Connaissances Capacités Commentaires

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1 Chapitre Théorème de Thalès I. Programme de la classe de troisième Connaissances Capacités Commentaires Configuration de Thalès. Connaître utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. Il s agit de prolonger l étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. Connaître utiliser un énoncé réciproque. La réciproque est formulée en tenant compte de l ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n ont pas à distinguer formellement le théorème direct sa réciproque. L utilisation d un logiciel de construction géométrique perm de créer des situations d approche ou d étude du théorème de sa réciproque. II. Contexte du chapitre Les objectifs des travaux géométriques demeurent ceux des classes antérieures du collège. L étude la représentation d objs usuels du plan de l espace se poursuivent ainsi que le calcul de grandeurs attachées à ces objs. L étude des configurations usuelles est enrichie en particulier de la réciproque du théorème de Thalès. Le recours à des logiciels de construction géométrique (par les élèves ou de manière collective) est intégré aux séquences d enseignement, dans l approche d une notion ou dans la résolution de problèmes. La résolution de problèmes a pour objectifs de calculer les grandeurs attachées à des objs géométriques, de développer les capacités relatives à la formalisation d une démonstration, d entrenir la pratique des constructions géométriques des raisonnements sous-jacents enfin de solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques les relations métriques associées vues dans les classes antérieures. III. Ressources disponibles sur le site compagnon le manuel numérique Premium Activités Savoir faire Exercices Travaux pratiques avec un ordinateur Du côté du site compagnon Activité 2 : Figure feuille de calcul à télécharger Animation : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès Animation : Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès Figure dynamique de l exercice 79 Figure dynamique de l exercice 86 Pour aider à la correction en vidéo-projection : Figure dynamique de l activité 1 Figure dynamique de l activité 2 Figure dynamique de l activité Fichier «boite_noire_» PDF : Fiches-réponse élèves imprimables pour les quatre activités PDF : La perspective avec point de fuite IV. Intentions pédagogiques des activités A. Activités d introduction Activité 1 : Revoir le théorème de Thalès L activité a pour objectif de réinvestir les connaissances savoir-faire des élèves sur la configuration de Thalès étudiée en classe de quatrième. Il est d abord demandé d établir l égalité des rapports à partir de la proportionnalité des côtés puis d appliquer la propriété sur une situation particulière pour calculer une longueur. 62 Activité 2 : Étudier une nouvelle configuration de Thalès Les variables (longueurs) de la feuille de géométrie dynamique sont directement exploitables dans la fenêtre du tableur. L avantage est d avoir à disposition un outil de calcul performant, intuitif très simple à utiliser. Après avoir réalisé la figure dynamique, on complète la feuille de calcul par un tableau présentant les côtés respectifs des deux triangles. Le parallélisme des droites (BC) (B C ) perm de conjecturer que le tableau semble traduire une situation de proportionnalité.

