Traitement des incertitudes en simulation numérique

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1 Tratement des ncerttudes en smulaton numérque Cours : Planfcaton et analyse d expérences numérques Bertrand Iooss Module INSA Toulouse/GMM 5 Planfcaton, rsque et ncerttudes 8 novembre 0

2 Module Tratement des ncerttudes en smulaton numérque Depus une trentane d années, l ndustre a développé des processus et des codes de calcul parfos très lourds pour modélser des phénomènes complexes! La plupart des ngéneurs sont amenés à manpuler ces codes & processus Il est nécessare d optmser leur utlsaton pour prendre des décsons! > Analyse de sensblté, planfcaton d'expérence, développement de modèles réduts La valdaton de leurs résultats est un problème crucal lorsqu ls sont utlsés dans des cycles ndustrels concepton, sûreté, prévson, etc. > Geston des ncerttudes, calculs fablstes 3 cours de 3h5 pour INSA GMM 5 & Master Pro UPS.Cours : Introducton, modélsaton et propagaton d ncerttudes.cours : Planfcaton et analyse d expérences numérques 3.Cours 3 : Modélsaton d expérences numérques, rgeage 3 séances de TP pour INSA GMM 5.TP :Exercces en R.TP : Exercces en R 3.TP 3 : Exercces en R Une note sera délvrée va des compte-rendus réalsés à l ssue des TPs B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// -

3 Une problématque mult-sectorelle B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 3

4 Plan du cours. Introducton. Planfcaton d expérences numérques 3. Méthodes d analyse de sensblté B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 4

5 Incerttudes en smulaton numérque : les enjeux Modélsaton : Explorer au meux dfférentes combnasons des entrées Identfer les données nfluentes pour prorser la R&D Amélorer le modèle Valdaton : Rédure l ncerttude de prédcton Calbrer les paramètres du modèle Utlsaton : Études de sûreté : calculer un rsque de défallance Fablté des structures - événements rares, calculer des marges par rapport à une réglementaton Concepton : optmser les performances d un système B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 5

6 Approches quanttatves : schéma générque ntroductf Étape C : Propagaton des sources d ncerttude Étape A : Spécfcaton du problème Étape B: Quantfcaton des sources d ncerttudes Varables d entrée Incertanes : x Fxées : d Modèle ou processus de mesure Gx,d Varables d ntérêt Z Gx,d Quantté d ntérêt Ex: varance, probablté.. Modélsaton par des dstrbutons Étape C : Analyse de sensblté, Hérarchsaton Rebouclage feedbac Crtère de décson Ex: Probablté < 0 -b B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 6

7 Rappels sur la propagaton d ncerttudes Enjeu : Arbtrer entre précson de l estmateur et coût des calculs S possble, Monte Carlo est à prvléger : ndépendant de la dmenson des entrées, estmaton non basée, fournt un ntervalle de confance sur l estmaton Mas : coût mportant en nombre d évaluatons du modèle S le code de calcul est trop coûteux en CPU, l exste des méthodes alternatves : Méthodes quas-monte Carlo cf. cours - Mas : fléau de la dmenson Méthodes approchées : Cumul quadratque développement de Taylor - Mas : hypothèse lnéares Méthodes FORM/SORM : estmaton rapde de p f. Cette premère estmaton peut être utlsée pour construre un trage d mportance Utlsaton d un modèle de substtuton du code de calcul cf. cours 3 ayant un coût pratquement nul métamodèle Attenton : un nouveau terme d erreur apparaît Le calage du métamodèle demande auss un certan nombre d appels au vra modèle G B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 7

8 Plan du cours. Introducton. Planfcaton d expérences numérques 3. Méthodes d analyse de sensblté B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 8

9 Objectfs des plans exploratores Explorer le comportement des réponses d un code à l ade d un nombre lmté de calculs Propager les ncerttudes calcul des moments des réponses Fournr des plans plus effcaces que les plans aléatores purs pour estmer des ndces de sensblté Fournr un plan ntal pour construre un métamodèle B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 9

10 Mauvas plan exploratore : le plan «One-At-a-Tme» OAT Part de l dée très répandue que pour analyser les causes d un phénomène, l faut fare des expérences en ne bougeant qu un seul facteur à la fos P3 P P On vot asément que : OAT apporte des nformatons, potentellement fausses L exploraton est pauvre : ne détecte pas les non monotones, dscontnutés, nteractons lasse de grandes zones nexplorées dans l espace des paramètres d entrée fléau de la dmenson Remarque : OAT est un plan de résoluton III mas alases très mal défns P B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 0

