BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC MATHÉMATIQUES

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC SESSION 06 MATHÉMATIQUES Sére STL Durée de l épreuve : 4 heures Coeffcet : 4 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrces électroques de poche sot autorsées, coformémet à la réglemetato e vgueur. Le sujet est composé de 4 eercces dépedats. Le caddat dot trater tous les eercces. Das chaque eercce, le caddat peut admettre u résultat précédemmet doé das le tete pour aborder les questos suvates, à codto de l dquer claremet sur la cope. Le caddat est vté à fare fgurer sur la cope toute trace de recherche, même complète ou o fructueuse, qu l aura développée. Il est rappelé que la qualté de la rédacto, la clarté et la précso des rasoemets serot prses e compte das l apprécato des copes. Avat de composer, le caddat s assurera que le sujet comporte be 4 pages umérotées de /4 à 4/4. 08/0/06 page / 4

2 Eercce : qcm 4 pots Chosr la boe répose parm les 4 qu sot proposées. Le caddat écrra le uméro de la questo as que la lettre de la répose sur sa cope. Aucue justfcato est demadée. Chaque répose juste rapporte pot. ) Das ue cté uverstare, le motat du loyer mesuel pour ue chambre est passé de 5 euros l a derer à 0 euros cette aée. Alors le pourcetage d évoluto du motat du loyer est : a) 0,04 % b) 4,6 % c) 4 % d) 0,96 %. ) 7 4l e l e + est égal à : 7 a) l ( 4e e + ) b) 6 c) ( e ) e d). 7 e ) L équato l + l ( + ) = l 0 possède : a) aucue soluto b) deu solutos c) tros solutos d) ue soluto. 4) Ue prmtve sur [ 0;+ [ de la focto f défe par f ( ) = + est : + 5 a) F( ) = + b) F( ) = + l ( + 5). c) F( ) 6 = 5 ( + ) 6 d) F( ) = + l ( + 5) Eercce : 5 pots L effcacté éergétque (valorsato des déchets, effcacté des éclarages, domotque das les habtatos ) devet ue prorté pour les dustrels, les collectvtés locales et les usagers. A l échelle européee, le marché des servces éergétques devrat croître de 5 % par a. E 04, le foursseur d éerge ENERGIA a réalsé u chffre d affare de 90 mllos d euros das les servces éergétques. Les résultats serot arrods au mllo d euros près. ) Détermer le chffre d affares que devrat réalser le foursseur ENERGIA das les servces éergétques pour l aée 05. O suppose que das les prochaes aées, la tedace va se poursuvre. Notos C le chffre d affares, e mllos d euros, réalsé par le foursseur ENERGIA das les servces éergétques pour l aée ) Eprmer C + e focto de C. E dédure la ature de la sute ( C ) et doer ses élémets caractérstques. ) Eprmer C e focto de. 4) a) Calculer la valeur du chffre d affares e 09? b) Quel est le pourcetage d augmetato du chffre d affare de 04 à 09? (O arrodra au dème) 5) O veut détermer à partr de quelle aée le chffre d affares du foursseur ENERGIA réalsé das les servces éergétques va doubler. a) O cosdère l algorthme c-dessous. Recoper et compléter les lges 8 et af que cet algorthme répode à la questo posée. b) E fasat tourer cet algorthme complété, détermer l aée à partr de laquelle le chffre d affares du foursseur ENERGIA réalsé das les servces éergétques dépassera les 840 mllos d euros. O pourra recoper et utlser le tableau suvat e le complétat ou utlser ue calculatrce. Itérato N C talsato c) Proposer ue méthode plus drecte pour répodre à la questo précédete par le calcul. 6) Après avor effectué ue aalyse du marché, o prévot plutôt ue hausse auelle de 0 % du marché des servces éergétques à l échelle européee. Détermer l aée à partr de laquelle le chffre d affare va doubler. page / 4

