Transformations du plan et de l espace

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1 [ édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 Montrer que si A et B sont des points fies de f alors la droite (AB) est invariante par f. Eercice 5 [ 0218 ] [Correction] Soient A, B, C, D quatre points non coplanaires d un espace affine E de dimension. Montrer qu il eiste une unique application affine envoant A, B, C, D sur B, C, D, A et déterminer un point invariant de celle-ci. Transformations du plan et de l espace Notions affines Eercice 1 [ 0214 ] [Correction] Soit V une partie non vide d un espace affine de dimension finie E. Montrer que V est un sous-espace affine si, et seulement si, pour tout couple (A, B) de points distincts de V, la droite (AB) est incluse dans V. Eercice 6 [ 0219 ] [Correction] Soit f une application affine d un espace affine E dans lui-même telle qu il eiste n N pour lequel f n = Id E. Montrer que f admet un point invariant. Applications affines usuelles Eercice 7 [ 0220 ] [Correction] Soit E un espace affine de dimension finie et de direction E. Soient u un vecteur de E et A un point de E. Décrire la transformation t u s A. Eercice 2 [ 0215 ] [Correction] Soit V une partie non vide d un espace affine E de dimension finie. Montrer que, si tout barcentre de points de V est encore dans V, alors V est un sous-espace affine. Eercice 8 [ 0221 ] [Correction] Soit E un espace affine de dimension finie et de direction E. Soient H et H deu homothéties de centres O et O et de rapports λ et λ. Décrire la transformation H H Eercice [ 0216 ] [Correction] Soient A, B et C trois points non alignés d un espace affine E et α, β, γ R tel que les barcentres G, G 1, G 2 et G de ((A, α), (B, β), (C, γ)), ((A, α), (B, β), (C, γ)), ((A, α), (B, β), (C, γ)), et ((A, α), (B, β), (C, γ)) eistent. (a) Montrer que les droites (AG 1 ), (BG 2 ), (CG ) concourent en G. (b) Montrer que les droites (G 2 G ), (G G 1 ), (G 1 G 2 ) passent respectivement par A, B, C. Applications affines Eercice 4 [ 0217 ] [Correction] Soient f une application affine d un espace affine E dans lui-même et (A, B) un couple de points distincts de E. Eercice 9 [ 0222 ] [Correction] Soit f une transformation affine et h une homothétie de centre O et de rapport λ d un espace affine E. Préciser l application f h f 1. Eercice 10 [ 022 ] [Correction] Déterminer toutes les applications affines f d un espace affine E dans lui-même f : E E commutant avec toutes les translations. Eercice 11 [ 0224 ] [Correction] Montrer que l ensemble G formé par la réunion des translations et des smétries centrales d un espace affine E, muni du produit de composition des applications, forme un groupe.

2 [ édité le 24 septembre 2016 Enoncés 2 Eercice 12 [ 0225 ] [Correction] Soit f une application affine d un espace affine E dans lui-même qui transforme toute droite vectorielle en une droite parallèle. Montrer que f est une translation ou une homothétie. Eercice 1 [ 0226 ] [Correction] On note HT le groupe des homothéties-translations d un espace affine E. Montrer que si G est un sous-groupe commutatif de HT alors G n est que constitué que de translations ou d homothéties de même centre. Projections et smétries affines Eercice 14 [ 0227 ] [Correction] On munit un espace affine E de dimension d un repère R = (O; i, j, k). (a) Donner l epression analtique de la projection sur P: + + z = 1 parallèlement à D = Vect( i + j k). (b) Donner l epression analtique de la smétrie par rapport à P: + z = 1 selon D = Vect( i + j). (c) Donner l epression de la projection affine sur P: + + z = 1 selon la direction Vect( u(1, 2, 2)). Eercice 15 [ 0228 ] [Correction] On munit un espace affine E de dimension d un repère R = (O; i, j, k). