1 Introductions. 3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)

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1 C o m m u n i c a t i o n s N u m é r i q u e s C N Introductions. 2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ. 2 Représentation vectorielle, constellation. 3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP) 4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 1

2 Schéma Global d'une Liaison Numérique. Signaux Numériques Autres Sources Autres Sources Code Binaire A / N Signaux Analogiques Utilisateurs Codage de Source Cryptage Source Normalisée Codage de Canal Couches Réseaux Embrouilleur Codage de Canal Couche Transmission Entrelaceur Embrouillage Multiplexages Modulation Étalement de Spectre Suite de symboles + Perturbation Accès Multiple Émetteur CANAL DE TRANSMISSION Signaux Numériques Code Binaire N / A Décodage de Source Décryptage Décodage de Canal Désmbrouilleur Démodulation Décodage de Canal Désentrelaceur Démultiplexages Désembrouillage Synchronisation Égaliseur Désétalement de Spectre Récepteur Accès Multiple Signaux Analogiques Autres Sources Détection Autres Sources GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 2

3 Modèle de Canal : Canal non dispersif à Bruit Additif Blanc Gaussien BABG (AWGN) GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 3

4 Modèles de canaux Non Dispersifs Dispersifs (Sélectif) Stationnaires Signal BABG (AWGN) Bruit Additif Blanc Gaussien DSP N 0 /2 Signal + Bruit Signal F.L.I.T. H(f) BABG (AWGN) Bruit Additif Blanc Gaussien DSP N 0 /2 Signal Filtré + Bruit Non Stationnaires Processus Gaussien Complexe Signal C i RAYLEIGH BABG (AWGN) Bruit Additif Blanc Gaussien DSP N 0 /2 C i * Signal + Bruit Signal F.L. Variant dans le Temps H(f, t) BABG (AWGN) Bruit Additif Blanc Gaussien DSP N 0 /2 Signal Filtré + Bruit GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 4

5 Modulation Sans Mémoire (Pas de Relations de Codage) Détection Simple au Récepteur (Symbole par Symbole) GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 5

6 Modulation avec Mémoire / sans Mémoire Codage et Modulation combinés Détection Soft sur un Bloc de Symboles { 0, 1} Rendement / n codeur n Augmentation du débit Redondance D = b ( / ) n D Codage b { 0, 1} Modulation binaire / M - aire Diminution du débit R = D / Log M b 2 Modulation s( t) = g ( t T ) BABG (AWGN) N 0 / 2 s Canal idéal r( t) = s( t) + b( t) démodulation M - aire / binaire Détection Hard Symbole par Symbole { 0, 1} Décodeur n Décodage { 0, 1} Binaire i.i.d. Symboles i.i.d. si sans Mémoire. Symboles liés si Codage Blocs de Symboles i.i.d. si codage en Bloc. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 6

7 Détection d une suite de symboles + s et g ( t) { s1( t),, si ( t),, sm ( t) } = s( t) = g ( t T ) Suites de symboles + bruit détection de la bonne suite. s1( t) s1( t Ts ) s1( t Ts ) si ( t) si ( t Ts ) si ( t Ts ) sm ( t) sm ( t Ts ) sm ( t Ts ) g ( t) g ( t T ) g ( t T ) 0 1 s s s t = 0 t = T t = T Détection périodique tous les T s s une réalisation de s(t) une réalisation de s(t) Récepteur Reçoit une réalisation de s(t) Comparaison de s(t) aux réalisations possibles Choix d un critère PB de décision Hypothèse Nombre de la réalisations plus probable possibles = MV & Durée d acquisition Minimum d erreurs à la restitution = min(pr{err}) Limiter la durée Blocs de n symboles M n nombre fini de réalisations possibles GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 7

8 Représentation Vectorielle : Des formes émises { s ( t),, s ( t),, s ( t) } Base orthonormée (arbitraire) : { ϕ ( t),, ϕ ( t),, ϕ ( t) } ( ) Produit scalaire : dans L 2 Espace vectoriel associé : Formes émises : (Base de N C ) 1 i 1 i N N M + i j i j ϕ ( t), ϕ ( t) = ϕ ( t) ϕ ( t) dt ( ϕi ( t), ϕi( t) ) et ( ϕi( t), ϕ j ( t) ) M = 1 = 0 T ϕ 1 ( t) ( 1, 0,, 0 ) = ϕ 1 H 2 et 2Re { H ϕ } i ϕ i = ϕ i = 1 ϕ i ϕ j = 0 s ( t) 1 T N = s1 ( s, s,, s ) H + ϕ ( ( ), ) j 1 1 j 1 ϕ j 1 s = s = s t ( t) = s ( t) ϕ ( t) dt j N = s ( t) s ϕ ( t) 1 1n n=1 Reconstruction possible si l espace engendré par la base des fonctions contient l espace des formes. n GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 8