11 Illustraton du fléau de la dmenson 7 ponts dans un espace 3D Fable recouvrement de l espace p p3 vol.sphere r π p Γ + p / p Surf. cercle / Surf. carré ~ 3/4 Vol. sphere / Vol. cube ~ / lograto lograpport p0 Rapport ~ p volume de l hypercube >> volume de l hypersphère ncluse et tangente B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// -

12 Exploraton «optmale» d un domane hypercubque Placer des ponts dans le domane des entrées є R p dans le but de «maxmser» la quantté d nformaton sur la sorte du modèle Y G La précson et donc le coût de l exploraton dépend de p contrarement à la prop. d ncert. Grlle régulère à n nveaux N n p smulatons Ex: p, n 3 N 9 p 0, n3 N fléau de la dmenson Pour mnmser N, on a beson d échantllons assurant une bonne couverture de l espace des entrées Un échantllon purement aléatore Monte Carlo ne le permet pas Ex: p N 0 V V Monte Carlo V B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - V Plan optmsé

13 Plans d expérences Expermental Desgn can be defned as the strategy for settng up experments [ performng smulatons ] n such a manner that the nformaton requred s obtaned as effcently and precsely as possble Lews & Phan-Tan-Luu, 000 Plans classques facteurs dscrétsés suvant des nveaux Exemples : Plan factorel complet 3 Plan factorel fractonnare 3- Plans classques facteurs contnus Plans optmaux consstant à mnmser une varance ou le détermnant d une matrce de covarance par rapport à un modèle spécfé lnéare, polynôme d ordre deux, Plans pour smulatons numérques Spécfctés expérences détermnstes erreur0, grand nombre de facteurs, paramètre larges domanes de varaton, paramètre paramètre 3 varables d ntérêt multples, modèles fortement non lnéares, space fllng desgns Bblo : Fsher 97, Box et Wlson 954, Tagusch 960, Mtchell 958, Bblo : Klejnen 970, McKay 979, Morrs995, Sacs 989, B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 3

14 Quelques plans d expérences «classques» FACTORIEL p FACTORIEL 3 p COMPOSITE FCC COMPOSITE CCD Recuel de plans standard tabulés HOKE D6 BO-BEHNKEN HYBRID RECHTSHAFFNER [ Corre, 005 ] B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 4

15 Exploraton du domane : proprétés attendues Répartr «régulèrement» un certan nombre de ponts N dans l espace p-dmensonnel des entrées χ, pour construre le plan N ~ 50 à 000 et p ~ 5 à 50 Ξ N x j... N, j... p S assurer de la robustesse de cette répartton vs-à-vs de la réducton de dmenson Règle d or à connaître : la plupart du temps, ce sont les effets d ordre fable qu sont nfluents On va donc chercher des plans d expérences qu répondent à ces objectfs Queston prélmnare : Comment défnt-on les «bonnes» réparttons? > dfférents crtères possbles B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 5

16 Comment échantllonner un espace de grande dmenson? Warnng: un échantllon aléatore pur remplt mal l espace surtout s p est élevé. Plans «space fllng» sont de bons canddats pour ben remplr l espace Ex: p, N 0 Echant. Monte Carlo V V Space Fllng Desgn Ces plans sont basés : V V sot sur un crtère de dstances entre les ponts du plan : mnmax, maxmn, sot sur un crtère de répartton unforme des ponts dscrépance. Proprété de projectons unformes sur les marges obtenue va un plan Hypercube Latn LHS chaque entrée est ben échantllonnée. Ex : p, N 4 good bad 3. Plans LHS optmsés pour avor les proprétés et B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 6

17 Crtères géométrques de remplssage / Mnmax desgn D MI : Mnmse la dstance maxmale entre un pont du domane et un pont du plan mn max d x, D D x where d x, D max d x, D x mn d x, x 0 x D MI 0 [ Johnson et al. 990 ] [ Koehler & Owen 996 ] Aucun pont du domane [0,] p n est trop lon d un pont du plan D MI > L un des melleurs plans mas trop coûteux à construre pour p > 3 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 7

18 Plans mnmax p ; -/N ; φ mm / N p > : recouvrement de sphères B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 8 [ ]

19 Crtères géométrques de remplssage / φ Ξ N mn d x, x N - Dstance mndst : norme L usuellement x, x Ξ Maxmn desgn Ξ N Mm : maxmse la dstance mnmale entre les ponts du plan max Ξ N x mn d x, x mn d x, x N N, x Ξ x, x Ξ Mm - Moyenne des dstances de chaque pont à son plus proche vosn, - Mesure de recouvrement coeffcent de varaton de ces dstances, - B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 9

20 Plans maxmn p ; -/N- ; φ mm / N- p > : emplage de sphères [ ] [ ] B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 0

