Dissipation viscothermique dans les instruments à vent. Influence de la nature et de la rugosité de la paroi

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1 issition viscothermique dns les instruments à vent. Influence de l nture et de l rugosité de l roi Introduction A chque ériode, l temérture du gz en un oint donné de l colonne d ir d un instrument à vent subit une vrition de l ordre d une frction de C. Cette vrition de temérture induit des trnsferts thermiques entre l colonne d ir et l roi. Les dissitions dues à ce trnsfert de chleur contribuent à l mortissement de l résonnce dns le tuyu et ffectent notblement l utoentretien du son et le timbre de l instrument. Une exérience simle ermet de s en convincre : il suffit d introduire une lnguette de ier buvrd dns une flûte our modifier son timbre et dégrder son émission (Fig. 1). A l inverse, huiler ou olir l intérieur d un tube de flûte rugueux enrichit considérblement le timbre et rend le son émis lus uissnt. b Figure 1 : Sectre d un sol 2 de flûte à bec sorno vec () et sns (b) une lnguette de ier buvrd introduite dns le tuyu. L introduction de l lnguette de ier ne modifie rtiquement s le dimètre de l erce ; en revnche, il ugmente s rugosité effective. On constte que le son vec l lnguette est moins uissnt et riche en hrmoniques que celui sns l lnguette.

2 ns quelle mesure l nture du mtériu et l rugosité du tube d un instrument à vent euvent ils influencer le son roduit? Jusqu où est-il nécessire d ller dns le oli des rois intérieures de l instrument? Le texte qui suit tente de réondre à ces questions à rtir de considértions hysiques simles. Crtes de temérture, Flux de chleur et Profondeur de eu Pour réondre à l question ci-dessus, on commence r étblir l crte de temérture dns l ir contenu dns le tube et dns l roi. ir roi x Figure 2 : Convention de signe our les coordonnées On écrit l éqution de l chleur liquée à l roi et à l colonne d ir, T &. T où est l diffusivité thermique de l ir ou du mtériu de roi : ρ. C, où, ρ et C sont resectivement l conductivité thermique, l densité et l ccité clorifique de l ir et du mtériu de l roi. On suose que tous les trnsferts de chleur se font r conduction, ussi bien dns le mtériu de roi que dns l ir. Cette dernière hyothèse est évidemment justifiée our le mtériu de roi ; Comme on le verr r l suite, elle l est églement our l ir, à cuse de l etitesse de l éisseur de eu ffectée r les échnges thermiques entre les deux milieux. On suose l interfce qusi ln et on rend our conditions ux limites : Loin de l interfce, à l intérieur de l roi du tube, T ( x ) T ; Loin de l interfce, dns l colonne d ir, T. it ( x ) T + e où l ulstion de l onde sonore dns le tube ; Comme dns toute trnsformtion dibtique, l mlitude des oscilltions de temérture dns l colonne d ir est reliée à l mlitude des oscilltions de ression vi ( γ 1). T. γ. P A l interfce, l continuité de l temérture et du flux de chleur imose : + T ( x ) T ( x ). T ( x ). T ( x +. L résolution de ces équtions donne le chm de temérture dns les deux milieux : ) T ( x, t) T + i i. t.ex(. x). e ;

3 i T ( x, t) T + ( +.ex(. x)). e i. t où 1+., 1+. Le rofil de temérture dns l roi l llure suivnte (Figure 3) : AIR Profondeur de eu L Temérture T Profondeur de eu L PAROI PAROI AIR Profondeur x x Figure 3. Le rofil de temérture u voisinge de l roi du tube. L quntité est l mlitude des oscilltions de temérture u voisinge de l roi. Si l roi est rfitement conductrice de l chleur, cette mlitude tend vers. A l inverse, si l roi est rfitement isolnte, tend vers. Les rmètres thermiques des mtériux de roi cournts (bois, lstique, cérmique, métl) sont tbulés dns le tbleu 1. Ils ermettent d évluer : l mlitude des oscilltions de temérture à l roi est très fible, de 1/1ème à 1/1 ème de l mlitude des

4 oscilltions de temérture dns l ir du tube our du bois ou du métl resectivement. On eut donc suoser très risonnblement que ldite mlitude est nulle, et considérer l roi comme isotherme, quel que soit son mtériu constitutif. Tout cel ne dit s encore clirement si l mortissement de l onde sonore ser différent our un tube conducteur ou our un tube isolnt. Pour réondre à cette question, clculons le flux de chleur à l roi en utilisnt les crtes de temérture étblies récédemment. Le flux de chleur à l roi vut Φ. T ( x ). i.. ρ. C. ρ. C +. ρ. C.. ρ. C Si l roi est rfitement isolnte, ledit flux de chleur s nnule. ns ce cs, on n ttend donc ucun mortissement de l onde sonore induit r trnsfert de chleur. Si u contrire l roi est rfitement conductrice, l exression de Φ se simlifie et devient : Φ i.. ρ C. mx. Le rort Φ/Φ mx est tbulé dns le tbleu 1 our différents mtériux de roi. On constte que dns tous les cs, le flux de chleur Φ est en fit très roche de l limite Φ mx, quel que soit le mtériu constitutif de l roi, cr tous les mtériux de roi envisgebles dns l rtique (bois, lstique, métl) se comortent comme de bons conducteurs de l chleur comrés à l ir. u oint de vue de l mortissement thermique, tous les mtériux de roi se vlent donc. On verr r l suite comment cette conclusion doit être modifiée dns le cs d une roi rugueuse. Bois lstiqu e Cérmique (verre) Allige métllique (liton, millechort) Cuivre Or Argent Air (Wm -1 K -1 ) environ ρ (Kg.m -3 ) environ ρ 1.2 C (J.Kg -1 ) environ C ρ. C (m 2.s -1 ) Φ Φ mx Tbleu 1 : Les rmètres thermiques our différents mtériux de roi. ns les deux milieux, l rofondeur de l zone ffectée thermiquement r les vritions de temérture vut : L, L. L figure 6 donne l rofondeur de eu dns l ir our différentes fréquences. On voit que seules les remières dizines de microns de l colonne d ir u voisinge du tube ont une temérture erturbée r le voisinge de l roi. L etitesse de cette éisseur de eu lisse à enser que l rugosité de l surfce eut éventuellement voir un rôle dns les hénomènes dissitifs en jeu.

