Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

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1 Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Eercice IT Etudier l eistece et la valeur évetuelle des limites suivates lim / si / lim / ta cos lim + cos + + si + lim cos l 5 lim / cose /si lim / cos +cos 7 lim +ta +th cos cos+ /si 8 lim e, <e l le 9 lim, > l 0 lim + lch + lim, >0 si si lim + l+ l l +l lim / Arcsi lim + cosa+ cosa où cosa 0 [005] Eercice IT Détermier les développemets limités à l ordre demadé au voisiage des poits idiqués : ordre 7 e 0 cos ordre 7 e 0 Arccos ta ordre e 0 ta ordre e 5 ch / ordre e 0 ta cos ordre 8 e 0 l+ 7 ordre e 8 Arctacos ordre 5 e 0

2 + 9 Arcta + ordre e 0 0 l Arcsi +t 99 k0 k k! ordre 5 e 0 dt ordre 0 e 0 ordre 00 e 0 ta + ordre e [0057] Eercice *** Soit 0 < a < b Etude complète de la foctio f a +b / [0058] Eercice ** Etude au voisiage de + de [0059] Eercice 5 ** Soit f Calculer f 0 e mois de 0 secodes puis f pour e à peie plus de temps [0050] Eercice IT Equivalet simple e + et de Equivalet simple e 0,, et + de Equivalet simple e 0 de si si Equivalet simple e + de th 5 Equivalet simple e 0 de tasi sita [005] Eercice 7 **IT Développemet asymptotique à la précisio de u! k0 k! [005] Eercice 8 **IT Développemet asymptotique à la précisio e 0 de e Développemet asymptotique à la précisio e + de l + + l [005] Eercice 9 ** Soiet a > 0 et b > 0 Pour N et R, o pose f + Equivalet simple quad ted vers + de f a + b f a f b Même questio pour e a f a + a [005] Eercice 0 ***I Soit u 0 ]0, ] Pour N, o pose u + siu

3 Motrer brièvemet que la suite u est strictemet positive et coverge vers 0 a Détermier u réel α tel que la suite u α + uα ait ue limite fiie o ulle b E utilisat le lemme de CESARO, détermier u équivalet simple de u [0055] Eercice **I Soit u la suite défiie par la doée de so premier terme u 0 > 0 et la relatio N, u + u e u Equivalet simple de u quad ted vers + [005] Eercice ***I Motrer que l équatio ta a ue uique solutio das l itervalle [, + ] pour etier aturel doé O ote cette solutio Trouver u développemet asymptotique de à la précisio [0057] Eercice Motrer que l équatio + l k admet, pour k réel doé, ue uique solutio das ]0,+ [, otée k Motrer que, quad k ted vers +, o a : k ak +blk +c lk k +o lk k où a, b et c sot des costates à détermier [0058] Eercice ** Soit f si si 0 et si 0 Motrer que f admet e 0 u développemet limité d ordre Motrer que f est dérivable sur R Motrer que f admet e 0 aucu développemet limité d aucu ordre que ce soit [0059] Eercice 5 **IT Etude au voisiage de 0 de f Arcsi eistece d ue tagete? [0050] Eercice **I La foctio Arccos admet-elle e à gauche u développemet limité d ordre 0? d ordre? Equivalet simple de Arccos e [005] Eercice 7 *** Développemet limité à l ordre e 0 de f + Soit a k le k-ème coefficiet Motrer que a k est le ombre de solutios das N de l équatio p + q k [005] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7emathfr

4 Correctio de l eercice Si ]0,[, si > 0, de sorte que la foctio proposée est bie défiie sur u voisiage poité de c est-à-dire u voisiage de auquel o a elevé le poit et de plus si/ e lsi/ Quad ted vers, si ted vers et doc Doc, lsi lsi si cos et efi si / e lsi/ e 0 lim si / Si ]0,[\ { }, ta > 0, de sorte que la foctio proposée est bie défiie sur u voisiage poité de et de plus ta cos e cosl ta Quad ted vers, l ta l si l cos l cos, puis cosl ta cosl cos 0 car, quad u ted vers 0, ulu 0 Doc, ta cos e cosl ta e 0 lim ta cos et o est e présece d ue idétermi- Quad ted vers +, cos + + si + cos + si atio du type + Quad ted vers +, cos + cos De même, Puis, l cos et doc + cos cos 9 + o o si + si + si + si cos + o + + si o 9 + o si l + + o + o + o + o + o lim + cos + + si + e / o 9 + o + o, Quad ted vers 0, lcos cos Puis, l lcos l 0 Doc, cosl e 0

