Etude des méthodes d'optimisation Multicritères

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1 Etude des méthodes d'optmsaton Multcrtères. Introducton : Les ngéneurs se heurtent quotdennement à des problèmes technologques de complexté grandssante, qu surgssent dans des secteurs très dvers. Le problème à résoudre peut fréquemment être exprmé sous la forme générale d un problème d optmsaton, dans lequel on défnt une foncton objectf, ou foncton Coût, que l on cherche à mnmser (ou maxmser) par rapport à tous les paramètres concernés. Il exste deux types de méthodes d optmsaton, la premère est l optmsaton mono-objectf, qu se base sur la mnmsaton (ou la maxmsaton) d une seule foncton objectf où le but est de trouver la melleure soluton appelée soluton optmale qu'est faclement défne suvant une seule performance du problème étudé (temps de réponse, temps de monté, la robustesse, taux d'erreur, etc). D autre part, l optmsaton mult-objectf optmse smultanément pluseurs fonctons objectves qu sont souvent contradctores, on cherche à trouver la melleure soluton suvant un ensemble de performance du problème (temps de réponse plus la robustesse, temps de réponse plus temps de monté plus la robustesse, etc). Où le résultat d un problème d'optmsaton multcrtère est généralement un assortment de solutons, qu se dstnguent par dfférents comproms réalsés entre les objectfs. Cet assortment est connu par Pareto-optmal. Donc le but de l optmsaton multcrtère, est d obtenr les solutons de Pareto, par conséquent, à connaître l ensemble des comproms possbles entre les objectfs. La résoluton d un problème d optmsaton multcrtère, a condut les chercheurs à proposer des méthodes de résoluton de plus en plus performantes. Dans ce chaptre, nous présentons les prncpes de base de l optmsaton multobjectf, et nous donnerons auss une présentaton de dfférents méthodes d optmsaton multobjectf. 24

2 2. Prncpaux concepts en optmsaton: Tout d abord nous défnssons les notons communes à n mporte quelle méthode d optmsaton multcrtère : 2.. Foncton objectf : Une foncton objectf est une foncton qu modélse le but à attendre Dans le problème d'optmsaton sur l'ensemble des crtères. Il s'agt de la foncton qu dot être optmsée. Elle est notée F(x) de manère générale F (x) est un vecteur : F x) = [ f, f,..., f ( )]. Elle est auss appelée : crtère d optmsaton, foncton coût, ( 2 k x foncton d adaptaton, ou encore performance [3] Paramètres : Un paramètre du problème d optmsaton, est une varable qu exprme une donnée quanttatve ou qualtatve sur une dmenson du problème: coût, temps, taux d'erreurs,...etc. [3]. Ces paramètres correspondent aux varables de la foncton objectf. Ils sont ajustés pendant le processus d optmsaton, pour obtenr les solutons optmales. On les appelle auss varables d optmsaton, varables de concepton ou de projet Vecteur de décson : Un vecteur de décson est un vecteur correspondant à l'ensemble des r T varables du problème, l est noté : x = x, x,..., ] avec : n le nombre de varables ou [ 2 dmenson du problème et x K la varable sur la dmenson K. x n 2.4. Crtère de décson : est un crtère sur lequel sont jugés les vecteurs de décson pour détermner le melleur vecteur. Un crtère peut être une varable du problème ou une combnason de varables Contrantes : Une contrante du problème est une condton que dovent respecter les r vecteurs de décson du problème. Une contrante est notée : (x) avec : =,..., q q : le nombre des contrantes [4]. g 2.6. Espace de recherche : représentant l'ensemble des valeurs pouvant être prses par les varables. 25

3 2.7. Espace réalsable : représentant l'ensemble des valeurs des varables satsfasant les contrantes. Dans la fgure II., on a : x et x, représentent la borne nféreure et supéreure pour x. C : représente l'espace de recherche égal au produt cartésen des domanes des varables. X : représente l'espace réalsable délmté par les contrantes. Cette fgure llustre en dmenson r r r deux (C = 2 X = x / g 0, x C R ) le fat que : { } L espace réalsable X (délmté par des contrantes) est un sous-ensemble de C, l'espace de recherche. [] C X Fgure II.. Escape de recherché et escape réalsable Espace des objectfs : ensemble mage de l espace de recherche, détermné par toutes les valeurs possbles des fonctons objectfs [4] Mnmum local : Un pont x X est un mnmum local du problème s et seulement s : x V ( X ), f f ( x ) où V (X ) défnt un vosnage de x Mnmum global : Un pont x X est un mnmum local du problème s et seulement s : x X, f f ( x ) (l appartent alors à l'ensemble des mnmseurs) []. 3. Problème d'optmsaton multcrtère : Le problème de l'optmsaton multcrtère a été étudé auparavant par les deux communautés suvantes : la communauté de control (Zadeh, 963, Gembck et Hames 975 Ln 26