5 Prise en comte de l rugosité ns le cs d une roi rugueuse, les équtions ci-dessus doivent être trnsformées our rendre en comte les surfces d échnge réelles. On se contenter ici d une nlyse simle, en distingunt deux cs-limites : Si l rugosité du tube est très inférieure à l rofondeur de eu L, l influence de l étt de surfce du tube est minime, cr le front thermique est rtiquement ln, indéendnt des détils de l géométrie de l surfce (fig.4). Tout se sse lors comme si l roi étit rfitement lisse. L R L Fig. 4 Vue microscoique de l roi our un tube eu rugueux. Si u contrire l rugosité R est très suérieure à L, les trnsferts thermiques sont directement roortionnels à l surfce libre réelle (microscoique) de l erce, lquelle eut être beucou lus imortnte que l surfce rente (mcroscoique) (fig. 5). L étt de surfce du tube lors une grnde imortnce sur l mortissement de l résonnce. L L R Fig.5. Vue microscoique de l roi our un tube très rugueux

6 Ce qui limite le trnsfert de chleur entre l ir et l roi, c est l conduction dns l ir, s dns l roi, cr cette dernière se comorte dns tous les cs rtiques comme un conducteur qusi rfit. On comrend donc que l rofondeur de eu L dns l roi ne joue ucun rôle dns l nlyse ci-dessus. L fig. 6 montre l déendnce en fréquence de l rofondeur de eu dns l ir, et l reltion entre l rugosité et cette rofondeur de eu. Profondeur de eu 1 1 L (microns) Rugosité 4 µm Série rd/s L >>R Ps d influence de l étt de surfce omeg (rd/s) L <<R L mortissement de l résonnce déend du oli du tube Figure 6 : L rofondeur de eu de l zone ffectée thermiquement dns l ir en fonction de l ulstion. Sur l exemle ci-dessus, on voit qu un tube vec une rugosité de 4 µm mortit l rogtion des ondes de ulstion suérieure à 12 rd/s, soit 19 Hz. Comme le montre le grhique de l figure 6, c est our les hutes fréquences que l résonnce déend le lus du oli du tube. Ceci ermet de comrendre comment le timbre est ffecté : ce sont surtout les hrmoniques igus qui sont mortis dns un tube rugueux. Pour l même rison, ce sont les instruments igus qui devront être rticulièrement soignés et olis. L influence du mtériu du tube et de s rugosité sur l mortissement Ce qui récède eut être résumé simlement : -L nture du mtériu constitutif de l roi n rtiquement ucune influence sur l mortissement du son dns le tuyu. A étt de surfce égl (même rugosité), les mtériux isolnts (bois, lstique) urient un léger vntge sur les mtériux conducteurs (métux), mis, comme le montrent les chiffres du tbleu 1, ce dernier vntge est si mince qu on eut le négliger! On constte en rticulier que l or, le cuivre et l rgent ne se différencient guère du oint de vue des ertes viscothermiques. Si le son qu ils donnent ux instruments se distingue, ce doit être our d utres risons -L nture du mtériu eut en revnche intervenir r le oli que le fcteur eut donner à l erce. L rugosité de l roi joue un rôle imortnt sur l mortissement, rticulièrement ux hutes fréquences. Quel que soit le mtériu de roi, l fig. 6 indique que les ulstions inférieures à 1 rd/s (soit 16 Hz) ne seront s rticulièrement morties dns un tube de rugosité 1 µm. e telles fréquences sont notblement u-delà des fréquences musicles, mis certins hrmoniques roduits r des instruments à vent comme l tromette euvent

7 ller jusque là et euvent fire une différence our l oreille. Ce critère de 1 µm eut être stisfit vec des tubes métlliques industriels. En revnche, il est qusiment inccessible vec des tubes en bois. ns ce dernier cs, l étt de surfce que le fcteur donné u tube ur une influence réondérnte sur le timbre et l émission de l instrument. Tyiquement, si on veut éviter d mortir les ulstions inférieures à 12 rd/s, soit 19 Hz, ce qui est une exigence très modeste, il fut descendre jusqu à un oli de 4 µm. Ce résultt ne eut être tteint en lissnt le bois nu, cr les ores du bois ont en générl des dimensions suérieures à cette vleur. Ceendnt, des rtifices existent. Certins fcteurs imrègnent leurs bois de rffine, vec un gin sensible sur l uissnce sonore et l richesse du timbre. utres huilent l erce. Le grnd fcteur de flûtes à bec Frederic Morgn vernissit l intérieur de ses flûtes. A l inverse, il se eut ussi que l décision du fcteur de lisser de l rugosité en roi soit délibérée, s il souhite doucir le son et uvrir son sectre. Tous les moyens sont bons, il suffit de les emloyer en connissnce de cuse! Conclusion Finlement, l influence des mtériux de roi sur le timbre des instruments à vent n est eut-être s comlètement une légende!

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