LES TRANSFORMATIONS USUELLES

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1 LES TRNSFRTINS USUELLES ) IJETINS ET TRNSFRTINS REIPRQUES Une transformation u plan est une application bijective u plan ans lui-même. Soit f une transformation u plan. La transformation réciproque e f, notée f, est l application qui, à tout point u plan, associe son unique antécéent par f. L application f est une transformation u plan. Une projection sur une roite n est pas une bijection, car tout point e a une infinité antécéents. f f Si N, alors N f ( ) = N équivaut à f ( N ) = 2 ) SYETRIES, TRNSLTINS ET HTHETIES Symétrie orthogonale ou réflexion axe : a pour image signifie Si, alors ' = ; si, alors est la méiatrice e [']. Notation La réflexion axe est notée S. est appelé le symétrique e par rapport à. Points invariants Les points e la roite La transformation réciproque e S est S elle-même. Translation e vecteur u : a pour image signifie = u u Notation La translation e vecteur u est notée t u Points invariants aucun, si u 0 tous les points, si u = 0 Quels que soient les points et N, on a : 'N' = N Symétrie centrale e centre : La transformation réciproque e t u est la translation e vecteur u, notée t u. a pour image signifie est le milieu e [']. Notation La symétrie e centre est notée S. est appelé le symétrique e par rapport à. Points invariants Le centre est le seul point invariant par S. Quels que soient les points et N, on a : 'N' = N La transformation réciproque e S est S elle-même.

2 2 Homothétie e centre et e rapport k ( k 0 ) : a pour image signifie = k k = 2 k =,5 L homothétie e centre et e rapport est la symétrie centrale e centre. Notation L homothétie e centre et e rapport k est notée h, k. est appelé l homothétique e. Points invariants Si k =, tous les points sont invariants Si k, le centre est le seul point invariant. Quels que soient les points et N, on a : 'N' = k N La transformation réciproque e h, k est l homothétie e centre et e rapport k, notée h,. k Rem : S il n y a aucun risque e confusion, on note souvent t, r ou h les translations, rotations ou homothéties rencontrées. Soit t une translation ; t : signifie que le point a pour image le point ' par la translation t. n note aussi ' = t (). n fait e même pour les autres transformations. En fait, on retrouve les notations vues avec les fonctions numériques. L application ientique ( ou ientité ), notée I est la transformation u plan qui, à tout point associe. ( translation e vecteur nul, homothétie e rapport ) 3 ) RTTIN U PLN RIENTE Jusqu à présent pour éfinir une rotation, il était nécessaire e éfinir un sens e rotation ; la notion angle orienté nous permet e onner une autre éfinition ans tout le paragraphe, le plan est orienté. éfinition : Soit un point u plan et un réel. + r (, π 2 ) La rotation e centre et angle, notée r (, ), est la transformation u plan éfinie par : l image e est ; l image un point istinct e est le point tel que = et (, ) =. Points invariants : Si n est pas une mesure e l angle nul, alors le seul point invariant est le point. ans le cas contraire, on retrouve l ientité u plan. : La transformation réciproque e r (, ) est la rotation e centre et angle, notée r (, ) as particuliers : La rotation e centre et angle π est la symétrie centrale ( ou emi-tour ) e centre. La rotation e centre et angle π 2 est appelé quart e tour irect e centre, et celle angle π est appelée quart e tour inirect e centre 2 N Une relation vectorielle importante : Soit r la rotation e centre et angle. Pour tout point u plan, image par r, on a : ù N est l image e par le quart e tour irect e centre. = cos + sin N