4 976, Gesy 978, Tabak et al 979) et la communauté de recherche opératonnelle (Cohon 978) [4]. Les problèmes réels nvoquent souvent de multples mesures de performance ou objectfs, qu dovent être optmsés smultanément. En pratque, cec n est pas toujours possble car les objectfs peuvent être conflctuels, du fat qu ls mesurent dfférents aspects de la qualté de la soluton. Dans ce cas, la qualté d un ndvdu est décrte non pas par un scalare mas par un vecteur. La performance, la fablté et le coût sont des exemples d objectfs conflctuels [2] Un problème d'optmsaton multcrtère consste à trouver le vecteur de décson déal r r r les contrantes g (x) et h j (x) soent satsfates et dont ( * F x r ) est optmal [3]. * x r tel que En conséquence, le problème d optmsaton multcrtère peut être défn formellement comme sut : r r r r ( = 2 m r x (m : fonctons à optmser) (II-) tel que : x X r g 0 =,..., q r r X = x h j = 0 j =,..., l r T x = x... xn Optmser : F x) { f, f,..., f ( )} [ ] x r : est un vecteur de n varables de décsons. r r g (x), (x) sont les fonctons des contrantes qu détermnent le domane X des solutons. h j X : représente le domane réalsable. Ces objectfs multples sont souvent concurrents où l améloraton de l un entraîne la détéroraton de l autre ou des autres, Ce conflt entre les objectfs s explque faclement : de façon générale, des structures de haute performance tendent à avor un coût élevé, alors que des dspostfs plus smples et usuellement peu coûteux auront des performances mondres. Selon les contrantes du caher des charges, une soluton ntermédare (performance satsfasante et coût acceptable) peut être optmale [3]. Dans les problèmes multobjectfs, l'optmum n'est plus une smple valeur comme pour les problèmes mono-objectf, mas un ensemble de ponts, appelé l'ensemble des melleurs comproms ou le front Pareto [2]. 27

5 Tous les énoncés et défntons seront donnés dans le cadre de problèmes de mnmsaton. En effet un problème de maxmsaton peut être asément transformé en un problème de mnmsaton en consdérant l équvalence suvante : r Maxmser F(x r r ) Mnmser - F(x r ) 4. Méthodes d optmsaton multcrtère : Les approches de résoluton des problèmes multobjectfs peuvent être répartes en classes suvantes : Les méthodes Métaheurstques. Les méthodes non Pareto. Les méthodes Pareto. Les méthodes hybrdes. 4.. Méthodes Métaheurstques : Les métaheurstques sont un ensemble d algorthmes d optmsaton vsant à résoudre les problèmes d optmsaton dffcles. Elles sont souvent nsprées par des systèmes naturels, qu ls soent prs en physque (cas du recut smulé), en bologe de l évoluton (cas des algorthmes génétques) ou encore en éthologe (cas des algorthmes de colones de fourms ou de l optmsaton par essams partculares). Dans la secton qu sut, on essayera de donner un bref aperçu sur les méthodes métaheurstques de base les plus populares [2] La Méthode de Recut Smulé : Cette méthode a été nsprée du processus physque du recut utlsé en métallurge. Ce processus consste en une sute de cycles de refrodssement lent pour obtenr un matérau homogène et de très bonne qualté. En effet, l alterne des cycles de refrodssement lent et de réchauffage (recut) qu tend à mnmser l'énerge du matérau. Cette méthode s'appue sur l'algorthme de Metropols [4] qu permet de décrre l'évoluton d'un système thermodynamque. Par analoge avec le processus physque, la foncton f (x) à mnmser devendra l'énerge E du système où x est un état donné de la matère. Un paramètre fctf est également ntrodut : la température T du système. Partant d'une soluton donnée nous générons une soluton vosne en 28

6 utlsant une transformaton qu change x en x S celle-c amélore le crtère que l'on cherche à optmser, c'est-à-dre : f = f ( x ) f < 0 on dt alors qu'on a fat basser l'énerge du système, snon elle la dégrade. En acceptant une soluton amélorant le crtère, nous tendons ans à chercher l'optmum dans le vosnage de la soluton de départ, alors que l'acceptaton d'une soluton mons bonne, c'est-à-dre f = f ( x ) f 0 permet alors d'explorer une plus grande parte de l'espace de solutons et tend à évter de s'enfermer trop vte dans la recherche d'un optmum local. La soluton vosne x est acceptée avec une probablté p. S x n'est pas melleur que x, alors x est accepté avec une probablté suvante : f exp T [5] Méthode de recherche Tabou : La recherche Tabou est une métaheurstque développée par Glover. Elle est basée sur des dées smples, mas elle est néanmons très effcace. Elle combne une procédure de recherche locale avec un certan nombre de règles et de mécansmes pour surmonter l obstacle des optma locaux. Elle a été applquée avec succès pour résoudre de nombreux problèmes dffcles d optmsaton combnatore [6]. Dans une premère phase, la méthode de recherche Tabou peut être vue comme une généralsaton des méthodes d'améloraton locale. En effet, en partant d'une soluton quelconque x appartenant à l'ensemble de solutons X, nous nous drgeons vers une soluton x appartenant au vosnage V(x) de x. L'algorthme explore donc tératvement l'espace de solutons X. Afn de chosr le melleur vosn x l'algorthme évalue la foncton objectf F en chaque pont x et retent le vosn qu amélore la valeur de F, ou celu qu la dégrade le mons [5] Les Algorthmes Génétques (AGs) : Les algorthmes génétques (AGs) ont été ntroduts par Holland comme un modèle de méthode adaptatve. Ils ont été effcacement utlsés pour résoudre pluseurs problèmes d optmsaton multcrtère. L algorthme génétque est une technque d optmsaton basée sur les concepts de la sélecton naturelle de Darwn et la procréaton selon les règles de Mendel. La sélecton naturelle que Darwn appelle l'élément "propulseur" de l'évoluton, favorse les ndvdus d'une populaton qu sont les meux adaptés à un envronnement. Pour évaluer les ndvdus d'une populaton on 29

