Expérience 1 Théorie des probabilités

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1 Expérience 1 Théorie des probabilités Introduction Procédures Effectuez les commandes suivantes: >> xhost nat >> rlogin nat >> setenv DISPLAY machine:0 >> setenv MATLABPATH /gel/usr/telecom/comm_tbx >> matlab Procédez a l initialisation de l expérience 1: >> start A. Variables aléatoires discrètes A.1 En utilisant la fonction dice, générez des échantillons aléatoires représentant le résultat d une expérience où un dé équilibré est lancé 2000 fois: >> x = dice (2000, 4, fair ); A.2 Calculez et affichez la fonction de densité de probabilité (pdf, probabily density function) des échantillons ainsi générés et la fonction de distribution de probabilité (cdf, cumulative distribution function) de la séquence x: >> subplot(211), pdf(x) >> subplot(212), cdf(x) Les événements échantillonnés représentent le résultat d une expérience où le dé est lancé une fois et sont de la forme {Valeur d un coté = k, k = 1,..., 4}. Observez la relation entre la pdf et la cdf qui donnent l information au sujet de la probabilité d un événement de différentes manières. Q1.1 Pourquoi les probabilités des événements échantillonnés dans cette expérience ne sont pas égaux? Est-ce que ce résultat était attendu? Qu est-ce qui devrait être fait dans l étape A.1 pour améliorer les résultats? A.3 En utilisant la fonction dice, générez une séquence représentant le résultat d une expérience où un dé pipé est lancé 2000 fois: >> y = dice(2000, 4, biased ); A.4 Effacer le graphique et affichez la pdf de la séquence aléatoire y: >> pdf(y) Calculez la cdf et dessinez-la. Indiquez la fréquence des points de discontinuité. Vous pouvez vérifier votre réponse avec: GEL Théorie des communications 1

2 >> cdf(y) Q1.2 Étant donné la pfd de l étape A.4, basée sur 2000 événements, estimez le nombre d occurrences de chacune des faces. B. Variables aléatoires continues B.1 En utilisant les fonctions unif_pdf et unif_cdf, affichez la pdf et la cdf d une variable aléatoire uniforme U (2,6). Ensuite, tracez-les: >> subplot(121), unif_pdf(2,6), axis([0, 8, -0.2, 1.2]); >> subplot(122), unif_cdf(2,6), axis([0, 8, -0.2, 1.2]); B.2 Si U ~ U (2,6), déterminer les probabilités suivantes en utilisant soit la pdf ou la cdf. P(O < U 3) P(3 < U 5) P(U = 3) Q1.3 Pourquoi P(U = 3) est différente de P(X = 3) de l étape A.4? B.3 Générez 500 échantillons d une distribution U (2,6): >> u = uniform(2,6,500); Calculez la moyenne et la variance de cette séquence aléatoire: >> mean_u = mean(u), var_u = var(u) Comparez ces résultats avec les résultats théoriques que vous calculerez à la main. Commentez les différences. Pouvez-vous prédire les algorithmes de MATLAB pour les fonctions mean et var? Affichez le contenu des fichiers contenant le code de ces fonctions en utilisant la commande MATLAB type. Utilisez ces deux commandes pour déterminez E[U 2 ]. Vérifiez votre résultat avec la fonction MATLAB meansq. Variable aléatoire gaussienne (normale) B.4 En utilisant les fonctions MATLAB gaus_pdf et gaus_cdf, affichez la pdf et la cdf d une variable aléatoire G ~ N (µ,σ 2 ) avec µ = mean_u et σ 2 = var_u de l étape B.3. Tracez la pdf et la cdf., subplot(121), gaus_pdf(mean_u, var_u) >> subplot(122), gaus_cdf(mean_u, var_u) Indiquez les valeurs de l axe horizontal où la pdf est à son maximum et où la cdf vaut 0.5. Comparez ces valeurs avec la moyenne d un distribution gaussienne. GEL Théorie des communications 2

