Rappels de théorie des probabilités
|
|
- Serge Hébert
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans beaucoup de cas (notamment lorsqu il n est pas fini ou dénombrable), on ne l explicite pas. Exemple. On suppose que l on veut modéliser une expérience aléatoire qui a un ensemble fini ou dénombrable d issues possibles. L ensemble sera alors l ensemble de ces issues. Par exemple : (i) On jette deux dés discernables en même temps, l ensemble des résultats possibles peut-être modélisé par l ensemble = {1,..., 6} 2. (ii) On jette un nombre infini de fois une pièce de monnaie. On peut choisir = {0, 1} N. Certains sous-ensembles de, appelés des événements, jouent un rôle essentiel dans la modélisation probabiliste. Ce sont les parties de dont on veut connaître la probabilité. Les événements ne contenant qu un seul point de sont appelés des événements élémentaires Tribus. Il paraît naturel de demander que l ensemble des événements soit stable par les opérations ensemblistes élémentaires. Plus précisément, on a la définition suivante : Définition 1.1. On appelle tribu de parties de toute famille F de parties de satisfaisant (i) F; (ii) A F = A c F; (iii) Si (A n ) n 1 est une suite de F alors A n F. n 1 Le couple (, F) où F est une tribu de parties de est appelé un espace probabilisable. Exemple. Souvent, lorsque est fini ou dénombrable, on peut considérer tout sousensemble de comme un événement. On note P() cette tribu, c est la tribu la plus fine dont on peut munir. A l inverse, la tribu la plus grossière, appelée la tribu triviale, est F = {, }. Il arrive qu on souhaite que certaines parties données de soient des événements. Si l ensemble des parties de de ce type n est pas une tribu, on a besoin de considérer la plus petite tribu contenant ces parties : Définition 1.2. Soit A un ensemble non vide de parties de. On appelle tribu engendrée par A et on note σ(a) la plus petite tribu contenant A. On peut montrer que la tribu engendrée par une famille A P() est aussi l intersection de toutes les tribus contenant A. Remarquons également que si A est déjà une tribu de parties de, alors σ(a) = A. 1
2 2 Exemple. Cas d une partition de. Soit A = {A 1,..., A n } une partition de. Alors { } σ(a) = A i / I {1,..., n}. Un corollaire immédiat de ce résultat est que si est fini et si A est l ensemble des singletons de alors σ(a) = P(). Pour conclure cette présentation sur les tribus, donnons deux exemples qui illustrent le fait que la tribu à considérer dans une modélisation n est pas nécessairement P(). Exemple. Dans le cas non dénombrable, considérer tout sous-ensemble de comme un événement peut ne pas avoir de sens. Par exemple, considérons le lancer d une fléchette sur une cible de rayon 1 et notons = [0, 1] l ensemble des résultats possibles donnant la distance de la fléchette au centre de la cible. Il semble clair que les événements doivent au moins consister en les intervalles de [0, 1]. On sait (cf. le cours de première année) que la tribu engendrée par les intervalles de [0, 1] forme l ensemble des boréliens qui est strictement inclus dans P([0, 1]). Exemple. Même dans le cas fini, on peut avoir besoin de considérer des tribus moins fines que P(). Considérons par exemple que l on a lancé N fois une pièce de monnaie mais que l on ne connaît que le résultat du premier jet. On a = {0, 1} N mais l information à laquelle on a accès à l issue du premier jet est seulement constituée du résultat de ce premier jet. Si on note A l événement le premier jet a donné pile et A c l événement le premier jet a donné face alors la tribu des événements accessibles à l issue du premier jet est la tribu engendrée par {A, A c }, soit F = {, A, A c, }. Remarquer que A peut s écrire (si 1 représente pile ) A = {ω = (ω 1,..., ω N ) {0, 1} N / ω 1 = 1}. A titre d exercice, construire la tribu naturelle des événements connus à l issue du n-ième jet pour n Probabilités. Soit (, F) un espace probabilisable. Définition 1.3. On appelle probabilité sur (, F) toute application P : F [0, 1] satisfaisant (i) P [] = 1; (ii) pour toute suite (A n ) n 1 d éléments de F deux à deux disjoints de F, (on dit que les événements sont deux à deux incompatibles), on a : P A n = P [A n ]. n 1 n 1 Le triplet (, F, P) s appelle alors un espace probabilisé. Définition 1.4. Soit (, F, P) un espace probabilisé. On dit que - un événement A F est négligeable si P [A] = 0. Une propriété dépendant de ω est dite presque sûre (ou est satisfaite presque sûrement) si elle est satisfaite en dehors d un ensemble négligeable.
