Le cours de physique. Principes de la mécanique quantique. Outils pour le cours de mécanique quantique. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique?

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1 18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique Résonance magnétique Principe du laser Le cours de physique Structure des atomes M.Q. + P.S. Nature du "réel" Physique des solides Physique stellaire Outils pour le cours de mécanique quantique Livres (eistent aussi en anglais) : «Mécanique quantique» «Problèmes quantiques» Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard Les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles àl'adresse : cours 2ème année physique quantique et statistique PHY432 transparents Mécanique quantique (7 blocs) + Physique statistique (11 blocs) CD-rom d illustrations et de simulations, Manuel Joffre Principes de la mécanique quantique Idée clés de la description quantique d'un système physique : Etats du système "Observables" de ce système Evolution dans le temps du système 1. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique? Relations d'incertitude : Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément?

2 Physique newtonienne ou physique ondulatoire? Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) Newton : Schrödinger : Electrons confinés sur un billard formé par 48 atomes de fer sur une surface de cuivre Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h action = longueur caractéristique impulsion caractéristique IBM groupe quantronique, Saclay Conduction d électrons par un fil a Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde λ = h / p Pont d aluminium déposé sur un isolant électron d impulsion p action caractéristique : pa à comparer à la cte. de Planck : h (de Broglie) Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si : λ= h/p > a h > pa Ordres de grandeur (h=6, J s) Système considéré Masse (kg) Vitesse (m/s) Taille de l'ouverture (m) p a / h La physique quantique peut également être macroscopique Superfluidité de l'hélium liquide à basse température (T < 2,3 K) Homme passant une porte Globule rouge dans un capillaire Electron dans un fil étroit Supraconductivité de certains métau à basse température Caractère quantique si : distance entre voisins < λ de Broglie

3 Une particule ponctuelle Particule ponctuelle de masse m dans un état 2. La description d un système quantique fonction d onde complee : continue et Mesure de position : le résultat n'est pas certain variable aléatoire de densité de probabilité Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état ψ, on peut tracer un histogramme : N() ψ (r,t ) 2 position moyenne : Position et impulsion pour une particule moyenne Position moyenne Formulation générale L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert Particule ponctuelle : Atome d'hydrogène : Fonctions de carré sommable Impulsion moyenne Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie Le vecteur est normé : généralise

4 Eemple : états de polarisation d un photon On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un". z On considère un photon de vecteur d onde k = k u bien défini. L état de polarisation peut s écrire comme combinaison des deu états de polarisation linéaire et : dimension 2 0 z 3. Mesures sur un système quantique polarisation linéaire quelconque : polarisation circulaire gauche ou droite : Observables Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables : A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert En dimension finie, est une matrice carrée Les opérateurs associés au grandeurs physiques sont hermitiens Observables Mesures individuelles Principe : Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres a α de. La probabilité de trouver la valeur propre a α, de vecteur propre associé, est dans le cas non dégénéré : Eercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état : vecteur ligne matrice carrée vecteur colonne base orthonormée N(a) (réel) a a 1 a 2 a 3 a 4

5 Le cas de la particule ponctuelle Mesure de la polarisation d'un photon A toute grandeur de la physique newtonienne, on associe un opérateur z Cube polariseur polarisation inconnue polarisation verticale Action de l'opérateur position sur : multiplication par Action de l'opérateur impulsion sur : dérivation par rapport à (gradient) Opérateur moment cinétique : Action sur : polarisation horizontale Observable : composante de la polarisation le long de l'ae z 2 résultats possibles : ε z =1 photon de pol. verticale ε z =0 photon de pol. horizontale Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'epérience de Stern & Gerlach Un eemple concret : énergie d'un électron dans un puits quantique Sandwich de Al Ga As Ga As Al Ga As Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V() Le puits quantique (suite) Une mesure de l'énergie de l'électron ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres E α de l'hamiltonien : Observable associée à l'énergie : hamiltonien pour une particule ponctuelle à 1D : V() E α Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres Partie discrète du spectre : états liés

6 Emission de lumière par un puits quantique de nitrure de gallium Un autre eemple : l'oscillateur harmonique n=3 n=2 12 couches atomiques 6 couches atomiques n=1 n=0 Spectre discret : Etat fondamental (n=0) : fonction d'onde gaussienne avec Eemple : vibration d'une molécule (CO) 1,13 Å Jet moléculaire de CO E 1 E 2 Electrons incidents Electrons diffusés Courant électronique diffusé Perte d'énergie E 1 -E 2 (ev) 4. Evolution dans le temps d un système quantique (en dehors d une mesure) ω / 2π = Hz

7 Evolution temporelle des systèmes Principe : l évolution dans le temps du vecteur d état est donné par l équation de Schrödinger : rôle équivalent à lien temps-énergie en physique newtonienne Pour un système isolé, est indépendant du temps Cette équation fait alors jouer un rôle particulier au vecteurs propres de Résolution de l équation de Schrödinger Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres E α ( indépdt. du temps) alors, pour tout état initial, il suffit de : décomposer sur la base : avec obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à : Un eemple d'évolution : mouvement dans un puits carré Si l'état initial est V() Si ψ 1 () ψ 0 () Pas de mouvement! état stationnaire 5. Relations d'incertitude alors Modulation de à la pulsation

8 Avec quelle précision peut-on mesurer une observable? On considère N systèmes tous préparés dans le même état Avec quelle précision peut-on mesurer deu observables? On considère 2N systèmes tous préparés dans le même état N(a) a 1 a 2 a 3 a 4 a Valeur moyenne des résultats : Variance : N(a) a 1 a 2 a 3 a 4 a N(b) b 1 b 2 b 3 b Peut-on avoir un résultat certain ( a = 0)? Oui, si état propre de Mesure de A sur N systèmes Mesure de B sur N systèmes Peut-on avoir simultanément a = 0 et b = 0? En général, non! avec Eemple d'application : position & impulsion Position & impulsion (2) 2N particules dans le même état Commutateur N particules N particules détecteur La relation générale Mesure de la position selon Mesure de l'impulsion selon détecteur donne alors : Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des appareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canau des histogrammes