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l application f : E E d epression analtique : = z + 1 (a) = 2 2z + 2 z = + + 2z 1 2 = z + 1 (b) 2 = z 1 2z = + z + 1 = + z + (c) = + z + z = + 2z + Eercice 16 [ 0229 ] [Correction] À quelle condition une translation et une smétrie affine commutent-elle? Eercice 17 [ 020 ] [Correction] Soit f une application affine d un espace affine E dans lui-même. Établir : (a) f est une projection si, et seulement si, f f = f. (b) f est une smétrie si, et seulement si, f f = Id E. Eercice 18 [ 021 ] [Correction] Soit E un espace affine de dimension finie et de direction E. Soit f une transformation affine telle que f f = Id E. Montrer qu il eiste un unique couple (t, s) formé d une translation et d une smétrie tel que f = t s = s t. Isométries du plan Eercice 19 [ 022 ] [Correction] Montrer que toute isométrie du plan P qui échange deu points distincts est involutive. Eercice 20 [ 02 ] [Correction] Soient r et r deu rotations du plan P distinctes de Id. Montrer qu il eiste réfleions s, s, s telles que : r = s s et r = s s. Décrire r r. Lorsqu il s agit d une rotation donner une construction de son centre. Eercice 21 [ 024 ] [Correction] Étudier à quelle condition une réfleion et une translation du plan P commutent. Eercice 22 [ 026 ] [Correction] On munit le plan d un repère orthonormé direct R = (O; i, j). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l application f : P P d epression analtique :

3 [ édité le 24 septembre 2016 Enoncés (a) { = = (b) { = + 1 = + 2 Eercice 2 [ 027 ] [Correction] Déterminer le groupe des isométries du plan P laissant globalement invariant : (a) Un carré. (b) Un rectangle non carré. (c) Un cercle. Eercice 24 [ 028 ] [Correction] Déterminer le groupe des isométries du plan P laissant globalement invariant la réunion de deu droites parallèles distinctes du plan. Similitudes du plan Eercice 25 [ 029 ] [Correction] Soit ABC un triangle non aplati du plan P. On désigne par S 1, S 2, S les similitudes directes du plan P de centres respectifs A, B, C telles que S 1 (B) = C, S 2 (C) = A et S (A) = B. Décrire les composées S S 2 S 1 et S 1 S 2 S. Eercice 26 [ 0240 ] [Correction] Soient AOB un triangle non aplati rectangle en A, B ]O ; A] et A le projeté orthogonal de B sur (OB). Montrer : OB + AB < OB + A B Eercice 27 [ 0241 ] [Correction] Soient OAB et OA B deu triangles directement semblables. Soient I, J les milieu respectifs de A B, AB et H, H les projections orthogonales de O sur (AB), (A, B ). Montrer : (IJ) (HH ).

4 [ édité le 24 septembre 2016 Enoncés 4 Eercice 28 [ 0242 ] [Correction] On munit P d un repère orthonormé direct R = (O; i, j). Soient A, B, C trois points du plan P d affies a, b, c telles que a = b = c. Montrer que (ABC) est équilatéral si, et seulement si, a + b + c = 0. Eercice 29 [ 024 ] [Correction] (a) Soit f une similitude du plan P et Γ une conique de foer f, de directrice D et d ecentricité e. Justifier que f (Γ) est une conique dont on précisera foer, directrice et ecentricité. (b) À quelle(s) condition(s) deu coniques sont-elles directement semblables? Isométries de l espace Eercice 0 [ 0244 ] [Correction] On munit l espace affine E d un repère orthonormé direct R = (O; i, j, k). Décrire l application f : E E d epression analtique : (a) = 1 ( 2 + 2z) + 1 = 1 (2 2 + z) + 1 (b) z = 1 ( z) + = 1 ( z 5) = 1 ( 2 + 2z 2) z = 1 ( 2 2z + 1) Eercice 1 [ 0245 ] [Correction] Déterminer les déplacements et les réfleions de E laissant globalement invariante une sphère donnée.