9 Représentation Vectorielle : Base orthonormée : { ϕ ( t),, ϕ ( t),, ϕ ( t) } 1 i Formes émises : T s1( t) ( s11, s12,, s1n ) = s 1 H + ϕ ( ( ), ( )) j s1 = s1 j = s1 t ϕ j t = s1( t) ϕ j ( t) dt Des formes émises { s ( t),, s ( t),, s ( t) } N Modulations MIA, MAQ, MDP de Formes RZ NRZ Cosinus 1 i ϕ 2 N = M s ( t) s ϕ ( t) 1 1n n=1 n s 3 d min s 2 s 1 + En ergie : E = s ( t) dt = s 2 2 i i i ij i j i j 2 Dis ta n ce : d = s ( t) s ( t) dt = s s ϕ 3 s 4 d 1, 4 ϕ 1 Constellation GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 9

10 Exemple : Modulation d Amplitude MAQ-M de Deux Porteuses en Quadrature M-QAM { } b N M = 2 Codage Binaire/ M-aire { d p } { d q } g( t) g( t) p( t) q( t) 2 cos( ω 0 t) 2 sin( ω 0 t) s( t) s ( t) = g( t) 2 cos( ω t) 1 0 s ( t) = g( t) 2 sin( ω t) 2 0 MAQ-16 s 2 ( t) ( ) s t 1 N Pair MAQ-4, 16, 64, 256,... Voie en Phase (MIA) d { ±1, ±3,, ± ( M 1 )} Voie en Quadrature (MIA) d { ±1, ±3,, ± ( M 1 )} p q N Impair MAQ-8, 32, 128, 512, A 100 B Autres Constellations Croix, Carrés Bords Arrondis 101 MAQ-8 GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 10

11 Détection d une suite de Symboles HYPOTHÈSES Canal non dispersif à BABG & Modulation sans mémoire moire RÉCEPTEUR Estimation des rythmes porteuse & code Estimation des retards et déformations Détection Symbole par Symbole (simple) au Minimum de Probabilité d Erreur GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 11

12 Détection d un seul symbole (modulation sans mémoire) s( t ) r( t) = s( t) + b( t) Signal (MIA) Signal + Bruit Filtre = Séparation en continu d'un Symbole et Décision tous les Ts M Formes M Hypothèses BABG r( t) = g ( t T + θ ) + b( t) s z = s + b M Zones de Décision Z 1 s 1 Z i si z s j g ( t) + b ( t) Symbole Observation et Détection tous les T s sm Z M Filtrage Échantillonnage Décision GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 12

13 Vecteur de Bruit (Détection d un symbole) ϕ 2 On reçoit r( t) = s( t) + b( t) Z 2 Z 1 On représente le symbole reçu en Ts par un vecteur z = s + b s 2 z b s 1 ϕ 1 b( t ) est un bruit additif blanc gaussien de DSP N 0 / 2 b est Vecteur gaussien de composantes b = b( t) ϕ ( t) dt H { } j N Rb = E b b = 0 I N, les b j sont des VA gaussiennes centrées de σb 2 = N / 2 j 0 2, composantes indépendantes car PA gaussien et base orthonormée E( b i b j ) j ϕ 3 = 0. Le bruit est Gaussien le vecteur z observé est Gaussien de moyenne s i et de matrice de covariances Rb = IN 2 N 0 GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 13