3 Preuve : Posons i = et j = N N. Le repère (; i, j ) est alors un repère orthonormal irect. 3 omme ( i, ) =, on en éuit que = ' cos i + ' sin j r ' = N = n en éuit l égalité cherchée. ' = N = 4 ) PRPRIETES ESSENTIELLES ES TRNSFRTINS USUELLES Les transformations usuelles sont les réflexions, les translations, les homothéties ( et onc les symétries centrales ) et les rotations. ) ISTNES Une réflexion, une symétrie centrale, une translation et une rotation conservent les istances. Une homothétie e rapport k multiplie les istances par k. Une transformation qui conserve les istances s appelle une isométrie. ) LES NGLES GEETRIQUES ET LES NGLES RIENTES Toute transformation usuelle conserve les angles géométriques Une réflexion change un angle orienté en un angle orienté e mesure opposée Les autres transformations conservent les angles orientés. La conservation es angles géométriques ( éjà vues ) écoulent es propriétés sur les angles orientés. k = 2 u β Preuve : Pour les homotheties et les translations, nous savons qu il existe un réel k tel que 'N' = k N pour tout point et N. insi ( '', '' ) = ( k, k ) = (, ) Pour les homothéties amis Un peu plus sur les rotations : Soit r une rotation e centre et angle. Soit et eux points u plan images respectives et, on a : (, '' ) = Preuve : n consière le point tel que soit un parallélogramme. n note l image e par r. n montre que l image un parallélogramme par une rotation est un parallélogramme, onc est un parallélogramme. insi = et '' = et par suite : (, '' ) = (, ) = car r ( ) = n peut maintenant montrer qu une rotation conserve les angles orientés : n a ( '', '' ) = ( '', ) + (, ) + (, '' ) = (, '' ) + (, ) + (, '' ) = + (, ) + = (, )

4 4 ) LINERITE, LIGNEENT Soit, et trois points u plan et, et leurs images par une transformation usuelle. Soit x un réel. Si = x, alors '' = x '' Les transformations usuelles conservent les relations e colinéarité, l alignement et les rapports e longueurs u ) RITES, PRLLELISE ET RTHGNLITE Par une transformation usuelle : l image une roite est une roite. eux roites parallèles ont pour images eux roites parallèles. eux roites perpeniculaires ont pour image eux roites perpeniculaires. Les transformations usuelles conservent le parallélisme et l orthogonalité. Précisons un peu Homothéties et translations : Par une homothétie ou par une translation, une roite et son image sont es roites parallèles Réflexion axe : Trois cas se présentent ( pour une roite istincte e et son image ) : Si, alors et sont confonues = Si //, alors // Sinon, et se coupent sur E ) IGES E FIGURE Soit f une transformation usuelle : Le segment [ ] a pour image le segment [ f ( ) f ( ) ]. L image un cercle e centre et e rayon r est un cercle e centre f ( ) et : e rayon r, si f est une isométrie e rayon k r, si f est une homothétie e rapport k. La nature es triangles ( isocèle, rectangle, équilatéral ) et es quarilatères ( parallélogramme, losange, rectangle, carré ) est conservée Le milieu un segment ( conservation u milieu ) et le centre e gravité un triangle sont conservés. Les points e contact ou intersection sont conservés. Les symétries, les translations et les rotations conservent les aires ; une homothétie e rapport k multiplie les aires par k ²

5 5 ) NFIGURTINS ET TRNSFRTINS e paragraphe resse un inventaire es figures importantes auxquelles on oit attacher une ou plusieurs transformations. n note les axes e symétrie. 5 TRINGLES : ISELE EQUILTERL ISELE RETNGLE La rotation e centre et angle transforme en. QURILTERES : La rotation e centre et angle π 3 transforme en Les rotations e centre et angle 2 π 3 et 2 π laissent le 3 triangle invariant. Le quart e tour irect e centre transforme en. PRLLELGRE RETNGLE ET LSNGE RRE La translation t transforme en et en. La symétrie e centre laisse le parallélogramme invariant. Les quarts e tour e centre laisse le carré invariant. NFIGURTIN E THLES : ( ) // ( E ) E E n passe un triangle à l autre par une homothétie e centre ERLE : EUX PINTS EUX TNGENTES I