5 [ édité le 24 septembre 2016 Corrections 5 Corrections Eercice 1 : [énoncé] ( = ) ok ( = ) Soit A V et F = { AM M V }. On a V = A + F. Montrons que F est un sous-espace vectoriel. F E, 0 = AA F. Soit u F. On peut écrire u = AM avec M V. Si u = 0 alors λ R, λ u = 0 F. Si u 0 alors, la droite (AM) est incluse dans V et donc λ R, λ u F. Soient u, v F. On peut écrire u = AM, v = AN avec M, N V. Si u = 0 ou v = 0 alors u + v F. Sinon, considérons I le milieu du segment [MN]. Le point I appartient à la droite (MN) dont I V. Comme u + v = 2 AI, on a u + v F. Finalement F est un sous-espace vectoriel et V un sous-espace affine. Eercice 2 : [énoncé] { Soit A V et F = AM A, M V }. Il suffit de montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. o F. Soit u F et λ R. M V tel que AM = u. Pour N = bar((a, 1 λ), (M, λ)) V on a AN = λam = λ u donc λ. u F Pour P = bar((a, 1), (M, 1), (N, 1)) V on a AP = AM + AN = u + v donc u + v F.Soit u, v F. Eercice : [énoncé] (a) On α G1 A + β G1 B + γ G1 C = o donc ( α + β + γ) G1 G + 2α AG = o donc G (AG1 ). De même G (BG 2 ) et G (CG ). (b) 2α ( G2 A = α G2 A β G2 B + γ ) ( G2 C + α G2 A + β G2 B γ ) G2 C = o + (α + β γ) G 2 G donc A (G 2 G ). De même B (G G 1 ) et C (G 1 G 2 ). Eercice 4 : [énoncé] f (A) = A et f (B) = B = f ( AB) = f (A) f (B) = AB. Pour tout point M = A + λ. AB de la droite (AB) on a alors f (M) = M. Eercice 5 : [énoncé] ( AB, AC, AD) est une base de E. Il eiste une unique application linéaire ϕ l envoant sur ( BC, BD, BA) et puisqu une application affine est caractérisée par l image d un point et sa partie linéaire, l application affine cherchée eiste et est unique. L isobarcentre des points A, B, C, D est invariant. Eercice 6 : [énoncé] Soit Ω E. Considérons l isobarcentre G des points Ω, f (Ω),..., f n 1 (Ω). f (G) est l isobarcentre des points f (Ω), f 2 (Ω),..., f n (Ω) = Ω donc f (G) = G. Ainsi f possède un point fie. Eercice 7 : [énoncé] Posons B = A u. On a t u = s B s A donc t u s A = s B. Eercice 8 : [énoncé] H H = λλ Id E. Si λλ 1 alors H H est une homothétie de rapport λλ et de centre Ω caractérisé par : (H H)(Ω) = Ω soit O Ω = λ O O + λλ OΩ qui donne O Ω = λ (1 λ) 1 λλ O O. Si λλ = 1 alors H H est une translation de vecteur u = OO avec O = H (H(O)) = H (O) = O + λ O O et donc u = (1 λ ) OO. Eercice 9 : [énoncé] f h f 1 est une application affine de partie linéaire λ Id qui fie le point f (O). Que λ = 1 ou non, f h f 1 est l homothétie de centre f (O) et de rapport λ. Eercice 10 : [énoncé] Les translations sont solutions. Montrons que ce sont les seules. Si f commutent avec les translations alors pour tout vecteur u de la direction E de E, (t u f )(A) = ( f t u )(A) donne f (A + u) = f (A) + u. Par suite f ( u) = u puis f = Id E. Ainsi f est une translation. Eercice 11 : [énoncé] Considérons L: GA(E) GL(E) définie par L( f ) = f. L est un morphisme de groupes et {Id E, Id E } est un sous-groupe de GL(E) donc G = L 1 ({Id E, Id E }) est un sous-groupe de GA(E).