14 Détection au Minimum de Probabilité d Erreur Détection des formes { s ( t),, s ( t),, s ( t) } Pr min Pr { Err} =1 Pr{ Dc} { Err} = max Pr ( ) ( { Dc} ) T s ) M Hypothèses : Détection du symbole (instant i 1 i H = {le symbole g ( t) = s ( t) } i M Observation et Détection tous les T s z Z 1 s 1 Z i si z s j sm { } { } Pr Dc = Pr Dc et ( H1 ou H2 ou H M ) Système complet M Zones de Décision Z M M { i i} { i} Pr{ Dc} = Pr ( z Z ) / H Pr H i=1 somme sur Zi de la loi de z / H i M { Dc} = { Dc H } = { Dc H } { H } Pr Pr et Pr / Pr M i i i i=1 i=1 M = z { Dc} p( / H ) { H } Pr Pr i=1 Z i i i { Dc} Pr max si sur chaque Z i ( z / i ) Pr { i} ( z / j ) Pr{ j} Pr { Hi / z } Pr { H j / } p H H p H H j j z Critère MAP GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 14

15 Exemple critère MAP pour une MIA-6 ( z / i ) Pr { i} ( z / j ) Pr{ j} p H H p H H j p z H loi Gaussienne centrée ( ) / i Cas M-aire i.i.d. d { ±1, ±3,, ±(2m 1)} équiprobables, M = 2m Z ( +1 ) Z ( +5) Exemple avec = p( 0 ) = 1 et M = 6 E / N = 6. 5 db σ 2 b 0 GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 15

16 Exemple critère MAP pour une MIA-2 ( z / i ) Pr { i} ( z / j ) Pr{ j} p H H p H H j p z H loi Gaussienne centrée ( ) / i Cas Binaire {+1, 1} i.i.d. non équiprobables Z ( 1) Z ( +1 ) seuil N ( σ 2 ) +1, Pr( +1) b N ( σ 2 ) 1, Pr( 1) b s { } { } { } Exemple avec σ 2 = p( 0 ) = 1 et M = 2. ( d 1, +1, Pr 1 = 0. 3, Pr +1 = 0. 7 ) z GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 16

17 p Limites des Zones de Décision (Seuils) min Pr ( { Err} ) max Pr{ Dc} Construction du récepteur : choisir les zones Z en conséquence du MAP p i ( ) = Détection symbole par symbole (instant T ) z = z = s + b ( z / i ) Pr { i} ( z / j ) Pr{ j} p H H p H H j ( H ) z loi Gaussienne centrée sur s i / i 1 1 z / exp ( z s ) R ( z s ) ( H ) / H 1 i = N / i b i ( 2π ) R 2 b N Rb = I N Rb = I N 2 N GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F s Observation et Détection tous les T s z Z 1 M Zones de Décision s 1 Z i si z s sm Z M j Symbole restitué s i 1 H ( z si) Rb ( z si) = z si = dz, si 2 N0 N0 1 2 exp dz, si Zi Rapport de Vraisemblance p( z / H ) Pr( H ) i N0 j p j L = = > j (Lielihood ratio) p( z / H j ) 1 2 Pr( Hi) pi exp dz, s j N0

18 Limites des Zones de Décision p ( H ) z loi Gaussienne centrée sur s i / i L = p( z / H ) i p( z / H ) j 1 2 exp dz, si Zi N0 Pr( H j ) p j = > j 1 2 Pr( Hi) pi exp dz, s j N0 Observation et Détection tous les T s z Z 1 s 1 Z i si z s j Symbole restitué s i Log Vraisemblance Zi 1 lo ( 2 2 g( ) ) p j L = dz, s + d, log j i z s > j N0 pi M Zones de Décision sm Z M Zi 2 p j 2 soit d, N log d j 0 >, pi j z s z s i Z i ensemble des z les plus proches de s i 2 2 Z i telles que z, si ( z, s j ) i j j d = min d si p = p =1/ M Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s Fonctionnement : si z Zi décide symbole n i. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 18

19 Détection au Minimum de Probabilité d Erreur Limites des Zones de Décision ϕ 2 Exemple : Cas Binaire 2 formes { s ( t), s ( t) } 1 2 s1( t) s2( t) Z 2 z Z 1 b s 2 s 1 base orthonormée { ϕ ( t), ϕ ( t), ϕ ( t) } ϕ 1 Z i ensemble des z les plus proches de s i (ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme s i ) ϕ 3 2 Z i telles que ( 2 ) z, si z, s j i j j d = min d si p = p =1/ M Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s i 2 p j 2 z, s log j 0 > z, s pi j Z d N d i si p p 1 / M cela décale les i j bissectrices vers le symbole le moins probable GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 19

20 C o m m u n i c a t i o n s N u m é r i q u e s C N Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist. 5. Calcul de performance. 1 Taux d Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité. 6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse. 1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 20

