Transformations anes du plan et de l'espace

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1 Transformations anes du plan et de l'espace PCSI 2 Dans tous le chapitre, (E, ( )) désigne un espace vectoriel euclidien de dimension 2 (parties 1 et 2) ou 3 (partie 3). On notera la norme euclidienne associée. Rappelons que si on xe O E et qu'on l'appelle le point origine, E peut être considéré comme sous-espace ane de lui-même : E = O + E. Tout point M de E s'écrit alors de manière unique M = O + u, avec u un vecteur de E. Ce vecteur est le vecteur d'origine A et d'extrémité B, noté AB = B A. Par convention, les points seront notés avec des lettre majuscules et les vecteurs avec des lettres minuscules. par : Le sous-espace ane euclidien E est muni de la distance euclidienne d entre points dénie (A, B) E 2 d(a, B) = B A = ( ) AB = AB AB = AB. AB 1 Isométries du plan 1.1 Dénitions Dénition On appelle isométrie du plan ane euclidien E toute application φ : E E qui conserve les distances entre points, i.e telle que : (A, B) E 2, d(φ(a), φ(b)) = d(a, B) de E dans E. Les isométries de E sont des transformations du plan ane E, i.e des bijections Dénition On appelle déplacement (resp. antidéplacement) du plan E toute isométrie φ de E qui conserve (resp. renverse) les angles orientés entre vecteurs, i.e telle que : (A, B, C, D) E 4, A B et C D ( φ(a)φ(b), φ(c)φ(d)) = ( AB, CD) (resp. ( φ(a)φ(b), φ(c)φ(d)) = ( AB, CD)) Rappelons que l'angle orienté (u, v) entre deux vecteurs u et v non nuls est par dénition l'angle de l'unique rotation qui envoie 1 u u sur 1 v v. 1

2 L'ensemble des isométries de E, muni de la composition, forme un sous-groupe de l'ensemble des transformations de E. Plus précisément : la composée de deux déplacements ou de deux antidéplacements est un déplacement ; la composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement ; la réciproque d'un déplacement est un déplacement ; la réciproque d'un antidéplacement est un antidéplacement. Ainsi, l'ensemble des déplacements forme lui-même un sous-groupe du groupe des isométries. 1.2 Exemples : translations, réexions, rotations Translations Rappelons qu'on appelle translation du plan ane E de vecteur a E la transformation de E suivante : τ a : M M + a Les translations de E sont des isométries de E, et même des déplacements de E. On a déjà étudié les propriétés des translations, qui forment un sous-groupe du groupe des déplacements Réexions Dénition On appelle réexion (ane) de E par rapport à la droite ane passant par le point A et dirigée par le vecteur u (i.e la droite A + Ru) la transformation de E suivante : σ (A,u) : M A + s u ( AM) où s u désigne la réexion (vectorielle) de E par rapport à la droite vectorielle Ru. Remarque 1. La dénition ci-dessus ne dépend pas du point A choisi pour dénir la droite. En eet 2. Avec les notations ci-dessus, en notant M, N deux points de E et M, N leurs images respectives par σ (A,u), le vecteur M N est l'image du vecteur MN par s u. En eet 2

3 Les réexions anes de E sont des isométries de E, et même des antidéplacements de E. C'est un corollaire de la proposition suivante : Les automorphismes orthogonaux positifs (resp. négatifs) de E conservent (resp. renversent) les angles orientés entre vecteurs Rotations Dénition On appelle rotation (ane) de E de centre le point A et d'angle de mesure θ la transformation de E suivante : ρ A,θ : M A + r θ ( AM) où r θ désigne la rotation (vectorielle) de E d'angle de mesure θ. Remarque Avec les notations ci-dessus, en notant M, N deux points de E et M, N leurs images respectives par ρ A,θ, le vecteur M N est l'image du vecteur MN par r θ. En eet de E. Les rotations anes de E sont des isométries de E, et même des déplacements 3

4 1.3 Images des barycentres et des congurations usuelles par les isométries Soit φ une isométrie de E et soit G le barycentre des points pondérés (A; λ), (B; µ). Alors φ(g) est le barycentre des points pondérés (φ(a); λ), (φ(b); µ). Corollaire Soit φ une isométrie de E et soit G le barycentre des points A 1, A 2,..., A n aectés des coecients λ 1, λ 2,..., λ n. Alors φ(g) est le barycentre des points imagesφ(a 1 ), φ(a 2 ),..., φ(a n ) aectés des mêmes coecients λ 1, λ 2,..., λ n. Autrement dit, une isométrie conserve les barycentres. Corollaire Les isométries du plan conservent l'alignement des points. Par conséquent, l'image d'une droite ane par une isométrie est une droite ane. En outre, les isométries conservent le parallélisme et la perpendicularité des droites anes. Soit φ une isométrie de E. L'image par φ du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre φ(a) et de même rayon r. 1.4 Classication des isométries planes Soient A et B deux points distincts de E. Alors il existe une et une seule réexion ane échangeant A et B. 4

5 Théorème Toute isométrie du plan s'écrit comme composée d'au plus trois réexions (anes). Tout déplacement s'écrit comme composée de 0 ou 2 réexion. Corollaire Tout déplacement du plan est : une rotation s'il a un seul point xe ; une translation de vecteur non nul s'il n'a aucun point xe ; l'identité s'il a au moins deux points xes distincts. Remarque Tout antidéplacement du plan est une réexion, ou la composée d'une réexion et d'une translation parallèlement à l'axe (symétrie glissée). Les aires sont invariantes par isométrie. 5

