Développements limités

Transcription

1 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- Développemens limiés Table des maières I Foncion eponenielle I. Développemen limié d ordre I. Développemen limié d ordre I.3 Développemen limié d ordre I.4 Inerpréaion graphique II Dévéloppemens limiés 4 II. Généraliés II. Dévéloppemens limiés usuels II.3 Opéraions algébriques II.4 Composiion II.5 Dérivaion e inégraion

2 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- I Foncion eponenielle On chercha à approimer la foncion ep() par des foncions successivemen du premier, deuième e roisième degré. On posef() =e, foncion dérivable auan de fois que l on veu sur R. I. Développemen limié d ordre Propriéé Au voisinage de, e = ++ǫ() où limǫ() =. En effe, La définiion du nombre dérivé de la foncionf en nous donne : f() =f() +f () +ǫ() où lim = Or, on a : { f() =e donc f() = f () =e donc f () = D où le résula rouvé dans la propriéé. I. Développemen limié d ordre Propriéé Au voisinage de, e = ++ + ǫ() où lim ǫ() =. On peu démonrer cee propriéé grâce, enre aure, à des inégraions successives : La foncion eponenielle éan croissane sur R, on a : [ ; ], e e e On inègre cee double inégalié de àpour [ ; ] : e d e d [ [e e] ] [e] ed e e e On inègre à nouveau cee double inégalié de àpour [ ; ] : e d (e )d [ ] [ e [e ] e e e e ] ed --

3 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- On inègre une dernière fois cee double inégalié de àpour [ ; ] : Pour, on poseǫ() = obien : Or, lim 6e = lim D où la conclusion : e 6e = e d (e )d [ ] 3 [ ] [ e e 3 6e 6 3 ] e d 6e e e3 6 ( ) e ++. D après l inégalié précédene, éan posiif, on 6e ǫ() e 6 donc, d après le héorème des gendarmes : lim ǫ() =. [ ; [ ]; ], e = ++ + ǫ() où lim ǫ() =. I.3 Développemen limié d ordre 3 Propriéé 3 Au voisinage de, e = ǫ() où lim ǫ() =. On inègre de nouveau la dernière inégalié rouvée précédemmen de àpour [ ; ] : 3 ( ) 6e d e e 3 d 6 d 4 [ ] 4 [ 4e e 3 6 4e e 3 6 e4 4 ( ) e Pour, on poseǫ() = 3. D après l inégalié précédene, on obien : Or, lim 4e = lim D où la conclusion : 4e ǫ() e 4 ] pour > [ e 4 e 4 ǫ() pour < 4e e = donc, d après le héorème des gendarmes : lim 4 4 ] ǫ() =. [ ; [ ]; ],e = ǫ() où limǫ() =. -3-

4 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- I.4 Inerpréaion graphique Graphiquemen, on obien à différens ordres des approimaions de la foncion eponenielle au voisinage de. Plus l ordre es élevée, meilleure es l approimaion! 3 y = ep() y = y = ++ y = + 3 II II. Dévéloppemens limiés Généraliés Définiion Soif une foncion numérique définie sur un inervallei de R conenan. On di quef adme un développemen limié à l ordrenau voisinage de s il eise un polynômep n de degré inférieur ou égal ànel que pour ou I : ou sous forme développée f() =P n () + n ǫ() où lim ǫ() =. f() =a +a +a + +a n n + n ǫ(). On di quep n () es la parie régulière du développemen limié e n ǫ() es le le rese. -4-

5 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- II. Dévéloppemens limiés usuels Au voisinage de zéro, on a : e = ++! +3 3! +4 4! n 5! n! +n ǫ(). + = ( ) n n + n ǫ(). ln( +) = ( )n+n 4 n +n ǫ(). cos = +4 4! 6 6! ( )nn 8! (n)! +n ǫ(). sin = 3 3! +5 5! ( )nn+ 7! n +! +n ǫ(). ( +) α = +α + α(α ) + α(α )(α ) ! α(α )(α ) (α n+) n + n ǫ(). n! Remarque La parie régulière du développemen limié en d une foncion paire (respecivemen impaire) es un polynôme consiué de monômes de degré pair (respecivemen impair). Dans le rese du chapire, on considère les fonciionsf egadmean à l ordrenau poin des développemens limiés de paries régulières P() e Q(). II.3 Opéraions algébriques Propriéé 4 f +g adme un développemen limié à l ordrendon la parie régulière esp() +Q(). f g adme un développemen limié à l ordrendon la parie régulièrep() Q() en suppriman ous les ermes de degré sricemen supérieurs à n. Eemple e Développemen limié à l ordre 3 de + : e = ++ A l ordre 3, on a ǫ () avec limǫ () = + = ǫ () avec limǫ () = e donc + =e ) ( + = ++ ( ǫ () ǫ () ) = ǫ() = ǫ() avec lim ǫ() =. -5-

6 BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- II.4 Composiion Propriéé 5 Sif() =P() + n ǫ() alors : f(a) =P(a) + n ǫ () pour oua R. f( p ) =P( p ) + n p ǫ () pour oup N. Eemple Développemen limié à l ordre 7 de sin() : sin = 3 3! +5 5! 7 7! +7 ǫ () donc : sin() = ()3 3! Développemen limié à l ordre 6 de + ()5 ()7 5! 7! + : + = ǫ () donc : + = ǫ (). + 7 ǫ () = ǫ (). II.5 Dérivaion e inégraion Propriéé 6 Si f es dérivable sur un inervalle I conenan, e adme un développemen limié d orde n en, alors f adme un développemen limié à l ordren au voisinage de de parie régulièrep (). Eemple Le développemen limié à l ordre 7 de sin() es : sin = 3 3! +5 5! 7 7! +7 ǫ(). Par dérivaion, on rouve (sin) =! +4 4! 6 6! +6 ǫ(). On rerouve bien le développemen limié à l ordre 6 de cos(). Propriéé 7 SoiF une primiive def sur un inervallei conena, Sif() =a +a +a + +a n n + n ǫ() avec limǫ() =, alorsf() =F() +a +a +a a n+ n n + +n+ ǫ(). Eemple Le développemen limié à l ordre n de + es : + = ( ) n n + n ǫ(). Si on inègre, on obien d = ( )nn+ 4 n + +n+ ǫ() On reouve ainsi le développemen limié à l ordren + en de la foncion ln( +). -6-