7 utlse une foncton d'évaluaton cette foncton est souvent une transformaton de la foncton objectf, appelé auss la foncton ftness, le résultat fournt par cette foncton va permettre de sélectonner ou de refuser un ndvdu pour ne garder que les ndvdus ayant le melleur coût en foncton de la populaton courante La sélecton est suve de la procréaton, réalsée à l'ade de crosements et de mutatons au nveau du patrmone génétque des ndvdus (ou "génotype") consttué d'un ensemble de gènes. Ans, deux ndvdus "parents", qu se crosent transmettent une parte de leur patrmone génétque à leurs descendants. Le génotype de l'enfant fat que celu-c est plus ou mons adapté à l'envronnement. S'l est ben adapté, l a une plus grande chance de procréer dans la génératon future. Au fur et à mesure des génératons, on sélectonne les ndvdus les meux adaptés, et l'augmentaton du nombre de ces ndvdus fat évoluer la populaton entère. Dans les algorthmes génétques, nous smulons le processus d'évoluton d'une populaton. On part d'une populaton ntale de N solutons du problème représentées par des ndvdus judceusement choss. Le degré d'adaptaton d'un ndvdu à l'envronnement est exprmé par la valeur de la foncton coût f (x), où x est la soluton que l'ndvdu représente. On dt qu'un ndvdu est d'autant meux adapté à son envronnement, que le coût de la soluton qu'l représente est plus fable ou plus mportant selon le(s) crtère(s) d optmsaton chos(s). Au sen de cette populaton, ntervent alors la sélecton au hasard d'un ou deux parents, qu produsent une nouvelle soluton, à travers les opérateurs génétques, tels que le crosement et la mutaton. La nouvelle populaton, obtenue par le chox de N ndvdus parm les populatons (parents et enfants), est appelée génératon suvante. En térant ce processus, on produt une populaton plus rche en ndvdus meux adaptés. [5]. Le chaptre 3 fera l objet d une présentaton plus approfonde des algorthmes génétques. D autres Métaheurstques ont été adapté au cas d optmsaton multobjectf et ont prouvé leur succès : Les colones de fourms. L Optmsaton par essam de partcules. Les réseaux de neurones artfcels [6]. 30

8 4.2 Méthodes non Pareto: Les méthodes non Pareto ne tratent pas le problème comme un vértable problème multobjectf. Elles cherchent à ramener le problème ntal à un ou pluseurs problèmes mono objectfs. Parm ces approches nous ctons : Les méthodes Agrégées: Cette approche, consste aux nombreuses méthodes de résoluton, parm les méthodes qu utlsent cette approche, nous pouvons cter les méthodes suvantes : Méthodes d agrégaton par pondératon. Méthode ε contrantes. Méthode de but à attendre. Méthode de mn-max. Méthode de Goal programmng Agrégaton par pondératon: Dans cette approche, le but consste à ramener le problème multcrtère à un problème monocrtère plus smple à trater. Cette méthode est la plus smple des méthodes d optmsaton mult-objectf. La transformaton que l on effectue est la suvante : m Mnmser = Avec : X : représente le domane réalsable. x X w. f (II-2) r, [ 0 ] 3 w et w = w : Appelé le pods, est une pondératon assocée au crtère, cette pondératon permet d'exprmer des préférences sur les crtères de décson [4]. Cette méthode est très effcace du pont de vue algorthmque, mas elle ne permet pas de trouver les solutons enfermées dans des concavtés. La fgure II-2 llustre ce cas en dmenson 2. En effet pour un vecteur de pods [ ] T m k= w = w w2 fxé la valeur optmale attegnable pour la foncton objectf crée est : p. Les deux ponts Pareto optmaux trouvés sont A et C. En fasant varer le vecteur w l est possble de trouver d'autres ponts Pareto optmaux. Seulement tous ces ponts se

