Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position?

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1 Paramètres descrptfs Cours VETE043- Aée académque Commet représeter les varables aléatores (doées)? Représetato sythétque Tables de fréqueces Représetato graphque Dagrammes de fréqueces Paramètres descrptfs Posto Dsperso Aplatssemet, asymétre, Aée académque Quels sot les paramètres descrptfs de la posto? Le plus cou est certaemet la moyee arthmétque Pour des doées smples: m = = Exemple: jets d u dé: => m = ( ) / 0 = 3.9 Quels sot les paramètres descrptfs de la posto? Ue terprétato de la moyee arthmétque = = * Chaque doée est podérée das la somme par sa fréquece relatve (u estmateur de la probablté) das l échatllo. Aée académque Aée académque

2 Est-ce la vrae moyeede? Das cet exemple, o pourrat calculer la vrae moyeede (moyee populato): µ= ( )/6 = 3. La moyee calculée (m= 3.9) est qu ue estmatobasée sur u échatllo de la moyee réelle (µ = 3.). Aée académque Pourquo e pas toujours calculer la vrae moyeede? µe peut être calculée que s toutes les valeursde et les probabltés assocées sot coues. Rappel: dstrbutos = foctos qu assocet à chaque valeur de x la probablté correspodate Exemple: s je jette dés et que j addtoe les pots obteus, combe vas-je obter e moyee? Aée académque Pourquo e pas toujours calculer la vrae moyeede? Pourquo e pas toujours calculer la vrae moyeede? A) Approche approxmatve (échatlloage) Je répète fos (p.e. = 0) fos l expérece, et je calcule la moyee arthmétque des valeurs obteues Aée académque B) Approche exacte (populato) Je calcule la probablté assocée à chaque stuato et je calcule la moyee e cosdérat que chaque valeur est représetée avec ue fréquece relatve égale à la probablté d obter cette valeur P[(;)] = P[(;)] = = P[(6;6)] = /36 P(S=0) = P(S=) = P(S>) = 0 P(S=) = P[(;)] = /36 P(S=3) = P[(;) ou (;)] = P[(;)] + P[(;)] = /36 Aée académque

3 Pourquo e pas toujours calculer la vrae moyeede? B) Approche exacte (populato): sute P (*/36) P* (*/36) µ = ΣP * = /36 = 7 Pourquo e pas toujours calculer la vrae moyeede? Cocluso: o e calculera la vrae moyee qu à codto de dsposer de toutes les valeurs de et des probabltés assocées. O fera alors: = µ * π ( ) La vrae moyee est appelée: espérace mathématque. Aée académque Aée académque Quel est le le etre µet m? S o cosdère que chaque doée de l échatllo a la même probablté (sot, /), les deux formulatos sot detques: * * Pr = = ( ) La fréquece (/) d ue valeur das l échatllo estmela probablté Pr( ) de cette valeur das la populato. Aée académque Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Exemple I: Das ue populato de possos, l y a 0% de possos blacs et 80% de possos d autres couleurs. O mesure 6 possos, avec les résultats cdessous. Quelle est la talle moyee das cette espèce? cm 3 cm 34 cm 9 cm 9 cm 34 cm Aée académque

4 Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Soluto I: Les possos colorés dovet avor ue podérato 4 fos plus élevée que les blacs pusqu ls représetet 4 fos plus d dvdus. O peut attrbuer explctemet ces podératos, et remplacer les probabltés par ces podératos stadardsés: = * w = * W W Aée académque Soluto I: Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? No podérée p = p = = Podérée p Ue telle moyee est ue moyee podérée Aée académque Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Soluto I: das otre exemple, o a: w = w 4 = w w = w 3 = w 6 w = 4*w w + w + w 3 + w 4 + w + w 6 = dot la soluto est: w = w 4 = w = / w = w 3 = w 6 = 4/ Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Soluto I: ce qu codut à: m p = ( *3 + 4*34 + 4*34)/ = 3.0 cm = (0.8 * c ) + (0. * b ) Cette moyee podéréeest doc calculée sur les doées dspobles et tet compte de la coassace qu o a de la structure de la populato Aée académque Aée académque

5 Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Exemple II: Moyee pour u étudat de BMV? Cours Aglas Bologe Chme Physque Stat Note Pods 0/0 0/0 0/0 0/0 0/0 Note P.73 Am et Soc 0/ Moy Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Exemple III: Des dvdus ot été réparts par classe, d après leurs mesures. Que vaut le pods moye? Classe 0 à 0 0 à 0 0 à à 40 3 f 8 0 Aée académque Aée académque Peut-o gééralser cette dée à d autres stuatos? Soluto III: chaque valeur de peut être podérée par sa fréquece relatve (qu estme la probablté) = moyee de doées groupées Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Ou. Il exste pluseurs types de moyees, as que d autres types de paramètres: Moyee géométrque (problèmes multplcatfs): Classe 0 à 0 0 à 0 0 à à 40 3 f 8 0 = * fr = * = f f = g = Exemple: Accrossemets successfs d ue populato sur 3 aées (0%, %, 3%). Aée académque Aée académque

6 Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Exemple: Accrossemets successfs d ue populato sur 3 aées (0%, %, 3%). E t = 0: (0) = talle E t = : () = (0)*.0 E t = : () = ()*. E t = 3: (3) = ()*.3 = (0)*.0*.*.3 S chaque aée, o a le même accrossemet α: (3) = ()*α= ()*α² = (0)*α³ 3 => α = 3 α = Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Moyee harmoque(doées/uté): = = h Exemple: Mapulatos effectuées par 3 laborats (0 / jour, / jour, 0 / jour) Temps moye: t m = (/0 + / + /0)/3 # moye de maps/jour = (/t m ) Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? U exemple e physque de la mh: F = m*a => a = F/m Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? U autre exemple e physque de la mh: U moble parcourt la moté d ue dstace à 40 km/h et l autre moté à 60 km/h. Quelle est sa vtesse moyee? T T a = g T/m a = g T/m a = -a m m g T/m = T/m g m g m g T = g / [/*(/m +/m )] = m h *g Aée académque Aée académque