3 Eercce : 5 pots Sute à u gros orage, la plage mucpale de la commue d Astéhel subt e polluto mometaée du fat du débordemet de la stato d épurato. La cocetrato e bactéres E. col (Eschercha col) est reteue comme dcateur de cotamato d orge fécale. Rappel (smplfé) des ormes de qualté des eau de bagade : (*) ufc : utés format coloes Des aalyses sot fates toutes les s heures af de suvre l évoluto de la cocetrato e E. col. Les mesures des deu premers jours sot rassemblées das le tableau c-dessous. Ces mesures sot représetées graphquemet c-dessous. ) Idquer pourquo u ajustemet affe e parat pas appropré. ) O propose de réalser u ajustemet epoetel. Pour cela o pose z l ( y ) cocetrato e E. col. = où a) Recoper sur votre feulle et compléter le tableau c-dessous : (arrodr les résultats à y désge la -ème mesure de la 0 près.) b) Représeter le uage assocé au pots ( ) t ;z das u repère orthogoal, e preat comme utés e abscsse cm pour 6 heures et e ordoées cm pour uté, e commeçat à graduer l ae des ordoées à 6. ) a) A l ade de la calculatrce, détermer u ajustemet affe de z e t selo la méthode des modres carrés. O doera la répose sous la forme z = at + b, e arrodssat les coeffcets a et b à 0 près. b) Représeter cette drote das le repère e justfat. c) Utlser le graphque pour détermer la cocetrato e E.col prévsble la 5 e heure. (Lasser les trats apparets) 4) O cosdère désormas comme ajustemet affe de z e t, la drote z = 0, 05t + 0, 5. E dédure u ajustemet kt epoetel de la cocetrato e E. col de la forme y( t) Ce 0,05t 5) Pour cette questo, o predra y( t) 7400e = (C et k état deu costates à détermer à0 près). a) E supposat que le modèle reste valde au-delà des deu premers jours, quelle cocetrato est attedue tros jours après le début des mesures? (La valeur sera arrodes à 0 près). b) Détermer par le calcul, au bout de combe d heures après le début des mesures la cocetrato correspodra-t-elle à ue eau de bagade de boe qualté? page / 4

4 Eercce 4 : 6 pots PARTIE A Sot a, b et c des ombres réels et f ue focto défe par f ( ) l ( a b c) = + +. ) O suppose qu l este des valeurs réelles pour lesquelles a + b + c > 0. Pour de telles valeurs, eplquer pourquo la a + b dérvée f de la focto f est doée par l epresso f ( ) = a + b + c. ) O suppose que f est défe et dérvable e 0 et e. f 0 = 0 ; f = 0 et f =, détermer les ombres a, b et c. Sachat que ( ) ( ) ( ) PARTIE B O cosdère la focto f défe surrpar f ( ) l ( ) ) Justfer que pour tout réel, + > 0. = +. ) Détermer la focto dérvée f de f et étuder le sge de f. ) Détermer les lmtes e et + de ( ) P = +. E dédure les lmtes e et + de f. 4) Doer le tableau de varato complet de f. PARTIE C Sot g la focto défe sur I = ; + par ( ) g = l +. O ote Cf la courbe de la focto f défe das la PARTIE B et Cg la courbe de g. ) a) Résoudre g ( ) 0. b) Iterpréter graphquemet ce résultat pour Cg. ) a) Développer ( ) ( ) +. b) E dédure les solutos dasr de l équato + = 0. c) Etablr que les courbes Cf et Cg ot u uque pot commu. d) Motrer qu e ce pot, Cf et Cg ot la même tagete. page 4 / 4