9 trouveront sur les partes convexes de la surface de comproms. Il n'exste pas de valeur possble pour w permettant de trouver par exemple le pont B []. Front de Pareto p A B X C Fgure II-2 Interprétaton graphque de la méthode d agrégaton par pondératon Il exste une autre méthode d agrégaton appelée «l Agrégaton par L'ntégrale de Choquet» c est une deuxème technque pour l'agrégaton de crtères, plus sophstquée que la premère. Son ntérêt est qu'elle permet de décrre des stuatons dffclement modélsables. Cette technque utlse une mesure floue (capacté) sur l'ensemble de crtères E { c c,..., } =, qu représente, c 2 c m l'mportance des sous ensemble de crtères dans la prse de décson. Il y a deux notons mportantes pour l'analyse sémantque de l'ntégrale de Choquet: La noton d'mportance globale d'un crtère et l'nteracton entre les crtères [3] Méthode ε -contrante : Elle est auss dte méthode du comproms. Elle transforme un problème d'optmsaton multobjectf en un problème d optmsaton mono-objectf de la façon suvante : Chosr un objectf à optmser prortarement. Chosr un vecteur de contrantes ntalesε. transformer le problème en gardant l objectf prortare et en transformant les autres objectfs en contrantes d négaltés comme sut : Mnmser f ( x ) (II-3) Tel que : f 2 ε 2... f ε m m x X 32

10 Cette approche a l'avantage par rapport à la précédente dans les problèmes non convexes, mas présente pluseurs nconvénents à savor : la formulaton des préférences utlsateur est délcate et nécesste une connassance approfonde du problème de départ. Les contrantes rajoutées complquent la résoluton du problème [6] Méthode Mn-Max : Cette méthode consste à transformer le problème multobjectf en un problème à un seul objectf où l'on cherche à mnmser l'écart relatf par rapport à un pont de référence appelé but fxé par la méthode ou le décdeur. Il exste pluseurs manères de caractérser la dstance entre un pont de référence (le but) et un autre, notamment à l'ade de normes. Une norme est défne de manère suvante : L r m r r ( = B f = ( F x) ) (II-4) m B f = Les prncpales normes utlsées sont : L ( F x) ) = norme L ( F x) ) max { }( B f ( ) ) ( =,2,..., m x mn-max appelée auss approche de Tchebychev: Mnmser : max( B f ) tel que : 0 Avec : x g q ( la dstance classque, et la. C'est cette dernère qu est utlsée dans l'approche (II-5) n q R, g q R, F( x) R m Dans cette approche, le pont de référence joue un rôle fondamental, s'l est mal chos la recherche peut s'avérer être très laboreuse. La fgure II-3 llustre, en dmenson 2, le cas d'une recherche avec un but B fxé. Il est clar que l'approche permet de trater les problèmes non convexes à condton que le pont de référence sot chos judceusement [5]. 33

11 Front de Pareto X B Fgure II-3 Interprétaton graphque de l approche Mn-Max Méthode de but à attendre : On défnt un ensemble de buts qu on espère attendre pour chaque foncton objectf. L algorthme tente de mnmser l écart entre la soluton courante et ses buts. Cette approche, comme celle de mn-max, utlse un pont de référence pour guder la recherche. Mas elle ntrodut auss une drecton de recherche, s ben que le processus de résoluton devra suvre cette drecton. A la dfférence de l'approche mn-max, qu utlse des normes pour formalser la dstance au pont de référence, l'approche du but à attendre utlse des contrantes, comme de l'approcheε -contrante, pour détermner la poston du pont de référence L'écart par rapport à ce but est contrôlé grâce à la varable λ ntrodute à cet effet : Mnmser : λ Tel que : f w. λ B Avec : 0 x g q n q R, g q R, F( x) R m (II-6) Ans en mnmsant λ et en vérfant toutes les contrantes, la recherche va s'orenter vers le but B et s'arrêter sur le pont A fasant parte de la surface de comproms (vor l'llustraton en 2 dmensons de la fgure II-4). Cette approche permet comme l'approche par ε -contrante et l'approche mn-max, de trouver les partes non convexes des fronts Pareto. 34

12 Front de Pareto A B Fgure II-4 Interprétaton graphque de l approche but à attendre Cependant, cette approche comme les précédentes, dot être térée pluseurs fos dans le but d'obtenr un ensemble de ponts Pareto optmaux. Les paramètres w et B dovent être ben choss par l'utlsateur. Ben que ces paramètres permettent une grande flexblté de la recherche (orentaton et but), s'ls sont mal choss, ls peuvent, dans certans cas extrêmes, donner des résultats non cohérents [5] Méthode de Goal Programmng : Dans cette méthode le décdeur fxe un but T à attendre pour chaque objectf f. Ces valeurs sont ensute ajoutées au problème comme des contrantes supplémentares. La nouvelle foncton objectf est modfée de façon à mnmser la somme des écarts entre les résultats et les buts à attendre : mn m = r f T T : représente la valeur à attendre pour le ème objectf. (II-7) Nous pouvons reprendre la crtque fate pour la somme pondérée. La méthode est facle à mettre en œuvre mas l effcacté de la méthode dépend de la défnton des pods et des objectfs à attendre. Cette méthode à l avantage de fournr un résultat même s un mauvas chox ntal a condut le décdeur a donné un ou pluseurs but(s) T non réalsable(s) [7]. 35

