- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

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1 STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces et techiques idustrielles et du laboratoire fourisset u large évetail de sujets d étude. Cette partie est orgaisée selo trois objectifs pricipaux : ( ) - Mettre e place la loi biomiale : O s appuie sur l expérimetatio et la simulatio pour étudier le schéma de eroulli. O itroduit la otio de variable aléatoire et o istalle la loi biomiale dot les utilisatios sot ombreuses das les domaies techologiques. - Expérimeter la otio de différece sigificative par rapport à ue proportio attedue : L acquisitio de la loi biomiale permet de poursuivre la formatio des élèves das le domaie de l échatilloage et des procédures de prise de décisio e cotexte aléatoire. O fait remarquer que, pour ue taille de l échatillo importate, o coforte les résultats vus e classe de secode. COTEUS CAPACITES ATTEDUES COMMETAIRES Probabilités Schéma de eroulli. - Représeter u schéma de eroulli par u arbre podéré. - Simuler u schéma de eroulli. Variable aléatoire associée au ombre de succès das u schéma de eroulli. Loi biomiale. - Recoaître des situatios relevat de la loi biomiale Espérace, variace et écart type de la loi Echatilloage Utilisatio de la loi biomiale pour ue prise de décisio à partir d ue fréquece observée sur u échatillo. - Calculer ue probabilité das le cadre de la loi biomiale à l aide de la calculatrice ou du tableur. - Représeter graphiquemet la loi biomiale. - Iterpréter l espérace comme valeur moyee das le cas d u grad ombre de répétitios. - Détermier à l aide de la loi biomiale u itervalle de fluctuatio, à eviro 95 %, d ue fréquece. - Exploiter u tel itervalle pour rejeter ou o ue hypothèse sur ue proportio. Pour la répétitio d expérieces idetiques et idépedates, la probabilité d ue liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La otio de probabilité coditioelle est hors programme. L étude du schéma de eroulli se prête particulièremet à des activités algorithmiques. Aucu développemet théorique à propos de la otio de variable aléatoire est attedu. Pour itroduire la loi biomiale, la représetatio à l aide d u arbre est privilégiée : il s agit ici d istaller ue représetatio metale efficace. Pour 4 o peut aisi déombrer les chemis de l arbre réalisat k succès pour répétitios et calculer la probabilité d obteir k succès. Après cette mise e place, o utilise ue calculatrice ou u logiciel pour calculer directemet des probabilités et représeter graphiquemet la loi biomiale. La formule doat l espérace de la loi biomiale est cojecturée puis admise, celle de la variace est admise. À l aide de simulatios de la loi biomiale et d ue approche heuristique de la loi des grads ombres, o coforte expérimetalemet les résultats précédets. O peut simuler la loi biomiale avec u algorithme. L itervalle de fluctuatio peut être détermié à l aide d u algorithme ou d u tableur. O peut traiter quelques situatios liées au cotrôle e cours de fabricatio ou à la réceptio d ue productio. Le vocabulaire des tests (test d hypothèse, hypothèse ulle, risque de première espèce) est hors programme. I. VARIALE ALEATOIRE a. Défiitio : O appelle variable aléatoire X u ombre, résultat d ue expériece aléatoire. - le résultat d u dé lacé. - le gai e à ue loterie - la taille d u idividu choisi au hasard das ue foule b. Loi de probabilité La loi de probabilité d ue variable aléatoire X est le tableau où x, x 2, et x sot les différetes valeurs de X et p, p 2, et p sot les probabilités associées à chaque valeur de X. Valeurs de X x x 2 x P(X = x i ) p p 2 p

2 STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (2/5) O lace deux pièces et o défiit la variable aléatoire X par le ombre de «Face» obteu. PP : X = 0 et chace sur 4 Ω = {PP ; PF ; FP ; PP} doc PF ou FP : X = et 2 chaces sur 4 FF : X = 2 et chace sur 4 La loi de probabilité de X est : Valeurs de X 0 2 P(X = x i ) c. Caractéristiques d ue variable aléatoire discrète : 4 Soit X ue variable aléatoire qui pred valeurs x, x 2, et x et p, p 2, et p les probabilités associées. Espérace mathématique : E(X) = p i x i Remarque : L espérace mathématique est parfois otée X et correspod à la valeur moyee de X, ou le «gai moye» das u jeu de hasard. i = 2 4 Variace : Ecart-type : VarX = p i x i ² (E(X))² = E(X²) (E(X))² parfois otée V(X) i = σ(x) = VarX II. SCHEMA DE EROULLI a. Arbre de déombremet : Lorsqu o reproduit plusieurs épreuves successivemet, o peut déombrer les différetes combiaisos à l aide d u arbre. Chaque brache est podérée par sa probabilité. Ue ure cotiet 5 boules. 3 blaches et 2 oires. O e tire deux, successivemet, et sas remise. 3/5 2/4 2/4 P(,) = 3/5 2/4 = 6/20 P(,) = 3/5 2/4 = 6/20 2/5 3/4 /4 P(,) = 2/5 3/4 = 6/20 P(,) = 2/5 /4 = 2/20 b. Epreuve (ou expériece) de eroulli Lorsqu ue expériece aléatoire e comporte que deux issues, le succès (de probabilité p) et l échec (de probabilité p = q) o dit que c est ue épreuve de eroulli. Exemples : je lace ue pièce et je gage si j obties «face» : succès (p = 0,5) échec (q = 0,5) je tire ue carte das u jeu de 32 et je gage si j obties u as : succès (p = 4/32)