21 Un crtère statstque : la dscrépance Mesure la dévaton maxmale entre la répartton des ponts de l échantllon et une répartton unforme ~ statstque de Kolmogorov-Smrnov Interprétaton géométrque : Comparason entre le volume des ntervalles du domane et le nombre de ponts contenus dans ces ntervalles p Q t χ [0,[, Q t [0, t dscrépanceplan sup Q t [0,[ [ [0, t Q t [ K [0, t Plus fable est la dscrépance, plus la répartton unforme des ponts dans l espace est bonne p N N p t p [ La dscrépance ntervent dans la majoraton de l erreur d ntégraton d une foncton B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// -

22 Len avec le problème de l ntégraton d une foncton I Ε [0,[ G x dx Monte Carlo: I x N... N G x MC MC Var G I I I O ; Var ε N p avec MC N N N N une séquence aléatore de ponts dans[0,[ N p Proprété générale Kosma-Hlawa nequalty : ε V G dsc D Avec une sute à fable dscrépance D séquence quas-monte Carlo : ε O Une sute est unformément réparte sur [0,[ p s lm n-> DscD n 0 Chox ben connus : sute de Sobol, Halton, Faure, ln N N p B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// -

23 Dscrépances L Pluseurs défntons, dépendant de la norme et des ntervalles consdérés D * N Ξ sup t [0,[ p N N x Q t Volume Q t Chox permettant de faclter les calculs : dscrépance L [ Hcernell 998 ] Dscrépance L à l orgne : D * N Ξ N N p [ 0,[ x Q t Volume Q t dt / Une proprété manquante : prse en compte de l unformté des projectons des ponts sur des sous-espaces de [0,[ p > Dscrépance L modfée N D Ξ avec u et Q {,..., p} N u Ø u C t la projecton de Q t sur C xu u N Q u t Volume Q u u t dt cube unté de coordonnées dans u B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 3

24 Calculs de la dscrépance en pratque Dscrépance L centrée ntervalles ancrés en un sommet de l hypercube Formule analytque : Ξ N j p j j N p p N x x x x N x x N C, 3 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 4 Dscrépance L wrap-around supprme les effets de bord en enveloppant le cube unté Ξ N j p j j p N x x x x N W, 3 3 4

25 Constructon d une sute à dscrépance fable Séquence D de Van der Corput Ecrture d un nombre en base b : Pour obtenr un nombre à l ntéreur de l ntervalle unté : m j j j j b b a b a a a a a a b , Système décmal: : Base K B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 5 Sute de Halton dmenson p : pour chaque dmenson, prendre une base nombre premer dfférente m j j j b b a b h a a a a y 0 3 0, Système décmal: 0. K { },,,3,,, p b h h h K

26 Exemples en D : Sute de Sobol vs. échantllon aléatore vs. grlle régulère [ Kuchereno, 00 ] B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 6

27 Exemple - N 50 - Dmenson 8 Sobol Sobol scramblng Owen B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 7

28 Exemple - N 50 - Dmenson 8 Halton B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 8

29 Pathologes sur les projectons D Halton B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 9

30 Proprété mportante : robustesse en sous-projectons Le code de calcul G a souvent de fables dmensons effectves : - au sens de la troncature nombre de varables nfluentes << p - au sens de la superposton + gd ordre d nteracton nfluente << p Il est donc nécessare que le SFD conserve les proprétés space-fllng sur les sousespace de fables dmensons par mportance : en dmenson p, pus p,... p Le plan LHS nous assure de bonnes projectons D good p - Les dscrépances L modfées centrée, wrap-around, prennent en compte les sous-projectons dans leurs défntons bad Par contre, les crtères de dstances vus précédemment n assurent pas de robustesse en sous-projectons B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 30

31 Les Hypercubes Latns LHS Souvent, seules quelques varables sont nfluentes [ McKay et al. 979 ] Proprété : Projectons unforme sur les margnales Prncpe : p varables, N ponts LHSp,N - On dvse chaque dmenson en N ntervalles - Trage aléatore d un pont dans chaque strate : Exemple : p, N 4 Chacun des nveaux est prs une fos et une seule par chaque facteur chacune des colonnes du plan est donc une permutaton de {,,..,N } Chox du LHS par optmsaton de dfférents crtères Remplssage Indépendance Unformté B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 3

32 Algorthme LHSp,N Méthode de Sten ran matrxrunfn*p,nrown,ncolp #trage de N x p valeurs selon lo U[0,] x matrx0,nrown,ncolp # constructon de la matrce x for n :p { dx sample:n #vecteur de permutatons des enters {,,,N} P dx-ran[,] / N # vecteur de probabltés x[,] <- quantle_selon_la_lo P } Exemple : p, N 0, ~ U[0,], ~ N0, B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 3