13 Méthode lexcographque : Fourman a proposé une méthode dans laquelle les objectfs sont préalablement rangés par ordre d'mportance par le décdeur. Ensute, l'optmum est obtenu en mnmsant tout d'abord la foncton objectf la plus mportante pus la deuxème et ans de sute. Soent les fonctons objectfs f avec =,, k, supposons un ordre tel que : faut : f f f 2 f... f f k Il Mnmser f (x) avec : g j (x) satsfat : j =,..., m (II-8) Sot x, la melleure soluton trouvée avec : f = f( x ) f devent alors une nouvelle contrante. L'expresson du nouveau problème est donc : Mnmser f 2 (x) avec : g j (x) satsfat : j =,..., m et : f = f (II-9) Sot x 2 la soluton de ce problème. Le ème problème sera le suvant : Mnmser f (x) (II-0) avec : g j (x) satsfat j =,..., m, et : f = f, f 2 = f 2,..., f ( x) = f La procédure est répétée jusqu'à ce que tous les objectfs soent tratés. La soluton obtenue à l'étape k sera la soluton du problème. L nconvénent essentel de cette méthode est la grande mportance attrbuée aux objectfs classés en premer. La melleure soluton f trouvée pour l'objectf le plus mportant va fare converger l'algorthme vers une zone restrente de l'espace d'état et enfermer les ponts dans une nche (ensemble d'ndvdus stués dans un espace restrent) [7]. 36

14 Vector evaluated genetc algorthm (VEGA): En 985 Schaffer propose une extenson d un algorthme génétque smple pour la résoluton d un problème multobjectf. Cette méthode est appelée Vector Evaluated Genetc Algorthm. La seule dfférence avec un algorthme génétque smple est la manère dont s effectue la sélecton. L dée est smple. S nous avons K objectfs et une populaton de N ndvdus, une sélecton de N/ K ndvdus est effectuée pour chaque objectf. Ans K sous-populatons vont être créées, chacune d entre elles contenant les N/ K melleurs ndvdus pour un objectf partculer. Les K sous-populatons sont ensute mélangées afn d'obtenr une nouvelle populaton de talle N. Le processus se termne par l applcaton des opérateurs génétques de modfcaton (crosement et mutaton). Génératon t Génératon t + Populaton ntale de N ndvdus Sous- populaton sélectonnée en foncton de l'objectf n... Sous- populaton sélectonnée en foncton de l'objectf n K Populaton après mélange des K souspopulatons Populaton après applcaton des opérateurs génétques Fgure II.5 : Schéma de fonctonnement de VEGA La méthode VEGA a tendance à créer des sous-populatons dont les melleurs ndvdus sont spécalsés pour un objectf partculer. L'évoluton de la populaton favorse l'apparton des espèces. En effet, comme la méthode de sélecton ne tent compte que d'un seul objectf, elle prvlége les ndvdus qu obtennent une bonne performance pour cet objectf. Dès lors ces ndvdus ne seront sélectonnés que lorsqu'on effectuera la sélecton sur cet objectf. Les ndvdus que Schaffer appelle les ndvdus "mleu", parce qu'ayant une performance générale acceptable mas ne possédant aucun crtère fort, vont être élmnés car ls ne seront sélectonnés dans aucune sous-populaton. Cette dsparton entraîne la spécalsaton des ndvdus pour 37

15 chaque objectf. Ce résultat est contrare au but ntal de la méthode qu état de trouver un comproms entre les dfférents crtères [7] Les approches Pareto : Les approches Pareto ne transforment pas les objectfs du problème, ceux-c sont tratés sans aucune dstncton pendant la résoluton. Dans les paragraphes suvants, nous défnssons tout d'abord la noton de domnance au sens de Pareto, la frontère de Pareto, Pareto optmal. Ensute, nous présentons les technques évolutonnares utlsant cette noton La domnance au sens de Pareto : L'dée d'utlser la domnance au sens de Pareto a été proposée par Goldberg pour résoudre les problèmes multobjectfs. Il suggère d'utlser le concept d'optmalté de Pareto pour respecter l'ntégralté de chaque crtère car l refuse de comparer a pror les valeurs de dfférents crtères. L'utlsaton d'une sélecton basée sur la noton de domnance de Pareto va fare converger la populaton vers un ensemble de solutons effcaces. Ce concept ne permet pas de chosr une alternatve plutôt qu'une autre mas l apporte une ade préceuse au décdeur. Vlfredo Pareto est un mathématcen talen (Pareto, 896). Il a posé les bases de la soluton d un problème économque multobjectf : «Dans un problème multobjectf, l exste un équlbre tel que l on ne peut amélorer un crtère sans détérorer au mons un des autres». Cet équlbre est appelé optmum Pareto. Donc une soluton x est dte Pareto optmale s elle n est domnée par aucune autre soluton appartenant à l espace réalsable X. Ces solutons sont appelées solutons non domnées, ou non nféreures. [7]. Défnton (La domnance au sens de Pareto) : Consdérons un problème de mnmsaton Soent : u = [ u,..., ] T et v [ v,..., ] T u n = deux vecteurs de décson. On dt que le vecteur de décson u domne le vecteur v (dénoté u v), s et seulement s : v n,2,, ( ) ( ),2,, ( ) ( ) (II-) Dans le processus d optmsaton mult-objectf, le concept de domnance du Pareto est utlsé afn de comparer et ranger le vecteur de varables des décsons : 38

