MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Préalable(s) : MAT145 PLAN DE COURS SESSION ÉTÉ 2014

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1 École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Responsable(s) du cours : Geneviève Savard Crédits : 4 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Préalable(s) : MAT145 PLAN DE COURS SESSION ÉTÉ Coordonnées de l enseignant Groupe 01 Cédric Lamathe Cédric Lamathe bureau B Descriptif officiel du cours Cours destiné spécifiquement aux étudiants inscrits au programme de baccalauréat en génie logiciel. Introduction à la logique : logique de proposition et de prédicat. Preuves formelles par logique de proposition. Programmation logique. Ensembles, relations et fonctions. Cardinalité et ensembles dénombrables et non dénombrables. Structures d ordre partiel : ensemble d ordre partiel, arbres, algèbre booléenne. Graphes : parcours des graphes, formule d Euler, fermeture transitive et circuits. Machines formelles : automates, expressions régulières, fonctions primitives récursives, technique de la diagonalisation. Introduction à la machine de Turing. Séances de laboratoire portant sur les applications pratiques des mathématiques discrètes dans le domaine de l informatique. Analyse d algorithmes. Effets de la complexité temporelle et spatiale des algorithmes. Application aux codages : codage linéaire, codage à longueur variable et codage de Huffman. 3. Objectifs spécifiques du cours Apprendre et maîtriser les outils de mathématiques discrètes de base liés aux problèmes de programmation et de structures informatiques. À l occasion, appliquer ces notions par la réalisation de programmes informatiques. 4. Stratégies pédagogiques utilisées Trois heures et demie de cours magistral par semaine. De nombreux exemples et exercices seront faits en classe pour permettre aux étudiants de bien assimiler la théorie présentée. Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 1

2 Trois heures de travail pratique par semaine seront consacrées à travailler les exercices hebdomadaires, à demander des éclaircissements sur les notions vues dans le cours, à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples. 5. Contenu du cours (Les sections indiquées font référence à l ouvrage de K. H. Rosen 7e édition.) COURS MATIÈRE SECTIONS À LIRE 1 Logique. Équivalences propositionnelles. Prédicats et quantificateurs. 2 Méthodes de preuve. Ensemble : opérations sur les ensembles. Fonctions : injections, surjections, bijections. 3-4 Cardinalité d un ensemble, ensembles dénombrables, ensembles non dénombrables. Algèbre booléenne. Fonctions booléennes et leurs représentations. Portes logiques. Minimisation de circuit. 5 Comportement asymptotique des fonctions. Algorithmes. Complexité des algorithmes. 5-6 Nombres entiers et division. Arithmétique modulaire. Entiers et algorithmes. Cryptographie RSA. Suites et sommations. HEURES 1.1 à à à ( ) 12.1 à à à ( ) 7 Examen intra portant sur les cours 1 à Principe de l induction. Définitions récursives. Algorithmes récursifs. 9 Notions de base du dénombrement. Principe des trous de pigeons. Permutations et combinaisons. Triangle de Pascal. Théorème du binôme Relations de récurrence. Solutions des relations de récurrence linéaires. Algorithmes de fractionnement (diviser pour régner). Relations et leurs propriétés. Matrice. Représentation des relations. Fermeture de relations. Relations d équivalence à à à , 9.3 à Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 2