5 Termale STL Correcto du bac blac du 09/0/06 Eercce : qcm 0 5 Vf VI ) c). E effet, p = 00 = 4 % e utlsat p = V 7 ) b). E effet, 4 l e l e + = = 6 = 6 e utlsat l e ) d). Tout d abord l esemble de défto de cette équato est déf par les codtos : > 0 et + > 0 alors > 0 et > - doc les solutos dovet être des réels strctemet postfs. O utlse les proprétés sur les logarthmes. l + l ( + ) = l 0 ss l ( + ) = l0. Deu logarthmes égau doet des ombres égau doc ( ) qu revet à l équato 0 0 I =. + Calculos le dscrmat : ( ) 4 pots + = 0 ce = 4 0 = = 49 = 7 > 0. Le polyôme possède deu races = = et = = 5. Ue seule est strctemet postve doc la soluto de l équato de départ est le réel. Il y a qu ue seule soluto. 4) d). O peut répodre à cette questo de pluseurs maères. La maère smple mas logue cosste à dérver chacue des réposes proposées af de retrouver f. La deuème méthode cosste à partr de f et de recosttuer ue de ses prmtves e utlsat les formules sur les prmtves. est ue focto léare de la forme a doc o utlse la formule a doc ue prmtve de est + C = + C. Esute, 6 u = =. Ue prmtve de u ressemble à ue forme u. Posos u = + 5 alors u = doc + 5 u + 5 l u + C = l C. E cosdérat que est doc ( ) l o chossse ue costate géérale ulle, ue prmtve de f sur [ 0;+ [ est F( ) l ( 5) = Eercce : 5 ) 90 + = 90, 05 = 966. E 05, le chffre d affares devrat être de 966 mllos d euros pots 5 ) Par augmetato de 5 % chaque aée, o a pour tout, C + = C + =, 05C. Pour calculer le chffre d affare 00 d ue aée, o multple celu de l aée précédete par le même ombre,05 doc la sute ( C ) est géométrque de raso q =,05 et de premer terme C 0 = 90. ) Selo le cours, pour tout, C = C q = 90, ) a) 09 = Doc C = 90, E 09, le chffre d affares est de 74 mllos d euros. 5 Vf VI b) p = 00 = 00 = 7, 6 %. Etre 04 et 09, le chffre d affares a augmeté de 7,6 %. V 90 I 5) O veut détermer à partr de quelle aée le chffre d affares du foursseur ENERGIA réalsé das les servces éergétques va doubler. a) Le double de 90 est 840. O réalse les boucle tat que le chffre d affare est féreur à ce ombre. A la f l algorthme dot sortr la valeur du rag de l aée. Doc à lge 8, l y a : Tat C < 840 et à la lge l y a : Affcher N. b) O peut programmer la sute das le meu sute de la calculatrce et affcher ue table de valeurs ou be utlser le tableau suvat e calculat les termes u par u, e multplat à chaque fos par,05. Nous obteos C4 = 8 < 840 et C5 = 9 > 840 doc l algorthme reverra N = 5. L aée est = 09. c) Par le calcul, faudra utlser u logarthme. O résout C > 840 ss 90, > ss,05 90 > ss ( ) ss l (,05 ) > l. Comme,05 > alors l,05 > 0 doc o peut dvser sas chager le ses de l égalté. Nous l obteos : > alors > 4,. Le premer eter pour lequel ça marche est be = 5. l,05 ( ) l,05 > l 6) S l augmetato est de 0 % alors o crée ue sute géométrque de raso q =, et de premer terme 90. Avec la formule C = 90,, o programme ue table de valeurs et ous obteos u doublemet pour = 8. E effet, C 7 = 79 < 840 et C 8 = 97 > 840. Le chffre d affare va doubler e = 0.