16 u domne v dans le sens du Pareto, sgnfe que F (u) est meux que F(v) pour tous les objectfs, et l y a au mons une foncton objectf pour laquelle F(u) est strctement melleure que F (v) [2] Défnton (Pareto optmal) : Sot [ ] T x = x,... un vecteur de décson avec : x X (L espace x n réalsable) x est dt Pareto optmal, s'l n'exste pas une soluton y domne x. Une soluton Pareto optmal appelée auss : soluton effcace, non nféreur ou non domnée soluton. Défnton (front de Pareto): Le front (frontère) de Pareto est l'ensemble des solutons Pareto optmales qu sont composées des ponts, ne sont domnés par aucun autre Le front de Pareto appelé auss surface de compromse ou l'ensemble des solutons effcaces [3]. La fgure II.6, représente le Front du Pareto pour un problème de mnmsaton et maxmsaton de deux fonctons objectve [2] Front de Pareto Melleure Melleure Fgure II.6 le front de Pareto. 39

17 Exemple : Pour meux explcter les notons précédemment défnes, consdérons l'exemple suvant : f a b d c e Fgure II-7 Exemple de domnance et d optmalté au sens de Pareto Soent sx vecteurs de décson : a = ( a, a2 ), b = ( b, b2 ), c = ( c, c2 ), d = ( d, d 2 ), e = ( e, e2 ), f = ( f, f 2 ) Sot la foncton objectf F x) = [ f, f ( )]. La représentaton graphque de l'mage de ces sx ( 2 x vecteurs par la foncton F est fourne dans la fgure II-3. Dans cet exemple on peut écrre : f : est domné par tous les autres vecteurs. b : est domné unquement par c. d : est domné par c est e. a, c et e : ne sont domnés par aucun vecteur. Par conséquent les solutons (a, c, e) sont Pareto optmaux. Donc le front de Pareto est l ensemble : { c, e} a, [4] Multple Objectves Genetc Algorthm (MOGA) : Cet algorthme, proposé par Fonseca et Flemng (993), utlse la noton de domnance pour ranger les ndvdus de la populaton. Il dffère de l algorthme génétque standard unquement dans la manère dont la ftness est assgnée pour chaque soluton. Pour démarrer l algorthme, les relatons de domnaton sont d abord calculées pour chaque soluton. Pus, pour une soluton, un rang égal à un plus le nombre de solutons n qu domnent la soluton est attrbué. Une ftness 40

18 Chaptre II est ensute attrbuée à chaque soluton en foncton de son rang, les ndvdus avec les rangs les plus fables ayant les melleures ftness. Afn de mantenr la dversté entre les solutons non domnées, les auteurs utlsent une foncton de partage (Sharng) [8] Mantenr la dversté : Mantenr un certan degré de dversté dans la populaton d'un algorthme évolutonnare consste à évter que la populaton ne converge prématurément vers une pette zone de l'espace de recherche ou de l'espace des objectfs. En effet, s l n'exste pas de mécansme de contrôle de la dversté, les opératons de sélecton vont prvléger trop vte certans ndvdus melleurs à cette étape de la recherche. Cette convergence prématurée a comme effet de lmter la recherche à un sous-ensemble plus restrent de l'espace de recherche, qu peut ne contenr aucune soluton optmale [] Le sharng : Le sharng consste à ajuster la ftness des ndvdus pour évter qu ls se concentrent dans une nche prncpale (optmum globale). La technque de partage de la ftness (ftness sharng), ntrodute par Goldberg et Rchardson, rédut la ftness de chaque ndvdu d un facteur correspondant envron au taux d agrégaton de la populaton autour de son vosnage [8]. Pour détermner les bornes du domane ouvert autour de l'ndvdu chos, on défnt une dstance maxmale, appelée : σ au delà de laquelle les ndvdus ne seront plus consdérés comme shar fasant part du domane ouvert. La dstance séparant deux ndvdus et j est calculée grâce à la foncton d(, j). La valeur d'adaptaton F() d'un ndvdu sa valeur de nche : ( )= Où la foncton Sh est défne comme sut []: P (populatons) est égale à son cout F () dvsé par ( ) ( (, )) (II-2) h (, ) = (, ) (, )< 0 (II-3) 4