6 2 Similitudes du plan 2.1 Dénitions Dénition On appelle homothétie (ane) de centre A E et de rapport λ R l'application : h A,λ : M A + λ AM Les homothéties de centre A xé forment un sous-groupe commutatif du groupe des transformations du plan ane E, plus précisément : 1. Id E = h A,1 ; 2. h A,λ h A,µ = h A,µ h A,λ = h A,λµ ; 3. (h A,λ ) 1 = h A,λ 1. Dénition On appelle similitude de rapport k R du plan ane E toute application σ : E E qui multiplie les distances par k, i.e telle que : (A, B) E 2, d(σ(a), σ(b)) = kd(a, B) Les similitudes forment un sous-groupe du groupe des transformations du plan ane E, plus précisément : la composée de deux similitudes de rapports k et k est une similitude de rapport kk ; une similitude de rapport k est bijective, et sa réciproque est une similitude de rapport 1/k. Remarque Une similitude conserve donc les rapports de longueurs, les barycentres, l'alignement (en particulier l'image d'un droite ane est une droite ane), le parallélisme, la perpendicularité, les angles géométriques. Soit σ une similitude de rapport k. kr. Alors l'image par σ du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre σ(a) et rapport 2.2 Décomposition des similitudes Toute similitude f de rapport k 1 admet un unique point xe I. C'est de plus la composée commutative de l'homothétie h de centre I et de rapport k et d'une unique isométrie φ ayant I pour point xe : f = φ h = h φ. Dénition (resp. antidéplacement). On dit que la similitude est directe (resp. indirecte) lorsque φ est un déplacement 6

7 Remarque 1. La réciproque de la proposition ci-dessus est vraie : toute composée d'une homothétie de centre I et de rapport k 1 et d'une isométrie ayant I pour point xe est une similitude de rapport k ayant I pour seul point xe. 2. Une similitude de rapport 1 n'est rien d'autre qu'une isométrie... on les connaît donc déjà, et dans ce cas les similitudes directes sont les déplacements. Les similitudes directes (resp. indirectes) conservent (resp. renversent) les angles orientés entre vecteurs. L'image d'une surface d'aire A par une similitude de rapport k est une surface d'aire k 2 A. L'ensemble des similitudes directes forme un sous-groupe du groupe des similitudes. Il est composé : des translations (similitudes de rapport 1 ayant 0 point xe, hormis pour Id E ) ; des rotations (similitudes de rapport 1 ayant un unique point xe) ; des homothéties de rapports k 1 ; des composées (commutatives) d'une homothétie de rapport k et d'une rotation d'angle de mesure θ et de même centre I ; on parle alors de la similitude de centre I, de rapport k et d'angle de mesure θ. 2.3 Écriture complexe des similitudes directes On munit ici E d'un repère orthonormé direct, et on identie tout point du plan à son axe dans ce repère (rappelons que si x, y sont les coordonnées d'un point M dans ce repère, alors son axe est le nombre complexe z = x + iy). Toute similitude directe s'écrit de manière unique sous forme complexe : C C z az + b avec (a, b) C C Il s'agit d'une translation (de vecteur d'axe b) ssi a = 1. Dans le cas contraire, il s'agit de la similitude de centre d'axe d'angle Arg (a). b, de rapport a et 1 a Soient quatre point A, B, A, B du plan, avec A B et A B. Alors il existe une et une seule similitude directe qui transforme A en A et B en B. Pour la trouver, il sut de passer en complexe et de résoudre une système linéaire (dans C). Exemple 7

8 3 Isométries de l'espace 3.1 Dénitions et propriétés Dénition distances entre points. On appelle isométrie de l'espace toute application de E dans E qui conserve les On a essentiellement les mêmes propriétés que dans le plan : les isométries forment un sous-groupe du groupe des transformation, elles conservent les barycentres, l'alignement, les angles non orientés ; l'image d'une droite (res. d'un plan) ane est une droite (resp. un plan) ane, avec conservation du caractère parallèle, orthogonal, perpendiculaire. L'image d'un repère orthonormé par une isométrie est un repère orthonormé. Dénition On appelle déplacement de l'espace une isométrie de l'espace qui conserve l'orientation, i.e qui transforme un repère orthonormé direct en repère orthonormé direct. Les déplacements forment un sous-groupe du groupe des isométries. 3.2 Exemples Les translations sont des déplacements. On appelle rotation ane d'axe passant par A et dirigé par u et d'angle de mesure θ la transformation suivante : M A + r u,θ ( AM), où r u,θ est la rotation vectorielle d'axe dirigé par u et d'angle de mesure θ. Cette dénition ne dépend pas du point A choisi sur l'axe, et c'est un déplacement. La notion de réexion ane (par rapport à un plan ane) est similaire à celle du plan. Ce sont des isométries, mais pas des déplacements. On appelle vissage la composée (commutative) d'une rotation et d'une translation parallèlement à l'axe. Ce sont des déplacements Tout déplacement de l'espace est soit une translation, soit une rotation, soit un vissage. Toute isométrie est une composée de réexions. 8