6 [ édité le 24 septembre 2016 Corrections 6 Eercice 12 : [énoncé] Soit f une solution du problème posé. Montrons qu il eiste λ R tel que f = λ Id. Soient u un vecteur non nul, A un point de E et D la droite D = A + Vect( u). On a f (D) = f (A) + Vect( u). Or f (A + u) = f (A) + f ( u) f (D) donc f ( u) est colinéaire à u et donc il eiste λ R tel que f ( u) = λ. u. Montrons que ce λ ne dépend pas de u. Soit B = ( e 1,..., e n ) une base de E. Pour tout 1 i n, il eiste λ i R tel que f ( e i ) = λ i e i. Soit 1 i j n. Il eiste λ R tel que f ( e i + e j ) = λ( e i + e j ). Or f ( e i + e j ) = f ( e i ) + f ( e j ) = λ i e i + λ j e j. La famille ( e i, e j ) étant libre, on obtient λ = λ i = λ j. Ainsi λ 1 =... = λ n = λ et f = λ Id. Eercice 1 : [énoncé] Si G n est constitué que de translation : ok Sinon soit H une homothétie h de centre O et de rapport λ 1 appartenant à G. Soit t une translation de vecteur u appartenant à G. H t = t H donne en O : λ u = u d où u = 0 et t = Id E qui est une homothétie de centre O. Soit H une homothétie appartenant à G. H H = H H donne en O : H(H (O)) = H (O). Or O est le seul point fie de H donc H (O) = O et par suite H est une homothétie de centre O. Finalement les éléments de G sont tous des homothéties de centre O. Eercice 14 : [énoncé] (a) Notons f la transformation étudiée. Soient M(,, z) un point et M (,, z ) = f (M) son image. Puisque M P on a + + z = 1 Puisque MM Vect( i + j k), il eiste λ R tel que MM = λ( i + j k) ce qui donne = + λ = + λ z = z λ Sachant + + z = 1, on obtient : λ = 1 ( + + z) et finalement : = z + 1 = z + 1 z = + + 2z 1 (b) Notons f la transformation étudiée et reprenons des notations analogues au précédentes. Puisque m[m ; M ] P on a z + z 2 Puisque MM Vect( i + j), il eiste λ R tel que MM = λ( i + j) ce qui donne = + λ = + λ z = z Sachant + + z + z = 2, on obtient : λ = 2 2 2z et finalement : = 2z + 2 = 2 + 2z + 2 z = z (c) On obtient Eercice 15 : [énoncé] = 1 = z + 1 = z 2 z = 2 2 z + 2 (a) f est une application affine car l epression analtique est du tpe X = AX + B. Les points invariants par f sont les points du plan + + z = 1. On a A 2 = Id donc f est une smétrie vectorielle selon la direction ker( f + Id) = Vect( i + 2 j k). Par suite f est la smétrie par rapport au plan d équation + + z = 1 et selon Vect( i + 2 j k). (b) f est une application affine car l epression analtique est du tpe X = AX + B. Les points invariants par f sont les points du plan + z = 1. On a A 2 = A donc f est une projection vectorielle selon la direction ker( f ) = Vect( i j + k). Par suite f est la projection sur le plan d équation + z = 1 et selon la direction Vect( i j + k). + 2z = 0. (c) Projection sur P: + z = selon u(1, 1, 1)

7 [ édité le 24 septembre 2016 Corrections 7 Eercice 16 : [énoncé] Soit t une translation de vecteur u et s une smétrie par rapport à V = A + F et parallèlement à G. t s = s = s t et (t s)(a) = (s t)(a) A + u = A + s( u). Donc t et s commutent si, et seulement si, u F. Eercice 17 : [énoncé] (a) Si f est une projection affine alors f f = f. Inversement si f f = f alors f f = f. Par suite F = Im f et G = ker f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E et f est la projection vectorielle sur F selon la direction G. Soit A un point de E, on a f ( f (A)) = f (A) donc f (A) est un point fie de f. Posons V = f (A) + F. f apparaît comme la projection sur V selon la direction G car prend même valeur en f (A) et a même partie linéaire que cette transformation. (b) Si f est une smétrie affine alors f f = Id E. Inversement, si f f = Id E alors f f = Id E. Par suite F = ker( f Id E ) et G = ker( f + Id E ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E et f est la smétrie vectorielle par rapport à F selon la direction G. Soit A un point de E, on a f ( f (A)) = A. Posons I le milieu du segment d etrémités A et f (A). I est un point fie de f. Posons V = I + F. f apparaît comme la smétrie par rapport à V selon la direction G car prend même valeur en I et a même partie linéaire que cette transformation. Eercice 18 : [énoncé] Unicité : Si f = t s = s t alors f f = t t ce qui détermine t puis s de manière unique. Eistence : Puisque f f = Id E, F = ker( f Id) et G = ker( f + Id) sont supplémentaires et f est la smétrie par rapport à F parallèlement à G. Soit O E, O = f (O), OO = u + v avec u F et v G. Posons A = O v, V = A + F, s la smétrie par rapport à V et t la translation de vecteur u. On a t s = s t, f = t s et (t s)(o) = A f = t s = s t. et s l application f t 1 de sorte que f = s t. v + u = O + OO = O = f (O) donc Eercice 19 : [énoncé] Soit f une isométrie échangeant deu points distincts A et B. f 2 est un déplacement car composée de deu déplacement ou de deu antidéplacement. A et B sont points fies de f 2 car( f ( f (A)) = f (B) = A et f ( f (B)) = B. Par suite f 2 = Id P. Eercice 20 : [énoncé] Notons O et O les centres de r et r. Soit s la réfleion par rapport à une droite passant par O et O. Considérons f = s r. f est un antidéplacement du plan qui garde fie le point O, c est donc un réfleion s par rapport à une droite D passant O. Ainsi r = s s. De même, r s est une réfleion s par rapport à une droite D passant par O. r r = s s s s = s s. Si D et D sont parallèles alors r r est une translation. Sinon, r r est une rotation dont le centre est l intersection des droites D et D. Connaissant les rotations r et r, on peut construire D et D puis le centre de r r. Eercice 21 : [énoncé] Soit σ la réfleion par rapport à la droite D = A + D et t la translation de vecteur u. On a σ t = t σ si, et seulement si, pour tout point M P, σ(m + u) = σ(m) + u soit σ( u) = u. Or les vecteurs fies de la réfleion vectorielle σ sont les vecteurs de D. Par suite σ et t commutent si et seulement si u D. Eercice 22 : [énoncé] (a) Rotation de centre Ω 4 et d angle arccos(/5) [2π]. (b) Smétrie glissée par rapport à la droite D: = 0 et de vecteur u 1/2 1/2. Eercice 2 : [énoncé] (a) Soit (ABCD) un carré. Soit f une isométrie du plan P conservant les sommets du carré ABCD. Nécessairement f garde fie le centre O du rectangle (isobarcentre des points A, B, C, D). Si f est un déplacement, alors selon que f (A) = A, B, C ou D, on a f = Id, r O,π/2, r O,π = s O ou r O,π/2. Si f est un antidéplacement alors selon que f (A) = A, B, C ou D, on a f = s (AC), s D1, s (BD) ou s D2 avec D 1 et D 2 les médiatrices respectives des segments [AB] et [AD]. Inversement les isométries proposées laissent invariant le carré (ABCD)

8 [ édité le 24 septembre 2016 Corrections 8 (b) Soit (ABCD) un rectangle non carré. Soit f une isométrie du plan P conservant les sommets du rectangle (ABCD). Nécessairement f garde fie le centre O du rectangle (isobarcentre des points A, B, C, D). Si f est un déplacement, alors selon que f (A) = A ou C, on a f = Id ou r O,π = s O. Comme (ABCD) n est pas carré, les cas f (A) = B et f (A) = D sont impossibles.. Si f est un antidéplacement alors selon que f (A) = B ou D, on a f = s D1 ou s D2 avec D 1 et D 2 les médiatrices respectives des segments [AB] et [AD]. Comme ABCD n est pas carré, f (A) = A ou f (A) = C sont impossibles. Inversement les isométries proposées laissent invariant le rectangle (ABCD) (c) Soit C un cercle de centre O et de raon R > 0. Soit f une isométrie du plan laissant globalement invariant C. Soit A et B deu points diamétralement opposés de ce cercle, on a AB = 2R. Leurs images A et B par l isométrie f sont des points de C tels que A B = AB = 2R, ce sont donc deu points diamétralement opposés du cercle C. Par suite le milieu du segment [A B ] est O et on en déduit que O est point fie de f. Par suite f est soit une rotation de centre O, soit une réfleion par rapport à un ae passant par O. Inversement de telles transformations conservent le cercle c. Eercice 24 : [énoncé] Soit D et D deu droites parallèles distinctes. Soit f une isométrie laissant globalement invariant D D. Soit A un point de D et la perpendiculaire à D passant pas A. coupe D en un point A. Soit l image de par f. Comme une isométrie préserve l orthogonalité, est une droite parallèle à coupant D et D en des points B et B. Deu