5 lim cos l 5 Quad ted vers, si ted vers + Posos h puis ε sgh, de sorte que Or, quad h ted vers 0, cose /si ε sih e /cosh εe l sih + cosh l sih + cosh coshl sih + cosh h + oh l h + ol h + h + oh et doc, quad h ted vers 0, l sih + cosh h + Par suite, lim /, </ cose /si + et lim /, >/ cose /si + o h + oh h, Pour R, cos cos + cos cos et doc Pour / ± + Z Z, et doc, lim / cos +cos 7 Quad ted vers 0, Puis, quad ted vers 0, Doc, R, cos cos + 0 ± + Z Z cos + cos cos cos + cos cos + cos cos cos + cos, cos cos+ + lim / cos +cos cos cos+ + ta + th + + o + + o + o + o + + o si l + ta l + o o + th + o + o lim +ta /si +th 8 Quad ted vers e par valeurs iférieures, l ted vers et doc puis, o + o 0 ll l l e e e, e et doc l le e lell le ll e le 0, e liml le e <e 5

6 9 Quad ted vers par valeurs supérieures, l 0, et doc Esuite, ted vers 0 et doc e l l l + Fialemet, quad ted vers par valeurs supérieures, l 0 lim l 0 >e 0 Quad ted vers +, et doc e lch lch l l, Quad ted vers 0 par valeurs supérieures, lch + lch lim + + Esuite, l + l + l + o et, si e lsi e l +o e l e l +o e +o + o, Doc, si e +o l e l e l +o l l + o l si si + o l + o l l + o l l, et efi si si l + l l/ / l 0 si si lim l + l 0 >0

7 Quad ted vers +, l + l + l + l + + o, puis Esuite, Doc, l+ l l + l l ep l l + l l + l+ l e 0 lim + + l + o l l + o l l + l l + o 0 l Quad ted vers, Arcsi Arcsi + + Arcsi + + Arcsi Arcsi Arcsi lim / Arcsi Quad ted vers +, l cos a + cosa et doc lim + l cos taasi l taa + o taa + o, cosa+ cosa e taa lim + cosa+ cosa e taa taa + o Correctio de l eercice o o o 7 7

8 cos Remarques o cos o o 7 + o o 7 a Pour ], [ \ {0}, o a 0 < ta < et doc la foctio Arccos ta est défiie sur ], [ \ {0} qui est u voisiage poité de 0 b Quad ted vers 0, ta et doc Arccos ta o développemet limité à l ordre 0 c La foctio Arccos est pas dérivable e et admet doc pas e de développemet limité d ordre supérieur ou égal à doc à priori, c est mal parti d La foctio proposée est paire et, si elle admet e 0 u développemet limité d ordre, sa partie régulière e cotiet que des eposats pairs Recherche d u équivalet simple de Arccos e à gauche Quad ted vers par valeurs iférieures, Arccos 0 et doc, Arccos siarccos + Détermios u équivalet simple de Arccos ta e 0 D après ce qui précède, ta Arccos si Arccos / ta ta ta ta Aisi, la foctio Arccos ta est pas dérivable e 0 mais est dérivable à droite et à gauche et admet doc pas de développemet limité d ordre supérieur ou égal à mais admet évetuellemet des développemets limités à gauche et à droite pour lesquels la remarque iitiale sur la parité des eposats e tiet plus Détermios u équivalet simple de f Arccos ta quad ted vers 0 par valeurs supérieures Arccos si Arccos ta ta si Arccos ta ta cos ta Maiteat, cos si cos Arccos ta si g ta ta / ta o5 + + o o5 + o / o5 / o o, 8 /

