EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

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1 SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio. Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler être ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il a été ameé à predre. Les calculatrices sot iterdites L épreuve est costituée d u problème e ciq parties qui sot, das ue large mesure, idépedates les ues des autres. Lorsqu u raisoemet utilise le résultat d ue questio précédete, il est demadé au cadidat d idiquer précisémet le uméro de la questio utilisée. 1/6

2 PROBLEME Pour N et k [[,]], o ote p k, (X) le polyôme ( ) t R, p k, (t) = t k (1 t) k = k ( ) X k (1 X) k si bie que : k! k!( k)! tk (1 t) k. O propose d étudier quelques aspects géométriques, algébriques, probabilistes et aalytiques de cette famille de polyômes appelés polyômes de Berstei. Das la partie 1, o cosidère des exemples de courbes dot le paramétrage fait iterveir des polyômes de Berstei das des cas simples. Das la partie 2, o s itéresse à deux edomorphismes ϕ et B de R [X] dot les propriétés sot liées au fait que la famille des polyômes de Berstei correspod à ue base de R [X]. La loi biomiale permet de faire le lie avec l edomorphisme B dot o étudie e détail la restrictio à R 2 [X]. O étudie, das la partie 3, les aspects aalytiques de B (f) pour ue foctio f défiie sur [, 1] avec B défii sur le modèle de la partie 2. Par l usage des probabilités, o obtiet ue démostratio aturelle de la covergece uiforme de B (f) vers f sur [, 1] sous l hypothèse forte que f est de classe C 1 sur [, 1]. La partie 4 complète la partie 3 par l étude d itégrales impropres et d itégrales à paramètres. La partie 5 aborde la questio des séries de foctios liées aux polyômes de Berstei. Les parties 1 et 5 sot idépedates des autres parties. La partie 3 déped seulemet de la partie 2 et cela uiquemet par la questio 5 faisat iterveir les probabilités. La partie 4 déped seulemet de la partie 3 et uiquemet par la questio 11.d). PARTIE 1. GEOMETRIE O ote A, A 1 et A 2 les trois élémets de R 2 défiis par A = (, 1), A 1 = (1, 1) et A 2 = (1, ). O ote T l esemble défii par T = {(x, y) [, 1] 2 x + y 1}. Pour t [, 1], o remarque que p,1 (t) =1 t et p 1,1 (t) =t. O ote alors : A(t) =p,1 (t)a + p 1,1 (t)a 1, B(t) =p,1 (t)a 1 + p 1,1 (t)a 2 et C(t) =p,1 (t)a(t)+p 1,1 (t)b(t). 1. Soit t [, 1]. 1.a) Détermier l expressio de p,2 (t), p 1,2 (t) et p 2,2 (t) e foctio de t. 1.b) Détermier les coordoées de A(t), B(t) et vérifier que C(t) = (2t t 2, 1 t 2 ). 2 1.c) Motrer que C(t) = p k,2 (t)a k. 2. Motrer que T est ue partie covexe de R Soit C l arc paramétré défii à partir de la foctio f : t C(t) 3.a) Justifier que tous les poits de C sot das T. [, 1] R 2. 3.b) Pour t [, 1], détermier u vecteur directeur de la tagete D t à C e C(t). 3.c) Motrer que, pour tout t [, 1], le segmet [A(t),B(t)] est iclus das D t. 3.d) Représeter das u même repère orthoormé la courbe C, la partie T et les segmets [A(t),B(t)] pour t =, t =1/2 et t = 1. 2/6

3 PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES Soit N tel que 2. O ote R [X] l espace vectoriel des polyômes réels de degré iférieur ou égal à. Pour P (X) u polyôme réel, o ote P (X) le polyôme dérivé. O ote F la famille de R [X] costituée des polyômes (p, (X),p 1, (X),...,p, (X)). Pour tout P R [X], o défiit les polyômes ϕ (P ) et B (P ) par : ϕ (P )(X) =XP (X)+X(1 X)P (X) B (P )(X) = et P ( ) k p k, (X) a) Motrer que ϕ et B sot des edomorphismes de R [X]. 4.b) Vérifier que, pour tout k [[,]], ϕ (p k, )(X) =kp k, (X). 4.c) E déduire que F est ue base de R [X] et que ϕ est diagoalisable. 4.d) Motrer que ϕ est pas bijectif et que B est bijectif. 5. Soit r N et t [, 1]. O cosidère u espace probabilisé (Ω, A, P) et T r ue variable aléatoire sur (Ω, A, P) qui suit la loi biomiale B(r, t). O ote T r = T r /r. Pour Y ue variable aléatoire discrète sur (Ω, A, P), o ote, sous réserve d existece, E(Y ) l espérace de Y et V(Y ) la variace de Y. O rappelle que si Y (Ω) [[,r]] et h est ue foctio à valeurs réelles défiie sur [[,r]], alors r h(y ) admet ue espérace et E(h(Y )) = h(k)p(y = k). 5.a) Doer u exemple de situatio probabiliste qui peut être décrite par ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B(r, t). 5.b) Doer T r (Ω) et justifier que, pour tout k [[,r]], o a : P(T r = k) =p k,r (t). 5.c) Doer l expressio simplifiée des quatités suivates : E(T r ), E(T r ), V(T r ), V(T r ), E(T 2 r ) et E((T r ) 2 ); vérifier e particulier que E((T r ) 2 )= t r + t2 (r 1). r 5.d) E déduire que les égalités suivates sot valables pour tout t [, 1] : r r k r ( ) 2 k p k,r (t) =1, r p k,r(t) =t et p k,r(t) =( 1 1 ) t r r r t. 5.e) Motrer que les trois égalités précédetes sot ecore valables pour tout t R. 6. Motrer que R 2 [X] est u sous-espace vectoriel de R [X] qui est stable par B. O ote B l edomorphisme de R 2 [X] iduit par B ; o rappelle que das ce cas, pour tout P R 2 [X], B (P )=B (P ). O ote A la matrice de B das la base caoique de R 2 [X]. 3/6

