Loi binomiale - Echantillonnage

Transcription

1 Lo bnomale - Echantllonnage I Epreuve de Bernoull Lo de Bernoull 1. Epreuve de Bernoull Une épreuve de Bernoull est une expérence aléatore qu n'a que deux ssues : - S appelé succès avec une probablté p. - S appelé échec avec une probablté 1 p. Cette stuaton consttue une épreuve de Bernoull. On peut tradure la stuaton à l'ade d'un arbre. S p 1 p S 2. Lo de Bernoull Sot X la varable aléatore qu prend la valeur 1 s S est réalsée et la valeur 0 s S n'est pas réalsée. X sut une lo de Bernoull de paramètre p défne dans le tableau suvant : x 0 1 p(x = x) 1 p p Espérance mathématque de X : 2 2 E( X ) p x (1 p)(0) (1)( p) p Varance de X : V ( X ) p x [ E( X )] (1 p)(0) ( p)(1) p p p 1 V( X ) p(1 p) 1 Ecart-type de X : ( X ) V( X ) p(1 p) II Lo bnomale 1. Schéma de Bernoull Un schéma de Bernoull est la répétton de n épreuves de Bernoull dentques et ndépendantes. On peut utlser un arbre pour détermner les dfférentes ssues.

2 p S 2 1 p S 2 p S 1 p S 2 1 p S 1 1 p S 2 2. Coeffcents bnomaux Consdérons une épreuve qu sut un schéma de Bernoull de paramètres n et p. a. Défnton Le nombre d'ssues comportant k succès parm n avec 0 k nest noté n se lt "k parm n". k b. Calcul de coeffcents bnomaux n. k 0 Par conventon. 0 n 1 car l n'y a qu'un seul chemn réalsant n succès lors de n épreuves. n n 1 car l n'y a qu'un seul chemn réalsant 0 succès lors de n épreuves. 0 n n car l y a n chemns réalsant 1 succès lors de n épreuves. 1 n n car l y a n chemns réalsant 1 succès lors de n épreuves. n 1 n n 3 3 car l y a n k succès donc k échecs. (exemple avec 1 n k k 2 1 On aura auss n n n 1 k k 1 k 1 ce qu sera démontré par la sute. Pour tous les autres calculs de coeffcents bnomaux, on utlsera la calculatrce avec : 10 Math PRB Combnason 3 donne 120. c. Trangle de Pascal Développons ( a b ) n 0 ( ab) 1

3 1 ( ) 1 1 a b a b ( a b) 1a 2ab 1b ( a b) 1a 3a b 3a b 1b On peut dsposer les coeffcents sous forme de trangle équlatéral : C'est le trangle de Pascal. On peut auss le dsposer sous forme de trangle rectangle : n k k k n n n k k 1 n + 1 n 1 k 1 On reconnaît dans le tableau les dfférentes valeurs de n. k 3. Défnton de la lo bnomale On consdère une expérence aléatore à deux ssues S et S, de probabltés respectves p et 1 p. On répète n fos cette expérence de manères dentques et ndépendantes. Sot X la varable aléatore égale au nombre de succès, on dt que X sut une lo bnomale de paramètres n et p que l'on note B(n, p). La probablté pour que X prenne la valeur k avec 0 k nest : n k nk p( X k) p (1 p) k L'espérance mathématque de la varable aléatore X est : E(X) = np L'espérance de la varable aléatore X est V(X) = np(1 p)

4 4. Représentaton graphque de la lo bnomale Les touches de la calculatrce : 2 nde + Dstrb + bnomfdp( On lance une pèce de monnae 10 fos. Sot X la varable aléatore égale au nombre de "ple" obtenus. On répète 10 fos de sute et de manère ndépendante la même expérence à deux ssues : - succès : obtenr "ple" - echec : "obtenr "face" donc l'expérence satsfat à un schéma de Bernoull donc X sut la lo bnomale B(10, 1 2 ). 10 k 10k p( X k) p (1 p) avec k {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} k En entrant 0,1,2,,10 dans Lst 1 et bnomfdp(10,1/2,l1) dans Lst 2, on obtent la lo de probablté de X. En utlsant les fonctons de graphe des statstques, on obtent : III Echantllonnage 1. Exemple On lance un dé à 6 faces et on veut savor s le dé est truqué ou non. Pour cela, on lance 90 fos le dé et on note X le nombre de fos où la face 6 apparaît. S'l n'est pas truqué, alors X sut une lo bnomale B(10, 1 6 ). 1 On a E(X) = On retre 2,5 % des valeurs les plus fables et 2,5 % des valeurs les plus fortes pour garder 95 % des résultats. En utlsant Lst1 avec des valeurs entre 0 et 90 et Lst2 = bnomfrép(90,1/6,l1), on obtent les fréquences cumulées crossantes. On lt p( X k) 0,025 pour X = 8 et p( X k) 0,975 pour X = L'ntervalle de fluctuaton à 95 % est [ ; ] sot 4 11 [ ; ]

5 S la fréquence d'apparton du 6 appartent à cet ntervalle alors on garde l'hypothèse "le dé n'est pas truqué". S la fréquence d'apparton du 6 n'appartent pas à cet ntervalle alors on rejette l'hypothèse "le dé n'est pas truqué". 2. Défnton Sot X une varable aléatore qu sut une lo bnomale B(n,p). L'ntervalle de fluctuaton à 95 % d'une fréquence correspondant à la réalsaton d'un a b événement sur un échantllon de talle n est l'ntervalle [ ; ] n n avec : - a est le plus pett enter tel que p( X a) 0,025 - b est le plus pett enter tel que p( X b) 0,975 S la fréquence observée f appartent à cet ntervalle de fluctuaton, on consdère que l'hypothèse n'est pas rejetée. Snon on rejette l'hypothèse. -