9 et doc, Esuite, ta ta si ta et fialemet, cos o + o 5 + o / + + o 9 + o, 8 + o + o g 5 + o 9 + o 5 + o 5 Aisi, quad ted vers 0 par valeurs supérieures, Arccos ta 5 + o f état paire, o e déduit que Ce est pas u développemet limité Arccos ta o La foctio ta est trois fois dérivable e et admet doc e u développemet limité d ordre à savoir so développemet de TAYLOR-YOUNG ta puis ta + ta Esuite, ta ta + ta et ta Efi, et ta Fialemet, ta + ta + ta + ta, ta / o 8 + o lch l o + + o et doc ch / e +o e / e +o e e + o 5 ch / e e + o + o, ta cos ta ta cos et u équivalet de ta cos e 0 est O écrit doc ta à l ordre De même, u équivalet de ta est et o écrit doc cos à l ordre 5 ta cos + o + o5 + o + o5 7 + o8 9

10 ta cos 7 + o8 7 O pose h ou ecore + h, de sorte que ted vers si et seulemet si h ted vers 0 l + l + h + h l + l + h h + h 0 h h l h + oh h + h h + oh l + l h + l 9 h + l + 8 h + h + oh h + oh Doc, l+ l + l + l l + + o 8 Pour réel, posos f Arctacos f est dérivable sur R, et pour réel, f si +cos Puis, f + o + + o + o + o + o + + o + o + o + o Doc, f admet u développemet limité d ordre e 0 et o sait que f admet e 0 u développemet limité d ordre 5 obteu par itégratio Arctacos Arctacos0 + o5 + o5 9 Pour >, posos f Arcta f Arctacos + o5 + + f est dérivable sur ],+ [ et pour >, / + / + o 7 + o + o + o + o Aisi, f admet doc e 0 u développemet limité d ordre et o sait alors que f admet e 0 u développemet limité d ordre obteu par itégratio + Arcta + Arcta o 0

11 / o 7 Doc, Arcsi o8 Esuite, Fialemet, Arcsi Arcsi o5 0 Arcsi + + o o5 + o o 7 + o 7 Pour réel, posos f + f est cotiue sur R et admet doc des primitives sur R Soit F la primitive de f sur R qui s aule e 0 puis, pour réel, soit g +t dt g est défiie sur R et, pour réel g F F g est dérivable sur R et, pour tout réel, Puis, g F F f f g 8 + o o o 9 Aisi g admet u développemet limité d ordre 9 e 0 et o sait que g admet u développemet limité d ordre 0 e 0 obteu par itégratio E teat compte de g0 0, o obtiet g o0 l 99 k0 k k! l + l e 00 00! + o o le + l e 00 00! + o00 00! + o00 + l l 99 k0 k k! 00 00! + o ! + o ! + o00 Posos h ou ecore + h de sorte que ted vers si et seulemet si h ted vers 0

12 Puis, h 8 + h + h + h + h / Fialemet, h h + h h + h + h + h + h + h + h h + oh ta + ta h + h h h + h h h 9 + h + h oh + h + oh h + h oh h + oh h + oh ta o Correctio de l eercice Puisque a > 0, b > 0 et que pour tout réel, a +b > 0, f est défiie sur R, et pour Etude e 0 a + b l Efi, l e la + e lb l + l R, f ep l a +b l + la + lb ab + l a + l b + o l ab + 8 l a lalb + l b + o l + l a + l b + o l ab + l a + l b ab + 8 l a b a + b / f epl ab + a 8 l b + o ab + a 8 l b + o l ab + o + o Aisi, f se prologe par cotiuité e 0 e posat f 0 ab Le prologemet obteu est dérivable e 0 et f 0 ab 8 l a b > 0 Etude e + l a + b a lb l + l + b lb + o car 0 < a b < lb + o et lim + f b Ma{a,b} Etude e Pour tout réel,

13 et doc, a + b / a + b / f a b ab f, lim f lim f X lim X + X + ab f X ab b a Mi{a,b} Dérivée et variatios f est dérivable sur ],0 ]0,+ [ e vertu de théorèmes géérau et aussi e 0 d après l étude faite plus haut, et pour 0 puisque f > 0 sur R, f f l f l a + b l a + b + a la + b lb a + b f a le même sige que l f qui, elle-même, a le même sige que la foctio g défiie sur R par a + b R, g l + a la + b lb a + b g est dérivable sur R et, pour réel, g a la + b lb a + b ab la lb a + b + a la + b lb a + b + a l a + b l ba + b a la + b lb a + b g est doc strictemet égative sur ],0[ et strictemet positive sur ]0,+ [ Par suite, g est strictemet décroissate sur ],0] et strictemet croissate sur [0,+ [ g admet doc u miimum global strict e 0 et puisque g0 0, o e déduit que g est strictemet positive sur R De même, f est strictemet positive sur R E tat compte de l étude e 0, o a motré que f est dérivable sur R et que f est strictemet positive sur R f est doc strictemet croissate sur R Le graphe de f a l allure suivate : b ab a O peut oter que les iégalités lim f < f < f 0 < f < lim + f fourisset : a < a + b < a + b ab < < b Correctio de l eercice Quad ted vers +, et, / + o + o, / 8 + o o o

