TD d Électrocinétique : Filtres

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1 TD d Électrocinétique : Filtres Ex-TD/E6 Filtre On considère le filtre suivant tension de sortie v s : 5 Dans toute la suite de l exercice, on fera l hypothèse que τ τ Le gain en décibel du a filtre sera noté G db ω et ϕ le déphasage entre la tension de sortie et la tension d entrée Donner une valeur ou une expression approchée dans l intervalle de pulsation ω τ a τ : G db ω et ϕ G db ω loga et ϕ π G db ω loga et ϕ 4 G db ω loga et ϕ π Prévoir le comportement haute et basse fréquence de ce filtre De quelle famille de filtre est-il voisin? Filtre passe-bas Filtre passe-haut Filtre passe-bande 4 Filtre réjecteur de bande On exprime la fonction de transfert H jω = V s sous la forme : H V jω = e jτ ω a jτ ω L expression de a est : a = 4 a = a = 4 4 a = L expression de τ est : τ = C τ = 4 C τ = 4 C 4 τ = C 4 4 L expression de τ est : τ = C τ = C τ = 4 4 τ = 4 C C 6 Donner une valeur ou une expression approchée dans l intervalle de pulsation τ ω a τ : π π G db ω et ϕ G db ω logωτ loga et ϕ G db ω logωτ loga et ϕ 4 G db ω logωτ loga et ϕ 7 Donner une valeur ou une expression approchée dans l intervalle de pulsation τ a τ ω : G db ω log τ τ et ϕ G db ω loga et ϕ G db ω logωτ et ϕ 4 G db ω logωτ et ϕ π 8 Exprimer la relation entre la fonction de transfert H jω = V s V e et H jω en fonction des valeurs des éléments du circuit H jω = H jω = H jω H jω = 4 H jω H jω 4 H jω = 4 H jω 4 4 4

2 TD d Électrocinétique Je8/ 8-9 Ex-TD/E6 Filtre à structure de auch [d après Morellet/Grossart, p 58] On réalise un filtre à l aide du montage suivant C L amplificateur opérationnel est supposé idéal et _ B en régime linéaire i - = ε= S En déterminant la tension de sortie du filtre à basses et hautes fréquences, déterminer la nature de ce filtre et C i = M x x x En utilisant le théorème de Millman en et B, établir l expression de la fonction de transfert H du montage que l on mettra sous la forme : H = m jω jω en déterminant H ω ω ainsi que les expressions de ω et m en fonction de, C et C On souhaite obtenir une fréquence f = ω = 5 Hz et un facteur d amortissement m = π On choisit = 47 Ω Calculer les valeurs des capacités C et C 4 Pour les valeurs numériques précédentes, tracer le diagramme de Bode asymptotique gain et phase ainsi que l allure des courbes réelles On utilisera comme variable la pulsation réduite x = ω ω Ex-TD/E6 Filtre actif Ecole de l ir 4 Le montage amplificateur ci-contre comporte un amplificateur opérationnel idéal idéal en régime linéaire La tension et est sinusoïdale On utilisera la notation complexe Exprimer l amplitude complexe du potentiel V B en fonction de celle du potentiel en S Exprimer l amplitude complexe du potentiel V en en fonction de celles des potentiel en E et S, des admittances Y i = Z i et de α mc En déduire la fonction de transfert H = V S où E est l amplitude complexe de la force E électromotrice et et V S celle de la tension de sortie v s en fonction des admittances Y i et de α 4 On pose Y = Y = et Y = Y 4 = jcω Montrer que H peut s écrire sous la forme : Hjω = Donner les expressions de, m et ω H jm ω ω ω ω éponse partielle : H = V S E = Y Y Y Y Y Y 4 Y Y α Y 5 À quelle condition a-t-on amplification du signal? 6 Tracer l allure du diagramme de Bode pour le gain des trois courbes correspondant aux cas suivants : m =,, m =, 77 et m = v s http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/