3 COURS MATIÈRE SECTIONS À LIRE Graphes : types de graphes, terminologie, représentation et utilisation. Matrices d adjacence et d incidence d un graphe. Connectivité. Chemins eulériens et hamiltoniens d un graphe, circuit et applications. Problème du plus court chemin d un graphe 6. Laboratoires ou travaux pratiques HEURES 10.1 à Total 39 Trois heures de travail pratique par semaine seront consacrées à travailler les exercices hebdomadaires, à demander des éclaircissements sur les notions vues dans le cours, à compléter le cours magistral par certaines démonstrations ou certains exemples. 7. Utilisation d outils d ingénierie Afin de permettre une participation active en classe, il est obligatoire que chaque étudiant possède une calculatrice TI-Nspire CAS CX. Ces calculatrices sont en vente à la COOP. La calculatrice symbolique sera utilisée tout au long de la session pour illustrer des concepts mathématiques, pour effectuer des calculs, des manipulations algébriques et même pour implémenter certains algorithmes. L utilisation efficace de cet outil sera vérifiée lors des examens. Pour de l aide sur l utilisation de cette calculatrice symbolique, visitez le site Voici des objectifs spécifiques d apprentissage concernant l utilisation de la calculatrice TI- Nspire CAS CX : 1. Connaître la syntaxe des expressions logiques : and, or, not. 2. Connaître le fonctionnement de l éditeur de programmes et de fonctions. 3. Savoir implémenter une fonction définie par récurrence. 4. Savoir implémenter une fonction récursive définie par une relation de type diviser pour régner. 5. Savoir implémenter une suite définie par récurrence, en tracer le graphique en obtenir un terme de rang donné ou une table de valeurs. 6. Savoir effectuer différentes opérations matricielles (par exemple : obtenir la 5 e puissance d une matrice M associée à un graphe afin d établir le nombre de chemins de longueur 5 entre deux sommets donnés). Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 3

4 8. Évaluation Gr. 01 Examen intra : 35 % 21 février 2014 Devoirs et minitest: 30 % Examen final : 35 % Dates à communiquer en classe. Semaines d examens La documentation permise pour l'examen final : un résumé personnel de 2 feuilles 8 ½ po X 11 po (recto verso) écrit à la main (aucun document photocopié ou imprimé, en totalité ou partiellement, ne sera accepté); une calculatrice. 9. Documentation obligatoire ROSEN, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications, 7 e édition, McGraw-Hill. 10. Ouvrages de référence 1) ABELSON, H., J. SUSSMAN. Structure et interprétation des programmes informatiques, InterEditions. 2) BRASSARD G., P. BRATLEY. Algorithmique conception et analyse, Masson, Presse de l Université de Montréal. 3) COMTET, Louis. Advanced Combinatorics, D. Reidl Publishing Company. 4) GRAHAM, KNUTH, PATASHNIK. Concrete Mathematics, A Fondation for Computer Science, Addison-Wesley. 5) ROSEN, Kenneth H. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press. 6) STANLEY, Richard P. Enumerative Combinatorics, Wadsworth & Brooks. 7) STANAT, MC ALLISTER, Discrete mathematics in computer science, Prentice Hall. Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 4

5 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES ANNEXE I 1. Caractéristiques du cours Responsable(s) du cours : Geneviève Savard Coordonnées de l enseignant : Groupe 01 Cédric Lamathe Cédric Lamathe bureau B-2304 Préalables : Profil T : MAT145 Crédits : 4 2. Descriptif officiel du cours Cours destiné spécifiquement aux étudiants inscrits au programme de baccalauréat en génie logiciel. Introduction à la logique : logique de proposition et de prédicat. Preuves formelles par logique de proposition. Programmation logique. Ensembles, relations et fonctions. Cardinalité et ensembles dénombrables et non dénombrables. Structures d ordre partiel : ensemble d ordre partiel, arbres, algèbre booléenne. Graphes : parcours des graphes, formule d Euler, fermeture transitive et circuits. Machines formelles : automates, expressions régulières, fonctions primitives récursives, technique de la diagonalisation. Introduction à la machine de Turing. Séances de laboratoire portant sur les applications pratiques des mathématiques discrètes dans le domaine de l informatique. Analyse d algorithmes. Effets de la complexité temporelle et spatiale des algorithmes. Application aux codages : codage linéaire, codage à longueur variable et codage de Huffman. 3. Répartition des unités d agrément du BCAPG Maths Sciences naturelles Études complémentaires Science du génie Conception en ingénierie Total 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4. Qualités (Qx) et compétences (Cy) enseignées et ou évaluées Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 5

6 5. Évaluation Absence à un examen Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l étudiant devra justifier son absence d un examen durant le trimestre auprès de son enseignant. Pour un examen final, l étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l attribution de la note zéro (0). Plagiat et fraude Les clauses du «Chapitre 10 : Plagiat et fraude» du «Règlement des études de 1 er cycle» s appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Afin de se sensibiliser au respect de la propriété intellectuelle, tous les étudiants doivent consulter la page Citer, pas plagier! Session été 2014 MAT210 LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES DISCRÈTES 6

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