1 Éléments de la théorie des probabilités
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- Valentin Pageau
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1 1 Élémets de la théorie des probabilités 1.1 Expériece stochastique, évéemet aléatoire Ue expériece est dite stochastique ou aléatoire s il est impossible de prévoir so résultat. E pricipe, o admet qu ue expériece stochastique peut être répétée idéfiimet das des coditios idetiques; so résultat peut doc varier d ue réalisatio à l autre. Exemples: 1. o jette u dé et o observe le résultat obteu; 2. o jette u dé et o s itéresse au ombre de jets qui sot écessaires jusqu à ce que la face 6 apparaisse pour la première fois; 3. o mesure la durée de bo foctioemet d u équipemet techique choisi au hasard parmi u grad ombre d équipemets idetiques. U esemble Ω qui est costitué par tous les résultats possibles d ue expériece aléatoire est appelé u espace d échatilloage ou espace fodametal. L esemble fodametal peut être fii (premier exemple) ifii déombrable (deuxième exemple) ifii o déombrable (derier exemple) U espace d échatilloage fii ou ifii déombrable est appelé espace d échatilloage discret; s il est ifii o déombrable, espace d échatilloage cotiu. U évéemet est u sous-esemble A de l espace d échatilloage Ω, c est-àdire qu il est u esemble des résultats possibles. Si e particulier A se réduit à u seul élémet o parle d évéemet élémetaire. Parmi les évéemets particuliers ous avos Ω lui-même, qui est l évéemet sûr ou certai et l esemble vide qui est l évéemet impossible. 1.2 Operatios sur les évéemets Das la mesure où des évéemets sot des esembles, il est clair que les propositios relatives aux évéemets peuvet être traduites das le laguage de la théorie des esembles et iversemet. E particulier, ous avos ue algèbre des évéemets qui correspod à l algèbre des esembles. Aisi si A et B sot des évéemets 1
2 A + B est l évéemet soit A, soit B, soit les deux; A B est l évéemet à la fois A et B ; A est l évéemet o A; A B est l évéemet A mais pas B. Si A B =, alors A et B sot dits mutuellemet exclusifs ou icompatibles. Cela sigifie qu ils e peuvet pas être réalisés simultaémet. O dit qu u évéemet A implique u autre évéemet B si chaque fois que A est réalisé B l est aussi. O appelle partitio de Ω toute famille fiie ou déombrable d évéemets A 1, A 2,...,A,..., différets de et deux à deux icompatibles, telle que A 1 + A A + = Ω. Les opératios sur les évéemets défiies ci-dessus ot les propriétés suivates, qui sot tout à fait aalogues aux règles bie coues des opératios sur les esembles : } A (B + C) = (A B) + (A C) distributivité A + (B C) = (A + B) (A + C) A B = A + B A + B = A B A = A } lois de Morga Exemple: Ue uité de productio utilise deux machies automatiques dot chacue peut tomber e pae au cours d ue période de temps doée. O cosidère les évéemets suivats : A 1 : la première machie foctioe; A 2 : la deuxième machie foctioe; B k : exactemet k machies foctioet (k = 0, 1, 2); C : au mois ue machie foctioe. Alors : B 0 = A 1 A 2 ; B 1 = (A 1 A 2 ) + (A 1 A 2 ) B 2 = A 1 A 2 et C = A 1 + A 2 Problèmes résolus 1. O tire ue carte au hasard d u paquet de 52 cartes à jouer. Décrire l espace fodametal das les deux cas (a) o e tiet pas compte des couleurs, 2