7 Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Mode: l s agt de la valeur qu a la fréquece maxmale. Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Médae: l s agt de la valeur qu a 0 % des valeurs qu lu sot féreures. f() médae Exemple: Classe modale Classe 0 à 0 0 à 0 0 à à 40 Mode 3 f 8 0 Aée académque Mode = Exemple: 0% Classe 0 à 0 0 à 0 0 à à 40 0% 3 f 8 0 Médae 0 Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la posto? Exemple II: 3 pods de poulets adultes récoltés: O tre par ordre crossat: Moyee =.08, médae =.99 Aée académque Quad employer la moyee, la médae, le mode? Mesure d asymétre: Symétre => mode= moyee= médae Asymétre drote: Moy > Méd > Mode f() La médae est mos sesble aux doées aormales (outlers) Plurmodalté médae mode Aée académque

8 Quels sot les paramètres descrptfs de la dsperso? Le plus cou est certaemet la varace Pour des doées smples: s = ( ) Exemple I: jets d u dé: => m = ( ) / 0 = 3.9 => s² = [( 3.9)² + ] / 9 =.767 Aée académque Quels sot les paramètres descrptfs de la dsperso? Exemple II: mesure de la varace des varables quattatves das les doées de l explotato bove. Age: s² age =.4 (s = 7.4 mos) Pods: s² pods = (s = 93. klos) Talle: s² talle = 88.4 (s = 9.7 cms) Aée académque Quels sot les paramètres descrptfs de la dsperso? Remarques sur la varace La dvso par (-) est lée au fat qu o e calcule pas les écarts par rapport à µ mas par rapport à m. L expresso de cette mesure das la même uté que les valeurs de se fat e preat la race carrée de s², sot s, appelée dévato stadard. s² est u estmateurde la vrae varace, qu est l espérace mathématque de (-µ)², otée E(-µ)² σ = ( µ ) π ( ) Peut-o calculer la vrae varace σ²plutôt que s²? Ou, à codto, comme pour µ, de coaître toutes les valeurs de et les probabltés assocées. Exemple: jet d u dé? = Proba = /6 (-3.)² = 6. = Proba = /6 (-3.)² =. = 3 Proba = /6 (3-3.)² = 0. = 4 Proba = /6 (4-3.)² = 0. = Proba = /6 (-3.)² =. = 6 Proba = /6 (6-3.)² = 6. Exercce: σ² lors du jet de dés?(sol: σ² = 3/6) σ² = 7. / 6 Aée académque Aée académque

9 Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Étedue (rage) = écart etre la valeur maxmale et la valeur mmale. Exemple: l étedue du pods das les doées de l explotato bove est de klos. Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Quartles = valeurs découpat la dstrbuto e 4 partes de %. Exemple: les quartles pour la talle das les doées de l explotato bove sot: Q0= 6.30 cms = Mmum Q= 6.66 cms. Q= 40.3 cms. = Médae Q3= 8.66 cms Q4= 04.6 cms = Maxmum Aée académque Exemple d utlsato: «Box plot» Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Talle Décles= valeurs découpat la dstrbuto e 0 partes de 0%. Percetles = valeurs découpat la dstrbuto e 00 partes de %. Coeffcet de dsperso = 00*σ/ µ Sexe Aée académque Aée académque

10 Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Illustrato: terro de math 03 D.00 Exemple de percetle: détecto des cas de ggatsme P9 P0 Moyee Mmum Maxmum Varace Dev. Std Q Q Q3 Q D D3 D4 D D6 D D8.00 Aée académque D Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Il exste égalemet des mesures permettat de mesurer das quelles proportos deuxvarables aléatores évoluet cojotemet. La plus utlsée est la covarace (ou la corrélato, qu est la covarace stadardsée). La défto de la covarace etre et Y est: Cov(,Y) = σ Y = E[(-µ )(Y-µ Y )] Aée académque Y a-t-l d autres paramètres descrptfs de la dsperso? Sur u échatllo, o calculera u estmateur s Y de σ Y. S Y = ( )( Y Y ) U estmateur r Y du coeffcet de corrélato ρ Y vaut: ( )( Y Y ) r Y = ( ) ( Y Y ) Aée académque

11 Iterprétato de la covarace Y Iterprétato de la covarace Y µ Y µ Y µ => Covarace > 0 => Y quad Aée académque µ => Covarace < 0 => Y quad Aée académque Iterprétato de la covarace µ Y Y µ Iterprétatos de la covarace Comme o le vot, l dépedace de deux varables et Y se tradut par σ Y = 0 (s Y peut e pas être ul). Exemple: calculez la covarace etre le pods et la talle sur les doées de l exemple bov. O calcule que s Y = Le coeffcet de corrélato, r Y, vaut 0.7 => Covarace 0 => Y stable quad Aée académque Aée académque

12 Exercces récaptulatfs Calculez: La varace de * La varace de k* La varace de (+Y) La varace de La varace de a*+b*y Aée académque E résumé: U esemble de doées peut être représeté par ue (des) varable(s) aléatore(s). Les varables aléatores peuvet être sythétsées par u (des) paramètre(s) de posto de dsperso... L étape suvate est de décrre de maère complète les varables aléatores: o utlse alors les dstrbutos Aée académque