La Courbe du Dragon. Déplions tout en conservant les angles droits et observons sur la bordure de la feuille le résultat suivant:

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1 La Courbe du Dragon Par Suichen WANG et Marie LIN 1 S Lycée Louise M ichel (BOBIGNY) Depuis le plus jeune âge, beaucoup d entre nous ont certainement aimé les jeux de pliages. En effet, la plupart des enfants débutent dans des pliages qui n aboutissent à rien. Comme lorsqu ils plient une feuille en 2, puis encore en 2, puis encore en 2, puis encore toujours dans le même sens : Déplions tout en conservant les angles droits et observons sur la bordure de la feuille le résultat suivant: Si nous voulions aller plus loin jusqu à une infinité d étape, nous pourrions obtenir une très belle courbe en dents de scie qu'on appelle courbe du dragon. Voici un exemple de courbe qui est obtenue au bout de 15 pliages. (Figure 1) (Figure 1) Cette courbe appartient à la famille des fractales, on peut caractériser cette famille comme un regroupement de multiples petites courbes similaires à la courbe finale. Ici, c est un peu particulier : La courbe du dragon peut être décomposée en courbes du dragon plus petites, exactement semblables, en nombre aussi grand qu on le veut. 1

2 On va même montrer que cette courbe permet de paver entièrement le plan c est- à- dire que des courbes du dragon de même taille peuvent s emboiter les uns aux autres sans se superposer et ainsi recouvrir le plan tout entier (comme des carreaux sur un sol ou sur un mur). Premières propriétés Dans un premier temps, on va étudier les principales propriétés de cette courbe. Si on suit les plis à partir d une origine, toujours la même, on tourne tantôt vers la droite (D) tantôt vers la gauche(g), et on peut étudier la suite des virages obtenus. On note la suite des virages obtenus après n pliages. Elle est constituée de D et de G. Regardons les premiers termes de cette suite dans une des deux situations possibles : V 1 = D V 2 = DDG V 3 = DDGDDGG V 4 = DDGDDGGDDDGGDGG On remarque que : Les symboles de rang impair de sont : D G D G D G D G Les symboles de rang pair de sont les même que ceux de. On peut généraliser à toutes les suites de virages ces deux propriétés. Pour cela on va noter Le -ième symbole (D ou G) de la suite obtenue avec n plis. (0 ) Propriété 1: les symboles de rang impair sont alternés. Propriété 2 : Les symboles de rang pair de sont les même que ceux de. Pour des raisons de commodité, on notera (-1) un virage à gauche et (+1) un virage à droite. On se demande quel est le 125 ème virage de la suite obtenue au bout du 10 ème pliage (? C'est-à-dire s il tourne à droite (D) ou bien à gauche (G). Comme 125 est impair, on peut le représenter sous la forme (2k-1) avec. Ainsi quand k=1, 2k-1=1 et (D) ; ensuite on a (G) ; ainsi de suite. Enfin on trouve la première formule qui est, cela va nous aider à trouver le virage de, alors on a donc ce virage tourne à droite. La Formule n 1 : correspond pour les rangs impairs à ce qu on a dit tout à l heure ; et pour les rangs pairs? 2

3 On a qui permet de trouver le sens des virages de rang pair. Prenons un exemple :, et appliquons la formule : on a, qui est un virage de rang impair, bon cela devient facile, on n a qu à reprendre la première formule et on calcule :. On a réussi, il s agit d un virage à gauche! Nous avons montré ces deux formules à l aide de raisonnements par récurrence. Construction à diverses étapes Les deux propriétés précédentes donnent un procédé commode de tracé de la courbe du dragon à diverses étapes. Dans la figure qui suit, on a représenté en haut la suite des virages par des carrés alignés jaunes (virages à droite) et rouges (virage à gauche). Pour passer d un étape à la suivante, il suffit d espacer les carrés d une unité et de les encadrer par une suite de carrés alternativement jaunes et rouges (suite des virages de rang impair). Puis on a remplacé les carrés par de vrais virages et l on voit ainsi grandir progressivement le dragon. On peut remarquer que tous les «croisements» sont d une seule couleur, ce qui peut s expliquer à l aide de raisonnements du type de ceux qu on va faire maintenant. Nous allons maintenant montrer que la courbe du dragon pave le plan. Tout d abord, nous allons montrer que la courbe du dragon ne se recouvre pas. 3

