Correction probabilités conditionnelles. Loi binomiale

Transcription

1 Correctionexercices 7 mars 0 Correction probabilités conditionnelles. Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice ) Il y a 0 possibilités de tirer deux boules simultanément. possibilités de tirer boules rouges, possibilité de tirer boules vertes et 0 6 possibilités de tirage bicolore. On a alors : ) On a la loi de probabilité suivante : P(R)0. et P(V)0. X 0 P(X x i ) 0, 0,6 0, E(X)0, 0+0, 6 +0, 0, 8 V(X)0, 0 + 0, 6 + 0, 0, 8 0, 6 donc σ(x)0, 6 Exercice ) On pose : "le participant est un adulte", J"le participant est un jeune", E"le participant est un enfant" "le participant a apporté son pique-nique". On peut faire l arbre suivant : 8 7 J E 0 7 0e e e 0e 7e e ) Les valeurs possibles prises par X sont :, 0,,, 7 ) a) On obtient la loi de probabilité suivante : X P(X x i ) b) E(X) Le tarif moyen par adhérent est donc de,8e., 8. paul milan Terminale

2 Probabilités conditionnelles Exercice ) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande : D D total total ) Calculer les probabilités suivantes : a) p(d) 7 8 0, 06, p( D) , 0 et p D() 8 7 b) p(d) c) Exercice 0,06 0,6 0, 6, p(d ) D D ) p () p( ) p() 0 7 et p () p( ) p() 0, 88 et p D() ) p( ) p()+ p() p( + 6 p () p( ) 6 p() p() et p () p( ) p() Les événement et sont donc indépendants. ) On peut faire l arbre suivant : 6 p() p() p( )+ p( ) + paul milan Terminale

3 correction exercices ) a) p () p( ) p() et p () p( ) p() 8 b) p( ) p( ) p( ) p() p()+p( ) + 0 p Ā () p( ) p() 0 0. Exercice On pose : O : "la personne est opposée à la construction du barrage" et E : "la personne est écologiste". ) P(O)0, 6, P O (E)0, 70 et P O (E)0, 0. 0, 70 0, 6 0, O O 0, 0 0, 0 0, 80 ) P(O E)P(O) P O (E)0, 6 0, 700, ) P(O E)P(O) P O (E)0, 0, 00, 07 ) P(E)P(O E)+ P(O E)0, +0, 070, 6 E E E E Exercice 6 0, Or ) On a l arbre suivant : 0, T 0, 0, g Or T 0,6 g ) P(T Or)0, 0, 0, et P(T Or)0, 0, 0, ) P(Or)P(T Or)+ P(T Or)0, ) P Or (T ) P(T Or) P(Or) 0, 0, En effet, il y a pièces d or dont sont dans T! paul milan Terminale

4 correction exercices Exercice 7 ) P(M)0,, P()0, 7, P M (H)0, 67 et P ()0, 0, 0,7 0,7 M T 0,67 0, 0,08 0, 0,7 0,6 H H H ) P( )P() P ()0, 7 0, 0, 6 P(M )P(M) P M ()0, 0, 0, 06 ) P()P( M)+ P( )+ P( T) donc P( T)P() P( M) P( )0, 8 0, 06 0, 60, 07 P T () P( T) P(T) 0, 07 0, 7 0, 606 Exercice 8 On appelle l événement D «le dé est parfait». ) On a alors l arbre ci-contre : P()P(D )+ P(D ) ) P (D) P( D) 0 P() , 8 0, D D 6 6 Exercice On appelle : V"la personne est vaccinée" et M"la personne est malade". D après l énoncé, on a : P(V), P V(M), P M(V) ) Calculer : a) P M (V) P M (V) b) P(V M)P(V) P V (M) 8 c) P(M) P(M V) P M (V) 8 paul milan Terminale

5 correction exercices ) P V (M) P(M V) P(V) Une personne non vaccinée a donc moins de chance de tomber malade qu une personne vaccinée! Exercice 0 On a : P()0,, P()0,, P ()0, 7 ) P()P( )P() P ()0, 0, 70, ) P()P( )P()+ P() P( )0, +0, 0, 0, 6 ) P(C)P( ) P( ) 0, 60, ) P(D)P () P( ) P() 0, 0, 0, 8 ) P(E)P () P( ) P() P() P( ) P() 0, 0, 0, 0, 06 0, 0, 6) P(H)P () P( ) P() P() P( ) P() 0, 0, 0, 0, 6 0, 8 0, On peut alors remplir les deux arbres suivants : 0, 7 0, 8 0, 0, 0, 8 0, 0, 0, 0, 7 0, 0, 0, 88 Exercice ffirmation fausse : Il faut retourner l arbre. P()P( )+ P( ) 0, 0, 68+0, 8 0, 60, 66 0, 0, 8 0, 68 0, 0, 6 0, On a alors : P () P( ) P() 0, 6 0, 66 0, paul milan Terminale