3 (b) o tiet compte des couleurs. Si l évéemet tirage d u roi est A l évéemet tirage d u trèfle est B décrire les évéemets : A + B, A B, A + B, A, A + B, A B, A B. 2. Trois joueurs A, B et C, jettet ue pièce à tour de rôle. Le premier qui obtiet pile gage. L esemble fodametal S de cette expériece peut être décrit comme suit : S = {1, 01, 001,..., } (a) Doer ue iterprétatio des poits de S. (b) Décrire les évéemets suivats e termes de ces poits : premier évéemet : A : A gage deuxième évéemet : B : B gage troisième évéemet : (A + B). O admettra que A joue d abord, puis B et efi C. 3. Ue ville de habitats compte trois jouraux locaux : I, II, et III. Les proportios de lecteurs pour ces jouraux sot : I : 10% I et II : 8% et I, II et III : 1% II : 30% I et III : 2% III : 5% II et III : 4% Ces proportios ous idiquet par exemple que 8000 persoes liset à la fois les jouraux I et II. (a) Trouver le ombre de persoes e lisat qu u joural. (b) Combie de persoes liset au mois deux jouraux? (c) II est u quotidiet du soir, tadis que I et III sortet le mati. Combie de persoes liset-elles au mois u joural du mati plus celui du soir? (d) Combie de persoes liset-elles u joural du mati seulemet et le joural du soir? 1.3 Probabilité Loi empirique des grads ombres Si ous observos la fréquece de réalisatio d u évéemet A au cours d ue logue suite de répétitios de l expériece Ω à laquelle il est lié, ous costateros 3
4 expérimetalemet que cette fréquece N A /N fluctue de mois e mois lorsque le ombre N de répétitios de l expériece augmete. Ce résultat expérimetal que ous appelleros la loi empirique des grads ombres coduit doc à abstraire de l expériece la otio de probabilité statistique d u évéemet A : cette probabilité statistique de A qui est la limite de la fréquece N A /N lorsque N augmete idéfiimet, correspod certaiemet à l ituitio première que ous avos de la otio de probabilité. Voici ecore u autre aspect de cette loi empirique des grads ombres : si ous observos plusieurs logues suites de répétitios d ue expériece Ω, ous pourros costater expérimetalemet que les fréqueces d u évéemet A lié à Ω calculées sur les diverses suites sot approximativemet les mêmes. Les fréqueces F(A) = N A /N de même que leurs valeurs asymptotiques possèdet les propriétés évidetes suivates : 1. pour tout A : F(A) 0 et F(Ω) = 1, 2. F( 1 A j) = 1 F(A j) pour toute suite fiie d évéemets deux à deux icompatibles. Nous retiedros ces propriétés (e étedat la secode à des familles déombrables afi de permettre des passages à la limite aturels) pour défiir axiomatiquemet les probabilités sas e faire reposer la défiitio sur la loi empirique des grads ombres. La théorie mathématique rigoureuse qui sera esuite développée s est avérée à même de redre compte des phéomèes aléatoires Espace probabilité Le but du calcul des probabilités est d associer ue mesure à certais évéemets pour caracteriser leur fréquece. Commet défiir la probabilité d u évéemet? Nous voulos qu elle soit d autat plus grade que A soit plus probable. À chaque évéemet de Ω ous associos u ombre réel P(A). La valeur P(A) est ue mesure de chace de réalisatio de l évéemet A lors de l expériece stochastique cosidérée. Ue loi de probabilité ou ue probabilité sur u esemble fodametal Ω est ue foctio P défiie sur les sous-esembles de Ω de telle sorte que les axiomes suivats soiet satisfaits : (1) 0 P(A) 1 pour tout A (2) P(Ω) = 1 (3) Pour tout ombre d évéemet exclusifs A 1, A 2,... P(A 1 + A ) = P(A 1 ) + P(A 2 )
5 1.3.3 Propriétés élémetaires d ue loi de probabilité O peut aisémet démotrer d autres propriétés importates de P. P(A) = 1 P(A) (règle du complémet), doc P( ) = 0 P(A) < P(B) si A implique B (règle d iclusio) et P(A B) = P(A) P(B). P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB) (règle d additivité) si A et B sot deux évéemets quelcoques. Plus gééralemet si A 1, A 2, A 3 sot trois évéemets quelcoques P(A 1 + A 2 + A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ) il est possible de gééraliser à évéemets. Remarque: le fait, que la probabilité d u évéemet est égal 1 ou 0 implique pas écessairemet que cet évéemet est certai ou impossible. 