33 Optmsaton de LHS > Space-fllng LHS [ Par 993; Morrs & Mtchell 995 ] Méthode smple : générer un grand nombre par ex. 000 de LHS dfférents. Pus, chosr le melleur au sens d un crtère φ. «space fllng» Exemple : LHS,6 crtère maxmn MAIS : le nombre de LHS possbles est énorme : N! p Méthode par algos d optmsaton ex : mnmsaton de φ. par recut smulé :. Intalsaton d un plan Ξ LHS ntal et d une température T. Tant que T > 0 :. générer un vosn Ξ new de Ξ vosn permutaton de composantes dans une colonne. remplacer Ξ par Ξ new avec la probablté 3. fare décroître T φ Ξnew φ Ξ mn exp, T 3. Crtère d arrêt > Ξ content la soluton optmale générée par le recut smulé B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 33

34 Exemples Exemple : LHS,6 Maxmn LHS LHS à fable dscrépance Sur des tests numérques N 00, on vot qu à partr de la dmenson 0, le LHS maxmn se comporte comme un LHS standard dmenson 40 pour un LHS à dscrépance centrée fable Cela confrme la pertnence de la dscrépance L² centrée en terme de sous-projecton En pratque, par exemple, on peut lancer pluseurs ~0 optmsatons suvant un crtère de dscrépance, et on compare les résultats suvant un crtère de dstance afn de chosr le melleur plan B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 34

35 Récaptulatf sur la planfcaton d expérences numérques Enjeu : Echantllonner un espace de grande dmenson de manère «optmale» obtenr le plus d nformatons possble sur le comportement de la sorte Z / є R p Problème : un échantllon aléatore pur Monte Carlo remplt mal l espace. Plans «space fllng» sont de bons canddats pour ben remplr l espace : - Basés sur un crtère de dstances entre les ponts du plan mnmax, maxmn,, justfcaton théorque pour la constructon du métamodèle de rgeage - Basés sur un crtère de répartton unforme des ponts dscrépance ; justfcaton théorque lorsque l on calcule la moyenne de la foncton f.proprété de projectons unformes sur les marges peut être obtenue va les plans hypercubes latns LHS 3.Il est possble de coupler les proprétés en construsant des LHS optmsés B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 35

36 Synthèse : proprétés des Space Fllng Desgns Orthogonalté Motfs, Plan Réducton des colonnes algnement séquentel dmenson Monte Carlo Non Non Ou Ou Faure, Halton, Ou Ou, en Ou Ou, mas Sobol dm. élevée pathologes LHS à dscrép centrée fable Non? Non Ou LHS maxmn Non Ou Non Non A part le Monte Carlo, tous ces plans sont dts «à bon remplssage de l espace» les sutes à fable dscrépance remplssent le cube unté de manère extrêmement régulère et parfos trop > technques de scramblng B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 36

37 Plan du cours. Introducton. Planfcaton d expérences numérques 3. Méthodes d analyse de sensblté B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 37

38 Approches quanttatves : schéma générque ntroductf Étape C : Propagaton des sources d ncerttude Étape A : Spécfcaton du problème Étape B: Quantfcaton des sources d ncerttudes Varables d entrée Incertanes : x Fxées : d Modèle ou processus de mesure Gx,d Varables d ntérêt Y Gx,d Quantté d ntérêt Ex: varance, probablté.. Modélsaton par des dstrbutons Étape C : Analyse de sensblté, Hérarchsaton Rebouclage feedbac Crtère de décson Ex: Probablté < 0 -b B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 38

39 Deux notons pour l analyse de sensblté sensblté, par exemple Y Donne une dée de la manère dont peut répondre la réponse en foncton de varatons potentelles des facteurs «contrbuton» sensblté x mportance, par exemple Y σ Permet de détermner le pods d une varable d entrée ou groupe de varables sur l ncerttude de la varable d ntérêt la sorte Dstncton local vs. global f Y D C est l mpact vs-à-vs de la quantté d ntérêt qu est étudé : varablté globale varance, entrope, quantle, probablté de dépassement, D Y B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 39

40 Méthodes locales Cumul quadratque Contrbuton de sur la sorte Y : p Y Y C σ σ + p Y Y Y B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 40 Calcul des dérvées par dfférences fnes, dérvées exactes, dfférentaton automatque de codes fortran, C Autres ndces de sensblté locaux Indces ssus des méthodes FORM/SORM mesurent les sensbltés par rapport au dépassement d un seul autour du pont de concepton

41 Deux grands objectfs de l analyse de sensblté globale Réducton de l ncerttude de la sorte d un modèle par hérarch. des sources Varables à fxer pour obtenr la plus forte réducton ou une réducton donnée de l ncerttude de la sorte Varables les plus nfluentes dans un domane de valeurs de la sorte s réductbles, prorté de R&D Smplfer un modèle détermnaton des varables non nfluentes, que l on pourra fxer construre un modèle smplfé, un métamodèle cf. Loïc Propagaton Approche statstque échantllonnage Monte Carlo Sensbltés globales coût élevé pour probas fables B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 4 coût α p