4 O ote M 3 (R) l espace vectoriel des matrices carrées réelles d ordre O ote aussi I 3 = 1, H = 1 1, D = 1 et D = ( 7. Motrer que A = 1 1 = 1 1 ) I H a) La matrice H est-elle diagoalisable? 1 a 8.b) Soit a et b deux réels et Q = 1 b. Justifier que Q est iversible. 1 8.c) Détermier (sas chercher à calculer Q 1 ) deux réels a et b tels que H = QDQ O suppose das toute la fi de cette partie que les réels a et b ot été choisis de telle sorte 1 a que H = QDQ 1 pour Q = 1 b. 1 O muit M 3 (R) d ue orme quelcoque. Si ue suite de matrices de M 3 (R), otée (M l ), coverge vers ue matrice M, o ote lim l)=m. O admet alors que lim l)=m si l + l + et seulemet si pour tout (i, j) [[1, 3]] 2, o a : lim l) i,j = M i,j. l + 9.a) Motrer que lim + (A )=I 3. 9.b) Motrer que l applicatio ψ défiie sur M 3 (R) par ψ(m) =QMQ 1 est liéaire. 9.c) E déduire que si 9.d) Motrer que A = QD Q 1. 9.e) Détermier explicitemet, pour 2, 9.f) Détermier explicitemet lim (M l)=m, alors lim (QM lq 1 )=QMQ 1. l + l + lim + (A ). lim l + (Al ). PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES Soit N. Pour f ue foctio défiie sur [, 1] à valeurs das R, pour tout x R, o ote : ( ) k B (f)(x) = f p k, (x). O repred les otatios de la questio 5 avec r =. O remarque que das ce cas, pour tout t [, 1], o a : f(t) B (f)(t) =E(f(t) f(t )) = (f(t) f(k/))p k, (t). O pourra utiliser sas démostratio les résultats de cette questio 5. 4/6

5 1. 1.a) Motrer que pour toute variable aléatoire discrète Y admettat ue variace, o a l iégalité suivate : E(Y ) E(Y 2 ). t(1 t) 1.b) E déduire que, pour tout t [, 1], E( t T ). 11. O suppose das toute cette questio que f est ue foctio de classe C 1 sur [, 1]. 11.a) Justifier l existece d u réel M f tel que : (a, b) [, 1] 2, f(a) f(b) M f a b. Das toute la suite de cette questio, o suppose que M f est u réel choisi de telle sorte que : (a, b) [, 1] 2, f(a) f(b) M f a b. t(1 t) 11.b) Motrer que, pour tout t [, 1], E( f(t) f(t ) ) M f. 11.c) E déduire que, pour tout t [, 1], f(t) B (f)(t) M f d) Motrer que (B (f)) N coverge uiformémet vers f sur [, 1]. Soit f ue foctio de classe C 1 sur [, 1]. PARTIE 4. INTEGRALES O repred les otatios de la partie 3 pour B (f). O pourra utiliser sas démostratio le résultat de la questio 11.d). ( ) 12. Motrer que lim + B (f)(x) dx = 13. O ote S (f) = 1 +1 f ( ) k. 13.a) Motrer que, pour tout a N et b N, f(x) dx. x a (1 x) b dx = 13.b) E déduire que, pour tout N et tout k [[,]], le réel de l etier k et que 13.c) E déduire que p k, (x) dx = lim S (f) = + 1 ( + 1). f(x) dx. a b +1 x a 1 (1 x) b+1 dx. p k, (x) dx est idépedat 5/6

6 14. Motrer que le résultat de la questio 13.c) reste vrai pour la seule hypothèse que f est cotiue sur [, 1]. 15. Soit (a, b, c) N 3 tels que a + b c a) Motrer que, pour tout x [, 1], l itégrale 15.b) Motrer que, pour b 1, la foctio F : x [, 1]. + + u a (1 + xu) b (1 + u) c du est covergete. u a (1 + xu) b (1 + u) c du est de classe C 1 sur t 15.c) Motrer que la foctio h : t est ue foctio de classe C 1 qui est 1 t [, 1[ [, + [ strictemet croissate et bijective. 15.d) E utilisat le chagemet de variable u = t, calculer F (); e déduire la valeur de 1 t F (1). PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS Soit k N. Pour N et t [, 1], o ote : { ( ) p k, (t) si k, t k (1 t) k si k, f (t) = si bie que f (t) = k si < k, si < k. ( ) 16. Motrer que k quad ted vers + et e déduire, pour tout t ], 1[, u k k! équivalet de f (t) quad ted vers Etablir que f coverge simplemet sur [, 1]. Pour t [, 1], o ote S(t) = + = f (t). 18. Détermier S(t) pour t = et pour t = a) Doer le développemet e série etière au voisiage de de la foctio u 1 1 u. 19.b) E déduire que, pour tout u [, 1[, + =k 19.c) Motrer que, pour tout t ], 1], S(t) = 1 t. 19.d) La série f coverge-t-elle ormalemet sur [, 1]? Fi de l éocé 6/6 ( 1) ( k + 1)u k = k! (1 u) k+1.

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