2 Il est important d insister sur le fait que les côtés des deux triangles sont deux à deux proportionnels. Cte activité peut être réalisée avec la version.0 (ou supérieure) de GeoGebra qui intègre un tableur. Il est préférable que les élèves ne soient pas novices dans l utilisation d un tableur. La construction de la figure reste relativement aisée. Activité : Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles Partant d une situation concrète, l activité a pour objectif d appliquer le théorème de Thalès (dans sa forme contraposée) pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles. La formalisation de la contraposée ne doit pas se faire comme telle. On pourra se contenter de rendre les élèves sensibles au fait que l égalité des rapports est une condition nécessaire au parallélisme. Sa négation rend donc le parallélisme impossible. On pourra alors éventuellement formaliser une propriété nouvelle sans nécessairement lui accorder le statut de contraposée. Activité 4 : Démontrer que deux droites sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès) Cte activité comme la précédente a pour objectif d appliquer la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer que deux droites sont parallèles. Il est important de bien distinguer le contexte d application de la propriété : dans la situation de l activité, toutes les longueurs des triangles sont connues, il ne s agit donc pas de calculer une longueur manquante. La confusion avec le théorème direct est encore bien présente chez beaucoup d élèves. L activité perm aussi de débattre des conditions d utilisation de la réciproque. B. Activités TICE Activité 1 : Point mobile sur un cercle Considérations didactiques : L objectif est de conjecturer puis démontrer un lieu géométrique. La plus-value du logiciel est de visualiser ce lieu de façon dynamique à l aide de la fonction «Trace». La démonstration en est ainsi facilitée. Il suffira de prouver à l aide du théorème de Thalès que la longueur O M reste constante lorsque l on déplace le point M sur le cercle. En pratique : L activité est plutôt destinée à des élèves possédant quelques expériences dans l utilisation du logiciel. La construction des points O M peut poser de pites difficultés pour le report des longueurs imposées. Activité 2 : "A" comme allumtes! Considérations didactiques : On demande de modéliser résoudre un problème concr. On sera mené à effectuer des calculs de longueurs à l aide du théorème de Thalès du théorème de Pythagore. Le logiciel perm d effectuer des essais comme on pourrait le faire avec de vraies allumtes. Ainsi, les élèves pourront, par exemple, conjecturer les positions des allumtes pour lesquelles la figure imposée (le "A") est constructible. En pratique : La réalisation de la figure est très directive ne présente donc aucune difficulté technique. Activité : Problème ouvert Considérations didactiques : En classe de troisième, il est intéressant de proposer des problèmes motivants ouverts qui offrent un apprentissage autonome par la découverte. L élève devient un expérimentateur qui va pouvoir se construire une démarche. Celle-ci n a pas besoin d aboutir. Chaque étape de la recherche exprime une réflexion de l élève qui mérite d être valorisée. Dans cte activité, l objectif est de trouver les dimensions d un carré inscrit dans un triangle rectangle donné. Le logiciel permtra d expliciter la conjecture au problème que les élèves pourront ensuite démontrer. En pratique : La construction ne présente aucune autre difficulté notable que la réalisation d un triangle rectangle défini par les longueurs des côtés de l angle droit (report de longueurs données). Activité 4 : La boîte noire du chapitre Pour cte boîte noire, l élève place quatre points A, B, C D le logiciel en affiche deux nouveaux, E F. Le point D est un «guide» mtant les triangles AEF C en situation de Thalès. La droite passant par D parallèle à (BC) coupe les droites () (AC) respectivement en E F. B A V. Corrigés des exercices E Savoir faire 1 CD = 7 : 6 = cm ; = 6 6 : = 7,2 cm. 6 2 MA = 6 4 : 6 = 4 cm ; MP =, 6 : 4 =,2 cm. EF = 1, 4,9 : 2,1 =, cm. 4 QP = 8 1,8 : 9 12, cm. KR = 2,4 8 : 2,7 = OE = 6 10,8 : 7,2 = 9 cm ; BD =,1 7,2 : 10,8 =,4 cm. AF 7 AD = 6 9 = 2 AE AC = 4,2 6, = 2. PR 8 PM = 2, 4 = PS 8 PN = 2,2 = À vérifier sur le cahier de l élève. 2. AE =,6 7 = 4 AF AC = 4,8 6 = OM OP = 4 4,8 = 6 CD CA = 10 0 = 1 Exercices d entraînement 12 F ON OQ =,6 = 6. CB = = 1. Triangle C = 2,7 cm AC =, cm B C = cm Triangle C = 4, cm AC =, cm BC = cm 1 a. cm b. 2, cm c. 2,7 cm d., cm 14 Figure 1 : égalité 2 ; Figure 2 : égalité ; Figure : égalité 1. 1 Triangles considérés Droites parallèles D C Égalité de rapports C B (AC) () BA BD = BC BE = AC BFG B (FG) () BG BD = BF BE = GF C BFG (FG) (AC) BC BF = BA BG = CA FG 16 Figure 1 : DS = DT DF = ST AN ; Figure 2 : EF AD = AM AE = MN. 17 = 4,2,4 : 4 =,67 cm. 18 MN = 1 7 : 8 = 1,12 cm. 19 PB = 7 6 :,4 = ,8 cm ; RS =,4 : 7 =, 9 cm. 9 7 Chapitre Théorème de Thalès 6