3 8-9 TD d Électrocinétique Je8/ Solution Ex-TD/E6 ; 4 ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 4 : ppliquer Millman en Solution Ex-TD/E6 Puisqu un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à basses fréquences Cω si ω, alors V = V B car parcourue par i = Comme B est une masse virtuelle pour un O idéal : V B = V E = V E = V M =, on en déduit que V = La loi des nœuds en termes de potentiels en donne : E V d où : V S = E v S t = et Hω = = V S V V B V =, Puisqu un condensateur se comporte comme un interrupteur fermé à hautes fréquences Cω si ω, on a v s t = u BM = Hω = Cl : Le filtre se comporte comme un filtre passe-bas Le théorème de Millman appliqué au nœud donne : E V B V S jc ωv M E V V = V = B V S jcω jc ω Le théorème de Millman appliqué au nœud B donne : V jc ωv S V jc ωv S jc ω V B = V B = jcω Comme B est une masse virtuelle cf, on a V B = et et conduisent à la relation : E V S jc ω jc ωv S = E V S jc ωjc ωv S = H = V S E = C jω C C jω Par comparaison avec la forme canonique d un filtre passe-bas d ordre, on obtient : H H = H = m jω jω ω = m = C C C ω = C C ω ω De ce qui précède on tire deux relations liant C et C : ω = C C = C C ω et m = C C = 4 C C 9 m 4 On en tire : C = m = µf et C = 9 πf 4m C = 4 La fonction de transfert peut s écrire : H H = x jmx = j mx jx = Hejϕ en posant x = ω ω On en déduit : H = et ϕ = π [ x 4m x arctan m car ϕ = arg H = arg j arg [mx jx ] = π arctan x mx 4mπf = 44 µf La gain en décibels est : G db ω = log H = log[x 4m x ] symptote basses fréquences : pour ω ω x, on a : G db G db BF = db et ϕ ϕ = π x ] x http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/

4 TD d Électrocinétique Je8/ 8-9 On en déduit que pour x, la courbe de réponse en gain en décibels présente une asymptote horizontale de valeur db et que la courbe de réponse en phase présente une asymptote horizontale de valeur 8 symptote hautes fréquences : pour ω ω x, on a : G db G db HF = 4 log x db et ϕ ϕ = On en déduit que pour x, la courbe de réponse en gain en décibels présente une asymptote de pente 4 db/dc passant par l origine et que la courbe de réponse en phase présente une asymptote horizontale de valeur Pour ω = ω x =, on a H = jh m = j D où G db ω = log =, db et ϕ = 9 q : le fait que G db ω G db max =, db indique que ω représente la pulsation de coupure du filtre 4 y a G db logx y b ϕlogx Solution Ex-TD/E6 Pour un O idéal en régime linéaire, V B = V = V = V C lors, la Loi des nœuds en termes de potentiels en C donne : V M V C r V S V C αr = soit : V B = V C = V S α La LNTP appliquée au point s écrit : E V V S V V B V = Y Z Z Z Y Y V = Y E Y V S Y V B Y E Y Y V α S Soit, grâce à : V = Y Y Y Comme i =, la LNTP appliquée en B s écrit : V V B V M V B = V Z Z = Y Y 4 4 Y Y 4 Y Y V E S α = Y Y α Y Y Y V Y B V = Y Y 4 Y V S H = V S E = Y Y Y Y Y Y 4 Y Y α Y 4 V S α 4 http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/

5 8-9 TD d Électrocinétique Je8/ 4 En utilisant Y = Y = et Y = Y 4 = jcω, la fonction de transfert devient : H = V S E = α j αcω C ω qu on peut écrire sous la forme : Hjω = en posant = α, m = α jm ω ω ω ω et ω = C 5 La forme canonique de la fonction de transfert est celle d un filtre passe-bas Mais un filtre passe-bas donc le facteur d amortissement est paramétré par la valeur de α qui, sur un certain intervalle, permet au module Hω de la fonction de transfert de passer par un maximum En effet Hω = Hjω = =, fx ω ω 4m ω ω en posant fx X 4m X = X m X et X ω Hω passe par un maximum H max lorsque fx passe par un minimum, c est-à-dire lorsque, pour w = w m : df dx X m = X m m = X m = m > ω m = ω m < ω avec : < m < Dans ce cas m <, le filtre se comporte comme un amplificateur de tension 6 La courbe de réponse en gain revient à tracer l évolution du gain en décibels : G db = log H en fonction de log x = log ω ω : G db = log log x 4m x Les asymptotes à basses fréquences et à hautes fréquences à cette courbes de réponses en gain ont les équations suivantes : ω ω G db G db BF = log : droite horizontale passant par, log ω ω G db G db BF = log 4 log x : droite de pente 4 db/dec passant par, log 5 ω y y6 8 4 c G db pour m =,, m =, 77 et m = d G db log pour m =,, m =, 77 et m = http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ 5

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