1.4 Évaluatio d ue loi de probabilité Les axiomes itroduits précédemmet e permettet pas d évaluer umériquemet la foctio P associée à ue expériece stochastique doée. O peut se faire d ue loi de probabilité l image ituitive, si la loi défiit ue faço de répartir sur l esemble Ω ue masse uité. Si P(A) désige la masse portée par A, o voit que (les axiomes) sot alors remplis Loi uiforme discrète. Aalyse combiatoire Pour ue classe importate d expérieces stochastiques o peut raisoablemet admettre l existece de certaies propriétés de symétrie. Soit Ω = {e 1, e 2,...,e N } u esemble fii, composé d u ombre fii N d élémets. N est appelé le cardial ( Ω ) ou l effectif de Ω. Les propriétés de symétrie impliquet que tous les résultats possibles de l expériece ot la même chace d apparitio, e d autres termes qu ils sot équiprobables. Alors : P(e 1 ) = P(e 2 ) = = P(e N ) = 1 N où e i est u évéemet élémetaire, et à u évéemet A costitué de k évéemets élémetaires la probabilité : P(A) = A Ω = k (fréquece de A). Il est facile de vérifier que la N foctio P(A) aisi défiie obéit aux axiomes. Le calcul de A fait souvet appel à l aalyse combiatoire. Notos que le cocept de la loi de probabilité uiforme a logtemps servi de défiir la otio de probabilité, ce qui se traduit par la formule 5
6 bie coue : P(A) = A où est le ombre de cas possible (lors de la réalisatio d ue expériece stochastique) et A est le ombre de cas favorables (favorables à la réalisatio de l évéemet A). Exemple: Si o jette deux fois u dé équilibré, quelle est la probabilité que la somme des deux faces soit au mois égale à 10? Répose: O a ici affaire à u espace probabilisé compreat 36 évéemets élémetaires, à savoir tous les couples (i, j) où 1 i 6, 1 j 6. Si o défiit ue loi uiforme sur Ω, il e résulte que P (somme de 2 faces 10) = 6/36 = Aalyse combiatoire Lorsqu o a affaire à ue loi uiforme discrète, la probabilité d u évéemet A, P(A), est détermiée par le quotiet des ombres d élémets des esembles A et Ω. Si ces ombres sot trop grads pour être comptés directemet, o fait appel à l aalyse combiatoire. Soit u esemble de objets tous différets. O appelle arragemets sas répétitio de ces objets k à k les listes de k objets, ragés das u ordre détermié choisis parmi ces objets. Le ombre d arragemets sas répétitio de élémets pris k à k est : A k =! ( k)!. Soit u esemble de objets tous différets. Chaque liste de ces objets ragé das u ordre détermié est ue permutatio sas répétitio de ces objets. Le ombre des permutatios de élémets est p =!. Soit u esemble de objets tous différets. O appelle combiaisos sas répétitio de ces objets k à k les esembles (les collectios) de k objets choisis parmi ces objets. Le ombre ( ) des combiaisos sas répétitios de élémets k à k est : C k =! = k k!( k)! Le ombre des permutatios de élémets avec 1, 2,..., k répétitios est : p 1, 2,..., k! = 1! 2!... k!. 6
7 Le ombre des arragemets avec répétitios de élémets k à k est : A k = k. Le ombre des combiaisos avec répétitios de élémets k à k est : ( ) + k 1 C k =. k O peut résoudre de ombreux problèmes liés à la physique statistique e utilisat par l aalyse combiatoire. E voilà trois examples. Tous les trois problèmes peuvet être dérivés de l arragemet de billes das N boîtes das des coditios différetes. Des systèmes divers des molécules de gaz peuvet être appliqués das la statistique de Maxwell Boltzma. Exemple: Nous avos particules toutes différetes. Mettos cettes particules sur N iveaux. Quelle est la probabilité qu exactemet k particules soiet sur u iveau doé? Répose: Utilisos os coaissaces de la théorie de la probabilité classique. Nombre totale des cas : N, soit le ombre des arragemets avec répétitio de N objects à. (Selo l hypothèse de statistique de Maxwell Boltzma ( ) toutes les positios sot équiprobables). Nombre des évéemets favorables (N 1) k, ( ) k car de objects ous pouvos choisir à faços et ous pouvos arrager la k reste ( k) objets ( à )(N 