42 Rappels sur l analyse de sensblté Enjeu : décomposer la varablté globale de la sorte Z G due aux ncerttudes sur les entrées en part de varablté due à chaque entrée,,,p Problème : comme pour la planfcaton, le coût en nombre N d évaluatons de G. dépend de p. Le crblage screenng : - plans d expérences classques, - plans d expérences numérques N ~ p/ à 0 p. Les mesures d nfluence globale : - corrélaton/régresson sur les valeurs/rangs, - décomposton de la varance fonctonnelle Sobol, N ~ p à e4 p Y 3. Exploraton fne des sensbltés - N ~ 0p à 00 p - Méthodes de lssage param./non param. - Métamodèles B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 4 3

43 Crblage avec N < p plans supersaturés Beaucoup d entrées p >> 0 et code coûteux Contrante : réalser mons de calculs qu l n y a d entrées Hypothèses : Nombre d entrées nfluentes << p Monotone du modèle, pas d nteracton entre entrées Connassance du sens de varaton de la sorte / chaque entrée Possblté de planfcaton séquentelle Exemple: méthode des bfurcatons séquentelles calculs 3 Y + 4 p Y - B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 43

44 Crblage avec N < p plans supersaturés Beaucoup d entrées p >> 0 et code coûteux Contrante : réalser mons de calculs qu l n y a d entrées Hypothèses : Nombre d entrées nfluentes << p Monotone du modèle, pas d nteracton entre entrées Connassance du sens de varaton de la sorte / chaque entrée Possblté de planfcaton séquentelle Exemple: méthode des bfurcatons séquentelles calculs calcul Y s Y + Y - Y 4 p Y - 4 p - B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 44

45 Crblage avec N < p plans supersaturés Beaucoup d entrées p >> 0 et code coûteux Contrante : réalser mons de calculs qu l n y a d entrées Hypothèses : Nombre d entrées nfluentes << p Monotone du modèle, pas d nteracton entre entrées Connassance du sens de varaton de la sorte / chaque entrée Possblté de planfcaton séquentelle Exemple: méthode des bfurcatons séquentelles calculs calcul 3 Y p Y - 4 s Y + Y - Y s Y ~ Y + p - B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 45

46 Crblage avec N < p plans supersaturés Beaucoup d entrées p >> 0 et code coûteux Contrante : réalser mons de calculs qu l n y a d entrées Hypothèses : Nombre d entrées nfluentes << p Monotone du modèle, pas d nteracton entre entrées Connassance du sens de varaton de la sorte / chaque entrée Possblté de planfcaton séquentelle Exemple: méthode des bfurcatons séquentelles calculs calcul 3 4 p Y + Y p - Y s Y + Y - s Y ~ Y + 3 Quelques nfluents N ~ p / B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 46

47 Un crblage plus nformatf : la méthode de Morrs Méthode de «screenng» crblage un modèle comportant beaucoup de varables d entrée est dffcle à explorer mas souvent, seulement quelques entrées sont nfluentes objectf qualtatf : dentfer rapdement ces entrées La méthode de [Morrs 9] permet de classer les entrées en tros groupes selon leurs effets :. effets néglgeables. effets lnéares et sans nteracton 3. effets non lnéares et/ou avec nteractons Pas d hypothèses sur le modèle mas meux vaut une certane régularté B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 47

48 Méthode de Morrs : plan d expérences Dscrétsaton de l espace Nécesste p+ expérences P3 P P OAT One-at-A-Tme Permet de calculer un effet élémentare pour chaque entrée B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 48

49 Méthode de Morrs : plan d expérences sute 3 Le plan d expérences est répété R fos au total : N R*p+ expérences 4 Cec donne R-échantllons pour chaque effet élémentare 5 Mesures de sensblté Moyenne des effets Dsperson des effets B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 49

50 Méthode de Morrs : mesures de sensblté est une mesure de la sensblté : valeur mportante effets mportants en moyenne modèle sensble aux varatons de l entrée est une mesure des nteractons et des effets non lnéares : valeur mportante effets dfférents les uns des autres effets qu dépendent de la valeur : sot de l entrée elle-même : effet non lnéare sot des autres entrées : nteracton la méthode ne permet pas de dstnguer les cas B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 50

51 Méthode de Morrs : exemple 0 facteurs 0 smulatons Graphe mu*, sgma σ 3 On dstngue les 3 groupes:. Effets néglgeables. Effets lnéares 3. Effets non lnéares et/ou avec nteractons µ* Cas test : fonton non monotone de Morrs source Saltell B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 5