3 3 - Deux événements A et B de F sont dits indépendants si P [A B] = P [A]P [B]. - Une suite d événements (A n ) n 1 F est appelée suite d événements deux à deux indépendants si, pour tous n, m 1, n m, A n et A m sont indépendants. - Une suite d événements (A n ) n 1 F est appelée suite d événements indépendants si, pour tout I N fini, [ ] P A i = P [A i ]. Soit (, F, P) un espace probabilisé Définition. 2. Variables aléatoires. Définition 2.1. On dit que l application X définie sur et à valeurs dans R n est une variable aléatoire sur (, F, P) si elle est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )). Rappelons que B(R n ) est la tribu des boréliens de R n, c est-à-dire la tribu engendrée par les pavés de R n. Rappelons également que X est dite mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si, pour tout borélien B B(R n ), X 1 (B) F. Notation. On note en général [X B] l événement X 1 (B). Exemple. Soit X une application définie sur et à valeurs dans R n. (1) Si F est la tribu triviale, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante. (2) Si F est une tribu engendrée par une partition finie de, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante sur chacune des composantes de la partition. Remarquons que la tribu P() rend toutes les applications mesurables. Autrement dit, si X est une application de dans R n, X est mesurable de (, P()) dans (R n, B(R n )). La plus petite tribu qui rend X mesurable est appelée la tribu engendrée par X et notée σ(x). On peut la définir facilement. C est l objet de la proposition suivante. Proposition 2.1. Soit X une application de dans R n. La tribu engendrée par X est σ(x) = {X 1 (B)/ B B(R n )} Loi d une variable aléatoire. Définition 2.2. Soit X une variable aléatoire définie sur (, F, P) prenant ses valeurs dans R n. On appelle loi de X et on note µ X la mesure borélienne (i.e. définie sur les boréliens) définie, pour tout B B(R n ), par µ X (B) = P [ X 1 (B) ] = P [X B]. Cette mesure s appelle également la mesure image de P par X. C est une mesure de probabilité sur R n (mesure positive de masse totale est 1).
4 4 Connaître la loi de X permet donc de déterminer la probabilité de tous les événements que l on peut écrire avec la variable X. Parmi les lois les plus courantes, on comptes les lois discrètes et les lois à densité. Les lois discrètes sont les mesures qui sont portées par un ensemble dénombrable de R n. Une variable aléatoire discrète sera une variable aléatoire dont la loi est discrète. Plus précisément, si la variable aléatoire X prend ses valeurs dans un ensemble {x k, k 1}, alors sa loi est donnée par µ X = k 1 P [X = x k ]δ xk où, pour tout x R n, δ x est la mesure de Dirac au point x, c est-à-dire la mesure définie, pour tout B B(R n ), par { 1 si x B δ x (B) = 0 sinon. Parmi les variables aléatoires discrètes bien connues, on a : la loi uniforme sur un ensemble fini, la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi hypergéométrique, la loi de Poisson, la loi géométrique, etc. Les lois à densité sont les lois qui sont absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue. Une mesure de probabilité µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R n s il existe f : R n R, Lebesgue-mesurable telle que, pour tout B B(R N ), µ(b) = f(x)dx. B En particulier, la fonction f, qui s appelle alors la densité de µ (sous-entendu : par rapport à la mesure de Lebesgue) est positive et d intégrale sur R n égale à 1. Parmi les lois à densité les plus courantes, on a : la loi uniforme, la loi de Gauss (ou loi normale), la loi de Cauchy, les lois exponentielles, les lois gamma, bêta, etc Moments d une variable aléatoire. Comme on l a fait pour les fonctions Lebesguemesurables en première année, on peut construire l intégrale d une variable aléatoire réelle par rapport à une mesure quelconque. Rappelons brièvement la méthode de construction de l intégrale sur (, F, P). Etape 1 : On intègre les fonctions indicatrices d ensembles mesurables. Soit A F. La fonction indicatrice de A est mesurable de (, F) dans (R, B(R)) (l image réciproque d un borélien quelconque de R ne peut être que, A, A c ou ). On la note 1 A, et on définit son intégrale par 1 A dp = P [A]. Noter que cette intégrale est nécessairement finie car la mesure P est finie. Etape 2 : On intègre les fonctions étagées, c est-à-dire qui sont combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d ensembles mesurables. Si X est une fonction étagée, elle s écrit donc n X = α i 1 Ai i=1 où n est un entier positif quelconque, A 1,...,A n sont n éléments de F et α 1,...,α n sont n réels. L intégrale d une telle fonction est alors définie par n XdP = α i P [A i ]. i=1