4 Il s agit ici de la courbe obtenue par passage à la limite après une infinité de pliages. La démonstration comporte plusieurs étapes. On va tout d abord considérer la courbe obtenue au bout d un nombre fini de pliages. Elle est constituée de segments soit de même direction, soit de directions orthogonales. Par commodité, on va les représenter horizontalement ou verticalement. Si un segment revient en un point dans une direction, il ne peut y revenir que dans le même sens (cas 2) ou dans un sens opposé (cas 1) ou orthogonalement (cas 3 et 4). A A A A 1) 2) 3) 4) Ici, les segments reviennent toujours en A. Les segments des dessins 1) et 2) y reviennent horizontalement et dans les dessins 3) et 4) les segments y reviennent verticalement. Maintenant, on va voir quels sont le(s) cas possible(s). Sur nos dessins, à partir du point A, le 1er segment qui débute est vertical. Il y a autant de pas vers le haut que vers le bas, vers la droite que vers la gauche. Donc il y a un nombre pair de segments horizontaux et de segments verticaux (allers et retours depuis A). Par conséquent, le nombre de segments est pair pour revenir à la position initiale A. Finalement, le dernier doit être horizontal car le premier était vertical. On en conclut que les cas 3) et 4) sont impossibles! Il en résulte aussi que les configurations : Et sont impossibles! On peut à présent s intéresser aux deux cas restants c'est-à-dire 1) et 2). Est-ce que le cas 2) est possible? Si c était le cas, cela voudrait dire que la courbe du dragon repasse deux fois sur le même segment dans le même sens, et qu elle va se recouvrir partiellement lors de toutes les étapes suivantes. Nous représentons verticalement et orientés vers le haut les deux segments superposés. Regardons ce qui était possible à l étape précédente. On a quatre possibilités qui sont a), b), c) et d) : (voir la figure ci-dessous) 4

5 Étape n Étape n-1 a) b) c) d) Ce qui nous donne pour les deux segments superposables orientés dans un même sens, les six possibilités. c) + d) a) + b) a) + c) b) + d) a) + d) b) + c) Les cas " c) + d) " et " a) + b) " sont impossibles car il n'y a pas deux segments qui se coupent dans la courbe du dragon. Le cas " b) + c) " est également impossible car comme on l'a montré antérieurement, un segment ne peut pas revenir perpendiculairement par rapport à un autre. a) + c) b) + d) a) + d) D'autre part pour les cas " a) + c) " et " b) + d) ", tous les segments de la courbe rouge devraient être sur un même quadrillage d'où l'impossibilité. Enfin pour le cas " a) + d) ", nous observons que à l'étape n-1, deux segments partent d'un même point perpendiculairement. Cela signifie qu'à la même étape deux segments y aboutissaient perpendiculairement. Comme on sait que cette configuration est impossible, le cas 2 reste impossible c'est à dire que la configuration où deux segments orientés dans le même sens et superposés l'un sur l'autre est impossible. Il ne nous reste donc qu'une seule possibilité: le cas 1 où les deux segments se rencontrent de face. Nous observons effectivement ce cas en V 4. 5

6 A 1) A présent on va montrer qu on peut recouvrir un carré aussi grand qu on veut Une courbe du dragon obtenue après n étapes, notée, est la réunion de deux courbes du dragon ; c est comme si on avait simplement plié une fois de plus une feuille deux fois plus grande. (comme D1 est la réunion de deux D0) Do D1 Elle est aussi la réunion de quatre courbes, huit courbes courbes! De plus ces courbes ne se recouvrent pas car nous avons montré que ces deux configurations sont impossibles. Et Ainsi: est la réunion disjointe de courbes. est la réunion disjointe de courbes. est la réunion disjointe de courbes. est la réunion disjointe de courbes qui sont elles-mêmes des courbes. (voir le dessin ci-dessous) 6

7 Par conséquent, toute courbe du dragon est la réunion de deux, quatre, huit, ou courbes du dragon disjointes, autant de dragons qu on veut. Alors, avec des courbes du dragon de même taille, on peut en former une aussi grande qu on veut en les assemblant. Chaque fois qu on assemble deux courbes du dragon, la taille est multipliée par, c est l hypoténuse d un triangle rectangle isocèle, les deux côtés sont égaux à 1. On sait que la courbe du dragon contient des carrés, on se demande ce que devient ce carré à l étape suivante. impossible! On sait qu il est impossible que deux segments reviennent orthogonalement ; par conséquent cette figure est impossible. Par contre les deux figures ci-dessous le sont. 7