21 Réalisation du Récepteur R Optimal Fonctionnement : si z Zi décide symbole n i. Z i ensemble des z les plus proches de s i ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme s i (produit scalaire) un Produit Scalaire soit un Produit de Convolution donc un Filtre Linéaire z + i i i, s = r = z ( t) s ( t) dt Temporellement pour un signal continu + i i i τ r ( τ ) = z ( t) s ( t) = z ( t) s ( t τ ) dt + échantillonnage en zéro GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 21

22 Structure du Récepteur Optimal BABG pour un Symbole M-aire isolé z + m m m m τ =0, s = z ( t) s ( t) dt = z ( t) s ( t) = r ( 0) = filtrage linéaire + échantillonnage en zéro (répété tous les Ts) 1 s ( t) z, s = r 1 1 z sm( t) z ( t) = g ( t) + b( t) τ =0 z, s = r m m max { Re ( ) } gˆ sm ( t) z, s = r M M On dit que le filtre s ( t) est adapté à la forme s ( t ) m m GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 22

23 Structure du Récepteur Optimal BABG. Suite des Symboles. Observation et Détection tous les T s Canal Idéal BABG z r( t) = g ( t T θ) + b( t) s Filtres Adaptés 1 s ( t) sm( t) z z, s, s = r 1 1 = r m m τ = Ts + θ échantillonnage max { Re ( ) } gˆ Décision sm ( t) z, s = r M M θ est un retard à estimer. Le signal reçu r(t) est la suite continue des symboles émis plus du bruit. Un échantillonnage bien estimé donne les projections symbole après symbole. PB : Les formes des symboles successifs ne doivent pas interférer lors de l échantillonnage. Cas du NRZ, du RZ50%. Ce n est pas le cas des impulsions dont la DSP est limitée. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 23

24 Chaîne optimale en BABG pour la MIA-M. + s ; d { ± 1, ± 3,, ± ( M 1) } = s( t) = d g( t T ) Une seule forme g( t ) une seule dimension un seul filtre adapté g ( t) + Détection de l amplitude d. Codage binaire / M - aire BABG {d } N 0 / 2 s(t) filtre adapté g(t) + h r (t)=g * (-t) Canal idéal LIT p(t)=g(t) g ( t) z = d p(0)+n z(t) Ech T s + t 0 Seuils {ˆ d } Une seule forme mais les symboles successifs ne doivent pas interférer à l échantillonage. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 24

25 Interférence rence Entre Symboles Critère re de Nyquist IES Des symboles qui se perturbent à éviter! GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 25

26 Interférence entre symbole. Pour canal à bande limité. (Signal à bande limitée = Impulsion Temporelle Longue) 1 s ( t) r1 ( t) z, s = r 1 1 Canal Limité BABG rm ( t) sm( t) r( t) = s( t t ) + b( t) = g ( t T t ) + b( t) 0 s 0 sm ( t) rm( t) z τ = T s + θ z, s = r m m, s = r M M max { Re ( ) } gˆ + rm ( τ ) g ( t Ts t ) sm( t τ ) dt+ = 0 b( t) sm( t τ ) dt + rm ( τ ) = Rg s ( τ Ts t0) + Rbs ( τ ) Intercorrélations. m m GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 26

27 Interférence entre symbole (IES / ISI). Signal à bande limitée. Pour canal à bande limité. rm ( τ ) = Rg s ( τ Ts t0) + Rbs ( τ ) Intercorrélations. m m Échantillonnage en τ Ts t0 θ 0 = + ( = t bien estimé) R 2 g s m m m symbole recherché ( ) rm = rm ( Ts + t0) = Rg ( ) ( ) + ( ) s R m gls l T m s Rbs T m s t l ( 0 ) = s = E si g ( t) = s ( t) m R ( 0 ) = s, s si g ( t) = s ( t). R ( 0 ) = 0 si signaux orthogonaux g s j m m N b m est V.A. ( 0, σ ) m 2 j g s m IES b m l IES des formes reçues est annulée par construction à l'émission. GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 27