3 B.5 Déterminez les probabilités suivantes: P(O < G 3) P(3 < G 5) P(G = 3) Comparez ces résultats avec ceux de l étape B.2. La densité gaussienne utilise pour générer ces résultats la même moyenne et la même variance que celles utilisées dans la densité uniforme de l étape B.2. Pourtant les résultats sont différents. Pouvez-vous expliquer? B.6 Vous avez X ~ N (µ,σ 2 ). Supposez que la valeur moyenne de X est fixé à µ = 1 et σ 2 {0.5, 1, 2, 5, 10}. Pour observer les effets du changement de la valeur σ 2 sur la densité d une variable aléatoire gaussienne, faites les étapes suivantes: >> m = 1; gaus_pdf(m, 0.5) >> axis([ ]), hold on >> gaus_pdf(m, 1)... >> gaus_pdf(m, 10) Q1.4 Considérez l événement A = {0 < X < 2} où X ~ N (1, σ 2 ) avec σ 2 {0.5, 1, 2, 5, 10}. Déterminez la valeur de σ 2 pour laquelle P(A) est maximale. Maintenant, considérez les changements sur la cdf: >> m = 1; gaus_cdf(m, 10) >> axis([ ]), hold on >> gaus_cdf(m, 5)... >> gaus_cdf(m, 0.5) Pouvez-vous prédire la cdf si σ 2 devient plus petit? Essayez: >> gaus_cdf(m, ) Qu est-ce qu une très petite variance, pour une distribution de probabilité, veut dire? La pdf correspondante pourrait vous aider à illustrer ce point: >> gaus_pdf(m, ) >> axis([ ]) Où, dans cette expérience avez-vous observé une pdf similaire? Si dans la dernière étape vous aviez une distribution uniforme avec une moyenne µ et une variance de , au lieu d une variable aléatoire gaussienne, est-ce que vous auriez obtenu une pdf différente? B.7 Maintenant, fixez la variance de la distribution gaussienne à σ 2 = 1 et changez la moyenne µ de telle sorte que µ {-4, -1, 2, 5}. >> s = 1; gaus_pdf(-4, s) >> axis([ ]), hold on GEL Théorie des communications 3

4 >> gaus_pdf(-1,s)... >> gaus_pdf(5,s) Quel est effet de changer la valeur moyenne µ? Si X(µ,σ 2 ) représente une variable aléatoire telle que X(µ,σ 2 ) ~ N(µ,σ 2 ), comparez P(-5 < X(-4, 1) < -3) et P(4< X(5,1) <6). Quelles conclusions pouvez-vous tirer sur les effets de changer µ sur la cdf. Premièrement, ôtez les graphiques à l écran et ensuite pour les valeurs de µ et σ 2, effectuez les calculs avec les axes [-8, 8, 0, 1]. C. Moyenne, variance et puissance C.1 Générez la séquences suivantes avec différentes valeurs de moyenne: >> x = gauss(-5, 1, 100); >> y = gauss( 0, 1, 100); >> z = gauss( 5, 1, 100); >> plot(x) >> axis([ ]), grid on, hold on >> plot(y) >> plot(z) Selon la terminologie propre à l ingénierie, vous pouvez affirmez que la valeur de la moyenne fixe le niveau dc du signal. C.2 Générez des séquences aléatoires de densité gaussienne avec des valeurs de variance différentes: >> a = gauss(0, 4, 100); >> b = gauss(0, 1.0, 100); >> c = gauss(0, 0.5, 100); >> d = gauss(0, 0.01, 100); >> subplot(221), plot(a), axis([ ]) >> subplot(222), plot(b), axis([ ]) >> subplot(223), plot(c), axis([ ]) >> subplot(224), plot(d), axis([ ]) En utilisant les fonctions MATLAB mean et var, déterminez la moyenne et la variance de chaque séquence et entrez votre réponse dans le tableau suivant: Séquence Moyenne Variance Moyenne des carrés a b c d Déterminez la moyenne des carrés de chacune des séquences en utilisant la moyenne et la variance. Vérifiez votre résultat en utilisant la fonction MATLAB meansq. GEL Théorie des communications 4