8 Les couleurs rouge et vert représentent l étape suivant du carré. Dans le cas de gauche, le segment bleu donne deux segments rouges extérieurs situés sur la gauche. Le segment noir suivant va donner deux segments rouges qui seront forcément à l intérieur car on ne peut pas avoir deux segments consécutifs orientés dans la même direction. Finalement on obtient les huit segments rouges indiqués sur la figure. Pour la figure de droite, le segment bleu donne deux segments verts à l intérieur et on obtient les huit segments verts indiqués. On a montré que tout carré se remplit d une croix à l étape suivante. Or il y a une courbe du dragon qui contient un quadrillage de 4x4. Que devient un tel quadrillage au fil des étapes? À chaque étape, on place une croix à l intérieur.... Dn D(n+1) D(n+2) On suppose que la largeur de chaque carré initial est 1, celle du grand carré est donc 4. On regarde ce qui se passe de à. 8

9 On a perdu une bande de largeur 1/2 ; de à on a perdu une bande de largeur 1/4 ; de à on a perdu une bande de largeur 1/8 ; Jusqu à on a perdu une bande de largeur 1. Car on a limite de ½ +1/ +1/ + 1/ + = 1. Il reste donc à une zone complètement quadrillée (de carrés aussi petits qu on veut), de largeur 2. On a démontré qu une courbe du dragon de taille finie contient une partie carrée, de taille finie aussi qu elle recouvre complètement. (Un carré «plein» à la limite). Ce carré est recouvert de petites courbes de dragon (qui peuvent déborder). Pour finir prenons une courbe du dragon de taille fixée, et une partie du plan aussi grande qu on veut par exemple un disque, et montrons qu on peut la recouvrir complètement de courbes du dragon disjointes de la taille fixée. On va prendre tout simplement une courbe du dragon constituée de courbes de la taille fixée au départ, assez grande pour que le carré plein (qu elle contient) puisse contenir le disque. (Figure 2) Comme on l a dit c est possible car quand on réunit deux courbes pour en faire une, la taille est multipliée par, et donc celle du carré aussi. d (Figure 2) Par conséquent, toute partie du plan aussi grande qu on veut, peut-être recouverte de courbes du dragon disjointes de la même taille : on dit que la courbe du dragon pave le plan. I) Conclusion Nous avons donc montré qu on peut paver le plan avec la courbe du dragon ; reste à fabriquer des carreaux de faïence de la bonne forme pour faire une jolie salle de bains pour notre animal préféré 9

10 ANNEXE Propriété 1: les symboles de rang impair sont alternés à partir de. Démonstration Nous allons le montrer par la méthode de récurrence. La méthode de récurrence comprend trois étapes: 1) Initialisation: montrer que P(2) est vraie, 2) Hérédité: si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie, 3) Conclusion: P(n) est vraie pour tout n entier plus grand que 2. Ici la propriété P(n) est : «les virages impairs de v(n) sont alternés» 1) Initialisation = D D G Position Position = D D G D D G G On voit ici que P(2) (et P(3)) sont vraies. 2) Hérédité Supposons que la propriété soit vraie au bout de n pliages, passons au n+1 ième pliage. plis D plis Symboles D G D D G Position 1 plis D plis Symboles D G D D G Position 1 D D abord est formé de 2 parties et. Ces dernières sont symétriques par rapport à la position en inversant les symboles. Ensuite les symboles de rang impair de restent de rang impair, et les symboles de rang impair de sont alternés, (dans la propriété P(n)). Donc les symboles de rang impair de sont alternés ; Enfin les positions et sont impaires et le symbole de rang est D, celui de est G. 3) Conclusion : les symboles de rang impair de sont alternés! (CQFD) 10

11 Propriété 2 :. Démonstration Nous allons le montrer par la méthode de récurrence. (Voir démonstration de la propriété 1) Ici la propriété P(n) est : «les virages de V n ont la propriété 1) Initialisation = D D G Position On voit ici que P(2) est vraie. 2) Hérédité Supposons que la propriété soit vraie au bout de n pliages, passons au n+1 ième pliage. Dans le virage : Il faut que pour avoir, car si, on ne pourrait pas doubler dans. En effet il n y a que symboles. Si, alors 2 et d après la propriété à l ordre n,. Si, notons : ; on a alors : et Nous allons démontrer que On voit ici que est symétrique de par rapport à la position ; et on a aussi qui est symétrique de par rapport à la position. De plus on sait que grâce à la propriété à l ordre n ; donc 3) Conclusion On a vérifié l hérédité dans le seul cas qui n était pas directement impliqué par la propriété à l ordre n. Et donc pour tout n, les virages de V n ont la propriété 11