14 Doc, f o La courbe représetative de f admet doc e + ue droite asymptote d équatio y 7 De plus, le sige de f 7 est, au voisiage de +, le sige de 8 88 Doc la courbe représetative de f est au-dessous de la droite d équatio y 7 au voisiage de + Correctio de l eercice 5 f est de classe C sur so domaie R \ {,} e tat que fractio ratioelle et e particulier admet u développemet limité à tout ordre e 0 Pour tout etier aturel, o a f o +, Par uicité des coefficiets d u développemet limité et d après la formule de TAYLOR-YOUNG, o obtiet N, f 0 0 et f + 0 +! Esuite, pour / {,}, et etier aturel doé, f +! Correctio de l eercice , et, et Esuite, quad ted vers, ted vers 0 et doc, + Efi, + Esuite, lsi l + l + o l l + o l sil + o l+l +o l+o l+o l Doc, si si e l e l+o l e o l e l l + o l + o l + o l l

15 si si l th e e e +oe e +oe, et doc thl e + +e + oe l l + o Par suite, th e l + 5 Tetative à l ordre tasi ta + o + + o + + o, et, sita si + + o + +o + +o Doc, tasisita o L ordre est isuffisat pour obteir u équivalet Tetative à l ordre 5 et, tasi ta o o o5, o 5 sita si o o o o 5 Doc, tasi sita o 5 L ordre 5 est isuffisat pour obteir u équivalet Le cotact etre les courbes représetatives des foctios sita et tasi est très fort Tetative à l ordre 7 et, tasi ta o o o o 7, sita si o o o o 7 5

16 Fialemet, et doc tasi sita o o7, tasi sita 7 0 Correctio de l eercice 7 Pour 5, o a Esuite, u k0 k k0 k + + Doc, 5 k0 k+ o + et de même o + Il reste 0 + u o o o! k0 k! o Correctio de l eercice 8 e o 0 + o e o o + + o o l + + l l + l + l o + l l o

17 l + + l + l o Correctio de l eercice 9 f a ep l + a E remplaçat a par b ou a + b, o obtiet ep + f a + b f a f b e a+b + a a + o a + b e a+b a + b + a + b Doc, si ab 0, f a+b f a f b + 0 e a f a + ep e a a + o e a e a b b ab ea+b + o + o + o ab ea+b Si ab 0, il est clair que f a+b f a f b a + a a + a + o + a + a + a e a f a + a + + a 8 a + o, et doc Correctio de l eercice 0 Pour [ 0, ] ] ] ] ], posos f si O a f 0, ]0,] 0, Doc, puisque u0 ] 0, ], o e déduit que N, u ] 0, ] ] ] [ ] Il est cou que 0,, si < et de plus, pour 0,, si 0 La suite u est à valeurs das ] 0, ] et doc N, u+ siu < u La suite u est doc strictemet décroissate et, état miorée par 0, coverge vers u réel l de [ 0, ] qui vérifie f état cotiue sur le segmet [ 0, ] f l l ou ecore l 0 E résumé, la suite u est strictemet positive, strictemet décroissate et coverge vers 0 Soit α u réel quelcoque Puisque la suite u ted vers 0, o a α u α + u α siu α u α u u + + ou u α α u α u + ou u α Pour α o a doc D après le lemme de CESARO, k0 u k+ u k u α uα+ + ouα+ u + u + o +o ou ecore u u o u o + 7 α u + ou +o ou efi,