6 Indépendance Exercice On a : P()0, et P( )0, 06. Comme et sont indépendants, P( )P()P() P( )P()+ P() P( ) P()+ P() P()P() P()+ P()[ P()] P() P( ) P() P() 0, 06 0, 0 0, 0 0, 0 0, 8 0, 0 Exercice i la probabilité de la face k, p k, est proportionnelle à k alors : p k kp p k (++ +6)p p k a) p() p + p + p p() p + p + p + p p(c) p + p + b) p () p( ) p() p + p 6 p() c) p () p() Les évènements et ne sont pas indépendants. p C () p( C) p p(c) p(c) 7 p() Les événements et C sont donc indépendants. Exercice Réunion juin 00 ) Voir ci-après ) a) P(N N N ) P(N R N ) b) P(N N )P(N N N )+ P(N R N ) + 7 c) P(R N )P(R N N )+P(R R N ) paul milan 6 Terminale

7 ) On a : P(N )P(N N )+ P(R N ) ) On a : P N (N ) P(N N ) P(N ) 7 7 P(N ) Les événements N et N ne sont pas indépendants. ) P N (R ) P(R N ) P(N ) N R N R N R N R N R N R N R Exercice Polynésie juin 006 Voir le site de l apmep : Polynésie juin 006 exercice corrige_juin_006.pdf Loi binomiale Exercice 6 ) oit l expérience "tirer une carte d un jeu de ". La probabilité d avoir un roi est : 8 On renouvelle cette expérience 8 fois, de façon identique (avec remise) et indépendante, on a donc alors un schéma de ernoulli, en appelant X le nombre de rois obtenus. Il s agit de la loi : ( 8, 8 ). P(X) ( 8 )( 8 ) ( ) 7 0,00 8 ) oit l expérience consistant à répondre Vrai ou aux à une question. La probabilité que la réponse soit exacte est donc. On renouvelle cette expérience 0 fois, de façon identique et indépendante, on a donc un schéma ( de ernoulli, on appelant X le nombre de réponse exactes. Il s agit de la loi : 0, ). P(X) ( 0 )( ) ( ) 7 ( 0 )( ) 0 P(X7) ( 0 7 )( ) 7 ( ) ( 0 7 )( ) 0 paul milan 7 Terminale

8 ( ) ( ) 0 0 or donc P(X)P(X7). 7 Il y a donc autant de chance de répondre exactement à questions qu à exactement 7. ) La probabilité d obtenir un nombre pair en lançant une fois un dé est. ( On a donc la loi 8, ). P(X ) P(X ) binomrép(8, 0., )0,8 Exercice 7 ) On obtient la loi de probabilité suivante en tapant : binompd(6,0.). X 0 6 P(X k) 0,06 0,87 0, 0,76 0,8 0,07 0,00 ) p E(X) n 0,. On obtient alors : P(X )binomrép(0, 0., )0, 66 P(X 7) P(X 6) binomrép(0, 0., 6)0, 0 )σ(x) npq donc n σ (X) pq. On a alors : P(X )binomrép(, 0., )0, 08 P(X> ) P(X ) 0, 080, 08 Exercice 8 oit X la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées par sur les disputées. La probabilité que gagne une partie est 0, 6 0,. Les parties sont indépendantes les unes des autres, donc X suit la loi binomiale ( ; 0, ). Pour que gagne le tournoi, il doit remporter au moins parties : Exercice P(X ) P(X ) binomrép(, 0., ) 0, 67 Voir le site de l apmep : Pondichéry avril 00 exercice avril_00.pdf Exercice 0 ) Construction d un arbre pondéré associé à cette situation a) P()0, ; P ()0, et P( )0, 0 b) P ( ) P( ) P() 0, 0 0, 0, 0 0, 08 paul milan 8 Terminale

9 c) On a donc l arbre suivant : ) Calcul de probabilités a) P()P( )+ P( )0, 0, +0, 08 0, 070, 87+0, 060,. b) P () P( ) P() 0, 87 0, ) Étude d une variable aléatoire 0, 6 a) peut prendre les valeurs : 0, et 0 0, 0, 08 0, 0, 0 0, 7 0, P(0)P() P() 0, 60, 066 P()P( )0, 06 P(0)P( )0, 87 On a alors la loi de probabilité de à l aide du tableau suivant : 0 0 P(b i ) 0,066 0,060 0,87 b) E()0 0, , , 870, +8, 7, 0 ) Étude d une nouvelle variable aléatoire. X suit une loi binomiale (0 ; 0, ), car on fait 0 tirages identiques (équivalents à sans remise) et indépendants. La probabilité de succès pp()0, P(X 8) P(X 7) binomrép(0, 0., 7)0, 7 Exercice Métropole juin 0 Voir site de l apmep : Métropole juin 0 exercice Exercice N lle Calédonie mars 0 Voir site de l apmep : N lle Calédonie mars 0 exercice paul milan Terminale

10 Exercice Partie ) L expérience initiale consiste à tirer un nombre entier compris entre et 7. On gagne si le nombre est supérieur à, soit pour 6 et 7. La probabilité de succès est donc p 7 et la probabilité d échec est q 7. On réitère fois l expérience ( de façon identiques et indépendantes. X suit alors une loi de binomiale ; ) 7 ) Déterminer les probabilités des événements suivants : ( )( ) ( ) 6 a) P()P(X) 0, b) P(D)P(X>) P(X ) 0, 8 ) E(X)np 8 7, 7 Partie ) On obtient le tableau suivant : N x,7,,,8 ) Cette simulation permet de confirmer l espérance mathématique de X, en effet pour 00 expériences, on s approche de la valeur théorique 8 7 à 0. Exercice ntilles-uyane septembre 0 Voir le site de l apmep : ntilles-uyane septembre 0 exercice paul milan 0 Terminale