cas sont alors possibles : f envoie A sur B ou f envoie A sur B. Si f (A) = B alors f (A ) = B. Introduisons D la médiatrice du segment [AB]. Si f est déplacement alors s D f est un antidéplacement qui laisse fie A et A à savoir s (AA ). Par suite f = s D s (AA ) puis f est une translation de vecteur AB. Si f est un antidéplacement alors s D f est un déplacement qui laisse fie A et A à savoir Id. Par suite f = s D. Si f (A) = B alors f (A ) = B. Introduisons D la droite parallèle à D et D qui se situe à égale distance de celles-ci. s D f est une isométrie laissant invariante D et D et qui envoie A sur B. On est alors ramené au cas précédent. Résumons : f est -soit une translation de vecteur u nul ou directeur de D et D, -soit une réfleion par rapport à une droite perpendiculaire à D et D, -soit une smétrie glissée par rapport à la droite D intermédiaire à D et D. -soit une smétrie de centre situé sur la droite D. Inversement les transformations décrites ci-dessus sont solutions. Eercice 25 : [énoncé] S S 2 S 1 et S 1 S 2 S sont des similitudes de rapport 1 et d angle π par composition. S S 2 S 1 laisse fie le point B, c est la smétrie de centre B. S 1 S 2 S envoie le point C sur A, c est la smétrie de centre I = m [AC]. Eercice 26 : [énoncé] Nous allons eploiter le fait que les triangles AOB et A OB sont semblables. Notons α l angle en O de ces triangles : A B OB = sin α = AB OB OB + A B OB AB = (OB OB )(1 AB/OB) > 0. Eercice 27 : [énoncé] 2 IJ = BA + A B donc 2 IJ. HH = BA. OH + A B. HO Notons s = λ.r θ la partie linéaire associée à la similitude transformant OAB en OA B. BA. OH + A B. HO = BA.s( OH) + s( AB). HO = λab.rθ ( OH) λrθ ( AB). OH donc BA. OH + A B. HO = λ ( AB. r θ ( OH) + r θ ( ) OH) = 2λ cos θ. AB. OH = 0 puis la conclusion. Eercice 28 : [énoncé] Posons R = a = b = c, a = Re iα, b = Re iβ, c = Re iγ. Si a + b + c = 0 alors 1 + e i(β α) + e i(γ α) = 0. Par égalité des parties imaginaires : β α = α γ [2π] ou β α = π (α γ) [2π]. Dans le premier cas, l égalité des parties réelles donne cos(β α) = cos(α γ) = 1 2. Dans le second cas, l égalité des parties réelles donne 1 = 0. Ce cas est donc impossible. Finalement on obtient β α = α γ = ± 2π [2π]. On obtient alors (b = ja et c = j 2 a) ou (b = j 2 a et c = ja). Par suite (ABC) est un triangle équilatéral. Inversement si (ABC) est un triangle équilatéral.

9 [ édité le 24 septembre 2016 Corrections 9 Les points A, B, C se situent à égale distance de O et O est donc le centre du cercle circonscrit. Comme (ABC) est équilatéral, O est aussi le centre de gravité de (ABC) et par suite a + b + c = 0. Eercice 29 : [énoncé] (a) Γ = {M P MF = ed(m, D)}. f (Γ) = { f (M) MF = ed(m, D)} = { M f 1 (M )F = ed( f 1 (M ), D) }. Posons F = f (F) et D = f (D). En notant λ le rapport de la similitude f, on a M F = λ f 1 (M )F et d(m, D ) = λd( f 1 (M ), D) donc f (Γ) = {M P M F = ed(m, D)}. Ainsi f (Γ) est la conique de foer F, de directrice D et d ecentricité e. (b) Par la question précédente, l égalité de l ecentricité est nécessaire. Voons que cette condition suffit. Considérons Γ, Γ deu coniques de foers F, F, de directrices D, D et de même ecentricité e. Posons H, H les projetés de F, F sur D, D. Nous savons qu il eiste une similitude directe f qui envoie F sur F d une part, et H sur H d autre part. Puisque D est la perpendiculaire en H à la droite (FH), l image de D par f est la perpendiculaire en H à la droite (F H ) à savoir D. Par suite f transforme Γ en Γ. Eercice 0 : [énoncé] (a) f est le vissage d ae dirigé et orienté par v(1, 1, ), d angle arccos( 5/6) et de vecteur v. { z + 1 = 0 (b) f est le retournement autour de la droite d équations : + 2z = 0. Eercice 1 : [énoncé] Soit S une sphère de centre O et de raon R. L image de la sphère S par une isométrie f est une sphère de centre f (O) et de raon R. L isométrie f laisse invariante la sphère S si, et seulement si, f (O) = O. Les déplacements laissant fie le point O sont les rotations dont l ae passe par O. Les réfleions laissant fie le point O sont celles dont le plan passe par O.