18 Par suite, puisque la suite u est strictemet positive, u + Correctio de l eercice Il est immédiat par récurrece que N, u > 0 Doc, N, u + u e u < et doc, puisque la suite u est stritemet positive, u + < u La suite u est strictemet décroissate, miorée par 0 et doc coverge vers u réel l vérifiat l le l ou ecore l e l 0 ou ecore l 0 u est strictemet positive, strictemet décroissate et coverge vers 0 Soit α u réel quelcoque Puisque la suite u ted vers 0, u α + u α u α e αu u α αu + ou αu α+ + ou α+ Pour α, o obtiet e particulier u + u + o Puis, comme au uméro précédet, u + u 0 + o et doc + u + Correctio de l eercice Pour etier aturel doé, posos I ] +, + [ Soit N Pour I, posos f ta f est dérivable sur I et pour das I, f ta Aisi, f est dérivable sur I et f est strictemet positive sur I \ {} Doc f est strictemet croissate sur I Soit N f est cotiue et strictemet croissate sur I et réalise doc ue bijectio de I sur f I R E particulier, N,! I / f 0 ou ecore tel que ta O a 0 0 puis pour N, f < 0 et doc, N, ], + [ E particulier, + + O Posos alors y N, y ] 0, [ De plus, tay ta + y et doc, puisque y ] 0, [, > y Arctay + Arcta Puisque Arcta ted vers, o a y + o ou ecore o Posos maiteat z y D après ce qui précède, N, z ],0[ et d autre part z o Esuite, ta z z et doc cotaz + + z Puisque z ted + vers 0, o e déduit que z cotaz +, + ou ecore z + + o Aisi, 8

19 + + + o Posos efi t z + + O sait que t o et que cota t cotaz + + z + + o Par suite, puis, et doc t + o Fialemet, ta t + + o + o, t Arcta + o + o, o Correctio de l eercice Pour > 0, posos f + l f est cotiue sur ]0,+ [, strictemet croissate sur ]0,+ [ e tat que somme de deu foctios cotiues et strictemet croissates sur ]0, + [ f réalise doc ue bijectio de ]0,+ [ sur f ]0,+ [ ]lim, >0 f,lim + f [ ],+ [ R E particulier, k R,! k ]0,+ [/ f k k f k k + l k < k pour k suffisamet grad car k k + l k k l k + d après les théorèmes de croissaces comparées Doc, pour k suffisamet grad, f k k + < f k Puisque f est strictemet croissate sur ]0,+ [, o e déduit que k > k pour k suffisamet grad et doc que lim k + k + Mais alors, k k + l k k et doc, quad k ted vers +, k k + k + ok Posos y k k k O a y k ok et de plus y k + ly k + k 0 ce qui s écrit : Doc, y k lk + y k lk + ok lk + l + o lk + o k k + k lk + o Posos z k y k + lk k k + lk Alors, z k o et lk + z k lk lk + z k Par suite, Fialemet, z k lk lk lk + o l lk k + o k k lk + lk k + k lk k + o lk k lk k + o lk k 9

20 Correctio de l eercice si O et e particulier si o Doc, e teat compte de f 0, f admet e 0 u développemet limité d ordre f o f + + o Doc, f admet e 0 u développemet limité d ordre O e déduit que f est cotiue et dérivable e 0 avec f 0 f 0 f est d autre part dérivable sur R e vertu de théorèmes géérau et doc sur R et pour 0, f + + si cos f est défiie sur R mais a pas de limite e 0 f admet doc même pas u développemet limité d ordre 0 e 0 Correctio de l eercice o, et doc Puis, Arcsi o5 Arcsi o et doc, o o, Arcsi o La foctio f proposée se prologe doc par cotiuité e 0 e posat f 0 0 Le prologemet est dérivable e 0 et f 0 La courbe représetative de f admet à l origie ue tagete d équatio y Le sige de la différece f 7 est, au voisiage de 0, le sige de 0 La courbe représetative de f admet doc à l origie ue tagete d ifleio d équatio y Correctio de l eercice Arccos o développemet limité à l ordre 0 Mais la foctio Arccos est pas dérivable e et admet doc pas e u développememet limité d ordre Puisque Arccos o, Arccos siarccos + Arccos Correctio de l eercice 7 0

21 Quad ted vers 0, O a aussi, k0 + k + + k k + o k0 k + k0 k + k + k0 k k + o + k0 p+qk k0 p k0 k + o Par uicité des coefficiets d u développemet limité, o a doc k N, a k k++k k0 a k est le ombre de faços de payer k euros e pièces de et euros q + o a k k + o