3 STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (3/5) échec (q = 28/32) c. Schéma de eroulli Lorsqu o reproduit fois, de faço idépedate ue épreuve de eroulli de paramètre p, l expériece aisi obteue est appelé schéma de eroulli. O peut le représeter à l aide d u arbre de probabilité. je lace 0 fois ue pièce et je compte le ombre de «FACE» (etre 0 et 0) je tire 5 cartes das u jeu de 32 avec remise et je compte le ombre d AS obteus (etre 0 et 5) d. Combiaiso de p élémets choisis parmi élémets Exemple : Avec la lettre «A» o peut écrire seul mot : A Avec les 2 lettres «A» et o peut écrire 2 mots : A et A. Avec les 3 lettres «A», et «C» o peut écrire 6 mots : AC, AC, AC, CA, CA et CA Avec les 4 lettres «A»,, «C» et «D» o peut écrire 24 mots : ACD, ADC, ACD, ACD O dira que : élémet peut être permuté de faço 2 élémets peuvet être permutés de 2 faços 3 élémets peuvet être permutés de 6 faços 4 élémets peuvet être permutés de 24 faços D ue faço géérale, élémets peuvet être permutés de 2 3 faços.! se dit «factorielle» et correspod au ombre de permutatios de élémets. Exemple 2 : O observe u champioat où il y a 20 clubs dot les 3 premiers sot relégués e secode divisio. Il y a arragemets possibles. MAIS l ordre ous importe peu (Exemple ; 8 ème Paris - 9 ème Marseille - 20 ème Lyo est idetique à 8 ème Marseille - 9 ème Lyo - 20 ème Paris). Il faut doc diviser par 3! c'est à dire le ombre de permutatios de chaque «tiercé» Il y a doc combiaisos possibles. 3 2 E règle géérale, le ombre de combiaisos (sas teir compte de l ordre) de p élémets parmi est : = ( ) ( 2) ( p + )! p = = p! ( p)!p! Propriété des C 0 = C = C = C - = = C -p = p Exemples : J ai 8 joueurs das mo effectif. Combie d équipe de joueurs puis-je composer? C = 8! = !!

4 STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (4/5) A la machie : CASIO : la commade est OPT/PRO/Cr et o tape «Cr k» T.I. : la commade est MATH/PR/Combiaiso et o tape «Combiaiso k» III. LOI IOMIALE a. Défiitio : O cosidère ue épreuve de eroulli de probabilité de succès p (et doc probabilité d échec q = p). Si o répète ue telle épreuve fois, la variable aléatoire X égale au ombre de succès suit ue loi de probabilité biomiale de paramètres et p otée ( ; p). O peut obteir u ombre de succès allat de 0 à. Si o représete les expérieces par u arbre de déombremet o obtiet (pour = 3) P(SSS) = p 3 P(SSE) = p 2 q P(SES) = p 2 q P(S3E) = pq 2 P(ESS) = p 2 q P(ESE) = pq 2 P(EES) = pq 2 P(33E) = q 3 O costate que : Il y a faço d avoir X = 0 : EEE. Doc P(X = 0) = q 3 Il y a 3 faços d avoir X = : SEE, ESE et EES. Doc P(X = ) = 3pq 2 Il y a 3 faços d avoir X = 2 : SSE, SES et ESS. Doc P(X = 2) = 3p 2 q Il y a faço d avoir X = 3 : SSS. Doc P(X = 3) = p 3 D ue faço géérale, si X si o reproduit fois l épreuve de eroulli o a : P(X = k) = C k pk q k O lace 0 fois ue pièce et o compte le ombre de «Face». La loi de probabilité est doée par la loi biomiale (0 ; 0,5) ; Alors : P(X = 3) = C 3 0 0,53 ( 0,5) 7 = 20 0,25 0, ,785 A la machie, pour calculer P(X = k) o utilise les commades suivates : CASIO : la commade est DISTI/iom et o paramètre (umtrial), p et k (x) T.I. : la commade est distrib/iomfdp et o tape «iomfdp(,p,k)» b. Espérace, Variace et écart-type. O admettra que si la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres et p (doc q = p), alors : E(X) = p V(X) = pq σ(x) = pq

5 STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (5/5) O lace 0 fois ue pièce et o compte le ombre de «Face». La loi de probabilité est doée par la loi ormale (0 ; 0,5) ; E(X) = 0 0,5 = 5 : C est le ombre moye de «Face» sur 0 tetatives. c. Coditios à vérifier pour justifier que X suit ue loi biomiale :. O reproduit épreuves de eroulli idépedates comportat deux issues «succès» et «échec» de probabilités respectivemet p et q. 2. O répète fois cette. 3. La variable aléatoire X est égale au ombre de succès.