliste: Décision d automatisation On doit déterminer s il est préférable d automatiser un procédé de fabrication ou de le laisser tel quel. On reconnaît que ce n est pas un projet «gagné d avance» et qu il y a une incertitude quant aux résultats d une automatisation. On considère les trois scénarios suivants: Conséquences d'une automatisation Impact Probabilité Réduction -90M$ 0.5 Faible amélioration +40M$ 0.3 Grande amélioration +300M$

27 Exemple probabiliste: Décision d automatisation Réduction: -90M$(0.5) Automatiser Faible amélioration: 40M$(0.3) Grande amélioration: 300M$(0.2) D1 Ne pas automatiser 0 $ On remarque que les décisions sont représentées par des carrés alors que les événements aléatoires le sont pour des cercles. 27

28 Exemple probabiliste: Décision d automatisation La valeur espérée de ne pas automatiser est de 0$. La valeur espérée de l automatisation est de: -90M$(0.5) + 40M$(0.3) + 300M$(0.2) = 27M$ Selon la valeur espérée, les choix sont les suivants: Automatiser 27M$ Ne pas automatiser 0$ Remarque: Cette décision n est pas si évidente, car il existe un risque de 50% de générer une perte de 90M$! 28

29 Exemple probabiliste: Décision d automatisation Pour limiter les risques, on propose l opportunité de faire réaliser une étude d envergure au coût de 10M$ pour approfondir la compréhension du contexte. L étude déterminera si ce choix technologique est: Risqué Prometteur Très approprié 29

30 Exemple probabiliste: Décision d automatisation Réduction: -90M$(0.5) Réduction: -90M$(0.5) Faible amélioration: 40M$(0.3) Faible amélioration: 40M$(0.3) D1 Automatiser Grande amélioration: 300M$(0.2) Ne pas automatiser 0 $ D2a Automatiser Grande amélioration: 300M$(0.2) Ne pas automatiser 0 $ Étude de -10M$ Réduction: -90M$(0.5) Faible amélioration: 40M$(0.3) Risqué (0.41) Grande amélioration: 300M$(0.2) Automatiser D2b Prometteur (0.35) Ne pas automatiser 0 $ Très approprié (0.24) Réduction: -90M$(0.5) D2c Faible amélioration: 40M$(0.3) Grande amélioration: 300M$(0.2) Automatiser Ne pas automatiser 0 $ 30

31 Exemple probabiliste: Décision d automatisation On remarque que les nœuds d événements aléatoires se synthétise par la valeur espérée des conséquences. Point de décision Choix Valeur présente espérée Décision 2a Automatiser -90M$(0.73) + 40M$(0.22) + 300M$(0.05) = -41M$ Ne pas automatiser 0 $ Ne pas automatiser 2b Automatiser -90M$(0.43) + 40M$(0.34) + 300M$(0.23) = 43.9M$ Automatiser Ne pas automatiser 0 $ 2c Automatiser -90M$(0.21) + 40M$(0.37) + 300M$(0.42) = 121.9M$ Automatiser Ne pas automatiser 0 $ 1 Automatiser -90M$(0.5) + 40M$(0.3) + 300M$(0.2) = 27M$ Ne pas automatiser 0 $ Accepter l'étude 0$(0.41) M$(0.35) M$(0.24) - 10M$ = 34.6M$ Accepter l'étude 2a 2b 2c 31

32 Étapes de construction: Identifier les points de décision et les choix à faire; Identifier les points d aléa et leur résultats possibles; Dessiner l arbre de décision Estimer les données nécessaires à l analyse: Probabilités Résultats financiers (coûts, VP, etc.) Analyser les décisions en débutant par les plus éloignées en remontant jusqu à la première. 32

33 Remarques: Plutôt que d utiliser la valeur espérée, il est aussi possible de considérer une fonction d utilité ou toute autre estimation financière appropriée. Comme l arbre peut devenir immense, il est souhaitable de se limiter aux principaux choix et aux principales situations induisant de l aléa. Dans un deuxième temps, il sera possible d éliminer les cas les moins intéressants et d enrichir ceux étant le plus pertinents. Aux points de décision et d aléa, les choix scénarios doivent être mutuellement exclusifs et exhaustifs. 33

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