28 Annulation de l IES l des formes émises On veut R (( l) T ) = 0 m, g ( t) { s ( t) } l g s s l i l m Rs s ( nts ) = 0 Rs s ( ) Rs s ( ) n 0 symbole recherché i j mises (Canal à bande limitée). ( ) rm = rm ( Ts + t0) = Rg ( ) ( ) + ( ) s R m gls l T m s Rbs T m s t l IES b m τ ( τ ) = 0 δ ( τ ) T i j i j s par transformée de Fourier 1 i j ( ) ( ) ( ) ( ) S f S f f = T R 0 = cste périodisé. i j s s s T s Cas de la MIA (PAM) s ( t) = α g( t) une seule forme Critère de Nyquist i i 2 ) ( ) R ( T = 0 G( f ) ( f ) = T R 0 = cste. g s 1 s g 0 T i j s GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 28

29 Cosinus Surélev levé Une forme de filtre facile à réaliser qui vérifie v le critère re de Nyquist de non IES GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 29

30 Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé. Fonction de Transfert du Cosinus Surélevé. 1 α = 0.2 α = 0.5 α = 0.8 G( f ) 2 = 1 α p( 0) T pour f < 2 T 1+ α P( f ) = 0 pour < f 2T p( 0) T π T 1 α 1 α 1+ α 1+ cos f pour < f < α T 2 2 2T 2T Réponse Impulsionnelle du Cosinus Surélevé. 1 α = 0.2 α = 0.5 α = 0.8 Rg ( t) = π t π α t sin cos T T p( t) = p(0) π t 2 2α t T 1 T GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 30

31 Filtre en Racine de Cosinus Surélevé. 1 α = 0.2 α = 0.5 Fonction de Transfert. α = α p(0) T pour f < 2T 1+ α G( f ) = P( f ) = 0 pour f > 2T π T 1 α 1 α 1+ α p(0) T cos f pour < f < 2α 2T 2T 2T Réponse Impulsionnelle. g( t) = πt T πt cos (1 + α) + sin (1 α) T 4α t T p(0) 4α 2 4α t π T 1 T α = 0.3 α = 0.5 α = GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 31

32 Critère re de Nyquist En résum r sumé : Structures possibles du Récepteur Optimal GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 32

33 Canal Stationnaire, Non Dispersif, avec BABG Une Forme M Niveaux { ± 1, ± 3,, ± ( M 1) } Observation scalaire z = d p( 0) + n d. MIA (PAM) Codage binaire / M - aire BABG {d } N 0 / 2 s(t) filtre adapté g(t) + h r (t)=g * (-t) Canal idéal LIT p(t)=g(t) g ( t) z = d p(0)+n z(t) Ech T s + t 0 Seuils {ˆ d } P( f D ) = T p(0) p( T ) = 0, 0 s s s p( t ) vérifie Nyquist 2 j2 π f θ P( f ) = G( f ) e G( f ) = HR( f ) = P( f ) réalisable Racine de Nyquist GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 33

34 Canal Stationnaire, Non Dispersif, avec BABG M formes Codage binaire / M - aire s(t) = g (t T) g (t) {s 1 (t ),,s M (t)} + BABG N 0 / 2 Canal idéal filtre adapté s 1 ( t) z 1 (t) z l Ech filtre adapté s i ( t) zi (t) z 2 Ech filtre adapté s M ( t) z M (t) z M max Re( ) { g ˆ } Ech T s + t 0 Observation Vecteur Gaussien z s + b Filtres Adaptés aux impulsions Reçues = et s { s,, } 1 s M s ( t) s ( t) vérifient Nyquist i, j i j GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 34

35 Canal Stationnaire, Dispersif, avec BABG { } d n s( t) Canal Dispersif Stationnaire BABG N 0 / 2 Filtre Adapté à l'impulsion reçue g( t ) C( f ) h ( t) = h ( t) he ( t ) Impulsion reçue Racine de Nyquist r e Détection des Symboles p( t ) Impulsion de Nyquist P( f ) = N ( f ) = H ( f ) H ( f ) H ( f ) C( f ) estimée connue y e r = Racine de Nyquist H ( f ) = N ( f ) = G( f ) C( f ) e y e 2 G( f ) = N y ( f C( f ) ) Canal Non Stationnaire, Dispersif, avec BABG { } d n s( t) Canal Dispersif Variable BABG N 0 / 2 Filtre Adapté à l'impulsion émise g( t ) C( f, t) g ( t) Egaliseur Adaptatif de Canal Détection des Symboles p( t ) Impulsion de Nyquist GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 35

36 C o m m u n i c a t i o n s N u m é r i q u e s C N Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist. 5. Calcul de performance. 1 Taux d Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité. 6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse. 1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 36