3 20 BC = 10,8 7 : 9 = 8,4 cm ; AD = 7,7 9 : 7 = 9,9 cm. 21 AE = 4,8 2 : = 1,92 cm ; =,6 2 : = 2,24 cm. 22 KL = 6,4 : =,84 cm ; FL =,6 : =,6 cm. 2 On ne peut pas utiliser le théorème de Thalès car rien ne dit que les droites (RS) (BC) sont parallèles. 24 La double égalité des rapports de longueurs est fausse. Il fallait écrire : CA CM = CB CN = MN Les angles SRA ACB sont des angles alternes-internes égaux donc les droites (BC) (RS) sont parallèles. 2. = 6, : = 4,2 cm Les angles P DSB sont des angles correspondants égaux donc les droites () (DS) sont parallèles. 2. DP = 2,2 4, : 2 = 4,9 cm On applique le théorème de Pythagore : ED = 4,8 cm. 2. Les droites (BC) () sont parallèles car perpendiculaires à une même troisième (EC).. BC = 4,8 :, 2,6 cm BC BE = BF = 4, : 2 = 6,7 cm. 29 On applique le théorème de Thalès en passant par les rapports 1 2. AM 0 AN = AF AE = MF NE = AC = BF CE AC = 6,4 : 6 =,2 cm. 2. GF = 4, : = 2,7 cm Les droites (AD) (KC) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès dans les triangles IAD ICK. On a : IC IA = KC = 4 1 : = 4 cm. 1., 6, donc les droites (EA) (DC) ne sont pas parallèles. 4, 4 2.,6 4, = 4, donc les droites (AC) (ED) sont parallèles. 4 Les deux triangles ne possèdent pas de côtés dans le prolongement l un de l autre. a., c. d. parallèles b. non parallèles 6 7 PB PC = 2 PA PD = 4 64 PA PD = 2,6,9 = 2. PB PC =,7 = 4. MD 8 MS = 1,8 2,1 = 6 ME 7 MR = 2,4 2,8 = AD = 2,8 4 = 7 AC 10 AE =, = BD 40 BE =, 6, = 9 BC = 2, 4, = AE = 4 6,2 = 20 AC 1 AD = 4,6 = 1 2. Les droites (BC) () ne sont pas parallèles À vérifier sur le cahier de l élève. 2. DM = 1,2 4 = DN 10 DF = 1,4 = 7 2. Les droites (EF) (MN) ne sont pas parallèles À vérifier sur le cahier de l élève. 2. RE RS = 6 RF RT = 4, 7,7 = OA OC = 4, = 2 OB OD =,6,4 = 2. Les droites () (CD) sont parallèles, donc CD est un trapèze de bases [] [CD]. 4 BN BA = AM AU = 2. AN AS = 6 7,8 = MN MP = 4 2. AC AM = 1,1 4,4 = BK BG = 6,4 8 = 4 2. BF BE = 9 BM BC =,2, = 2. AN AT = 6 7,2 = 6. AM AR = 6, = MA MC = 4,4, = 4. AN = 1 4. BR BF = 7,2 9 = 4. BG BD = 8 9,8 = On prouve que les rapports de longueurs sur les demidroites sont égaux. 0 Il ne doit pas affirmer dès le début de la démonstration qu il applique la réciproque du théorème de Thalès. Les rapports de longueurs ne sont pas égaux CB CD = 7 CA CE = 7,7 12,1 = 7 2. Si deux droites sont parallèles, ici () (), alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. (BD) étant perpendiculaire à () est donc perpendiculaire à ().. On prouve à l aide du théorème de Pythagore que cm,2 cm. AD 2 = 2 2, = 4 AE AC = 2,4,1 = Les droites (BC) () ne sont donc pas parallèles. Comme () (BC) sont perpendiculaires, on en déduit que () () ne le sont pas. L étagère n est donc pas perpendiculaire au mur. On applique la réciproque du théorème de Thalès en prouvant que les rapports des longueurs des demi- diagonales sont égaux à 1. En eff, les diagonales se coupent en leur milieu. 4 a. 4, 6 b. 9,1 c.,6 4 d.,0 8,4 e. 2,6,4 f. 2,2 a., b., d. e. oui c. f. non 6 1. cos(efg)= donc EFG On applique le théorème de Pythagore pour prouver que EG = 12 cm.. GM = 12 = 9 cm. 4. Les droites (EF) (MN) sont parallèles à une même troisième droite (EG), donc elles sont parallèles entre elles.. GN = 1 9 : 12 = 9,7 cm Le point N est sur le cercle de diamètre [OM] donc le triangle MNO est rectangle en N. 2. Les droites (MN) (PQ) sont parallèles à une même troisième droite (NP), donc elles sont parallèles entre elles.. OP = 4, : 7, = cm On applique la réciproque du théorème de Pythagore. 2. a. (FT) (MP) sont perpendiculaires à une même troisième droite (FM), donc elles sont parallèles entre elles. b. AT = : 4 = 6,2 cm.