1) k faços sur (N 1) iveaux. Doc la probabilité cherchée est p k = (N 1) k /N. Das le cas des autres particules comme k p.e. les photos, ous applicos le statistique Bose-Eistei. Das ce model o e peut pas distiguer les particules. Exemple: Mettos particules o distiguables sur N iveaux de l éergie. Quelle est la probabilité que exactemet k particules soiet à u iveaux doé. ( ) N + 1 Répose: Nombre de tous les cas : soit le ombre des combiatios avec répétitio de N élémets à. Les différets arragemets sot équiprobables. Le ombre des cas favorables est égale au ombre des arragemets de la reste k particules sur les N 1 iveaux. 7
8 Nous pouvos calculer le ombre des combiatios avec répétitio de ouveau : ( ) N + k 2 p k = k ( ). N + 1 Le model Bose-Eistei est pas valable gééralemet. Das le cas de certais particules qu o e peut pas distiguer il fait aussi predre e cosideratio le pricipe de Pauli, c est à dire au maximum ue particule occupe u iveau. Ce pheomèe est bie décrit par la statistique Fermi Dirac. Exemple: Mettos particules o distiguables sur N iveaux d ue telle faço qu il y ait ue particule au maximum à chaque iveau. Quelle est la probabilité qu il y ait exactemet ue particule sur u iveau choisi au hasard? ( ) N Répose: Nombre totale des cas : soit le ombre des choix de iveaux ( ) N 1 où ous mettos les particules. Nombre des cas favorables, le ombre 1 de possibilité d arrager ( la reste) 1 particules sur les N 1 iveaux. Doc la N 1 probabilité cherchée p = ( ) 1. N Exemple: U emballage compred six articles dot o sait qu exactemet deux sot défectueux. O prélève la moitié des articles sas remettre u article déjà choisi. Quelle est la probabilié que cet échatillo de taille trois compree au mois deux bos articles? Répose: La probabilité de cet évéemet est doée par P(A) = P(A 2 ) + P(A 3 ) où A k = {exactemet k bos articles}. A = A 2 + A 3 et A 2, A 3 sot mutuellemet exclusifs. D après le modèle de la loi uiforme discrète, il viet ( )( ) ( )( ) P(A) = 2 1 ( ) ( ) =
9 1.4.3 Lois uiformes cotiues La otio de loi uiforme s éted au cas d u esemble fodametal ifii o déombrable. Si l o maitiet l hypothèse exigeat que chaque évéemet élémetaire ait la même probabilité de réalisatio, celle-ci e peut qu être ulle e vertu de l axiome, bie que chaque évéemet élémetaire peut clairemet être réalisé. Pour défiir P(A), o e peut doc plus utiliser les évéemets élémetaires dot A est composé. O peut ecore défiir ue loi uiforme par exemple das les 3 cas suivats : Ω est ue courbe de logueur fiie (par exemple u cercle). Pour A Ω, o ote µ(a) la logueur de A. Ω est ue surface d aire fiie (par exemple ue sphère). Pour A Ω, o ote µ(a) l aire de A. Ω est ue régio de l espace de volume fii (par exemple u cube). Pour A Ω, o ote µ(a) le volume de A. E cosidérat Ω comme u solide homogèe (c est-à-dire de desité costate) de masse 1, la loi de probabilité correspodate P est dite la loi uiforme sur Ω. La probabilité P(A) e déped i de la positio de A, i de sa forme, mais seulemet de sa gradeur. O a : P(A) = µ(a) µ(ω). E particulier, si A a qu u ombre fii de poits, P(A) = 0. C est à cette loi uiforme que l o fait allusio lorsque l o parle, sas préciser, d u poit choisi au hasard das Ω. Exemple: Ω état ue boule de cetre 0 et de rayo R (esemble des poits de l espace dot la distace à 0 est iférieure à R), o choisi au hasard u poit M das Ω. Idiquer, selo les diverses valeurs du ombre x, la probabilité P(OM < x). Répose: P(OM < x) = 0 si x 0, ( x ) 3 P(OM < x) = si 0 x R R P(OM < x) = 1 si R x. Problème: Ω état u disque de cetre 0, o choisi u poit M au hasard sur Ω et o costruit le carré de cetre 0 ayat M pour milieu d u des côtés. Quelle est la probabilité pour que ce carré soit coteu das le disque Ω? 9
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