19 La fgure II.8 montre deux exemples de répartton de populatons dans le cas d une foncton multmodale: le premer sans sharng et le deuxème avec sharng. La méthode permet d obtenr des solutons de bonne qualté et s mplante faclement. Toutefos, les performances sont très dépendantes de la valeur du paramètre σ shar utlsé dans le sharng [8] Non domnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA): Dans l algorthme NSGA proposé par Srnvas et Deb (993), le calcul de ftness s effectue en dvsant d abord la populaton en pluseurs fronts en foncton du degré de domnance au sens de Pareto de chaque ndvdu. Les ndvdus non domnés de la populaton courante consttuent le premer front de Pareto. On attrbue alors à tous les ndvdus de ce front la même valeur de ftness factce. Cette valeur est supposée donner une chance égale de reproducton à tous ces ndvdus. Mas pour mantenr la dversté de la populaton, l est nécessare d applquer une foncton de partage sur cette valeur. En sute, ce premer groupe d ndvdus est temporarement supprmé de la populaton. On recommence cette procédure jusqu à l dentfcaton des solutons du deuxème front. La valeur factce de ftness attrbuée à ce second groupe est nféreure à la plus pette ftness, après applcaton de la foncton de partage sur le premer front. Ce mécansme est répété jusqu à ce que l on at traté tous les ndvdus. L algorthme se déroule ensute comme un algorthme génétque standard. Grâce à sa procédure d assgnement de ftness basée à la fos sur la noton de domnance et la foncton de partage, le NSGA semble le plus appropré à mantenr la dversté de la populaton et à répartr plus effcacement les solutons sur le front de Pareto. Néanmons, cet algorthme présente quelques nsuffsances en rason de sa complexté de Calcul et de sa sensblté au chox de la valeur σ shar [8] Nched Pareto Genetc Algorthm (NPGA): Cette méthode proposée par Horn et Napflots (994) utlse une sélecton par tourno en se basant sur la noton de domnance de Pareto. Le NPGA exécute les mêmes étapes que l AG standard, la seule chose qu dffère étant la méthode de sélecton. A chaque tourno, deux ndvdus canddats A et B sont prs au hasard dans la populaton courante. Au leu de lmter la comparason aux deux ndvdus (comme c est le cas pour l AG standard), une sous populaton (ou ensemble de comparason) de talle t dom est également chose au hasard. Les deux canddats 42

20 sélectonnés sont comparés à chaque ndvdu du sous-groupe. S l un des canddats est domné par l ensemble de comparason et le second ne l est pas, ce derner est alors postonné dans la populaton suvante. Dans les autres cas, une foncton de partage est applquée pour chosr le canddat gagnant. Le paramètre t dom permet de contrôler la presson de sélecton ou de domnance. L algorthme NPGA est consdéré comme étant l algorthme le plus rapde parm les approches précédentes car à chaque génératon la comparason n est applquée que sur une porton de la populaton. Le prncpal nconvénent de cet algorthme est qu l nécesste, en plus de spécfer le paramètre de sharngσ tourno t dom [8]. shar. Un autre paramètre supplémentare qu est la talle du Non domnated Sortng Genetc Algorthm-II (NSGA-II): Toutes les méthodes que nous venons de présenter ne conservent pas leurs solutons Paretooptmales trouvées au cours des génératons. Elles sont dtes non éltstes. Pour résoudre cette dffculté, de nouvelles technques ont été applquées. Nous avons chos de présenter unquement le NSGA-II. En proposant le NSGA II, le chercheur Deb (Deb et al. 2002) a tenté de résoudre toutes les crtques fates sur NSGA: non éltste, complexté de calcul et utlsaton de sharng qu mplque le réglage d un ou pluseurs paramètres. Dans cet algorthme, à chaque génératon t une populaton de parents (P t ) de talle N et une populaton d enfants (Q t ) de même talle sont assemblées pour former une populaton (R t ) de talle 2N, Cet assemblage permet d assurer l éltsme. La populaton (R t ) est ensute réparte en pluseurs fronts (F, F 2, ) par une procédure de tr, plus rapde que celle proposée dans la premère verson de NSGA. Une nouvelle populaton parent (P t+ ) est formée en ajoutant les fronts au complet (premer front F, second front F 2, etc) tant que ce ceux-c ne dépassent pas N. S le nombre d ndvdus présents dans (P t+ ) est nféreur à N, une procédure de crowdng est applquée. La fgure II.8 llustre le prncpe de fonctonnement de NSGA II [8]. 43

21 Tr selon le crtére de non Tr selon le crowdng Front Front 2 Front 3 Front Front 2 Front 3 Solutons rejetées Fgure II.8 : Prncpe de fonctonnement de NSGA II Procédure de Crowdng : Une procédure de crowdng, basée sur un calcul de dstance (dstance de crowdng) qu ne nécesste aucun paramétrage et qu est également d une complexté algorthmque mondre que celle de sharng. La dstance de crowdng d une soluton partculère se calcule en foncton du pérmètre de l hypercube ayant comme sommets les ponts les plus proches de sur chaque objectf. Sur la fgure II.9, est représenté l hypercube en deux dmensons assocé au pont. Le calcul de la dstance de crowdng nécesste, avant tout, le tr des solutons selon chaque objectf, dans un ordre ascendant. Ensute, pour chaque objectf, les ndvdus possédant des valeurs lmtes se voent assocés une dstance nfne. Pour les autres solutons ntermédares, on calcule une dstance de crowdng égale à la dfférence normalsée des valeurs des fonctons objectfs de deux solutons adjacentes. Ce calcul est réalsé pour chaque objectf. La dstance de crowdng d une soluton est obtenue en sommant les dstances correspondantes à chaque objectf [8] 44