6 Eercce : 5 pots ) U ajustemet affe e parat pas appropré car le uage est trop courbé. ) a) t e heures z = l y 0,545 0,85 9,97 9,60 9,5 9,04 8,68 8,4 8,0 ( ) b) Vor dess. ) a) A l ade de la calculatrce, a = 0,05 et b = 0,5 alors z = 0,05t + 0,5. b) S = 0 alors y = 0,5 et s = 0 alors y = 0, ,5 = 9,00. O place les pots A(0 ; 0,5) et B(0 ; 9,00). c) O se place sur l abscsse 5. O lt ue ordoée égale à evro 9,8. Atteto ce est pas la répose car o a fat u 9,8 chagemet de varable. O a l y = 9,8 doc y = e = 808. Il devrat y avor 808 ufc/ ml de bactéres à la 5 e heure. 4) O cosdère désormas comme ajustemet affe de z e t, la drote z = 0, 05t + 0, 5. Comme z = l y alors l y = 0,05t + 0,5 ss e e + 0,05t 0,5 = ss y( t) = e + 0,5 0,05t 0,05t ss y( t) e e 74, 47e l y 0,05t 0,5 0,05t 5) Pour cette questo, o predra y( t) 7400e 0,05 7 a) Tros jours correspod à 7 heures. ( ) y 7 = 7400e = 0, 9. = O peut prévor ue cocetrato de 0,9 ufc/ml de bactéres tros jours après le début. b) L eau de bagade est de boe qualté lorsque la cocetrato est féreure ou égale à 00. O résout ( ) 0,05t 7400e 00 ss e l 74 ss l e l ss 0, 05t l 74 ss t ss t 8, ,05 0,05t 00 0,05t L eau redevedra de boe qualté au bout de 9 heures. y t 00 ss

7 Eercce 4 : 6 pots PARTIE A ) O utlse la formule ( l u) ) f ( 0) 0 f ( ) 0 f ( ) = doc ( ) = doc l ( a b ) 0 u = avec u = a + b + c doc u a b u l a 0 + b 0 + c = 0 ss l c = 0 ss c + + = ss l ( a + b + ) = 0 ss ( ) a + b a + b = doc = ss = a + b + c a + b + a + b = 0. Comme b = - a alors a a = d où a = et b = - a = -. a + b = E cocluso, a = ; b = - et c PARTIE B = + doc f ( ) = a + b a + b + c l a + b + = l ss a + b + = ss a + b = 0. ss a + b = (car a + b = 0) ss a + b =. Il faut résoudre le système : ) Calculos le dscrmat : = ( ) 4 = 4 = < 0 doc le trôme est du sge de a = > 0 pour tout alors pour tout réel, + > 0. = +. ) f est dérvable surrcomme dérvée d u logarthme d ue focto postve et selo la PARTIE A, f ( ) Comme pour tout réel, 0 + > alors f ( ) a le sge de. - + *- 0 ^-+ f () 0 ) A l f, l y a sûremet des formes détermée +f f doc factorsos le terme de plus haut degré : ( ). P = + lm lm + = + et lm + 0 = > = + et lm = > Comme X lm l X + doc par produt lm P( ) = +. doc par produt lm P( ) = +. O remarque que f ( ) l P( ) + = + alors par composto, lm f ( ) lm f ( ) = = ) f = l + = l + = l l(^-+) l 4

8 PARTIE C g 0 ss l 0 ss l lss ss 0 ss 0 ss ) a) ( ) Costrusos u tableau de sges sur I = ; + : = 0 ss = (valeur das I = ; + et + = 0 ss = - (valeur terdte qu est pas das I = ; + ) Voc le tableau : * (*-)/(+) 0 Alors g ( ) 0 ss [ ; [ +. b) Graphquemet, la courbe de g est au-dessus de l ae des abscsses pour [ ; + [. + = + + = = +. ) a) ( ) ( ) ( )( ) b) + = ss ( ) ( + ) = 0 ss ( ) = 0 ou ( ) 0 + = 0 ss = ou = -. Les solutos dasrsot - et. c) Etudos l tersecto des courbes e résolvat f ( ) g ( ) + = + ( ) ss ( )( ) ( ) = sur I = ; + l + = l + ss ss ( ) + + = ss = ss + = 0. Il y a deu solutos pour cette équato mas ue seule appartet à I = ; +. Doc les courbes Cf et Cg ot u uque pot commu dot l abscsse est d) Sot les deu tagetes à Cf et à Cg au pot d abscsse. Ces deu drotes sot sécates e ce pot. S o motre qu elles ot le même coeffcet drecteur alors elles serot cofodues. Motros alors que f ( ) g ( ) f ( ) = = = + + Dérvos g : g ( ) Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = =. ( + ) ( + )( ) g = = = = + 4 ( )( ). Doc f ( ) g ( ) Au pot d abscsse, Cf et Cg ot la même tagete.