52 Exemple : code combustble HTR Code de calcul ATLAS CEA : smulaton du comportement du combustble à partcules sous rradaton < mm φ Noyau de matère fssle Carbone pyrolytque poreux Carbone pyrolytque dense Carbure de Slcum Sources de contamnaton : rupture de partcules Etudes de fablté [Cannamela 07] Nombre de partcules dans un réacteur : de 0 9 à 0 0! La rupture d une partcule peut être provoquée par la rupture des couches denses externes IPyC, SC, OPyC Les réponses sont choses pour être représentatves du phénomène de rupture : contrantes orthoradales maxmales dans les couches externes B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 5

53 3 sources d ncerttudes en entrée 0 paramètres de fabrcaton des partcules épasseurs, Spécfcatons de fabrcaton los normales tronquées 5 paramètres d rradaton température, Intervalle [mn,max] los unformes 8 los de comportement fonctons des température, flux, Avs d expert constantes multplcatves de lo U[0.95,.05] Exemple : lo de densfcaton du PyC B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 53

54 Résultats de Morrs p 43 entrées, 0 répéttons, n 860 calculs, coût untare ~ mn 4h Grande sensblté à ces entrées épasseurs, température d rradaton Interactons fables Les los sur le fluage et la densfcaton du PyC sont les los auxquelles le code est le plus sensble Concluson : La méthode de Morrs donne une dée de la manère dont peut répondre la sorte en foncton de varatons potentelles des entrées Utle pour dentfer les entrées potentellement nfluentes B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 54

55 Rappels sur l analyse de sensblté Enjeu : décomposer la varablté globale de la sorte Z G due aux ncerttudes sur les entrées en part de varablté due à chaque entrée,,,p Problème : comme pour la planfcaton, le coût en nombre N d évaluatons de G. dépend de p. Le crblage screenng : - plans d expérences classques, - plans d expérences numérques N ~ p/ à 0 p. Les mesures d nfluence globale : - corrélaton/régresson sur les valeurs/rangs, - décomposton de la varance fonctonnelle Sobol, N ~ p à e4 p Y 3. Exploraton fne des sensbltés - N ~ 0p à 00 p - Méthodes de lssage param./non param. - Métamodèles B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8//

56 Analyse de sensblté pour sorte scalare Échantllon, Y de talle N > p, de préférence de talle N >> p Étape prélmnare : vsualsaton graphque par ex : scatterplots B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 56

57 Représentaton graphque : scatterplots Mesure le caractère lnéare du nuage de ponts N calculs Graphe Sorte / chaque entrée cov, Y ρ σ σ Y p Exemple : N ˆρ N N x s x y x s y y B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 57

58 Modèle de crues - Scatterplots Sorte S Echantllon Monte Carlo N 00 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 58

59 Modèle de crues - Scatterplots Sorte Cp Monte Carlo N 00 Lmte majeure : analyse seulement les relatons du premer ordre et pas les effets des nteractons entre les entrées B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 59

60 Analyse de sensblté pour sorte scalare Indces De sensblté Échantllon, Y de talle N > p, de préférence de talle N >> p Étape prélmnare : vsualsaton graphque par ex : scatterplots Méthodologe d analyse de sensblté quanttatve? Relaton lnéare? Ou R² Régresson lnéare entre et Y Coeffcents de régresson [Saltell et al. 00, Helton et al. 06 ] Non? Relaton monotone? Ou Régresson sur les rangs R²* Non Indces de Sobol B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 60

61 Indces de sensblté dans le cas d une relaton entrées/sorte lnéare Varables d entrées Echantllon : N réalsatons de L ndce SRC : p Y + β 0 β SRC,..., p :,Y β ndépendantes Var Var Le sgne de β donne le sens de varaton de Y / Y Smlare au coeffcent de corrélaton lnéare Pearson Valdté du modèle lnéare va les dagnostcs de la régresson et le R² : On a R p SRC R N N Yˆ Y Y Y, ce qu permet d nterpréter asément les SRC B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 6 6

62 Flood model - Output S Monte Carlo sample N 00 8% % 5% 6% 3% Senstvty ndces SRC Le modèle lnéare est valde R²0.99 Les coeffcents SRC sont suffsants B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 6

63 Analyse de sensblté pour sorte scalare Indces De sensblté Échantllon, Y de talle N > p, de préférence de talle N >> p Étape prélmnare : vsualsaton graphque par ex : scatterplots Méthodologe d analyse de sensblté quanttatve? Relaton lnéare? Ou R² Régresson lnéare entre et Y Coeffcents de régresson [Saltell et al. 00, Helton et al. 06 ] Non? Relaton monotone? Ou Régresson sur les rangs R²* Non Indces de Sobol B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 63