22 - + Fgure II.9: Dstance de Crowdng (les ponts nors sont des Solutons appartenant au même front) Strength Pareto Evolutonary Algorthm (SPEA): En 998 Ztzler et Thele proposent une nouvelle méthode d'optmsaton multobjectf qu possède les caractérstques suvantes: Utlsaton du concept de Pareto pour comparer les solutons. Un ensemble de solutons Pareto-optmales est mantenu dans une populaton externe appelée archve La ftness de chaque ndvdu est calculée par rapport aux solutons stockées dans l'archve Toutes les solutons de l'archve partcpent à la sélecton. Une méthode de clusterng est utlsée pour rédure l'ensemble de Pareto sans supprmer ses caractérstques Une nouvelle méthode de nche, basée sur Pareto, est utlsée afn de préserver la dversté. L'avantage essentel est qu'elle n'exge pas de réglage de paramètres de sharng [7] Fonctonnement général : Le passage d'une génératon à une autre commence par la mse à jour de l'archve. Tous les ndvdus non domnés sont copés dans l'archve et les ndvdus domnés déjà présents sont supprmés. S le nombre d'ndvdus dans l'archve excède un nombre donné, on applque une technque de clusterng pour rédure l'archve. Ensute la ftness de chaque ndvdu est mse à jour avant d'effectuer la sélecton en utlsant les deux ensembles. Pour termner, on applque les 45

23 opérateurs génétques de modfcaton. La méthode SPEA mplémentée par Ztzler et Thele est l llustraton même d un algorthme évolutonnare éltste. SPEA mantent un archve externe contenant les melleurs fronts de comproms rencontré durant la recherche [7] Réducton par clusterng : Lorsque le nombre d'ndvdus de l'archve externe est grand, les performances de l'algorthme peuvent se dégrader sgncatvement. En effet, le nombre d'ndvdus nflue sur le calcul de la valeur d'adaptaton, celu-c devent mons fable, et peut tromper la recherche en la focalsant, par exemple, sur des zones déjà explorées. Pour paller a ce défaut, une soluton consste à utlser des technques de clusterng. Ces technques ont été étudées ntensvement dans le contexte des analyses de cluster et ont été applquées avec succès pour détermner des parttons d'une collecton relatvement hétérogène d'éléments. La technque de clusterng utlsée par SPEA est assez ntutve. Au début de la procedure, chaque ndvdu consttue son propre groupe, pus on fusonne deux a deux les groupes les plus proches en terme de dstance. Cette étape est térée jusqu'a l'obtenton du nombre désré de groupes. Une fos les groupes dentfés, l ne reste plus qu' a chosr un representant par groupe. Ce représentant peut être détermne de pluseurs façons, par exemple en prenant le barycentre du groupe. C'est ce représentant qu sera garde, les autres éléments étant tout smplement supprmés. Les étapes de la méthode de clusterng sont llustrées à la fgure II.0 []. Fgure II.0: Illustraton du Clusterng en dmenson 2. 46

24 Pareto Archved Evoluton Strategy (PAES): Cette méthode a été développée ntalement comme une méthode de recherche locale. Les premers travaux de Knowles et Corne ont montré que cette méthode smple objectf fournssat des résultats supéreurs aux méthodes de recherche basées sur une populaton. Par conséquent, les auteurs ont adapté cette méthode aux problèmes multobjectfs. Les partculartés de cette méthode sont les suvantes : Elle n'est pas basée sur une populaton. Elle n'utlse qu'un seul ndvdu à la fos pour la recherche des solutons. Elle utlse une populaton annexe de talle détermnée permettant de stocker les solutons temporarement Pareto-optmales. L'algorthme utlsé est très smple et nspré d'une stratége d'évoluton (+). Elle utlse une technque de crowdng basé sur un découpage en hypercubes de l'espace des objectfs [8] 4.4. Les méthodes hybrdes : Afn d amélorer les performances d un algorthme, on essaye de le combner avec une autre méthode. Ce prncpe général appelé hybrdaton, peut s applquer à pluseurs méthodes. Un cas partculer de l hybrdaton entre deux méthodes consste à combner un algorthme génétque avec une méthode de recherche locale. Dans une telle hybrdaton on substtue souvent la mutaton par une méthode de recherche locale. Dans le cas des problèmes multobjectfs on peut cter les méthodes hybrdes suvantes : La méthode MOTS combnant une populaton et une recherche Tabou, La méthode PSA combnant un algorthme génétque et le recut smulé, La méthode M-PAES ntégrant un schéma généralsant l mplémentaton d un grand nombre d algorthmes hybrdes pour l optmsaton multobjectf [6]. 47

25 5. Concluson : Nous avons présenté dans ce chaptre les prncpaux concepts de l'optmsaton multobjectf et les travaux de recherche sur les méthodes d'optmsaton de problèmes multobjectfs. Nous avons vu que cette problématque est dvsée en tros approches. La premère approche appelée L approche Métaheurstque, qu utlse des méthodes souvent nsprées par des systèmes naturels comme le recut smulé et les algorthmes évolutonnares telle que : les algorthmes génétques pour apporter une réponse à leurs problèmes. La deuxème approche appelée : L approches non Pareto, cette approche tente de ramener un problème multobjectf à un problème smple objectf au rsque d'enlever toute sgnfcaton au problème. La trosème approche est : L approche Pareto, qu elle adopte un pont de vue plus global en prenant en compte l'ensemble des crtères et en utlsant la noton de domnance au sens de Pareto. Nous avons vu auss L approche hybrde qu fat l hybrdaton entre deux méthodes dfférentes. 48

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