5 5 Etape 3 : On intègre les fonctions mesurables positives. On montre que ces fonctions peuvent s écrire comme limite croissante ponctuelle de fonctions étagées. C est-à-dire que si X est une variable aléatoire réelle positive, il existe une suite croissante (X n ) n 1 de fonctions étagées qui converge simplement vers X. On définit alors l intégrale de X par XdP = lim n + X n dp en montrant que cette limite ne dépend pas de la suite choisie. intégrale peut être infinie. Etape 4 : Soit alors X une variable aléatoire réelle. Si X dp < +, on dit que X est intégrable et on définit son intégrale par XdP = X + dp X dp où, pour tout a R, a + = max(a, 0) et a = max( a, 0). Remarquons que cette Comme dans le cours d intégration de première année, on définit la classe des applications intégrables L 1 (, F, P), celles des applications de carré intégrable L 2 (, F, P) et celle des application presque sûrement bornées L (, F, P). Ces espaces sont complets pour les normes 1, 2 et respectivement et l espace L 2 (, F, P), muni du produit scalaire X, Y = E [XY ] = XY dp, est un espace de Hilbert. Définition 2.3. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (, F, P). (i) Si X est intégrable, on appelle espérance de X le réel E [X] = XdP. (ii) Si X est de carré intégrable, on appelle variance de X le réel Var [X] = E [ (X E [X]) 2] = E [ X 2] E [X] 2. Remarquer que, si X est de carré intégrable alors X est intégrable puisque, d après Cauchy-Schwarz, ( ) 1/2 ( 1/2 X dp dp X dp) 2. Théorème 2.1. (Formules de transfert). Soit X une variable aléatoire définie sur (, F, P) et à valeurs dans R n. Alors pour toute fonction ϕ : R n R borélienne (c est-à-dire mesurable de (R n, B(R n )) dans (R, B(R))) bornée ou positive, on a : E [ϕ(x)] = ϕ(x)dp = ϕ(x)dµ X (x). R n En particulier, si X est une variable alátoire discrète prenant ses valeurs dans {x k, k 1}, E [ϕ(x)] = k 1 ϕ(x k )P [X = x k ],
6 6 et si X admet pour densité f X, E [ϕ(x)] = ϕ(x)f X (x)dx. R n Remarquer que ces formules sont également satisfaites dès que la variable aléatoire réelle ϕ(x) est intégrable. Par exemple, si X est une variable aléatoire réelle intégrable et ϕ = Id, on obtient une formule pour le calcul de E [X]. 3. Exercices. Exercice 3.1. Soit un ensemble non vide et soit A = {A 1,..., A n } une partition de. Montrer que { } σ(a) = A i / I {1,..., n}. Exercice 3.2. Soit (, F) un espace probabilisable. Soit X une application définie sur et à valeurs dans R n. (1) Montrer que si F est la tribu triviale, alors la variable aléatoire X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante. (2) Plus généralement, montrer que si F est une tribu engendrée par une partition finie de, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante sur chacune des composantes de la partition. Exercice 3.3. Soit un ensemble non vide et soit X une application de dans R n. Montrer que la tribu engendrée par X (i.e. la plus petite tribu rendant X mesurable) est σ(x) = {X 1 (B)/ B B(R n )}. Exercice 3.4. Soit ϕ une fonction borélienne sur R n et soit x R n. Montrer, en vous inspirant de la construction d une intégrale par rapport à une mesure de probabilité, que R n ϕ dδ x = ϕ(x).
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailIntégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailPROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390
PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailMesures et Intégration
Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailIntroduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailCalcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE
Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailQue faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?
Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailTHÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.
THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailPRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détail