64 Transformaton des rangs : à chaque ndvdu j j,,n, on assoce son rang R j le rang vare de à N Indces de sensblté dans le cas d une relaton entrées/sorte monotone y x r x r y B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 64 Le coeffcent de corrélaton des rangs Spearman mesure le caractère monotone de la relaton entre et Y Relaton monotone relaton lnéare sur les rangs Indces de sensblté : SRRC Valdaton : dagnostcs de la régresson, R * R R Y Y S R R σ σ ρ, cov

65 Analyse de sensblté pour sorte scalare Indces de sensblté Échantllon, Y de talle N > p, de préférence de talle N >> p Étape prélmnare : vsualsaton graphque par ex : scatterplots Méthodologe d analyse de sensblté quanttatve? Relaton lnéare? Ou R² Régresson lnéare entre et Y Coeffcents de régresson [Saltell et al. 00, Helton et al. 06 ] Non? Relaton monotone? Ou Régresson sur les rangs R²* Non S Indces de Sobol Var[E Y Var Y ] B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 65

66 Décomposton fonctonnelle y p f x f 0 + f x + fj x, x j f,,..., p x, x,..., x p avec f x L x x [0; ] j> p [ Hoeffdng 946 ] Il exste une nfnté de décompostons possbles MAIS, la décomposton est unque s :... x,..., x dx j 0 j,..., s s Proprétés x ~ U[O,] pour,,p, les x sont ndépendants 0 f x y x d E f f f x f x dx f0 E y x f0 x, x j E y x, x j E y x E y x j f0 j + f s Exercce : f x f 0, x? ; f x x + x?; ; x f ~ U[0;] ; x? ; f x ~ U[0;] x, x? B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 66

67 Décomposton fonctonnelle y p f x f 0 + f x + fj x, x j f,,..., p x, x,..., x p avec f x L x x [0; ] j> p [ Hoeffdng 946 ] Il exste une nfnté de décompostons possbles MAIS, la décomposton est unque s :... x,..., x dx j 0 j,..., s s Proprétés x ~ U[O,] pour,,p, les x sont ndépendants 0 f x y x d E f f f x f x dx f0 E y x f0 x, x j E y x, x j E y x E y x j f0 j + f s Exercce : f x f 0, x ; f x x + x x ; x ; ~ U[0;] f x ; x x ~ U[0;]; x ; f x, x x 0 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 67

68 Un autre exemple f 0 0 f x x 4 f x 3x f f x + x, x 4x 3 x, x U[ / ; ] E y 4x + 3x dx dx 0 / / / / f x E y x f0 4 x + 3 x dx 4 x / 3 3 f x, x 0 [ JRC 00 ] f x x E y x f0 3 f x, x 0 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 68

69 Indces de sensblté sans hypothèse sur le modèle ANOVA fonctonnelle [Efron & Sten 8] hyp. de ndépendants : p Var Y V Y + V j Y +L + V où V Y Var[ E Y p < j ] ; V j Var L p Y [ E Y ] V V,... j j Défnton des ndces de Sobol : Indce de sensblté d ordre : Indce de sensblté d ordre :... S S j V VarY V j VarY Exercce : f, + S ;? ; ~ U[0,] S? ; ~ U[0,]; B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8//

70 Indces de sensblté sans hypothèse sur le modèle ANOVA fonctonnelle [Efron & Sten 8] hyp. de ndépendants : p Var Y V Y + V j Y +L + V où V Y Var[ E Y p < j ] ; V j Var L p Y [ E Y ] V V,... j j Défnton des ndces de Sobol : Indce de sensblté d ordre : Indce de sensblté d ordre :... S S j V VarY V j VarY Exercce : f, + S ; 6 3 ~ U[0,] ; S ; 5 3 ~ U[0,]; B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8//

71 L autre exemple y f x + x, x 4x 3 x, x U[, ] On a vu : f 0 E y Var f x 3 S V f x E y x f0 4x 3 Var f x f x E y x f0 3x S V f x, x 0 [ ] [ ] [ JRC 00 ] B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 7

72 Interprétaton graphque Les ndces de Sobol du premer ordre mesurent la varablté des espérances condtonnelles courbes de tendance dans les scatterplots Indce nul p p Indce élevé per d Indce fable p p Indce moyen La courbe rouge correspond à un lssage, c est-à-dre à E Y Le lssage est réalsé c par polynômes locaux : d fˆ x αˆ x + xβˆ x Autres méthodes envsageables : moyenne moble, polynômes, splnes, modèles addtfs, 3 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 7