4 9 1. BC = 4,8 : = 8 cm. 2. À vérifier sur le cahier de l élève.. AG = 2 AK AC = 2,6 6, = BC 2 = 8 2 = AC 2 = 2 + 6, 2 = 67,2. Les droites (AC) () ne sont pas perpendiculaires () (CD) sont perpendiculaires à une même troisième droite (AC), donc elles sont parallèles entre elles. 2. CD = 1, 60 : = 82, m. Parcours autonome 61 A C 62 A B 6 B 64 C 6 A 66 C DN 67 DB = DM DA = MN = DP DC = NP BC 68 = 8,4 :,6 = 7 cm ; CE =,6 7,7 : 8,4 =, cm. 69 BR = 4 : 7 = 12 1,71 cm ; MN = 1, 7 : =, cm JK = 4 1 : = 4 cm () (CD) sont perpendiculaires à une même troisième droite (BC), donc elles sont parallèles entre elles. 2. CE = : 4 =,7 cm.. EF = 4,7 : 8,7 1,7 cm =,2 m. 2. On applique le théorème de Pythagore : BC 2,7 m.. On applique le théorème de Pythagore : AC 2,9 m. CS 7 CA = 4, 7, = CP CB =,6 6 =. PN 74 PR = 2,1 2,7 = 7 9 6, = 0 6. Les droites (MN) (RT) ne sont pas parallèles CA CE = 1,4, = 2 CB CF = 1,2 = =,7 1,4 :, = 1,48 cm (BC) (EF) sont perpendiculaires à une même troisième droite (DC), donc elles sont parallèles entre elles. 2. On applique le théorème de Pythagore : BC = 2,4 cm ; EF = 2,4 : 4 = 1,8 cm.. DC = 2,4 7 : =,6 cm PT PM = 2,2 2,7 = PR 6 PN = 2, = RT = 2,7 2,2 : 2,7 = 2,2 cm. ARTM possède deux côtés opposés parallèles de même longueur. C est donc un parallélogramme. Exercices d approfondissement 78 À vérifier sur le cahier de l élève Il faut placer P en D. 2. Quelle que soit la position du point P, les longueurs SP, SR, SM SN restent inchangées. 80 FG = : 80 = 17, cm ,7 1,4 : 0,8 = 2,97 m. 2. V = 0, 7 2 π 2, 97 4, 8 m a. AF AS = EF TS donc + = 4. x 7 b. SF = 2,2 cm 2. a. AE AT = EF TS donc y y+2 = 4 7. b. AE = 8 cm = 170 d où r km. r r HI = 2 cm, IJ = 2 cm KJ = cm. 2. La spirale mesure 10, cm.. En N : 24, cm, en Q : 2, cm HI HD = 1 HJ HA = 1 2. a. On applique le théorème de Pythagore : HC= 4 cm. 4 b. HK = cm.. a. On applique le théorème de Pythagore : HB= 0 cm. b. HL = 4. HJ HA = 1 0 cm. HL HB = 0 0 = À vérifier sur le cahier de l élève.. a. BN BC = BM b. D après la question précédente : BC BM BN = 2 2 Les aires des triangles BMD BDC sont égales AN AC = AM and,6 = 4,,4 We note that,4 =,6 4, hence, from the Reverse of the Intercept Theorem, th e lines (BC) and (MN) are parallel. 2. The lines (BM) and (CN) intersect each other in A and the lines (BC) and (MN) are parallel. By the Intercept Theorem, we have: AN AC = AM = MN BC I.e.,6 = 4,,4 = 4 BC so BC = 4 = 4,8 cm. 4, 88 A C E B 89 = OA, OA = 1,87 cm. OA 90 Théorème de Thalès dans IML IHK : 2, 4, = IH IH +,2, IH = 4 ; théorème de Pythagore dans GHI : GI 2 = , GI = ; théorème de Thalès dans IGH IJK : 2, = JK, JK = 1, ; réciproque du théorème de Pythagore dans IJK :(IJ) (JK) ; les droites vertes sont perpendiculaires à une même troisième droite (HJ), donc elles sont parallèles entre elles. 91 On commence par construire un premier carré dont trois somms se trouvent sur le triangle. Par alignement, on obtient le premier somm du carré-solution. Les autres somms s obtiennent en appliquant les propriétés du carré. 92 Les lames sont de la même longueur. Les poigns sont de la même longueur. Ainsi les rapports de longueurs allant à l axe de rotation des ciseaux sont égaux. Chapitre Théorème de Thalès D 6

5 ? 9 = x? = x donc?? x x + = + = On résout l équation? +? = 1 on trouve :? = x = 177 x On développe l expression (x 20)(x + 284).. x = 20 x = 284. La ville mesure 20 pas de côté BC = x BD BA = BE BC donc x 2 = x À vérifier sur le cahier de l élève. 4. a. On développe l expression (x + )(x 2). b. x = x = 2. La solution au problème est BD = 2. Devoir à la maison 1 1. À vérifier sur le cahier de l élève. 2. C C sont des triangles rectangles respectivement en B D (inscrits dans les cercles (C) (C )). Les droites () () sont perpendiculaires à une même troisième droite (BD), donc elles sont parallèles entre elles.. Théorème de Pythagore : BC,7 cm. 4., =, 7, =,7 6 : = 4,284 cm 6 CD CD,7 6 : 4,28 cm OA OB = 4, = 2 OC OD = 4 6 = OF 4, =, OF = 4, : 4 =,7 donc les coordonnées de 4 F sont (0 ;,7) = 10 1 = 1 : 10 = 7, cm. 2. BC = 7, cm.. a. À vérifier sur le cahier de l élève. b. AD = 7, cm. 4. CD = 7, cm.. CD est un carré de côté 7, cm. 2 7, 1 6. V= = 281,2 cm

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = 25 + 49 AB = 5, AC

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