5 Q1.5 Si les signaux affichés dans cette partie représentent un signal bruité, lequel préféreriez-vous dans votre système de communications? S ils représentent des signaux sans bruit, lequel préféreriez-vous D. Partie de fléchettes D.1 Pour illustrer la signification de la moyenne et de la variance, utilisez la fonction MATLAB dart, laquelle simule une expérience où une fléchette est lancée sur une cible ayant comme centre le point (0,0) d un plan en coordonnées polaires. L utilisateur peut spécifier la moyenne et la variance en coordonnées x et y lesquelles, en retour, déterminent le point d impact sur la cible. Un bon point de départ à l expérimentation est d essayer ceci: >> mean_x = 0.2; mean_y = 0.2; >> var_x = 0.1; var_y = 0.1; >> no_dart = 20; >> dart([mean_x mean_y], [var_x var_y], no_dart) Si vous voulez avoir plus d informations à propos de cette simulation, utilisez la commande d aide en tapant help dart. Essayer la fonction dart avec différentes valeurs de moyenne et de variance. En particulier, il est intéressant de regarder les résultats de simulation lorsque la valeur de la moyenne ou de la variance ou les deux sont mis à zéro. Essayer de mettre en corrélation vos observations avec les autres parties de l expérience. Q1.6 Considérez 2 joueurs avec les performances correspondant aux statistiques suivantes: Joueur 1: [µ x, µ y ] = [0, 0], [σ x 2, σy 2 ] = [0.5, 0.5]; Joueur 2: [µ x, µ y ] = [0.5, 0.5], [σ x 2, σy 2 ]= [0.01, 0.01]; Qu est-ce que vous pouvez dire à propos de l habileté de ces joueurs? E. Intégration par une simulation de Monte-Carlo Dans cette partie de l expérience, vous démontrerez l utilisation du concept de la fréquence relative pour intégrer une fonction d une variable. Considérez un carré unitaire dans le plan x-y et la fonction f(x) = x. GEL Théorie des communications 5

6 1 Lorsque le menu est affiché, choisissez la fonction représentant f X (x), la pdf d une variable aléatoire standard. Qu est-ce que la réponse confirme à propos de la pdf? Si vous intégrez sur l interf(x) = x AIRE = 0.5 Pour calculer 1 0 f 0 ( x) dx 0 1, l algorithme suivant peut être utilisé: i. Générez N échantillons d une distribution uniforme U(0, 1): séquence X. ii. Générez N échantillons d une distribution uniforme U(0, 1): séquence Y. iii. Combinez les séquences X et Y pour former N points aléatoires sur le carré unitaire, chacun représenté par une paire (X, Y). iv. Pour chaque point (X, Y) déterminez sa position selon la courbe y = x, i.e. le point est-il au-dessus ou au-dessous de la courbe? v. Si le nombre de point sous la courbe y = x est K, estimez la valeur de l intégrale en calculant K/N. Utilisez la fonction MATLAB integral pour réaliser cet algorithme avec points échantillonnés: >> integral( x, [0,1], 20000) Le même algorithme peut être utilisé pour intégrer une fonction arbitraire f(x) sur un intervalle [a, b]. Les points limites (a, f(a)) et (b, f(b)) déterminent les paramètres des distributions uniformes à partir desquelles les séquences X et Y sont générées. Donc, cet algorithme décrit une méthode simple pour évaluer l intégrale définie d une fonction. Utilisez la fonction MATLAB integral comme suit: >> integral( f(x), [x_min, x_max], N) pour évaluer l intégrale de quelques fonctions. La commande ci-dessus affiche un menu de fonctions parmi lesquelles vous pouvez faire une sélection. Une des sélections possibles du menu est la pdf d une variable aléatoire normale standard (i.e. N (0,1)). Vous devriez vous rappeler qu il n y a pas de solution théorique à cet intégrale pour un intervalle donné - sinon, vous ne seriez pas obligé d avoir recourt à une table des valeurs de la fonction d erreur (erf (x)). E.1 Intégrez numériquement la pdf d une variable aléatoire normale standard sur l intervalle [-4, 4]: >> integral( f(x), [-4, 4], 20000) GEL Théorie des communications 6

7 valle (, ), quelle devrait être la réponse? E.2 Intégrez f X (x) sur l intervalle [0, 1] et confirmez votre réponse en utilisant une table de la fonction d erreur. E.3 Vous pouvez aussi intégrer n importe quelle fonction de votre choix. Par exemple, pour intégrer cosh(x) sur l intervalle [-π, π] entrez: >> integral( cosh(x), [-pi, pi], 20000); Cette méthode n est pas tellement précise avec seulement points, mais elle est robuste. Cet algorithme peut facilement être adapté pour calculer un volume de n dimensions sur une surface fermée de la forme f(x 1,..., x n ) = K. GEL Théorie des communications 7