73 Une autre nterprétaton Queston centrale de l analyse de sensblté : la sorte Y est-elle plus ou mons varable lorsque l on fxe une des entrées? On étude de : Ε Var Plus Var Y x [ Y ] x [ Y x ] Ε Var x Théorème de la varance totale : Var On en dédut les ndces de Sobol : et on prend sa moyenne sur les valeurs est pett, plus est nfluente Y Ε[ Var Y ] [ ] + Var Ε Y Var[ Ε Y ] Au passage, s le modèle est lnéare : Var Y B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 73 S S SRC

74 Proprétés des ndces de Sobol S S p + S + S j + S j... S,,..., j j Toujours Le modèle est addtf S Mesure le degré d nteractons entre varables S Exemples : p 4 donne 4 ndces S, 6 ndces S j, 4 ndces S j, ndce S jl Cas général : p - ndces à estmer Indce de sensblté total : S T S + Sj + Sj +... S~ [ Homma & Saltell 996 ] j j, B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 74

75 Modèle de crues B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 75

76 Calcul des ndces de Sobol Formulatons des ndces pour er ordre et total : S V Var Y et S T V~ Var Y Formulatons des varances condtonnelles : Soent ~, et ' une cope ndépendante de Y d E Y V Y Var[E Y ] E ' [ f, f, ] V Y Var[E Y ~ ] Cov, ~ ~ ~ ' d Cov[ f, f ], ~, ~ B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 76

77 Estmaton des ndces de Sobol par Monte Carlo Soent échantllons..d : Varance estmateur classque : Estmatons des varances condtonnelles : Indces er ordre : coût n p + n n f n f f f n Y V 0 0 ˆ avec ˆ ˆ 0 ',..., ',, ',..., ',...,,,,..., ˆ f f f n Y V p p n + + n j p j n j p j,.., ;,..,,.., ;,.., ' et B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 77 Indces er ordre + ndces totaux : coût n p + Astuce : on ntervertt En pratque, n ~ e4 > problème du coût en nombre d évaluatons nécessares 0 ~,...,, ',,...,,...,,,,..., ˆ f f f n Y V p p n + + ˆ dans ' et ~,.., ;,..,,.., ;,.., Y V n j p j n j p j

78 Analyse de sensblté pour sorte scalare Indces De sensblté Échantllon, Y de talle N > p, de préférence de talle N >> p Étape prélmnare : vsualsaton graphque par ex : scatterplots Méthodologe d analyse de sensblté quanttatve? Relaton lnéare? Ou R² Régresson lnéare entre et Y Coeffcents de régresson [Saltell et al. 00, Helton et al. 06 ] Non? Relaton monotone? Ou Régresson sur les rangs R²* Non Néglgeable Monte Carlo N > 000 p B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 78 Indces de Sobol? Temps de calcul? Fable Quas-MC, FAST, RBD N > 00 p Elevé Métamodèle N > 0 p

79 Rappels sur l analyse de sensblté Enjeu : décomposer la varablté globale de la sorte Z G due aux ncerttudes sur les entrées en part de varablté due à chaque entrée,,,p Problème : comme pour la planfcaton, le coût en nombre N d évaluatons de G. dépend de p. Le crblage screenng : - plans d expérences classques, - plans d expérences numérques N ~ p/ à 0 p. Les mesures d nfluence globale : - corrélaton/régresson sur les valeurs/rangs, - décomposton de la varance fonctonnelle Sobol, N ~ p à e4 p Y 3. Exploraton fne des sensbltés - N ~ 0p à 00 p - Méthodes de lssage param./non param. - Métamodèles > cours 3 B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8//

80 Chosr sa méthode d analyses de sensblté Quantté d ntérêt varablté de la réponse Complexté/régularté du modèle f Non monotone Crblage Morrs Calcul de tout type d ndces Sobol, dstrbuton, + effets prncpaux EY Métamodèle Décomposton de la varance Indces de Sobol Monotone + nteractons Monotone sans nteracton Lnéare degré Super crblage Plan d expérences Echantllon Monte-Carlo Régresson sur les rangs Régresson lnéare p p 0p 000p 0 Nombre p nombre de varables d entrée B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 80 d évaluatons du modèle f

81 Crédts & Bblographe Formaton «Démarche Incerttudes», IMdR-LNE Summer School SAMO, Fesole, Italy, 00 Fang et al., Desgn and modelng for computer experments, Chapman & Hall, 006 Klejnen, The desgn and analyss of smulaton experments, Sprnger, 008 Koehler & Owen, Computer experments, 996 Favre et al., Analyse de sensblté et exploraton de modèles Applcatons aux scences de la nature et de l envronnement, Edtons Quaé, à paraître Saltell et al., Senstvty analyss, Wley, 000 Ce cours est dsponble sur : B. Iooss Tratement des ncerttudes - Cours 8// - 8